九年级中考数学平行四边形解答题压轴题提高专题练习及答案

九年级中考数学平行四边形解答题压轴题提高专题练习及答案一、平行四边形1.已知，在矩形ABCD中，AB=a,BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动.图1 部 图3(1)如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时，请证明/BMC=90;(2)如图2,当b>2a时，点M在运动的过程中，是否存在/BMC=90,若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；(3)如图3,当bv2a时，(2)中的结论是否仍然成立？请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)存在，理由见解析；(3)不成立.理由如下见解析.【解析】试题分析：(1)由b=2a,点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a,又由四边形ABCD是矩形，即可求得ZAMB=ZDMC=45,则可求得/BMC=90;(2)由ZBMC=90,易证得△ABMs^DMC,设AM=x,根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2-bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定4〉。，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；(3)由(2),当bv2a,a>0,b>0,判定方程x2-bx+a2=0的根的情况，即可求得答案.试题解析：(1).「b=2a,点M是AD的中点，.•.AB=AM=MD=DC=a,又在矩形ABCD中，/A=ZD=90,/AMB=ZDMC=45；/BMC=90:(2)存在，理由：若ZBMC=90,则/AMB+/DMC=90,又「ZAMB+ZABM=90,/ABM=ZDMC,又:/A=/D=90,••.△ABM^ADMC,am^AB"CDDM'设AM=x，则3-a-,abx

整理得：x2-bx+a2=0,,.b>2a,a>0,b>0,.•.△=b2-4a2>0,，方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，・・.当b>2a时，存在/BMC=90；（3）不成立.理由：若/BMC=90,由（2）可知x2-bx+a2=0,,.b<2a,a>0,b>0,△=b2-4a2v0,・♦.方程没有实数根，・•・当bv2a时，不存在/BMC=90；即（2）中的结论不成立.考点：1、相似三角形的判定与性质； 2、根的判别式；3、矩形的性质2.操作：如图，边长为2的正方形ABCD,点P在射线BC上，将4ABP沿AP向右翻折，得到AAEP,DE所在直线与AP所在直线交于点F.探究：（1）如图1,当点P在线段BC上时，①若/BAP=30,求/AFE的度数；②若点E恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点 P会在线段BC的什么位置？并求出此时/AFD的度数.归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B,C重合），/AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图2,若点P在BC边的延长线上时，/AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论.DE2【答案】（1）①45。；②BC的中点，45。；（2）不会发生变化，证明参见解析；（ 3）不会发生变化，作图参见解析.【解析】试题分析：（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出/DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可； ②由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1,连接BE交AF于点O,作EG//AD,彳导EG//BC,得到AF垂直平分BE,进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（ 2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B,C重合），/AFD的度数不会发生变化，作AG±DF于点G,如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出 /1+/2的度数，即为ZFAG

度数，即可求出/F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，/AFD的度数不会发生变化，理由为：作 AGLDE于G,得/DAG=/EAG,设/DAG=ZEAG=%根据/FAE为/BAE一半求出所求角度数即可.试题解析：（1）①当点P在线段BC上时，/EAP》BAP=30,，/DAE=90-30°X2=30,°在△ADE中，AD=AE,/DAE=30°,../ADE=/AED=（180-30°）+2=75,°在△AFD中，ZFAD=30+30=60°,ZADF=75°,ZAFE=180-60-75=45°;②点E为DF的中点时，P也为BC的中点，理由如下：如图1,连接BE交AF于点O,作EG//AD,彳导EG// BC, = EG// AD,DE=EF，EG='AD=1,•••AB=AE,.••点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点 P在线段BE的垂直平分线上， ，AF垂直平分线段BE,••.OB=OE)/GE//BP, /OBP=/OEG,/OPB=/OGE,.-.ABOP^AEOG,•.BP=EG=1,即P为BC的中点，・./DAF=90,/BAF,/ADF=45+2BAF,/AFD=180-/DAF-/ADF=45;°(2)/AFD的度数不会发生变化，作AG^DF于点G,如图1(a)所示，/1=/BAP, 1+/2=7*9=45在4ADE中，AD=AE,AG±DE,「AG平分/DAE,即/2=/DAG,/1=/BAP, 1+/2=7*9=45；即/FAG=45,°则/AFD=90-45=45;(3)如图2所示，/AFE的大小不会发生变化， /AFE=45,A作AG±DE于G,得/DAG=ZEAG,设/DAG=ZEAG通,111ZBAE=90°+2.kZFAE=/BAE=45°,+忘/FAG=ZFAE-/EAG=45；在RtAAFG中,ZAFE=90-45=45:考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质

