复变函数总结完整版

-.z.复数1=-1欧拉公式z=*+iy实部Rez虚部Imz2运算①②③④⑤共轭复数共轭技巧运算律P1页3代数，几何表示z与平面点一一对应，与向量一一对应辐角当z≠0时，向量z和*轴正向之间的夹角θ，记作θ=Argz=k=±1±2±3…把位于-π＜≤π的叫做Argz辐角主值记作=4如何寻找argz例：z=1-iz=iz=1+iz=-1π5极坐标：，利用欧拉公式可得到6高次幂及n次方但凡满足方程的ω值称为z的n次方根，记作即第二章解析函数1极限2函数极限复变函数对于任一都有与其对应注：与实际情况相比，定义域，值域变化例②称当时以A为极限当时，连续证明在每一点都连续证：所以在每一点都连续3导数例2时有证：对有所以例3证明不可导解：令当时，不存在，所以不可导。定理：在处可导u，v在处可微，且满足C-R条件且例4证明不可导解：其中u,v关于*,y可微不满足C-R条件所以在每一点都不可导例5解：不满足C-R条件所以在每一点都不可导例6：解：其中根据C-R条件可得所以该函数在处可导4解析假设在的一个邻域内都可导，此时称在处解析。用C-R条件必须明确u,v四则运算☆例：证明解：则任一点处满足C-R条件所以处处解析练习：求以下函数的导数解:所以根据C-R方程可得所以当时存在导数且导数为0，其它点不存在导数。初等函数Ⅰ常数Ⅱ指数函数①定义域②③④Ⅲ对数函数称满足的叫做的对数函数，记作分类：类比的求法〔经历〕目标：寻找幅角主值可用：过程：所以例：求 的值Ⅳ幂函数对于任意复数，当时例1：求的值解：例2：求Ⅴ三角函数定义：对于任意复数，由关系式可得的余弦函数和正弦函数例：求解：第三章复变函数的积分1复积分定理3.1设C是复平面上的逐段光滑曲线在C上连续，则在C上可积，且有注：①C是线②方式跟一元一样方法一：思路：复数→实化把函数与微分相乘，可得方法二：参数方程法☆核心：把C参数C：例：求①C：0→的直线段②；解：①C：②结果不一样2柯西积分定理例：C：以a为圆心，ρ为半径的圆，方向：逆时针解：C：积分与路径无关：①单联通②处处解析例：求，其中C是连接O到点的摆线：解：，直线段L与C构成一条闭曲线。因在全平面上解析，则即把函数沿曲线C的积分化为沿着直线段L上的积分。由于故*关键：①恰当参数②适宜准确带入z3不定积分定义3.2设函数在区域D内连续，假设D内的一个函数满足条件定理3.7假设可用上式，则例：计算解：练习：计算解：4柯西积分公式定理处处解析在简单闭曲线C所围成的区域内则例1：解：例2：解：例3：解：注：①C：②一次分式③找到在D内处处解析例4：解：5解析函数的高阶导数公式：n=1，2……应用要点：①②③精准别离例：6调和函数假设满足则称叫做D内的调和函数假设在D内解析所以把称为共轭调和函数第四章级数理论1复数到距离谈极限对假设有使得此时为的极限点记作或推广：对一个度量空间都可谈极限2极限的性质34级数问题局部和数列假设则收敛，反之则发散。性质：1假设都收敛，则收敛2假设一个收敛，一个发散，可推出发散3假设绝对收敛假设但收敛，为条件收敛等比级数：时收敛，其他发散幂级数则求收敛域例：求的收敛半径及收敛圆解：因为所以级数的收敛半径为R=1，收敛圆为泰勒级数泰勒定理：设函数在圆K：内解析，则在K内可以展成幂级数其中，，〔n=0,1,2……〕，且展式还是唯一的。例1：求在处的泰勒展式解：在全平面上解析，，所以在处的泰勒展式为例2：将函数展成的幂级数解：罗朗级数罗朗定理假设函数在圆环D：内解析，则当时，有其中例：将函数在圆环〔1〕〔2〕内展成罗朗级数。解：〔1〕在，由于，所以〔2〕在，由于，所以孤立奇点定义：假设函数在的去心邻域内解析，在点不解析，则称为的孤立奇点。例：为可去奇点为一级极点为本性奇点第5章留数理论〔残数〕定义：设函数以有限项点为孤立奇点，即在的去心邻域内解析，则称积分的值为函数在点处的留数记作：其中，，C的方向是逆时针。例1：求函数在处的留数。解：因为以为一级零点，而，因此以为一级极点。例2：求函数在处的留数解：是的本性奇点，因为所以可得傅里叶变换通过一种途径使复杂问题简单化，以便于研究。定义：对满足*些条件的函数在上有定义，则称为傅里叶变换。同时为傅里叶逆变换注：①傅里叶变换是把函数变为函数②傅里叶逆变换是把函数变为函数③求傅里叶变换或傅里叶逆变换，关键是计算积分④两种常见的