2022-2023学年北京市海淀区九年级(上)期中数学综合复习卷

2022-2023学年北京市海淀区九年级（上）期中数学综合复习卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）将一元二次方程 化成一般形式后，它的一次项系数( )B.2 C. D.下列品牌的标识中，是轴对称图形但不是中心对称图形的( )B.C. D.将抛物线 向左平个单位，再向下平个单位后所得抛物线的解析式( )B. C. D.𝑥𝑦人，则缺人，求全班人数的正确的方程组( )A. 7𝑦=𝑥−3 B.{7𝑦=𝑥+3

7𝑥=𝑦+3

7𝑥=𝑦−3{8𝑦=𝑥+5

8𝑦=𝑥−5

{8𝑥=𝑦−5

{8𝑥=𝑦+55. 如图⊙𝑂的直径⊙𝑂的弦．∠𝐵𝐴𝐷=24°，∠𝐶的度数( )A.24°B.56°C.66°D.76°6. △𝐴𝐵𝐶=67°△𝐴𝐵𝐶𝐴△𝐴𝐵′𝐶′的位置，𝐶𝐶′//𝐴𝐵，则旋转角的度数( )A.46°B.50°C.65°D.67°第1页，共15页7. 已知二次函𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象如图所示，则𝐴(𝑎𝑐,𝑏+𝑐)落在( )第一象限第二象限第三象限第四象限8. 若函𝑦=2𝑥+𝑏2−9是正比例函数，𝑏的值为( )A.𝑏=3 B.𝑏=9 C.𝑏=0 D.𝑏=±3二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9. 已知𝐴(𝑥−2,3)𝐵(𝑥,𝑦)关于原点对称，𝑥𝑦的值．10.若函数𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线𝑦=−2𝑥2−2𝑥+相同，则此函数关系式．11.如图所示，点𝐴在半径为20的圆𝑂上，以𝑂𝐴为一条对角线作矩形𝑂𝐵𝐴𝐶，设直𝐵𝐶交𝑂𝐷𝐸两点𝑂𝐶=则线𝐶𝐸𝐵𝐷的长度差．12.已知抛物𝑦=𝑥2+2(𝑚+2)𝑥+𝑚2𝑥轴有两个交点，𝑚的取值范．请规范书写出勾股定理内容：直角三角．...《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两;牛二、羊五，直金八两.问：牛、羊各直金几何?”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两;2头牛、5只羊，值金8两.问：每头牛、每只羊各值金多少?”设每头牛值𝑥两，每只羊值𝑦两，可列方程组为 15.如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐴=40°，𝐴𝐵的中垂线𝐴𝐶于𝐸，则∠𝐸𝐵𝐶．第2页，共15页16.二次函𝑦=−2(𝑥−3)(𝑥+的图象𝑦轴的交点坐标．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题5.0分)先化简再求值3 −𝑥−1)

𝑥−2

，其中𝑥是方程𝑥2−2𝑥=0的根．𝑥−118.(本小题5.0分)

𝑥2−2𝑥+1△𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐶==𝐵𝐶𝐹𝐴𝐵𝐴𝐶上，且𝐵𝐸=𝐴𝐹．𝑃𝐸、𝑃𝐹有什么数量和位置关系，并说明理由．(2)当∠𝐸𝑃𝐹在△𝐴𝐵𝐶内绕顶点𝑃旋转时(点𝐸不与𝐴，𝐵重合)，四边形𝐴𝐸𝑃𝐹的面积是否不变？若不变，求出不变的面积的值；若变化，请说明理由．19.(本小题5.0分)如图所示的是某个二次函数的图象．(2)补全函数图象．20.(本小题5.0分)如图，𝐴𝐵=𝐵𝐶，以𝐵𝐶为直径作⊙𝑂，𝐴𝐶交⊙𝑂于点𝐸，过点𝐸作𝐸𝐺⊥𝐴𝐵于点𝐹，交𝐶𝐵的延长线于点𝐺．第3页，共15页(1)求证：𝐸𝐺是⊙𝑂的切线；(2)若𝐺𝐹=2√3，𝐺𝐵=4，求⊙𝑂的半径．21.(本小题5.0分)对于给定的△𝐴𝐵𝐶，我们给出如下定义：若点𝑀是边𝐵𝐶上的一个定点，且以𝑀为圆心的半圆上的所有点都在△𝐴𝐵𝐶的内部或边上，则称这样的半圆为𝐵𝐶边上的点𝑀关于△𝐴𝐵𝐶的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点𝑀关于△𝐴𝐵𝐶的最大内半圆．若点𝑀是边𝐵𝐶上的一个动点(𝑀不与𝐵，𝐶重合)，则在所有的点𝑀关于△𝐴𝐵𝐶的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为𝐵𝐶关于△𝐴𝐵𝐶的内半圆．(1)在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐶=2，①如图1，点𝐷在边𝐵𝐶上，且𝐶𝐷=1，直接写出点𝐷关于△𝐴𝐵𝐶的最大内半圆的半径长；②如图2，画出𝐵𝐶关于△𝐴𝐵𝐶的内半圆，并直接写出它的半径长；(2)在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐸的坐标为(3,0)，点𝑃在直线𝑦=√3𝑥上运动(𝑃不与𝑂重合)，将𝑂𝐸关3于△𝑂𝐸𝑃的内半圆半径记为𝑅，当3≤𝑅≤1时，求点𝑃的横坐标𝑡的取值范围．422.(本小题6.0分)𝑥𝑥(𝑘𝑥−4)−𝑥2+4=(1)4𝑘的值；𝑘的取值范围．23.(本小题6.0分)商店购进一批单价为20元的𝑇恤，经试验发现，每天销售件数𝑦(件)与销售价格𝑥(元/件)满足图中的一第4页，共15页次函数关系．在不积压且不考虑其他因素的情况下24.解方程组：{3+ =(1){2 3=24(2){4+3=3 ．45( 9)=6( 2)25.(本小题6.0分)如图，是⊙的直径，交⊙于点，是 弧上的一点， ⊥ 于点连接 交 于点，是⊙的切线．求证：∠ =2∠ ；若cos∠

