2020届数学中考复习专项训练通用版：滚动小专题(七) 与四边形有关的计算与证明

滚动小专题(七)与四边形有关的计算与证明1．(2019·沈阳)如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G.(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若tan∠CAB＝，∠CBG＝45°，BC＝4，则▱ABCD的面积是24．证明：∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC.∵DF＝BE，∴△ADF≌△CBE(SAS)．∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE.∴AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形．2．(2019·哈尔滨)已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.(1)如图1，求证：AE＝CF；(2)如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF，CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的.解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴AE＝CF.(2)S△ABE＝S△CDF＝S△BCE＝S△ADF＝S矩形ABCD.3．(2019·湖州)如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF.(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；(2)若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．解：(1)证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DF∥BC，EF∥AB.∴四边形BEFD是平行四边形．(2)∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，∴DF＝DB＝DA＝AB＝3.∵四边形BEFD是平行四边形，∴四边形BEFD是菱形．∴四边形BEFD的周长为12.4．(2019·宁波)如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．(1)求证：BG＝DE；(2)若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．解：(1)证明：在矩形EFGH中，EH＝FG，EH∥FG.∴∠GFH＝∠EHF.∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE.在菱形ABCD中，AD∥BC.∴∠GBF＝∠EDH.∴△BGF≌△DEH(AAS)．∴BG＝DE.(2)连接EG.∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC.∵E为AD中点，∴AE＝ED.∵BG＝DE，∴AE=BG.∴四边形ABGE为平行四边形．∴AB＝EG.在矩形EFGH中，EG＝FH＝2.∴AB＝2.∴菱形ABCD的周长为8.5．(2019·天门)如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF.求证：(1)AE⊥BF；(2)四边形BEGF是平行四边形．证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°.∴∠ABE＝∠BCF＝90°.在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF(SAS)．∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF.∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG.∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠CEG＋∠BEA＝∠AEG＝90°.∴AE⊥EG.∴AE⊥BF.(2)延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，则AP＝CE，∠EBP＝90°.∴∠P＝45°.∵CG为正方形ABCD外角的平分线，∴∠ECG＝45°.∴∠P＝∠ECG.由(1)得∠BAE＝∠CEG.在△APE和△ECG中，∴△APE≌△ECG(ASA)．∴AE＝EG.∵AE＝BF，∴EG＝BF.∵EG∥BF，∴四边形BEGF是平行四边形．6．(2019·海南)如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点(与点A，D不重合)，射线PE与BC的延长线交于点Q.(1)求证：△PDE≌△QCE；(2)过点E作EF∥BC交PB于点F，连接AF，当PB＝PQ时．①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形？并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ECQ＝90°.∵E是CD的中点，∴DE＝CE.又∵∠DEP＝∠CEQ，∴△PDE≌△QCE(ASA)．(2)①证明：∵PB＝PQ，∴∠PBQ＝∠Q.∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD.∵△PDE≌△QCE，∴PE＝QE.∵EF∥BQ，∴＝.∴PF＝BF.∴在Rt△PAB中，AF＝PF＝BF.∴∠APF＝∠PAF.∴∠PAF＝∠EPD.∴PE∥AF.∵EF∥BQ∥AD，∴四边形AFEP是平行四边形．②四边形AFEP不是菱形．理由：设AP＝x，则PD＝1－x.由(1)中△PDE≌△QCE得，PD＝CQ