高三数学小题立体几何练习

高三数学小题立体几何练习高三数学小题立体几何练习高三数学小题立体几何练习1、棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图以下列图，那么该几何体的体积是（）1410A.C.332、如图，已知平面I平面=，.、B是直线l上的两点，C、D是平面内的lA两点，且DAl，CBl，DA4,AB6，CB8.P是平面上的一动点，且有APDBPC，则四棱锥PABCD体积的最大值是（）48（B）16（C）243（D）1443、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．42B．25C．6D．434、从点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成60°角,且分别与球O相切于A,B,C三点,若,则球的体积为（）A.B.2C.4D.833335、已知正周围体A—BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点

P的轨迹为A．椭圆的一部分

B．双曲线的一部分

C．抛物线的一部分

D．一条线段6、已知正方体

ABCD

A'B'C'D'，记过点

A与三条直线

AB,AD,AA'

所成角都相等的直线条数为

m,

过点

A与三个平面

AB',AC,AD'所成角都相等的直线的条数为

n，则下面结论正确的是A.m

1,n

1

m4,n

1

m3,n

4

m4,n

47、将边长为

2的正方形

ABCD沿对角线

BD

折起，则三棱锥

C

ABD的外接球表面积为A.16B.12C.8D.48、已知三棱锥OABC中，A、B、C三点在以O为球心的球面上，若ABBC1，ABC1200，三棱锥OABC的体积为5，则球O的表面积为（）4A.32B.64C.16D.54439、已知三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，BCCD,BCCD4,ABAD23,则三棱锥ABCD的外接球的大圆面积为（）A．9B．27C．12D．3610、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A．48B．32C．16D．323二、填空题：11、若三棱锥P-ABC的最长的棱PA2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是12、如图，在三棱锥uuuruuur3,设AD=a，D-ABC中，已知AB=2，ACBDBC=b，CD=c，则c2ab的最小值为113、已知P,A,B,C是球O球面上的四点，ABC是正三角形，三棱锥PABC的体积为93，4且APOBPOCPO30,则球O的表面积为_________14、已知平面截一球面得圆M,过圆心M且与成30二面角的平面截该球面得圆N.若该球面的半径为5,圆M的面积为9,则圆N的面积为______________.15、在正三棱锥S—ABC中，AB＝2，M是SC的中点，AM⊥SB，则正三棱锥S－ABC外接球的球心到平面ABC的距离为__________．16、一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正周围体，过正周围体上某一个极点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是．参照答案BADCADCBAD11、412、213、1614、1315、316、36如图，直线l⊥平面，垂足为O，已知在直角三角形ABC中，BC＝1，AC＝2，AB＝．该直角三角形在空间做吻合以下条件的自由运动：（1），（2）．则B、O两点间的最大距离为．6、已知底面为正方形的四棱锥OABCD，各侧棱长都为23，底面面积为16，以O为球心，2为半径作一个球，则这个球与四棱锥OABCD订交部分的体积是（）A．2B．8C.16D．4答案C99931、a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有以下结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线与所成角的最小值为45°；④直线与a所成角的最小值为60°.ABaAB其中正确的选项是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】试题解析：由题意，AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由ACa,ACb，又⊥圆锥底面，在底面内可以过点，作BDPa，交底面圆C于点，以下列图，连接，则ACBDDE⊥，DEPb，连接，等腰△中，ABAD2,当直线与a成60°角时，DEBDADABDABABD60o，故BD2，又在Rt△BDE中，BE2,DE2，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，由圆的对称性可知BFDE2,△ABF为等边三角形，ABF60o，即AB与b成60°角，②正确，①错误.由最小角定理可知③正确；很显然，可以满足平面ABC⊥直线a，直线AB与a所成的最大角为90°，④错误.正确的说法为②③.1．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3AD3AA13，点P为线段A1C上的动点(包含线段端点)，则以下结论正确的__________．uuuruuuruuuruuur①当AC13A1P时，D1P//平面BDC1；②当AC15A1P时，A1C平面D1AP；③APD1的最大值为90o；④APPD1的最小值为5.2．以下列图，在四边形

中，

,将四边形沿对角线

折成周围体

，使平面

平面

，则以下结论正确的是

．（1）；（2）；（3）与平面所成的角为；（4）周围体的体积为．3．以下列图，在确定的周围体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD.若AB⊥CD，则截面EFGH与侧面ABC垂直；(2)当截面四边形EFGH面积获取最大值时，E为AD中点；截面四边形EFGH的周长有最小值；(4)若AB⊥CD，ACBD，则在周围体内存在一点离相等.上陈说法正确的选项是．

