大学高等数学学生必备课件

一、罗尔(Rolle)定理例如,第1页/共24页一、罗尔(Rolle)定理例如,第1页/共24页1点击图片任意处播放\暂停物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.几何解释:第2页/共24页点击图片任意处播放\暂停物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬2证第3页/共24页证第3页/共24页3第4页/共24页第4页/共24页4注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,又例如,第5页/共24页注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.5例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,第6页/共24页例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,第6页/共26二、拉格朗日(Lagrange)中值定理第7页/共24页二、拉格朗日(Lagrange)中值定理第7页/共24页7几何解释:证分析:弦AB方程为第8页/共24页几何解释:证分析:弦AB方程为第8页/共24页8作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.第9页/共24页作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一9拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论第10页/共24页拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增10例2证第11页/共24页例2证第11页/共24页11例3证由上式得第12页/共24页例3证由上式得第12页/共24页12三、柯西(Cauchy)中值定理第13页/共24页三、柯西(Cauchy)中值定理第13页/共24页13几何解释:证作辅助函数第14页/共24页几何解释:证作辅助函数第14页/共24页14第15页/共24页第15页/共24页15例4证分析:结论可变形为第16页/共24页例4证分析:结论可变形为第16页/共24页16四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.第17页/共24页四、小结RolleLagrangeCauchy罗尔定理、拉格17思考题

试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.第18页/共24页思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不18思考题解答不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.第19页/共24页思考题解答不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区间内可微19练习题第20页/共24页练习题第20页/共24页20第21页/共24页第21页/共24页21第22页/共24页第22页/共24页22练习题答案第23页/共24页练习题答案第23页/共24页23感谢您的观看！第24页/共24页感谢您的观看！第24页/共24页24一、罗尔(Rolle)定理例如,第1页/共24页一、罗尔(Rolle)定理例如,第1页/共24页25点击图片任意处播放\暂停物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.几何解释:第2页/共24页点击图片任意处播放\暂停物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬26证第3页/共24页证第3页/共24页27第4页/共24页第4页/共24页28注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,又例如,第5页/共24页注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.29例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,第6页/共24页例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,第6页/共230二、拉格朗日(Lagrange)中值定理第7页/共24页二、拉格朗日(Lagrange)中值定理第7页/共24页31几何解释:证分析:弦AB方程为第8页/共24页几何解释:证分析:弦AB方程为第8页/共24页32作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.第9页/共24页作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一33拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论第10页/共24页拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增34例2证第11页/共24页例2证第11页/共24页35例3证由上式得第12页/共24页例3证由上式得第12页/共24页36三、柯西(Cauchy)中值定理第13页/共24页三、柯西(Cauchy)中值定理第13页/共24页37几何解释:证作辅助函数第14页/共24页几何解释:证作辅助函数第14页/共24页38第15页/共24页第15页/共24页39例4证分析:结论可变形为第16页/共24页例4证分析:结论可变形为第16页/共24页40四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.第17页/共24页四、小结RolleLagrangeCauchy罗尔定理、拉格41思考题

试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.第18页/共24页思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不42思考题解答不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.第19页/共24页思考题解答不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区间内可微43练习题第20页/