3.操作与证明：如图1,把一个含45。角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点 C重合，点E、F分别在正方形的边CBCD上,连接AF.取AF中点M,EF的中点N,连接MD、MN.（1）连接AE,求证：4AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论.结论1:DM、MN的数量关系是结论2：DM、MN的位置关系是拓展与探究：（3）如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180。，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出 CE=CF继而证明出△ABE^^ADF,得到AE=AF，从而证明出4AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论 .位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE,交MD于点G,标记出各个角，首先证明出1MN//AE,MN='aE,利用三角形全等证出AE=AF,而DM=^AF,从而得到DM,MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到/DMN=/DGE=90,从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）二.四边形ABCD是正方形，，AB=AD=BC=CD/B=/ADF=90,=△CEF是等腰直角三角形， /C=90,，CE=CF..BC-CE=C>CF,即BE=DF，.•.△ABE^AADF,AE=ARAAEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直； 二,在Rt^ADF中DM是斜边AF的中线，，AF=2DM,/MN是4AEF的中位线，AE=2MN,-.AE=AF,..DM=MN;-/DMF=/DAF+/ADM,AM=MD,•••/FMN=ZFAE/DAF=ZBAE, /ADM=/DAF=ZBAE,./DMN=/FMN+/DMF=/DAF+/BAE+ZFAE=/BAD=90 .DM，MN;（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE,交MD于点G,二•点M为AF的中点，点N为EF的中点，1.MN//AE,MN=?AE,由已知得，AB=AD=BC=CD/B=/ADF,CE=CF又.・BC+CE=CD+CF即BE=DF；/.AABE^AADF,，AE=AF,在Rt^ADF中，••点M为AF的中点，DM=2AF,DM=MN,•••AABE^AADF,，/1=/2,-.AB//DF,，/1=/3,同理可证：Z2=Z4,，/3=/4,•••DM=AM,，/MAD=/5,ZDGE=Z5+Z4=ZMAD+Z3=90,°/MN//AE,../DMN=/DGE=90.DM，MN.所以(2)中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质； 3.三角形中位线定理；4.旋转的性质.4.在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0,0),点A(5,0),点B(0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBQ得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F.(1)如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；(2)如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H.①求证△ADB0^AOB;②求点H的坐标.(3)记K为矩形AOBC对角线的交点，S为4KDE的面积，求S的取值范围(直接写出结果即可)【答案】(1)D(1,3);(2)①详见解析；②H(g,3);(3)303.34w^03v344 4【分析】(1)如图①，在Rt^ACD中求出CD即可解决问题；(2)①根据HL证明即可；②，设AH=BH=m,则HC=BC-BH=5-m在Rt^AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；(3)如图③中，当点D在线段BK上时，4DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，E'峰面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】(1)如图①中，图①-A(5,0),B(0,3),.•.OA=5,OB=3,•・四边形AOBC是矩形，.•.AC=OB=3,OA=BC=5,/OBC=/C=90；••矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，.•.AD=AO=5,在Rt^ADC中，CD=JAD2AC2=4,BD=BC-CD=1,••D(1,3).(2)①如图②中，圉②由四边形ADEF是矩形，得到/ADE=90°,•・・点D在线段BE上，/ADB=90;由(1)可知，AD=AO,又AB=AB,ZAOB=90°,•••RtAADBZRtAAOB(HL).②如图②中，由△ADB^^AOB,得到/BAD=/BAO,又在矩形AOBC中，OA//BC,

/CBA=/OAB,/BAD=ZCBA,，BH=AH,设AH=BH=m,贝UHC=BGBH=5-m,在RtAAHC中，•••AH2=hC2+AC2,1.m2=32+(5-m)2,.-.m=17,517・•.BH=—517.•.H(——17.•.H(——3)3X3X1 1(3)如图③中，当点D在线段BK上时，4DEK的面积最小，最小值=-?DE?DK=-2 2TOC\o"1-5"\h\z当点D在BA的延长线上时，ADEK的面积最大，最大面积=1XDE，KD，1X3X2 2(5+/4)=3037342 4综上所述，303,34 303,34.\o"CurrentDocument"4 4【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题.5.如图，四边形ABCD中，/BCD=/D=90°,E是边AB的中点.已知AD=1,AB=2.(1)设BC=x,CD=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)当/B=70。时，求/AEC的度数；(3)当4ACE为直角三角形时，求边BC的长.

