信号取样与恢复实验报告概要

8/8信号取样与恢复实验报告概要实验四信号取样与恢复

一、实验目的

1．了解模拟信号取样及恢复的基本方法。

2．理解和掌握时域取样定理，掌握无混叠和有混叠条件下信号取样与恢复的频域分析方法。

3．了解取样频率、取样脉冲宽度、恢复滤波器截止频率等对取样信号和恢复信号的影响。

4．熟悉DDS-3X25虚拟信号发生器的使用方法。

二、实验内容

1．无混叠条件下正弦信号取样与恢复测试分析，比较不同取样频率和取样脉冲宽度对取样及恢复信号的影响。

2．有混叠条件下正弦信号的取样与恢复测试分析。

3．非正弦周期信号的取样与恢复测试分析，比较不同恢复滤波器截止频率对恢复信号的影响。

三、实验仪器

1．信号与系统实验硬件平台一台

2．信号取样与恢复实验电路板一块

3．DSO-3064虚拟示波器一台

4．DDS-3X25虚拟信号发生器二台

5．PC机（含DSO-3064、DDS-3X25驱动及软件）一台

四、实验原理

1.信号取样

信号取样与恢复实验电路板，如图4.1所示。该电路板通过背面的两个DB9公头插接到硬件实验平台上使用。

)

()()(tstftfs=图4.1信号取样与恢复实验电路板

电路板左侧为一个采用模拟开关进行取样的信号取样电路，取样脉冲序列为高电平（高电平对应电压应大于+1V）时模拟开关接通、为低电平（低电平电压应小于-1V）时模拟开关断开。在“信号输入”端接入被取样模拟信号，通过改变取样脉冲序列（通常为矩形脉冲序列）的频率（该电路取样频率不宜超过256kHz）和占空比，即可在“取样输出”端获得不同频率和不同取样脉冲宽度的取样信号。取样信号()sft可用（4-1）式来描述

(4-1)

式中()ft表示被取样模拟信号，()st为模拟开关的开关函数，当模拟开关接通时，()1st=，反之则

()0st=。

电路板右侧是两个用作恢复滤波器的低通滤波器，可根据实验需要选用。其中“恢复滤波器1”是一个截止频率约为1kHz、通带增益等于4的二阶低通滤波器，其截止频率不可调节。“恢复滤波器2”是一个截止频率可调，通带增益等于1的八阶巴特沃斯滤波器，其截止频率（转折频率）调节范围为0.1Hz~25kHz，通过外接“控制时钟”信号f0来调节，滤波器转折频率为f0时钟频率的1/100。

由（4-1）式获取的取样信号()sft依然是一个时域信号。设()ft的频谱为()Fjω，()st的频谱为()Sjω，则根据频域卷积定理，()sft的频谱

1

()()*()2sFjFjSjωωωπ

=

(4-2)

设取样脉冲序列的周期为sT、脉冲宽度为τ，则

()()Sa2ss

snnSjnωτωτωδωω∞

=-∞

??

=-???

∑(4-3)

式中2ssωπ=为取样角频率、Sa()g为取样函数，即()Sjω为取样函数包络下的冲激序列。此时

()()1()()*()Sa222

Sa2ss

ssnssnsnFjFjSjFjnnFjnTωωτ

ωωωτωωππωττωω∞=-∞∞

=-∞??

==-???????

??

=

-????

???∑∑(4-4)

因此，取样信号的频谱()sFjω是将原信号频谱()Fjω在ω轴上以sω为间隔的非等幅周期延拓，如图4.2所示。若()Fjω的幅度归一化为1，则第n个延拓()sFjnωω-????

的幅度为()Sa2

ssnAnTωτ

τ

??=

???

(4-5)

利用式（4-5），式（4-4）可简化表示为

()()()ss

nFjAnFjnωωω∞

=-∞

=

-????∑

(4-6)

在无混叠的条件下，0n=时延拓（称为主延拓）的波形形状和在ω轴上所处的位置与()Fjω完全相同，因为(0)=sATτ，故主延拓的幅度为()Fjω的sTτ倍，如图4.2所示。

mm

s

s

图4.2信号取样的时域与频域分析

2信号恢复

能否由取样信号()sft重构（恢复）原模拟信号()ft，是衡量原信号在取样之后是否保留了其所有信息的一个基本判据。

由图4.2可知，如果信号的取样满足取样定理，即sω大于等于2倍信号带宽mω（2smωω≥），则在对信号()ft取样时，频谱()Fjω的周期延拓将不会发生混叠，()sFjω中每一个延拓的波形与()Fjω的波形形状完全相同，幅度取决于()An。在这种情况下，如果用一个截止频率cω满足mcsmωωωω≤≤-的理想低通滤波器()Hjω对()sFjω进行滤波，则可以由()sFjω完整地恢复()Fjω。考虑到时域与频域的唯一对应性，也就表明可以由()sft重构原模拟信号()ft。该重构过程在频域与时域分别可以用以下数学模型来描述：

