概率论与数理统计-科学课后习题答案

第二章随 P(Xk)

解：根据k

，得k

，即1 故ae用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数,Y~B(2,0.4)两人投中的次数相 C00.700.32C00.400.62C10.710.31C10.410.61C20.720.30C 甲比乙投中的次数 C10.710.31C00.400.62C20.720.30C00.400.62C20.720.30C 123解:（1）P{1≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}= 12P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+P{X=2}=

1[11 lim

()1 11解：（1）P{X=2,4,6,…

22k

k

1 4（2）P{X≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}-

111 解：设Ai表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为P{X0}P{A1A2A3A4}P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)18171615 18 2181716182171618182161817162 1918 18 P{X2}1P{X0}P{X1}11232 解：(1)设X表示4次独立试验中A发生的次数，则 P(X3)P(X3)P(X4)C30.430.61C40.440.60 设Y表示5次独立试验中A发生的次数，则 P(X3)P(X3)P(X4)P(X5)C30.430.62C40.440.61C50.450.60 P{X0}1.50e1 =e1P{X2}1P{X0}P{X1}12

e2e

e21 解：设应配备m名设备维修 又设发生故障的设备数为X，则X~B(180,0.01)。依题意，设备发生故障 维修的概率应不小于0.99，即P(Xm)0.99，也即P(Xm1)0.01因为n=180较大，p=0.01所以X近似服从参数为1800.011.8的泊松分布查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立m=6。故应至少配备6名设备维修。解：一个元件使用1500小时失效的概率P(1000X1500)

100015001000x

设5个元件使用1500小时失效的元件数为YC( (P(Y2) 21223C( (5 解：(1P(X2F(2lnP(0X3)F(3)F(0)10

Y~

)3P(2X2.5)F(2.5)F(2)ln2.5ln2x1 1xef(x)F(x) 解：(1)由F() limF(x)

a，得ab，得

，故a=1,b=-f(x)F(x)

x x xln X ln16)F(ln16)F(lnln(1

2)(1

ln 2) 4

假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为 P{0.8X1}112x(1x)2dx(6x28x33x4)1 0 0（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的 P{0.9X1}112x(1x)2dx(6x28x33x4) 0 022Kx2K3 24(2K3)解:要使方 有实根则解得K的取值范围为[,1][4,],又 量K~U(-2,4)则有实根的概率p[1(2)43]4 1解：X~P(λP(200e200P{X100}1001e200

e21x|1001ee2 2P{X300}2

111

1xe200

300 e200P{100X300}3001e200

1x|300e1ee22 100 e22P{X100,100X300}P{X100}P{100X300}(1

2

2e2解：设每人每次打的时间为X，X~E(0.5)，则一个人打超过10分钟的概率P(X10)0.5e05xdxe05x 又设282人中 超过10分钟的人数为Y，则Y~B(282,e5)n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为282e51.9的泊松分布。P(Y2)1P(Y0)P(Y1e191.9e1912.9e19P(X105)(105110)(0.42)1解 10.6628P(100X120)120 100( )(

解：设车门的最低高度应为a厘米P{Xa}1P{Xa} P{Xa}a 6

a1702.33a184厘米解：X的可能取值为1,2,3P(因

CC31) C35

P(X3)

15C 5

；P(X2)10.60.1X的分布律X123PX的分布函数 xF(x)

1x2x xP{Y0}P{X}2P{Y2}P{X0}P{X}0.30.4P{Y42}P{X3}2 4 P{Y1}P{X0}P{X}0.30.4P{Y1}P{X}P{X3}0.20.1 1x1F(xP{X11x2F(xP{X1}P{X10.3P{X1x2F(xP{X1}P{X1}P{X20.8P{X2P{X2}10.8X12P X~N(0,1)

f(x)1

2Y设F(y)，fY(y)分别为 量Y的分布函数和概率密度函数，Yy

FY(y)P{Yy}P{2X1y}P{X }2 e2dx 1

(y1)2)

(y1)