【答案】（1）yJx22x3 0X3；（2）/AEO105。；（3）边BC的长为2或」.2【解析】试题分析：（1）过A作AH，BC于H,得到四边形ADCH为矩形.在4BAH中，由勾股定理即可得出结论.（2）取CD中点T,连接TE,则TE是梯形中位线，得ET//AD,ET±CD,ZAET=ZB=70:又AD=AE=1,得到ZAED=ZADE=ZDET=35°.由ET垂直平分CD,得/CET=/DET=35°,即可得到结论.（3）分两种情况讨论：①当/AEO90°时，易知△CBE^△CAE^△CAD,得/BCE=30°,解4ABH即可得到结论.②当/CAE=90°时，易知△CDA^^BCA,由相似三角形对应边成比例即可得到结论.试题解析：解：（1）过A作AHLBC于H.由/D=/BCD=90°,得四边形ADCH为矩形.在4BAH中，AB=2,ZBHA=90°,AH=y,HB=X1,/.22y2 x12,贝uy x22x3 0x3（2）取CD中点T,联结TE,则TE是梯形中位线，得ET//AD,ET±CD,/AET=ZB=70:又AD=AE=1, ZAED=ZADE=ZDET=35°.由ET垂直平分CD,得/CET=/DET=35°,•••/AEG70+35=105:(3)分两种情况讨论：则在4ABH中，/B=60°：当/AEC=90°时，易知/AHB=90°,AB=2,得△CBE^△CAE^△CAD,得/BCE=30°,BH=1,•••/AEG70+35=105:(3)分两种情况讨论：则在4ABH中，/B=60°：当/AEC=90°时，易知/AHB=90°,AB=2,得△CBE^△CAE^△CAD,得/BCE=30°,BH=1,于是BC=2.当/CAE=90°时，易知△CD2"CA,又ACBC2AB2 .x24则股CAACCB1

x2=4x241.17（舍负）易知/ACM90。,~， ，，，，1所以边BC的长为1・万综上所述：边BC的长为2或21 17点睛：本题是四边形综合题.考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质.解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法.6.如图(1)在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE,彳BF，AE,垂足为G交AD于F(1)求证：AF=DE；(2)连接DG,若DG平分/EGF，如图(2),求证：点E是CD中点；(3)在(2)的条件下，连接CG,如图(3),求证：CG=CD.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)CG=CD,见解析.【解析】【分析】(1)证明ABAF^AADE(ASA)即可解决问题.(2)过点D作DM^GF,DNLGE,垂足分别为点M,N.想办法证明AF=DF,即可解决问题.(3)延长AE,BC交于点P,由(2)知DE=CD,利用直角三角形斜边中线的性质，只要证明BC=CP即可.【详解】(1)证明：如图1中，Afn冈在正方形ABCD中，AB=AD,/BAD=/D=900,/2+Z3=90°又「BFLAE,/AGB=90°/1+/2=90°,Z1=/3在^BAF与AADE中，/1=/3BA=AD/BAF=ZD,・.△BAF^MDE(ASA).•.AF=DE.(2)证明：过点D作DM^GF,DN^GE,垂足分别为点M,N.由(1)得/1=/3,/BGA=/AND=90°,AB=AD••.△BAG^AADN(AAS).•.AG=DN,又DG平分/EGF,DMXGF,DNXGE,.•.DM=DN,.•.DM=AG,又/AFG=/DFM,/AGF=/DMF••.△AFG^ADFM(AAS),1 1•.AF=DF=DE=—AD=—CD,2 2即点E是CD的中点.(3)延长AE,BC交于点P,由(2)知DE=CD,图3/ADE=/ECP=90:/DEA=/CEP••.△ADE^APCE(ASA).•.AE=PE,又CE//AB,BC=PC,在Rt^BGP中，BC=PC,.•.CG=-BP=BC,.•.CG=CD.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题.7.如图，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120°,AAEF为正三角形，E、F在菱形的边BC,CD上.