2， =10，求 的长．526.(本小题6.0分)解方程+6)=7．用配方法求二次函数=22 8+7图象的对称轴和顶点坐标．27.综合实践问题情境在1所示的直角三角形纸片 中，是斜边 的中点．数学老师让同学们△ 绕中点做图的旋转实验，探究旋转过程中线段之间的关系．第5页，共15页解决问题△𝐴𝐵𝐶𝑂𝐴𝐴′𝐶重合时，𝐵𝐶与𝐵′𝐶′𝐷.⊥𝐵′𝐶．请你帮助他们写出证明过程．数学思考△𝐴𝐵𝐶𝑂𝐴𝐵的对应边𝐴′𝐵′⊥𝐴𝐵𝐴′𝐵′与𝐵𝐶𝐹，𝐵′𝐶′𝐴𝐵𝐸.𝐸𝐷+𝐹𝐷=𝐴𝐶.他们的认识是否正确？请说明理由．再探发现解决完上面两个问题后，“实践小组”的同学们在中连𝑂𝐷，他们认𝐷𝐹，𝐷𝐸与𝑂𝐷也具有一定的数量关系．请你写出这个数量关.(不要求证)28.(本小题7.0分)𝑥𝑂𝑦𝑊𝑙.𝑊𝑄𝑄𝑙的距离小于𝑘𝑊𝑙“𝑘关联”．(1)已知线段𝐴𝐵，其中点𝐴(1,0)，点𝐵(3,0)；已知直=−𝑥−1，则直𝑙与𝑥轴所夹的锐角，𝐴到直𝑙的距离；𝐵直𝑙的距离；若线𝐴𝐵与直𝑙：𝑦=−𝑥−1“𝑘关联”，𝑘的值不能．A.3B.√3C.√2D.1③已知直线𝑦=−𝑥+𝑏.若线段𝐴𝐵与该直线“√2关联”，求𝑏的取值范围；(2)如图2，已知边长为2的等边△𝑃𝑀𝑁的顶点𝑃(𝑎,0)在𝑥轴上运动，且𝑀𝑁⊥𝑥轴，若该等边三角形与第6页，共15页直线𝑦=√3𝑥+1“2关联”，求点𝑃横坐标𝑎的取值范围．3第7页，共15页参考答案𝐵𝐴𝐷𝐴𝐶𝐴𝐴𝐷−310.【答案】𝑦=−2𝑥2+8𝑥或𝑦=−2𝑥2−8𝑥11.【答案】28512.【答案】𝑚>−113.【答案】两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方14.