(

求关于y的导数

fY(y)

y(,Y设F(y)，fY(y)分别为随 当y0时，FY(y)P{Yy}P{eXy}P{}0Yy0时，有 1lnFY(y)P{Yy}P{eXy}P{Xlny}P{Xlny} elnFYy求关于y的导数，

e(lny (lny 2f(y)2 00

(lny) e

yY设F(y)，fY(y)分别为 量Y的分布函数和概率密度函数，YYy0时FyP{YyP{X2yP{YyyYF(y)P{Yy}P{X2y} X y}yyY

y>0时，

yyFYy求关于y的导数，

(y

(y

(lny(y)

2(y)

y) 2 2f(x)

0xX∵XU(0,

当2lnyYF(y)P{Yy}P{2lnXy}P{lnX2y}P{}Y当y2ln

e21F(y)P{Yy}P{2lnXy}P{lnX2y}P{X2ey}P{X ey} Y f(y)(e2) e

0yYFYy求关于y的导数，得

2lny当y1或y-1时FYyP{YyP{cosXyP{1F(y)P{Yy}P{cosXy}P{Xarccosy} 当1y1时, arccosyFYy求关于y的导数，得1(arccosy) 1y1f(y)1 （3）当y1y0FYyP{YyP{sinXyP{当0y1时FY(y)P{Yy}P{sinXy}P{0Xarcsiny}P{arcsinyX arcsiny1dx 1 arcsinyFYy求关于y的导数，得1arcsiny1(arcsiny) 0y1f(y)1 第三章随机向

YX12203 533 5013.4（1）a=5（2） (6 [(6 P{(X,Y)D}1dy1y xy)dx1 (6 [(6

11 91

x 1 111(11

6y5)dy1(1y33y251

1890 9 3.5解：F(x,y)yx2e(2uv)dudvyevdvx2e2udu(ev|y)(e2u|x)(1ey)(1e2x0 P(YX)x2e(2xy)dxdy 2 x 2 y 0

edy

|0 2e2x(1ex)dx e3x|12 P(x2y2a2) 2 解

x2y2

(1x2y2

0(1r222 d(1r2)12 |a 2 0(1r2 2(1r2) 1 1参见后面P227的答 1 y3

fX(x)0f(x,y)dy02xydy2

3|0f(y) f(x,y)dx23xy2dx3y21x2|22 20xf(x)

0x

0y 0,

fY(y) 解：X的边缘概率密度函数fX(x为x1或x0f(xy0f(y)14.8y(2x)dx4.8y[2x1x2]|14.8y[112y1y2 y1或y00y1x

f(x)0f(x)

4.8y(2x)dy2.4

(2

(2 f(x)x4.8y(2x)dy2.4y2(2x)|x2.4x2(2②当0x1时， Y的边缘概率密度函数fYy为①y1或y0时f(xy0fYyf(y)14.8y(2x)dx4.8y[2x1x2]|14.8y[112y1y2②当0y1时， 2.4y(34yy2（1）参见后面P227的答xf(x)

0x 1-x）0x

= Yf(y)Y

0y

其 其参见后面P228的答参见后面P228的答2(x2xy 0x

0x2 2x 2fX(x) 其 其1(x2xy 0y

0y fY(y) = 0y2时fYy0x2

6x2+0x 2

0x (x|y)

f(x,

X

f(

00所 其

其0x1fX(x

3xx2f(x,

0y

6x 0yfY|

(y|x)f(x)2x2 所

其 其 131 131P{Y1|X1}2fY|X(y|1)dy2 dy dy 0612

025X的边缘分13Y的边缘分1由表格可知 P{Xxi;Yy}P{Xxi}P{Y XY不独 123X的边缘分13ab13Y的边缘分121a+1b+1 由独立的条件P{Xxi;YyP{Xxi}P{Yy}则P{X2;Y2P{X2}P{Y P{X2;Y3}P{X2}P{YP{Xi}可以列出方(1a 1a) (1b)(1ab) 11ab a0,ba2,b解 f(x)

0x

0yX解（1）在3.8

fY(y) 3xy2f(x,当0x2，0y1时，fX(x)fY(y x2x0时y1y0fX(xfY(y)0f(x所以，XY之间相互独立2.4x2(2x)fX(x)

0x（2）在3.9中 2.4y(34yy2fY(y)