P到周围体

ABCD六条棱的中点的距4．如图，在透明塑料制成的长方体

ABCD

A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边

BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同样，有以下四个说法：①水的部分向来呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1向来与水面EFGH平行；④当EAA1时，AEBF是定值．其中正确说法是．5．以下列图，直平行六面体中，为棱上任意一点，为底面（除外）上一点，已知在底面上的射影为，若再增加一个条件，就能获取，现给出以下条件：①；②在上；③平面；④直线和在平面的射影为同一条直线．其中必然能成为增加条件的是__________．（把你认为正确的都填上）6．以下列图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱AB、CC1的中点，VMB1P的极点P在棱CC1与棱C1D1上运动.有以下四个命题：①平面MB1PND1；②平面MB1P平面ND1A1；③VMB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；④VMB1P在侧面D1C1CD上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是______7．点E、F、G分别是正方体ABCD－ABCD的棱AB、BC、BC的中点，以下列图，则以下命题111111中的真命题是________(写出所有真命题的编号)．①以正方体的极点为极点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；②过点F、D、G的截面是正方形；③点P在直线FG上运动时，总有AP⊥DE；1④点Q在直线1上运动时，三棱锥－1的体积是定值；BCADQC⑤点M是正方体的平面A1B1C1D1内的到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是一条线段．8．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1的动点，过A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则以下命题正确的序号是_________.①当CQ1时，S的面积为6；②当3CQ1时，S为六边形；24③当CQ31④当CQ14时，S与C1D1的交点R满足C1R1；时，S为等腰梯形；1时，32⑤当0CQS为四边形.29．在正方体ABCDA1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动，则以下四个命题：①d三棱锥AD1PC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角PAD1C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1其中真命题的编号是__________．（写出所有真命题的编号）10．已知矩形

的长

，宽

，将其沿对角线

折起，获取周围体

，以下列图，给出以下结论：①周围体体积的最大值为；②周围体③若分别为棱的中点，则恒有④当二面角为直二面角时，直线

外接球的表面积恒为定值；且；所成角的余弦值为；⑤当二面角

的大小为

时，棱

的长为

．其中正确的结论有____________________(请写出所有正确结论的序号11．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，点P为线段