()()()()()*()

ssFjFjHjftfthtωωω==(4-7)

式中理想低通滤波器的频率响应()Hjω和冲激响应()ht分别为

2,()()

0,2()Sa()cs

cs

cc

cs

TTHjgjhttωωωτωωτωωωωτω?≤?==??>?=

(4-8)

式中2()c

gjωω是宽度为2cω的频域门函数。

如果信号取样不满足取样定理，则()sFjω中相邻的两个或多个周期延拓的波形将会有混叠发生。通常无法从混叠后的频谱()sFjω中找到与()Fjω波形相同的某个频带，即无法由发生混叠的信号重构原信号。考虑下面这个一个例子：

设()ft为7000Hz的余弦信号，即()=cos(14000)fttπ，取样脉冲频率为8000Hz（即16000/sradsωπ=）、占空比为20%（5sTτ=）。因为

[]()()(14000)(14000)2S()Sa160005

5nFjnjnωπδωπδωπππωδωπ∞

=-∞

=++-??=

-???∑(4-9)

则由式（4-4），可得

()()()Sa1400016000140001600055snnFjnnππωδωππδωππ∞=-∞??

=+-+--???????

∑(4-10)

分析式（4-10），可知在16000sωωπ≤=范围内，()sFjω包括以下几项

()()()()(/p>

Sa20002000,1600055sFjπ

ωδωπδωπππδωπδωπωπ=

++-+??????++-≤???????

(4-11)

其中第1项为0n=的主延拓，后一项由1n=±时的延拓得到。

采用截止频率0.58000csωωπ==的理想低通滤波器

160005,8000()5()0,8000Hjgjπωπ

ωωωπ

?≤?==?>??

(4-12)

对()sFjω进行滤波恢复，可得

()()1()()()Sa200020005sFjFjHjπωωωπδωπδωπ??

==++-???????

(4-13)

1()Fjω对应的时域信号为

1()Sacos(2000)5fttππ??

=???

(4-14)

恢复的结果依然是一个余弦信号，但其频率为1000Hz，幅度为Sa5π???

??

，与原信号()ft不同。

在上述例子中，如果()ft改为7000Hz的方波或三角波等信号，其结果将如何，请读者自行分析。由于理想低通滤波器是物理不可实现的，在实际工程应用中，受恢复滤波器特性的制约，取样角频率应略高于2mω，才能更有效地抑制取样导致的信号混叠。同时，实际恢复滤波器的阻带幅频响应并不能做到完全等于0，即使是在无混叠的条件下，也不可能完全滤除所有的高频分量，因此恢复得到的信号会有一定的畸变。

五、实验步骤

1.按照要求连接完毕电路打开电脑并且安装驱动，完成软件的必要设置。

2.无混叠条件下正弦信号取样与恢复测试分析

调节输入被取样模拟信号（正弦波）频率：1KHz，幅度：2V，取样脉冲序列频率：10KHz，幅度：2V，占空比：50%，恢复滤波器的截止频率：5KHz，故时钟频率f0=512KHz。打开电源开关，观察波形。改变取样脉冲序列的频率：20KHz，观察波形。再分别改变占空比为25%和75%，观察波形。波形如下图所示。（波形代表从上到下依次为：被取样信号，恢复输出，取样脉冲序列，取样输出）

图5.2.1取样频率10KHz占空比50%

图5.2.2取样频率20KHz占空比50%

图5.2.3取样频率10KHz占空比25%图5.2.4取样频率10KHz占空比75%

3.非正弦周期信号取样与恢复测试分析

选取非正弦信号为三角波信号，频率：640Hz，幅度：2V，取样脉冲序列频率：10KHz，幅度：2V，占空比：50%，恢复滤波器的截止频率分别为被取样基波频率的1倍，2倍，4倍，8倍，故时钟频率f0分别为64KHz，128KHz，256KHz，512KHz。观察波形并且记录。

图5.3.1截止频率640Hz图5.3.2截止频率1280Hz

图5.3.3截止频率2560Hz图5.3.4截止频率5120Hz

4.有混叠条件下正弦信号取样与恢复测试分

析

调节输入被取样模拟信号（正弦波）频率：5KHz，

幅度：2V，取样脉冲序列频率：6KHz，幅度：2V，

占空比：20%，恢复滤波器的截止频率：5KHz，

故时钟频率f0=512KHz。断开2台DDS-3X25的电

源，然后取下他们之间的连接线

“MULTIPROCESSORLINK”，再次重新脸上电源，

无需区分主控和被控设备。重新设置如上参数，

打开电路电源，观察波形如右图所示。

5.观测无混叠条件下正弦取样与恢复下的信

号频谱波形

调节输入被取样模拟信号（正弦波）频率：1KHz，图5.4.1有混叠条件

幅度：2V，取样脉冲序列频率：10KHz，幅度：2V，占空比：50%，恢复滤波器的截止频率：5KHz，故时钟频率f0=512KHz。使用DSO-3064自带的频谱分析功能。设置方法如下：选择DSO-3064软件界面的菜单“设置”→“MATH”选项，在弹出的“MATH设置”窗口中“运算”选择“FFT”，并勾选“开/关”选项，“OK”即可启动频谱分析功能。观察频谱图像如图所示。