0y0x10y1时，fX(x)fY(y)=2.4x2(2x)2.4y(34yy2)5.76x2(2x)y(34yf(xy)，所XY之间不相互独立解f(x)f(x,y)dyxex dyxex (1y)2 dxf(y) f(x,y)dy dx f(x)f(y) f(x, XY相互独参见后面P228的答案第四章数字特征E(X)xipi解 E(Y)yipii∴乙机床生产的零件的质量较好解：X的所有可能取C3P{X3}1C35C3P{X4}3P{X5}

3C5CC2CC34C35E(X)xipi30.140.350.6i参见230页参考答解E(X)xpnp(1p)n1 i

[1(1 参考230页参考答解：设途中遇到红灯次数为X，则X~B(3E(X)np40.3解E(X) f

dx3000 (x 0 1500参见后面230页参考答参见后面231页参考答 解:设均值为,方差 ,则 )根据题意有P(X96)1P(X1P(X96 (t0.997,t=2即所以成绩在6084的概率)P(60X84)P(60-72X-84-) (1)-(-2(1)-E(5X24)40.4(5124)0.3(5224)0.2(5324)0.1 E(Y)E(2X)2xexdx2xd(ex)2[xex| 解

2(ex)|0|E(Y)E(e2X)e2xexdxe3xdx1e3x| V 解 设球的直径为X,4(X

f(x)b

axE(V) 2 )E(X3)=b 1dx 1x4|b(ba)(b2a2 a b b 参看后面231页答解 f(x)f(x,y)dyx12y2dy yf(y)y

yf(x,y)dy12ydx12yy1E(X) f(x)xdx4x4dx1 3 3E(Y)

y(x)ydy012y12ydy2E(XY) f(x,y)xydxdy12xy3dxdy1x12xy3dydx20y

00yE(X2)f(x)x2dx14x5dx E(Y2)f(y)y2dy112y4 E(X2Y2)E(X2)E(Y2)解∵XY相互独立∴E(XY)E(X)E(Y)1x2xdxye5ydy(2x3|1)yd(e5y 02(ye5y|e5ydy)2[5(e5y)|]2(51) 设X表示10 10)表示第i 出现的点数X ，

X1,X2

X106E(X)1126

i独立同分布的，

E(X)E(

6X)10E(X)10216所

参看后面232页答D(X)E(X2)[E(X)]2212E(Y2)00.3120.5220.2320D(Y)E(Y2)[E(Y)]21.30.92E(X2)2x21xdx4x2(1x1)dx1x4|2[1x41x3]|4111 D(X)E(X2)[E(X)]2144 11 1x

f(x) =X X

1xVar(X)E(X2)[E(X)]211x2dx[11 111x3|111x2|1 11 1y Yf(y) =Y 其

1yVar(Y)E(Y2)[E(Y)]211y2dy[1111y3|111

1

1 4X~N(0,4),Y~U(0,4)Var(X)=4Var(Y)=4故：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+3=4494 参看后面232页答EE(Z)E(X1X2Xn)E(X1)E(X2)E(Xnn n1E(X)1E(X) 1E(X)1n D(Z)D(X1X2Xn)D(X1)D(X2)D(Xnn n1E(X)1E(X) 1E(X)12n 4题不作详第五限 E(X) 10D(X) 2 解：用i表示每包大米的重量，，

~N(n,n2)N(10010,100 Xi Xi Xin100Zi1 i1 n100P(990 Xi1010)

990

Xi

)(10101000)(10101000)(10)(

2(10)1解：因为Vi服从区间[0,10]上的均匀分布

0102

20V~

E(V D(V)]N(205,20

) ViE(Vi Vi 20Z ~20103 Vi 105P(V105)1P(V105)1P(Vi105)1P( 10 10 1(105100)1(0.387)103

X1解：方法1：用Xi表示每个部件的情况，E(Xi)p0.9,D(Xi)p(1p)

Xi~B(1,0.9)Xi~N[np,np(1p)]N(1000.9,1000.9 Xi Xi100 Xinp(11000.9Z np(11000.9

~N

Xi 85P(Xi85)1P(Xi85)1P( )1()

() ()方法2：用X表示100个部件中正常工作的部件数E(X)np1000.990D(X)np(1p)1000.90.1Xnpnp(1pZ XXnpnp(1pX~N[np,np(1p)] np(1ZXnpX90~np(13P( P(X85)1P(X85) X90P( )1( 5)( 略第六章样本与统证明由=+b可得，对等式两边求和再除以n (aXi 由 1n Y n

