2020届二轮(理科数学) 压轴大题得分练一 专题卷(全国通用)

1．(本小题满分12分)(2019江西临川一中考前模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＋1＝2a＋an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)已知对于n∈N*，不等式＋＋＋…＋<M恒成立，求实数M的最小值．1．解：(1)当n＝1时，2a1＋1＝2a＋a1，又an＞0，∴a1＝1.当n≥2时，2Sn＋1＝2a＋an(n∈N*)，2Sn－1＋1＝2a＋an－1(n∈N*)，作差整理得an＋an－1＝2(an＋an－1)(an－an－1)，∵an＞0，故an＋an－1＞0，∴an－an－1＝，故数列{an}为等差数列，∴an＝.(2)由(1)知Sn＝，∴＝＝(－)，从而＋＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＋(－)]＝(1＋＋－－－)＝(－－－)＜.∴M≥，故M的最小值为.2．(本小题满分12分)(2019广东肇庆三模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，∠BAA1＝60°，E是棱BB1的中点，CA＝CB，F在线段AC上，且AF＝2FC.(1)求证：CB1∥平面A1EF.(2)若CA⊥CB，平面CAB⊥平面ABB1A1，求二面角F－A1E－A的余弦值．2．(1)证明：连接AB1交A1E于点G，连接FG.∵△AGA1∽△B1GE，∴＝＝2.又∵＝2，∴＝，∴FG∥CB1.又CB1⊄平面A1EF，FG⊂平面A1EF，∴CB1∥平面A1EF.(2)解：过C作CO⊥AB于点O.∵CA＝CB，∴O是线段AB的中点．∵平面CAB⊥平面ABB1A1，平面CAB∩平面ABB1A1＝AB，∴CO⊥平面ABA1.连接OA1，BA1.∵△ABA1是等边三角形，O是线段AB的中点，∴OA1⊥AB.如图，以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设AB＝2，则A(1，0，0)，A1(0，，0)，C(0，0，1)，B(－1，0，0)，F(，0，)．由＝，得B1(－2，，0)，则BB1的中点E(－，，0)，＝(－，－，0)，＝(，－，)．设平面A1FE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即得方程的一组解为设平面ABA1的一个法向量为n2＝(0，0，1)，则cos〈n1，n2〉＝＝，∴二面角F－A1E－A的余弦值为.3.(本小题满分12分)(2019山西太原一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F2(1，0)，点B(1，)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程．(2)若直线l：y＝k(x－4)(k≠0)与椭圆C交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，求证：点G在某定直线上，并求出定直线的方程．3．(1)解：∵F2(1，0)，∴c＝1.由题中已知条件知∴a＝2，b＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：由椭圆对称性知G在x＝1上，假设直线l过椭圆上顶点，则M(0，)，∴k＝－，N(，)，lA1M：y＝(x＋2)，lA2N：y＝－(x－2)，∴G(1，)，∴G在定直线x＝1上．当M不在椭圆顶点时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，lA1M：y＝(x＋2)，lA2N：y＝(x－2)．当x＝1时，＝，得2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝0，∴2×－5×＋＝0显然成立，∴G在定直线x＝1上．综上，点G在定直线x＝1上．4．(本小题满分12分)(2019山东省实验中学等四校联考)已知函数f(x)＝，g(x)＝2(x－lnx)．(1)当x>0时，求证：f(x)>g(x)．(2)已知点P(x，xf(x))，点Q(－sinx，cosx)，设函数h(x)＝·，当x∈[－，]时，试判断h(x)的零点个数．4．(1)证明：令φ(x)＝f(x)－g(x)＝－2(x－lnx)，x＞0，则φ′(x)＝.令G(x)＝ex－2x(x＞0)，G′(x)＝ex－2(x＞0)，易得G(x)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，∴G(x)≥G(ln2)＝2－2ln2＞0，∴ex－2x＞0在(0，＋∞)恒成立．∴φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴φ(x)≥φ(1)＝e－2＞0，∴当x＞0时，f(x)＞g(x)．(2)解：∵点P(x，xf(x))，点Q(－sinx，cosx)，∴h(x)＝·＝－xsinx＋excosx，h′(x)＝－sinx－xcosx＋excosx－exsinx＝(ex－x)cosx－(ex＋1)sinx.①当x∈[－，0]时，可知ex＞2x＞x，∴ex－x＞0.∴(ex－x)cosx≥0，(ex＋1)sinx≤0，∴h′(x)＝(ex－x)cosx－(ex＋1)sinx≥0.∴h(x)在[－，0]上单调递增，h(0)＝1＞0，h(－)＜0.∴h(x)在[－，0]上有一个零点，②当x∈(0，]时，cosx≥sinx，ex＞x＞0，∴excosx＞xsinx，∴h(x)＝