(1)证明：BE=CF(2)当点E,F分别在边BC,CD上移动时(4AEF保持为正三角形)，请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变,求出这个定值；如果变化，求出其最大值.(3)在(2)的情况下，请探究^CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如【解析】试题分析：(1)先求证AB=AC,进而求证^ABC4ACD为等边三角形，得/4=60°,AC=AB进而求证△ABE^^ACF,即可求得BE=CF(2)根据△AB®4ACF可得Saabe=S^acf,故卞||据S四边形AECf=SkXAEC+SaACF=SkAEC+SaABE=SaABC即可解题；(3)当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短.4AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据SAce尸S四边形aecfSxaef,则△CEF的面积就会最大.试题解析：(1)证明：连接AC,•••/1+/2=60；Z3+Z2=60；/1=73,•••/BAD=120,°/ABC=ZADC=60°••・四边形ABCD是菱形，，AB=BC=CD=AD・•.△ABGAACD为等边三角形/4=60；AC=AB,・•・在4ABE和AACF中，fZl=Z3但AC ,[ZABC=Z4••.△ABE^AACF7.（ASA），BE=CF（2）解：由（1）得△ABE0^ACF,则Saabe=Saacf.故S四边形AECF=S\AEc+SaACF=SaAEC+SaABE=SaABC,是定值.作AH^BC于H点,贝UBH=2S四边形AEC尸S\ABC= ■=4(3)解：由ft线段最短”可知，当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短.故4AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时,正三角形AEF的面积会最小，又Sace=S四边形aecf-Saaef,则Z\CEF的面积就会最大.由(2)得，Sacef=S四边形AECF—SaAEF=4B X&坊）5-（旧）2『巧点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证 △abe^^acf是解题的关键.8.（问题情境）在△ABC中，AB=AC,点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD）±AB,PHAC,垂足分别为D、E,过点C作CF，AB,垂足为F.当P在BC边上时（如图1）,求证：PD+PE=CF.证明思路是：如图2,连接AP,由4ABP与4ACP面积之和等于4ABC的面积可以证得：PD+PE=CF.（不要证明）（变式探究）（1）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）,试探索PD、PECF之间的数量关系并说明理由；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）（2）如图4,将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PGJ±BE、PH^BC,垂足分别为G、H,若AD=16,CF=6,求PG+PH的值.（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线li：y=-^x+8与直线12：y=-2x+8相交于点3A,直线11、12与x轴分别交于点B、点C.点P是直线12上一个动点，若点P到直线11的距离为2.求点P的坐标.【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】 8【迁移拓展】（-1,6）,（1,10）【解析】【变式探究】连接AP,同理利用4ABP与4ACP面积之差等于4ABC的面积可以证得；【结论运用】过点E作EQLBC,垂足为Q,根据勾股定理和矩形的性质解答即可；【迁移拓展】分两种情况，利用结论，求得点 P到x轴的距离，再利用待定系数法可求出 P的坐标.【详解】变式探究：连接AP,如图3:丫飞B图③©.-PD±AB,PE±AC,CFXAB,且Saabc=S^acp-S^abp,1 1 1-AB?CF=—AC?P曰-AB?PD.2 2 2-.AB=AC,.•.CF=PD-PE;结论运用：过点E作EQ±BC,垂足为Q,如图④，••・四边形ABCD是长方形，.