2019湘教初三数学专题二动态探究题

2019-湘教版初三数学专题二动向研究题2019-湘教版初三数学专题二动向研究题12/122019-湘教版初三数学专题二动向研究题2019-2020年湘教版初三数学专题二动向研究题一.本周授课内容：专题二动向研究题这类题型包括有动点问题，动线问题和动圆问题三类。主若是观察学生对几何元素的运动变换的性质，它主要揭穿“运动”与“静止”，“一般”与“特别”的内在联系，以及在必然条件下能够相互转变的唯物辨证关系。解决此类问题的要点是将运动的几何元素看作静止来加以解答，即“化动为静”的思路；并能在从相对静止的刹时清楚地发现图形变换前后各种量与量之间的关系，经过归纳得出规律和结论，并加以论证。中考题中的动向型试题是观察学生创新意识的重要题型之一。【典型例题】（一）动点型动向研究题例1.如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。（2）试在（1）中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为极点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标。（3）设从出倡导运动了t秒，若是点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围。（4）设从出倡导，运动了t秒钟，当P、Q两点运动的行程之和恰好等于梯形OABC周长的一半，这时，直线PQ可否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，央求出t的值；如不能能，请说明原由。解析：（1）较简单，利用待定系数法可解决。（2）要想△AOD与△OAC全等，且点D也在抛物线上，则易知点D与点C应恰好关于抛物线对称轴对称，从而写出点D的坐标。3）应注意点Q在线段OC上和线段CB上两种状况，再依照坐标与线段特色关系，可确定点Q的坐标。4）要想正确研究可否存在直线PQ将梯形OABC周长和面积均分，可先从均分周长下手，找出与之相关的时间t（秒）的关系式，再分别计算相应两部分的面积，可获得正确结论。解：（1）∵O、C两点的坐标分别为O（0，0），C（8，6）∴设OC的解析式为y＝kx368k，k43x直线OC的解析式为y4∵抛物线过O（0，0），A（18，0），C（8，6）三点∴设抛物线解析式为y＝a（x－0）（x－18）再将C（8，6）代入6＝a（8－0）（8－18）a340y3x227x4020（2）要使△AOD≌△AOC，且点D在抛物线上则点D与点C关于抛物线对称轴对称由（1）易知抛物线的对称轴为x＝9由点C（8，6）知点D坐标为（10，6）3）当Q在OC上运动时，设Q(m，3m)4依题意有：m2(3m)2(2t)248t586Q(t，t)(0t5)CQBQOPA当Q在CB上时，点Q所走过的行程为2t∵OC＝10∴CQ＝2t－10∴点Q的横坐标为2t－10＋8＝2t－2∴Q（2t－2，6）（5<t≤10）（4）由条件知：梯形OABC的周长为44当Q点在OC上时，P点运动的行程为t，则Q点运动的行程为（22－t）△OPQ中，OP边上的高为：(223t)135SOPQt(22t)25S梯形OABC1(1810)6842依题意有：13841t(22t)522整理得：t2－22t＋140＝022241400∴这样的t不存在当Q在BC上，Q走过的行程为（22－t）CQ22t1012tS梯形OCQP16(22t10t)3684122∴这样的t值也不存在∴不存在t值，使得P、Q两点同时均分梯形的周长和面积。例2.如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB<CD，AB＝10，BC＝31）若是M为AB上一点，且满足∠DMC＝∠A，求AM的长。2）若是点M在AB上搬动，（点M与A、B不重合）且满足∠DMN＝∠A，MN交BC延长线于N，设AM＝x，CN＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围（写取值范围不需推理）解析：略解：（1）如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CDAMB231DC∴∠A＝∠B∵∠1＋∠2＋∠A＝180°3＋∠2＋∠DMC＝180°又∠DMC＝∠A∴∠1＝∠3，∠B＝∠A∴△ADM∽△BMCAMADBCBM设AMx，则

x3310x即x210x90x1＝1，x2＝9经检验：x1＝1，x2＝9都为原方程的根∴AM＝1或9（2）如图AMBOCN同理可证：△ADM∽△BMN则AMAD，即x3BNMB3y10xy1x210x3(1x9)3例3.已知，如图①，E、F、G、H依照AE＝CG，BF＝DH，BF＝nAE（n是正整数）的关系，分别在两邻边长为a，na的矩形ABCD各边上运动，设AE＝x，四边形EFGH的面积为SAHDEGBFC①（1）当n＝1，2时，如图②，如图③，观察运动状况，写出四边形EFGH各极点运动到何地址，使S1S矩形ABCD？2AHDAHDEGEGB