5𝑥+2𝑦=10【答案】{2𝑥+5𝑦=830度(0,6)17.【答案】解：原式=[3

−(𝑥−1)(𝑥+1)]⋅(𝑥−1)2=−𝑥2−4⋅(𝑥−1)2𝑥−1 𝑥−2=−(𝑥+2)(𝑥−2)⋅(𝑥−1)2

𝑥−1 𝑥−1 𝑥−2𝑥−1 𝑥−2=−(𝑥+2)(𝑥−1)=−𝑥2−𝑥+2，解𝑥2−2𝑥=0得：𝑥1=0，𝑥2=2(使分式无意义，舍去)，∴当𝑥=0时，原式=−0−0+2=2．18.【答案】(1)解：𝑃𝐸=𝑃𝐹且𝑃𝐸⊥𝑃𝐹．理由：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°，∴∠𝐵=∠𝐶=45°，∠𝐵𝐴𝑃=∠𝑃𝐴𝐹=1∠𝐵𝐴𝐶=45°，∠𝐴𝑃𝐵=90°，2∴∠𝐵=∠𝐵𝐴𝑃=∠𝑃𝐴𝐹=45°，∴𝐵𝑃=𝐴𝑃，第8页，共15页在△𝑃𝐵𝐸与△𝑃𝐴𝐹中，𝐵𝑃=𝐴𝑃{∠𝐵=∠𝑃𝐴𝐹，𝐵𝐸=𝐴𝐹∴△𝑃𝐵𝐸≌△𝑃𝐴𝐹(𝑆𝐴𝑆)，∴𝑃𝐸=𝑃𝐹，∠𝐵𝑃𝐸=∠𝐴𝑃𝐹．∵∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐵𝑃𝐸+∠𝐴𝑃𝐸=90°，∴∠𝐸𝑃𝐹=∠𝐴𝑃𝐹+∠𝐴𝑃𝐸=90°，∴𝑃𝐸⊥𝑃𝐹．即𝑃𝐸=𝑃𝐹，𝑃𝐸⊥𝑃𝐹．(2)四边形𝐴𝐸𝑃𝐹面积不变，面积为4．理由：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶=4，∠𝐵𝐴𝐶=90°，∴𝑆 =1𝐴𝐵⋅𝐴𝐶=1×4×4=8．△𝐴𝐵𝐶 2 2∵𝑆四边形𝐴𝐸𝑃𝐹=𝑆△𝐴𝐸𝑃+𝑆△𝑃𝐴𝐹，∵△𝑃𝐵𝐸≌△𝑃𝐴𝐹，∴=，∴𝑆四𝐴𝐸𝑃𝐹=𝑆△𝐴𝐸𝑃+𝑆△𝑃𝐵𝐸=𝑆△𝐴𝐵𝑃．∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐶，∴𝐴𝑃为中线，∴𝑆