•.AD=BC,ZC=ZADC=90..AD=16,CF^6,BF=BC-CF^AD-CE5,由折叠可得：DF=BF,ZBEF=ZDEF..•.DF=5.••ZC=90,・DC=VdP—CF7 0262=8-EQ±BC,ZC=ZADC=90,ZEQG=90=ZC=ZADC.二•四边形EQCD是长方形.EQ=DC=4.1.AD//BC,ZDEF^ZEFB.••ZBE曰ZDEF,ZBE曰ZEFB..•.BE=BF,由问题情境中的结论可得： PG+P+EQ.，PG+Pk8.•.PG+PH的值为8;迁移拓展：如图,由题意得：A(0,8),B(6,0),C(—4,0)・AB=J6282=10,BO10.，AB=BC,(1)由结论得：PiDi+PiEi=OA=8.PiDi=1=2,•PiEi=6即点Pi的纵坐标为6又点Pi在直线12上，y=2x+8=6,x=-1,即点Pi的坐标为(-1,6);(2)由结论得：P2E2-P2D2=OA=8.P2D2=2,•.P2E2=10即点Pi的纵坐标为10又点Pi在直线12上，.y=2x+8=10)..x=1,即点Pi的坐标为(1,10)【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点，利用面积法列出等式是解决问题的关键.9.如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE=AC,连接AE,点F是AE的中点，连接BF、DF求证：BFXDF.【解析】【分析】延长BF,交DA的延长线于点M,连接BD,进而求证△AFM^^EFB,彳#AM=BE,FB=FM,即可求得BC+BE=AD+AM,进而求得BD=BM,根据等腰三角形三线合一的性质即可求证BF±DF.【详解】延长BF,交DA的延长线于点M,连接BD..・四边形ABCD是矩形，，MD//BC,../AMF=/EBF,/E=/MAF,又FA=FE••.△AFM^AEFB,，AM=BE,FB=FM...矩形ABCD中，AC=BD,AD=BC,..BC+BE=AD+AM,即CE=MD.•.CE=AC,.1.AC=CE=BD=DM.•••FB=FM, BF±DF.【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，本题中求证DB=DM是解题的关键.10.正方形ABCD,点E在边BC上，点F在对角线AC上，连AE.⑴如图1,连EF,若EF±AC,4AF=3AC,AB=4,求4AEF的周长；(2)如图2,若AF=AB,过点F作FGJ±AC交CD于G,点H在线段FG上(不与端点重合),连AH.若/EAH=45°,求证：EOHG+2FC.圉［ 图2【答案】(1)2754J2;(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由正方形性质得出AB=BC=CD=AD=4,/B=/D=90°,/ACB=/AC*/BAC=/AC445；得出AC=&AB=4短,求出AF=3丘,C3AC-AF=短,求出^CEF是等腰直角三角形，得出EF=CF=J],CE=J2CF=2,在Rt^AEF中，由勾股定理求出AE,即可得出4AEF的周长；(2)延长GF交BC于M,连接AG,则△CGM和△CFG是等腰直角三角形，得出CM=CG,CG=J2CF,证出BM=DG,证明RtAAFG^RtAADG得出FG=DG,BM=FG,再证明△ABE^^AFH,得出BE=FH,即可得出结论.【详解】(1)二.四边形ABCD是正方形，,-.AB=BC=CD=AD=4,/B=/D=90；ZACB=ZACD=ZBAC=ZACD=45°,.AC=22AB=472，「4AF=3AC=12V2，•・AF=3T2，.•.CF=AC-AF=2，EF±AC,•.△CEF是等腰直角三角形，EF=CF=2，CE=2CF=2,在Rt^AEF中，由勾股定理得：AE=JAF2EF22J5，•.△AEF的周长=AE+EF+AF=2石43五2庭4五；(2)证明：延长GF交BC于M,连接AG,如图2所示：款则△CGM和△CFG是等腰直角三角形,.•.CM=CG,CG=5/2CF,.•.BM=DG,.AF=AB,.•.AF=AD,在Rt^AFG和Rt^ADG中，AGAGAFAD'••RtAAF8RtAADG(HL),FG=DG,.1.BM=FG,