F

C

B

F

C②

③（2）当

n＝3时，如图④，求

S与x

之间的函数关系式（写出自变量

x的取值范围）研究S随

x增大而变化的规律，猜想四边形

EFGH

各极点运动到何地址使

S

1S矩形ABCD？2A

H

DEGBFC④（3）当n＝k（k≥1）时，你所获得的规律和猜想可否成立？为什么？解析：这是一道研究性开放题，图形是不断地变化，解题要点是从特别状况下手，总结出其中所蕴涵的规律性特色，找出S与x之间的函数关系式，判断出S与x之间变化的规律，从而对n＝k（k≥1）的一般状况作出猜想。解：（1）当n＝1时，如图②，有AE＝BF＝CG＝DH此时要使S1S矩形ABCD2则E、F、G、H四点应恰好为各对应边的中点当n＝2时，如图③，AE＝CG，DH＝BF＝2AE矩形ABCD中，有BC＝2AB要使S1S矩形ABCD2仍必定有E、F、G、H为矩形ABCD各边中点（2）当n＝3时，如图④AE＝CG，BF＝DH＝3AE设AE＝x，则BF＝DH＝3x∴BE＝a－x＝DGAH＝CF＝3a－3xSa3ax(3a3x)(ax)3x3a26ax6x2即S6x26ax3a2(0xa)配方得：S6(xa)23a222∵a＝6>0，∴张口向上当0xa时，S随x增大而减小2a时，S随x增大而增大2a)23a21要使S6(x2a3a22ax2即点E为AB中点从而点F、G、H也应分别是BC、CD、DA的中点即当E、F、G、H运动至矩形ABCD各边中点，有S1S矩形ABCD23）当n＝k（k≥1）时，上述规律和猜想是成立的原由：设AE＝CG＝x，则BF＝DH＝kxBEDGax，CFAHkakxk(ax)Sakaxk(ax)(ax)kx2kx22kaxka2(0xa)配方得S2k(xa)2ka222当xa时，S随x增大而减小2当xa时，S随x增大而增大2且当xaka211时，S2akaS矩形ABCD222即E、F、G、H仍为各边中点时S1S矩形ABCD2（二）线动型动向研究题例4.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4cm，∠A＝60°，BD⊥AD，一动点P从A出发以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD于点E（1）当点P运动2S时，设直线PM与AD订交于点E，求△APE的面积。（2）当点P运动2S时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动，过Q作直线QN，使QN//PM，设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2，求S关于t的函数关系式。DCMEAPB解析：（1）较简单（2）难点在于不能够正确掌握运动过程中P、Q两点的可能地址，由于P、Q两点运动速度不相同，所以P、Q不用然都在AB上，当0≤x≤6时，点P、Q都在AB上，相应PM与QN的地址较易探望。当6≤x≤8时，点P在BC上，而点Q在AB上，围成四边形面积可表示当8≤x≤10时，点P、Q都在BC上运动，相应的垂直围成的四边形形状又发生变化，所以本题要点在于分类谈论。解：（1）当点P运动2S时，AP＝2cm，由∠A＝60°AE1，PE3SAPE

322）∵点P速度为1cm/s，点Q在AB上的速度为1cm/s又AD＝4，∠A＝60°∴AB＝8cm∴点P在AB上运动8秒钟，而点Q晚2秒钟开始运动∴点Q在AB上运动8秒钟<1>当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动设PM与AD交于点E，QN与AD交于点F，如图②DCMENFAQPB②则AQt，AFt，QF3t22tAPt2，AE123PE3t2∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为：SFQPEEF3t3222<2>当6≤t≤8时，点P在BC运动，点Q仍在AB上运动，如图③DMCNEFPAQB③设PM与DC交于点E，QN与AD交于点F13则AQt，AFt，QFtDF4