=𝑆

=1𝑆 =1×8=4．

△𝐴𝐵𝑃

2 △𝐴𝐵𝐶 219.【答案】解：(1)∵顶点是(−1,−4)，∴设二次函数顶点式解析式为𝑦=𝑎(𝑥+1)2−4，由图可知，函数图象经过点(−3,0)，∴𝑎(−3+1)2−4=0，解得𝑎=1，∴二次函数的解析式为𝑦=(𝑥+1)2−4；(2)∵𝑦=(𝑥+1)2−4=𝑥2+2𝑥−3，∴抛物线与𝑦轴的交点为(0,−3)，∵(−3,0)与点(1,0)关于直线𝑥=−1对称，∴抛物线与𝑥轴的另一个交点为(1,0)，第9页，共15页补全函数图象如图：．20.【答案】解：(1)连接𝑂𝐸．∵𝐴𝐵=𝐵𝐶，∴∠𝐴=∠𝐶；∵𝑂𝐸=𝑂𝐶，∴∠𝑂𝐸𝐶=∠𝐶，∴∠𝐴=∠𝑂𝐸𝐶，∴𝑂𝐸//𝐴𝐵，∵𝐵𝐴⊥𝐺𝐸，∴𝑂𝐸⊥𝐸𝐺，且𝑂𝐸为半径；∴𝐸𝐺是⊙𝑂(2)∵𝐵𝐹𝐺𝐸，∴∠𝐵𝐹𝐺=90°，∵𝐺𝐹=2√3，𝐺𝐵=4，∴𝐵𝐹=√𝐵𝐺2−𝐺𝐹2=2，∵𝐵𝐹//𝑂𝐸，∴△𝐵𝐺𝐹∽△𝑂𝐺𝐸，∴𝐵𝐹=𝐵𝐺，𝑂𝐸 𝑂𝐺∴2= 4 ，𝑂𝐸 4+𝑂𝐸∴𝑂𝐸=4，即⊙𝑂的半径为4．21.【答案】(1)①点𝐷关于△𝐴𝐵𝐶的最大内半圆的半径长是√2；2解：②当𝐷为𝐵𝐶的中点时，𝐵𝐶关于△𝐴𝐵𝐶的内半圆为半圆𝐷，如图2，第10页，共15页它的半径长为1；(2)过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝑂𝐸，与直线𝑦=√3𝑥交于点𝐹，设点𝑀是𝑂𝐸上的动点，3𝑖)当点𝑃在线段𝑂𝐹上运动时(𝑃不与𝑂重合)，𝑂𝐸关于△𝑂𝐸𝑃的内半圆是以𝑀为圆心，分别与𝑂𝑃，𝑃𝐸相切的半圆，𝐷是切点，如图3，连接𝑃𝑀，𝐷𝑀，∵点𝐸的坐标为(3,0)，∴𝑂𝐸=3，∵直线𝑂𝐹：𝑦=√3𝑥，3∴∠𝐹𝑂𝐸=30°，由(1)可知：当𝑀为线段中点时，存在𝑂𝐸关于△𝑂𝐸𝑃的内半圆，则𝑂𝑀=1𝑂𝐸=3，𝐷𝑀=1𝑂𝑀=3，2 2 2 4∴当𝑅=3时，如图3，𝐷𝑀=3，此时𝑃𝑀⊥𝑥轴，𝑃的横坐标𝑡=𝑂𝑀=3；4 4 2如图4，当𝑃与𝐹重合时，𝑀在∠𝐸𝐹𝑂的角平分线上，半圆𝑀分别与𝑂𝐹，𝐹𝐸相切，此时𝑂𝑀=2𝐷𝑀=2𝑀𝐸，∵𝑂𝐸=𝑂𝑀+𝑀𝐸=3，即3𝐷𝑀=3，第11页，共15页∴𝐷M=1，∴𝑅=1，𝑃的横坐标𝑡=𝑂𝐸=3；∴当3≤𝑅≤1时，𝑡的取值范围是3≤𝑡≤3．4 2𝑖𝑖)当点𝑃在𝑂𝐹的延长线上运动时，𝑂𝐸关于△𝑂𝐸𝑃的内半圆是以M为圆心，经过点𝐸且与𝑂𝑃相切的半圆，如图5．∴当𝑅=1时，𝑡𝑡≥3．)𝑃𝐹𝑃𝑂𝐸△𝑃M𝑂且与相切的半圆，如图6．∵∠𝐹𝑂𝐸=∠𝑂𝑃𝐸+∠𝑂𝐸𝑃=30°，∴∠𝑂𝐸𝑃<30°，∴𝑂M<1，当𝑅=3时，如图6，过𝑃作𝑃𝐴⊥𝑥轴于𝐴，𝑁是切点，连接M𝑁，4则M𝑁⊥𝑃𝐸，此时𝑂M=M𝑁=3，M𝐸=3−3=9，4 4 4∴𝐸𝑁=√M𝐸2−M𝑁2=√(9)2−(3)2=3√2，4 4 2𝑅𝑡△𝑂𝑃𝐴中，∠𝑃𝑂𝐴=30°，𝑂𝐴=−𝑡，∴𝑃𝐴=−√3𝑡，3∵∠𝐸𝑁M=∠𝐸𝐴𝑃=90°，∠M𝐸𝑁=∠𝑃𝐸𝐴，第12页，共15页∴△EM𝑁∽△E𝑃𝐴，∴𝑃𝐴

=E𝑁，即43𝐴E 33

3√2= 23−𝑡解得：𝑡=−9+6√6，5∴当3≤𝑅<时，𝑡的取值范围𝑡≤−9+6√6．4 5综上，点𝑃在直线𝑦=√3𝑥上运动时(𝑃不与𝑂重合)，当3≤𝑅≤1时，𝑡的取值范围是𝑡≤−9+6√6或𝑡≥3．3 4 5 222.【答案】解：(1)方程化为：(𝑘−1)𝑥2−4𝑥+4=0，根据题意得𝛥=(−4)2−4(𝑘−1)×4=4，解得𝑘=7；4(2)根据题意得𝑘−1≠0且𝛥=(−4)2−4(𝑘−1)×4≥0，解得𝑘≤2且𝑘≠1，即𝑘的取值范围为𝑘<2且𝑘≠1．23.【答案】解：(1)设𝑦与𝑥满足的函数表达式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)，将(24,42)，(30,24)分别代入，得：{42=24𝑘+𝑏，24=30𝑘+𝑏𝑘=−3解得：{𝑏=114，∴𝑦与𝑥满足的函数表达式为𝑦=−3𝑥+114．(2)由题意得：=−3(𝑥−29)2+243．∴当𝑥=29时，𝑊有最大值243．

𝑊=(𝑥−20)⋅𝑦=(𝑥−20)(−3𝑥+114)=−3𝑥2+174𝑥−2280∴销售价格定为29元/件时，才能使每天获得的利润𝑊最大．24.【答案】解，①×3+②得：11𝑥=22，即𝑥=2，将𝑥=2代入①得：𝑦=2，第13页，共15页则方程组的解为 ；(2)方程组整理得： ，①×3+②×2得：19𝑥=114，即𝑥=6，将𝑥=6代入①得：𝑦=−，则方程组的解为 ．25.【答案】解：(1)连接𝐴𝐷，∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，∴∠𝐴𝐷𝐵=