••/BAC=/EAH=45；/BAE=/FAH,-.FG±AC,/AFH=90；在^ABE和^AFH中，BAFH90ABAF ,BAEFAH•.△ABE^AAFHI(ASA),.•.BE=FH,.BM=BE+EM,FG=FH+HG,.•.EM=HG,.EC=EM+CM,CM=CG=2CF,.•.EC=HG+_2FC.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.11.如图1,矩形ABCD中，AB=8,AD=6;点E是对角线BD上一动点，连接CE,作EF!CE交AB边于点F,以CE和EF为邻边作矩形CEFG,作其对角线相交于点H.(1)①如图2,当点F与点B重合时，CE=,CG=;②如图3,当点E是BD中点时，CE=,CG=;(2)在图1,连接BG,当上!形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想4EBG的形状？并加以证明；(3)在图1,CG■的值是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由；(4)在图1,设DE的长为x,矩形(3)在图1,CG■的值是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由；(4)在图1,设DE的长为x,矩形CEFG的面积为S,试求S关于x的函数关系式，并直24一518154EBG是直角三角形，理由详见解析;S=3x2-48—x+485(0Wx32)5【解析】【分析】(1)①利用面积法求出CE,再利用勾股定理求出EF即可；②利用直角三角形斜边中线定理求出CE,再利用相似三角形的性质求出 EF即可；(2)根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形即可判断；(3)只要证明△DCa4BCG,即可解决问题；(4)利用相似多边形的性质构建函数关系式即可；【详解】(1)①如图2中，在RtABAD中,在RtABAD中,BD=AD2AB2=10,1•••Sbcd=-?CD?BC=-?BD?C^郢郢“EkCG=BE=62(24)2=1855 5②如图3中，过点E作MN，AM交AB于N,交CD于M.,.DE=BE1.•.CE=-BD=5,2•.△CME^AENF,CMENCEEF'.•.CG=EF=15,4(2)结论：AEBG是直角三角形.理由：如图1中，连接BH.

在Rt^BCF在Rt^BCF中，•.FH=CHI,•.BH=FH=CH•・四边形EFGC是矩形，.EH=HG=HF=HC.•.BH=EH=HG,•.△EBG是直角三角形.(3)F如图1中，..HE=HC=HG=HB=HF・•・C、E、F、B、G五点共圆，EF=CG/CBG=ZEBF,CD//AB,/EBF=ZCDE,/CBG=ZCDE•••/DCB=ZECG=90,°/DCE=ZBCG.-.△DCE^ABCG,CGBC63一 ——.CEDC84(4)由(3)可知：CGCD3CECB4'矩形CEF6矩形ABCD,S巨形CEFGS巨形ABCD骨2CE264，-CE2=(32-x)2+24)5S矩形abcd=48,S矩形CEF百一［432(g-x)2+学2].，矩形CEFG的面积S=-x2- x+48(0Wx颦).4 5 5【点睛】本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质、相似多边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或直角三角形解决问题，属于中考压轴题.12.小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是： ①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)使AB与DC重合，得到折痕EF,把纸片展平；②沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处，再折出PB、PC,最后用笔画出4PBC图1).(1)求证：图1中的/iPBC是正三角形：(2)如图2,小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN,其中IJ=6cm,且HM=JN.①求证：IH=IJ②请求出NJ的长；(3)小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm,当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同.