)A1C

上的动点

(包含线段端点)，则以下结论正确的

______．①当

uuuvAC1

uuuv3A1P时，

D1P//

平面

BDC1；

②当

uuuvAC1

uuuv3AP1

时，

A1C

平面

D1AP；③APD1的最大值为

90o；

④AP

PD1的最小值为

263

.12．如图，矩形

ABCD中，

AB

2BC

4，

E为边

AB的中点，将

ADE沿直线

DE

翻转成

A1DE

.若M

为线段

A1C的中点，则在

ADE

翻折过程中：①BM是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个地址，使DEA1C；④存在某个位置，使MBP平面A1DE.其中正确的命题是_________.答案1．①②【解析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则uuurA1,0,0,A11,0,1,C0,3,0,D10,0,1,C10,3,1,B1,3,0,AC11,3,1,Px,y,zuuuruuuruuur设,A1Px1,y,z1.对于①，当AC13A1P，即2,uuuur2,3,1，设平面BDC1的1,3,13x1,y,z1，解得P3,2，D1P333333ururuuururuuuururx1,y1,z1n1DB03,1,30，法向量为n1，则由{uruuuur，解得n1，由于D1Pn1n1DC10uuuruuur因此D1P//平面BDC1建立.对于②，当AC15A1P时，即1,3,15x1,y,z1，uuuruuuur0uuuruuur解得434，由ACDA，{11可知A1C平面DAP建立.对于③，设11555ACDP011即1,3,1x1,y,z1，解得P11,3,11，由1,3,1111,3,1uuuruuuur55时，cosPA,PD1，其分子化简得，当22231211uuuruuuurcosPA,PD10，故APD1的最大值可认为钝角，③错误.对于④，依照③计算的数据，uuur1,3,1uuuur13,1PA1,PD11,,uuuruuuur1232121111PAPD11251，在对称轴222，即55时获取最小值为2445，故④错误.55点睛：本题主要观察空间点线面的地址关系，观察利用向量法证明线面平面，线面垂直的方法，观察利用向量法求角度的最大值和线段长的最小值的方法.由于题目所给几何体是长方体，要验证线面关系，用向量法最快，建立空间直角坐标系后，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，证明线面平行，利用直线的方向向量和平面内两个订交的向量垂直证明线面垂直.2．（2）（4）【解析】试题解析：平面平面BCDCD平面ABD，与平面所成的角为CADQADCDCAD4，周围体的体积为V1SBDAh1111，3326QABAD1,DB2A/CBD，综上（2）（4）建立．考点：1线线垂直;2线面角;3棱锥的体积．3．②④【解析】试题解析：由直线与平面平行的性质定理可知，EFGH是平行四边形.⑴中若AB⊥CD，截面EFGH是矩形，即FGGH，若是截面EFGH与侧面ABC垂直，那么GH平面ABC，须CD平面ABC，CDAC，（1）不正确；（2）不如假设AB，CD所成角为，则平行四边形EFGH中EFG或1800，令CF(01)，由EFAF,FGCF，因此EF(1)CD,FGAB，CACDACABAC1SEFGHEFFGsin(1)ABCDsin，而AB，CD是确定的，因此当，即F2是AC的中点时，亦即E为AD中点时，截面四边形EFGH面积获取最大值，（2）正确；（3）由EFAF,FGCF两式两边分别相加得，EFFGAFCF1，因此CDACABACCDABACACFGABAB,EFGH的周长为2(EFFG))2(ABCDABEF)，而EFCDCD0EFCD，故EFGH的周长不存在最小值，（3）不正确；（4）若AB⊥CD，ACBD设E,F,G,H分别为所在棱的中点，则EFGH是矩形，连接EG,FH记它们的交点为P，则P到E,F,G,H距离相等，均为1EG；分别取AB,CD的中2点M,N，连MG,GN,NE,EM，由已知MGNE是矩形，其对角线的交点即EG的中点P，且P到M,G,N,E的距离均为1EG，故在周围体内存在一点P到周围体ABCD六条棱的中点的距离相等，(4)正确.答案2为②④.考点：1.周围体的几何特色；2.平行关系；3.垂直关系.4．①③④【解析】试题解析：①将该四棱柱绕BC旋转，水的部分的面ABFE与面CDHG向来平行且全等，其余面为四边形，且相邻棱平行，因此向来呈棱柱状；②在旋转过程中水面四边形EFGH的面积改变；③在旋转过程中，A1D1//EH,EH面EFGH,因此棱A1D1向来与水面EFGH平行；④在旋转过程中，水的体积保持不变，且四棱柱ABEFCDHG的高BC不变，则直角梯形ABEFD面积不变，，即S1(AEBF)AB为定值，因此当EAA1时，AEBF是定2值；应选①③④．考点：四棱柱的性质．5．①③④【解析】对于①，由于AD,,∴AD⊥，又AD⊥FH，FH因此AD⊥平面FHCE，因此AD⊥CH，正确；对于②，在上，当F在时，就是CB，显然CB不垂直ＡＤ，错误；对于③，由于平面，因此，同上，易得：AD⊥CH，正确；对于④，由于直线和在平面的射影为同一条直线，即平面FHCE⊥平面又平面FHCE⊥平面ABCD，且平面ABCD平面=AD，因此AD⊥平面FHCE∴AD⊥CH，正确.故答案为：①③④6．②③【解析】①错，B1C1ND1，显然当M落在D1，B1D1不垂直D1N，因此平面MB1PND1不恒建立。②对，由于ND1MB1，且MB1A1D，因此MB1平面ND1A1。③对，由于B1M的射影是MB为定值，点M的射影必然在线段CD上，所构造的射影三角形均同底等高，因此面积为定值。④错，当M点落在点C1时，VMB1P在侧面D1C1CD上的射影图形是条线段。综上所述，填②③。7．③④⑤【解析】画出图形，如图（1）所示，四个面都是直角三角形，因此（1）不正确；（2）连接，获取过点的截面，此截面为矩形，因此（2）不正确；（3）点在直线上运动时，，如图（2），则平面，即可得结论，因此是正确的.（4）当点在上运动时，三棱锥的体积不变，如图（2）中三角形面积不变，且到平面距离不变，因此体积为定值，因此是正确的；（5）点是正方体

内到点和

距离相等的点，则

点的轨迹是一条线段，线段

满足题意，故答案为③④⑤

.8．①③④⑤【解析】如图，当CQ1时，即Q为CC中点，此时可得PQ∥AD，112AP=QD112125，故可得截面APQD1为等腰梯形，故④正确；22由上图当点Q向C搬动时，满足0CQ1，只需在1上取点M满足AM∥PQ，即2DD可得截面为四边形APQM，故⑤正确；③当CQ=3时，如图，4延长DD1至N，使D1N=1，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证2AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=1，故正确；3②由③可知当3CQ1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状依旧上图所示的4APQRS，显然为五边形，故错误；①当CQ=1时，Q与C重合，取AD的中点F，连接AF，可证PC∥AF，且PC=AF，11111可知截面为APC1F为菱形，故其面积为1AC1PF1326，故正确．故222答案为：①③④⑤．9．①③④（多项选择或错选或不选不给分，少选均给一半，）【解析】①1B1C1为定值；②由于BC1//AD1，因此VAD1PCVCAD1PYAD1C1C232BC1//面AD1C，因此P到面AD1C距离不变，但AP长度变化，因此直线AP与平面ACD1所成的角的大小变化；③二面角PAD1C的大小就是平面ABC1D1与平面AD1C所组成二面角的大小,因此不变;④到点D和C1距离相等的点在平面A1BCD1上，因此M点的轨迹是平面A1BCD1与平面A1B1C1D1的交线A1D1.综上真命题的编号是①③④10．②③④【解析】对于①周围体体积最大为两个面互相垂直，周围体体积的最大值为，故不正确；②三棱锥外接球的半径为，因此三棱锥外接球的表面积为，②正确；③若为分别棱的中点，连接，则，依照等腰三角形三线合一获取，连接，容易判断，获取，因此，因此③正确；④二面角为直二面角时，认为原点所在直线分别为轴，则由向量的数量积可以获取直线所成角的余弦值为，因此④正确；⑤当二面角的大小为时，棱的长为，在直角三角