22t2BPt6，CP10t，PE(10t)3而BD43SS平行四边形ABCDSAQFSCPE16311t3t1(10t)(10t)3222253t2103t23438<3>当8≤t≤10，点P和点Q都在BC上运动，如图④DNMCFEPQAB④则CQ202t，QF(202t)3CP10t，PE(10t)3∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为：(EPFQ)PQS2[(10t)3(202t)3]2(202t10t)33(10t)233t2303t150322例5.如图在平面直角坐标系内，点A和C的坐标分别为（4，8）（0，5），过点A作ABx轴于点B，过OB上的动点D作直线y＝kx＋b平行于AC，与AB订交于点E，连结CD，过点E作EF//CD交AC于点F1）求经过A、C两点的直线解析式。2）当点D在OB上搬动时，可否使四边形CDEF成为矩形？若能，求出此时k、b的值；若不能够，请说明原由。（3）若是将直线AC作上、下平移，交y轴于点C’，交AB于点A’，连结OC’，过点E作EF’//DC，’交A’C’于点F’，那么可否使四边形C’DEF’成为正方形？若能央求出此时正方形的面积，若不能够，说明原由。yAFCEODBx解析：本题难点在于在运动状态下商议图形是矩形和正方形的可能性问题，可先假设结论成立，利用条件和相关知识研究需要的条件，从而作出合适鉴识。解：（1）设直线AC的解析式为y＝mx＋n，由条件得：4mn8n5解得m34n5直线AC的解析式为：y3x542）假设能，则∠CDE＝90°设OD＝xDE//AC，k34BD4x，BE3(4x)4CDECODDBE90∴∠CDO＝∠DEB∴△COD∽△DBEODOC，即x5BEDB3(4x)4x4解得：x14，x2经检验：

15415是方程的根，且x44∴点D在OB上15存在吻合条件的D(，0)4（3）①直线A’C在’直线DE的下方，这时A’落在EB上yAFCA’F’C’EODBxEF’<A’E≤BE<ED∴这时不存在正方形C’DEF’②直线A’C在’直线DE的上方，这时必有C’D＝DE∠C’DE＝90°则Rt△C’OD≌Rt△DBE∴OD＝BE设OD＝x，则BE＝x，BD＝4－x由（2）知：BD4，4x4BE3x3解得x

127经检验：12是方程的根且吻合题意7∴存在吻合条件的点D，此时BE12，BD1677∴正方形C’DEF’的面积：SDE2BE2BD2(12)2(16)24007749（三）圆动型动向研究题例6.已知，如图，直线l的解析式为y3x3，并且与x轴，y轴分别订交于点4、B1）求A、B两点的坐标。（2）一个圆心在坐标原点，半径为1的圆以0.4个单位/秒的速度向x轴正方向运动，问在什么时辰与直线l相切？（3）在题（2）中若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以0.5个单位/秒的速度运动，问整个运动过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多少时间？ylOAxB解析：（1）较简单2）可先设想圆运动至与直线l相切的地址后，再借助图形利用相似获得结果，应试虑切点在点A的右侧的状况。（3）点P在动圆的圆面上运行的行程应是以点A左侧与动圆的切点至A点右侧与动圆的动点之间的线段长，可得结论。解：（1）在y3x3中4令x＝0，得y＝－3令y＝0，得x＝4∴A、B两点的坐标分别为A（4，0），B（0，－3）（2）如图若动圆的圆心在C处与直线l相切，切点为D连CD，则CD⊥AD∴∠CDA＝∠AOB＝90°又∠CAD＝∠BAORtCAD~RtBAOCDACBOAB1AC，AC5353OC574337S335t(秒)依照对称性，圆C还可能在直线l的右侧，与直线l相切517此时OC433S17853t(秒)v6综上所述，动圆与直线l相切时，动圆运动的时间为35秒和85秒。66（3）如图设在t秒时辰，动圆的圆心在

F处，动点在

P点处＃‰此时OF＝，BP＝F点的坐标为（，0），连

PFOF

4BPOA

05.t4

5又BA5OFOABPBAFP//OB，FPOA∴点P的横坐标为又点P在直线AB上∴P点的纵坐标为－3可见，当PF＝1时，点P在动圆上当0≤PF<1时，点P在动圆内当PF＝1时，由对称性知，有两种状况①当P点在x轴下方时，PF＝－（－3）＝1解得t203②当点P在x轴上方时，PF＝－3＝1解得t403当20t40时，0PF1，此时点P在动圆的圆面上33402020所经过的时间为33320答：动点在动圆的圆面上共经过了秒。3经过点动型、线动型、圆动型等