请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可 )，并直接写出对应的a的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②12 -6百(3) 3j3vav4，3, a>4..3【解析】分析：(1)由折叠的性质和垂直平分线的性质得出 PB=PCPB=CB得出PB=PC=CEHP可；(2)①利用"HlffiRt^IHM^Rt^IJN即可得；②IJ上取一点Q,使QI=QN,由RtAIHM^Rt^IJN知/HIM=/JIN=15；继而可得ZNQJ=30°,设NJ=x,贝UIQ=QN=2x、QJ=J3x,根据IJ=IQ+QJ求出x即可得；(3)由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可.(1)证明：二.①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)使AB与DC重合，得到折痕EF.•.PB=PC•••沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处.•.PB=BCPB=PC=BC・•.△PBC是正三角形：(2)证明：①如图$$..矩形AHIJ/H=ZJ=90°•••△MNJ是等边三角形.•.MI=NI在RtAMHI和R「JNI中MINIMHNJ•••RtAMHI^RtAJNI(HL).•.HI=IJ②在线段IJ上取点Q,使IQ=NQQ•••RtAIHM^RtAIJN,/HIM=ZJIN,•••/HIJ=90、/MIN=60；/HIM=ZJIN=15,°由QI=QN知/JIN=/QNI=15,/NQJ=30,°设NJ=x,则IQ=QN=2x,QJ=QN2NJ2=J3x,IJ=6cm,2x+,3x=6,.・x=12-6内，即NJ=12-6百(cm).(3)分三种情况：设等边三角形的边长为 b,则0vbw。

则tan60=点一.・.a=0,2•-0<b<6-^3-=3s/3;2②如图②如图当DF当DF与DC重合时，DF=DE=。，a=sin60xD6当6当DE与DA重合时，a=sin60A4/3V3 ,23x/3<a<3x/3<a<4收③如图•••△DEF是等边三角形③如图•••△DEF是等边三角形//FDC=301•DF=cos301•DF=cos306— 4.33•'a>4\/3点睛：本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大.13.如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，连结C匕过顶点C作C。CE,交AD延长线于F.求证：BE=DF.一【答案】证明见解析.【解析】分析：根据正方形的性质，证出BC=CQZB=ZCDF,/BCD=90,再由垂直的性质得到/BCE=ZDCF,然后根据“ASA明△BC珞△BCE即可得到BE=DF详解：证明：•-CF±CE,/ECF=90,°又「/BCG=90,•••/BCE-+ZECD=ZDCF-+ZECD/BCE=ZDCF,在△BCE与△DCF中，•••/BCE=ZDCF,BC=CD/CDF=ZEBG.,.△BCE^ABCE(ASA),.•.BE=DF.点睛：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键.14.正方形ABCD的边长为1,对角线AC与BD相交于点。，点E是AB边上的一个动点(点E不与点A、B重合)，CE与BD相交于点F,设线段BE的长度为x.(1)如图1,当AD=2OF时，求出x的值;(2)如图2,把线段CE绕点E顺时针旋转90°,使点C落在点P处，连接AP,设△APE的面积为S,试求S与x的函数关系式并求出S的最大值.【答案】(1)x招-1;ILII11S=-2(x-7)2+H(0vxv1),1当x#时，S的值最大，最大值为百，【解析】试题分析：(1)过O作OM//AB交CE于点M,如图1,由平行线等分线段定理得到CM=ME,根据三角形的中位线定理得到 AE=2OM=2OF,得至UOM=OF,于是得到BF=BE=x1-X 1-X42 *-=求得OF=OM=2解方程工2,即可得到结果；(2)过P作PG±AB交AB的延长线于G,如图2,根据已知条件得到/ECB4PEG根据1全等三角形的性质得到EB=PG=x由三角形的面积公式得到S=(1-x)?x,根据二次函数的性质即可得到结论.试题解析：(1)过O作OM//AB交CE于点M,如图1,,.OA=OC,.•.CM=ME,.•.