人教A版数学必修二同步练习132球的体积和表面积(含答案解析)

球的体积和表面积一、选择题(每题6分,共30分)1.某几何体的三视图以下列图,依照图中数据可知该几何体的体积为()A.πB.πC.π-πD.π+π2.已知圆锥SM的底面直径和高相等且都等于球O的直径,那么球的体积V1与圆锥的体积V2的关系是()A.V1=V2B.V1=V2C.V1=2V2D.V1=3V23.(2012·新课标全国卷)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为()A.πB.4πC.4πD.6π4.一个半球的表面积为1,则相对应的此球的半径应为()A.B.C.D.5.(2013·辽宁高考)已知三棱柱ABC-A1B1C1的6个极点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为()A.B.2C.D.3二、填空题(每题8分,共24分)6.三个球的半径之比为1∶2∶3,则最大球的体积是其他两个球的体积之和的倍.7.圆柱、圆锥的底面圆半径与球的半径都为r,圆柱、圆锥的高都是2r,则圆柱、圆锥、球相对应的体积之比为________.8.一个几何体的三视图(单位:cm)以下列图,则该几何体的体积是________cm3.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)29.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别是49πcm和2400πcm,求球的表面积.10.如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6cm,圆柱筒高为2cm,这种“浮球”的体积是多少cm3(结果精确到0.1)?(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶,若是每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?11.(能力挑战题)已知:球的半径为R,要在球内作一内接圆柱,问这个圆柱的底面半径和高为何值时,它的侧面积最大?答案剖析1.【剖析】选D.由三视图知此几何体为一个球和一个圆锥的组合体,32π.V=π×1+π×1×=π+2.【剖析】选C.设球O的半径为r,则由题意得圆锥SM的底面直径和高都是2r,323因此V1=πr,V2=πr·2r=πr,3.【剖析】选B.设球O的半径为R,则R==,故V球=πR3=4π.4.【剖析】选C.设球的半径为R,则有2πR2+πR2=1,即3πR2=1,因此R=.5.【剖析】选C.由题意知,结合图形,经过球心O和三棱柱的侧棱中点的大圆,与三棱柱的侧棱垂直,三棱柱的底面三角形ABC为直角三角形,其外接圆的圆心O′为其斜边

BC

的中点

,连接

OA,OO

′,O′A,由勾股定理得

,OA2=O′O2+O′A2

其中OA=R,OO′=AA1=6,O′A=BC=,因此球O的半径为OA=R==.6【.剖析】设三个球的半径为33r,2r,3r,则最大球的体积为π(3r)=36πr,另两个球的体积和V=π(2r)3+πr3=12πr3,则最大球的体积是其他两个球的体积之和的3倍.答案:3237.【剖析】V柱=πr·2r=2πr,V锥=πr2·2r=πr3,V球=πr3,故V柱∶V锥∶V球=3∶1∶2.答案:3∶1∶28.【剖析】由三视图知,几何体是一个由三部分组成的组合体,上面是一个半球,半球的直径是2,因此半球的体积是××π×13,下面是半个圆柱和一=个四棱柱,圆柱的底面半径是1,高是2,因此半个圆柱的体积是×π×12×2=π.四棱柱的底面是一个相邻两边长分别是1和2的矩形,高是2,因此四棱柱的体积是1×2×2=4,因此空间组合体的体积是+π+4=+4.答案:+4【误区警示】解答本题易出现依照三视图判断此几何体的下面为一个圆柱或一个四棱柱的错误.9【.剖析】设O1,O2分别是两截面圆的圆心,AO1与BO2分别是截面半径,且AO1∥BO2,又O1,O2分别是两截面圆的圆心,则OO1⊥AO1,OO2⊥BO2.设球的半径为R,因为πB=49π,因此BO2=7,同理AO1=20,设OO1=xcm,则OO2=(x+9)cm,在直角△OO1A中,R2=x2+202,在直角△BO2O中,R2=(x+9)2+72,解得x=15,R=25,因此球的表面22积为S=4πR=2500π(cm).10.【剖析】(1)因为半球的直径是6cm,可得半径R=3cm,因此两个半球的体积之和为V球=πR3=π·27=36π(cm3).又圆柱筒的体积为V圆柱=πR2·h=π×9×2=18π(cm3).3因此这种“浮球”的体积是:V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6(cm).依照题意,上下两个半球的表面积是S球表=4πR2=4×π×9=36π(cm2),又“浮球”的圆柱筒的侧面积为:S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π(cm2),因此1个“浮球”的表面积为S==π(m2).因此,2500个这样的“浮球”表面积的和为2500S=2500×π=12π(m2).因为每平方米需要涂胶100克,因此共需要胶的质量为:100×12π=1200π(克).【变式备选】一种空心钢球的质量是732πg,外径是5cm,求它的内径.(钢密度9g/cm3)【剖析】设球的内径为r,由已知得球的体积V==(cm3).由V=π(53-r3)得=π(53-r3),解得r=4cm.11.【剖析】设球内接圆柱的高为h,底面半径为r,侧面积为S.因此()2+r2=R2,因此