图5.5.1被取样信号频谱

图5.5.2取样脉冲序列频谱图5.5.3取样输出频谱

图5.5.4恢复输出频谱

六、实验结果分析

1.无混叠条件下正弦信号的取样与恢复分析

（1）根据实验结果（重点是无混叠条件下各信号的频谱），结合课程相关内容，参考图4.2及取样与恢复实验原理的介绍，从频域的角度，分析无混叠条件下信号取样与恢复的原理，据此阐述自己对取样定理的理解。

→我们从实验波形图中可以看出，被取样信号先与取样脉冲序列相乘之后相当于在频域里的两者卷积之后相差一个2π，而信号的恢复则由频域里面的

()()()()()*()

ssFjFjHjftfthtωωω==得到，其中为冲激响应

的频域形式，得到

后进行傅里叶逆变换即可得到原被取样序列。取样定理实质上是对信号进

行频域里面的变换，然后再还原到时域内。

（2）比较不同取样频率条件下的取样与恢复结果的细微差异，说明在满足取样定理的前提下，取样频率的大小将如何影响信号的取样与恢复，并解释其原因。

→被取样信号f(t)在转换入频域内之后，会有周期延拓的产生，在t=0左右有主延拓，他们的脉冲宽度为2ωm，周期由取样脉冲序列决定。若取样脉冲序列的周期T>2ωm，则若干个周期延拓之间不会产生混叠现象，这时候信号不会被破坏，经过一定的滤波还原之后（滤波的截止频率ωm<ωc<ωs-ωc）,主要根据主延拓的波形可以还原到初始状态的波形。

（3）比较不同取样脉冲宽度（占空比）对取样与恢复结果的影响，并解释其原因。

→在抽样频率满足抽样定理“奈奎斯特定理”,即抽样频率是原频率的两倍或以上的情况之下,随着抽样信号的占空比的增大,恢复出来的信号越接近于原波形。

2.有混叠条件下正弦信号的取样与恢复分析

（1）根据实验结果（重点是有混叠条件下各信号的频谱），结合课程相关内容，从频域的角度，分析混叠产生的原因。

→当被取样信号发(t)转换到频域内，与取样周期脉冲卷积之后，若是发生混叠现象，则各个周期延拓之间会有重叠部分，主延拓与一级或者二级延拓之间都有可能产生混叠，滤波时就会把重叠的部分也认定为主延拓的组成部分，在还原的时候就不是原来的主延拓了，因此恢复输出就会产生很大的误差。

（2）从频域角度分析所恢复信号的来源，解释为什么所恢复信号的频率与被取样信号的频率不相同，在此基础上，进一步讨论在有混叠条件下选取恢复滤波器截止频率的原理。

→有混叠条件下的恢复信号来源为主延拓部分，但是由于有混叠现象的发生，一级延拓和二级延拓有可能会与主延拓之间有交集，因此在滤波的时候在主延拓的频率范围内选取的却不全是主延拓部分，因此所恢复信号的频率和被取样信号的频率不相同。让采样频率高于高频干扰的至少两倍以上，可以有助于减少高频信号的干扰。

()

Hjω()

Fjω

3.非正弦周期信号的取样与恢复分析

（1）对于你所采用的非正弦周期信号，能否完全实现无混叠的取样，请说明原因。

→我认为我采用的非正弦周期信号不能完全实现无混叠取样，由图5.3.3和图5.3.4可以发现，最终的恢复信号还是和原始信号有很大的误差，因此可以大致认定为在取样的时候发生了有混叠取样。

（2）比较分析不同恢复滤波器截止频率的取样与恢复实验结果，从频域的角度，分析结果出现差异的原因。

→截止频率指的是低通滤波器所允许取样输出信号通过的频率，不同的截止频率会通过不同的信号，因此截止频率大的话滤过的主延拓也会相对应的完整，恢复的信号也会有较高的完整性。但是如果截止频率过大超过了ωs-ωc的话，就会产生杂波，影响恢复信号的准确性。

（3）如果对非正弦周期信号的取样频率取得较小（2~4倍信号基波频率），对信号的取样与恢复会产生什么影响？

→因为受到恢复滤波器的制约，有可能会发生混叠现象。

4.取样脉冲序列高低电平电压幅度的大小是否会对取样输出产生影响？请区分不同情形（是否满足模拟开关的开通和关断条件）进行讨论。

→当不满足模拟开关的开通和关断条件