X 所以由可anXY=n n=aX因

nn

Y)

i2

2n(aXb)2naX n

a2X22nabXnb2

X22nabXini 2

2

aX na2

XX222

(Xi2XiXX

XiX2X(n1)a22XY(n1)SY a2 a所以有 6.2证明：n E(X) E(X) Var()

n 1 )1

22i i1 22iii2

X) 2 S

n n

(

2XXX nX22XXn

n (nX22XnXnn nX2nX n1

Var(X)E(X2)(E(X（2）由 所以

E(X2)

))2Var(X)22E(X2)(EX2

iii2iii2Var(X) 2nn

iX))

2)

n)(n2 2(XX)) E( 两边同时除以（n-1）可 n E(S)6.3.3P{|X-|0.3}2(

n)-12(0.3n)-1n得(0.3n)0.975查表可知 =1.96又 根据题意可知n解（1）记这25个电阻的电阻值分别为,它们来自均值为=200欧姆标准差为=10欧姆的正态分布的样本则根据题意有P{199X202}

199 X- 202 P{0.5X-nn

根据题意

P{X-

X5100}P{25Xi

n (2)n解：（1）记一个月（30天）中每天的停机时间分别为 均值为=4小时，标准差为=0.8小时的总体的样本。根据题意有：P{1X5}

1

X-nn

54P{20.54X-nn

(6.846)（(u当u6时，(u的值趋1，相反当u6时，其值趋（2）根据题意有

P{X-

X115}P{30Xi

n nXTX证明：因为 ，则，随 的密度函数(n( 2

f(t) n(2) n

,t

显然f(tf(t

f

为偶函数， E(T)f(t)tdtf(t)tdt f(t)tdt0f(t)(t)dt0f(t)tdt0f(t)tdt0f(t)tdt1.50 解： ，则X ),n=25 P{140X147.5}P{140-

X-147.5-150 P{-2X-nn

(-0.5)-(-(2)-解：记这100人的年均收入为 ，它们是来自均值为1.5万元，标准差为0.5万元的总体的样本，n=100则根据题意有：（1）P{X1.6}1P{Xn1P{X-nn1P{X-n

1.6-1.51nP{X1.3}P{X-1.3-n

}P{X-

nn

(4)1(4)11P{1.2X1.6}

1.2-1.5X-1.6-1.5n n(2)-(-0.9772解：根据题意可知此样本是来自均值为12，标准差为2的总体，样本容量为n=5依题意P{X13}1P{X13}1P{X- 13-121P{X-1.12}1(1.12)10.8686 n5n n5n要求样本的最小值小于10概率，即5个数中至少有一个小于10的概率，首先算每个样本小于10的概率)pP(X10)P(X-10-12(-1)1-(1)1-0.8413) 设X是5个样本中小于10的样本个数则X服从二项分布B(5,0.1587)故有B5P(X1)1-P(X0)1-C0p01p5111(10.1587)5B5即样本的最小值小于10的概率是首先计算每个样本大于15的概率：pP(X15)1-P(X15)1P(X-15-12)1(1.5)1-0.9332 设X是5个样本中大于15的样本个数则X服从二项分布B(5,0.0668)故有B5P(X1)1-P(X0)1-C0p01p5111(10.0668)5B5即样本的最大值大于15的概率是第七章参数估解因为:是抽自二项分布B（m,p）的样本，故都独立同分布所以ˆXE(X)mp用样本均值X代替总体均值，则p的矩估计 E(x)exxdx解 用样本均值x代替总体均值，则的矩估计 由概率密度函数可知联合密度分布函数n 对它们两边求对数L()ex1ex2exn 对它们两边求对数nln(L())ln(nex)nlnnni

求导并令其为0 1ln(L())n

1 即可

的似然估计值 n解:记随量x服从总体为[0,]上的均匀分布，E(X)0 故的矩估计为p(x)X的密度函数 故它的是似然函数nL()1nn

I{0X}

1nI{X

n 要使L()达到最大，首先一点是示性函数的取 应该为1，其次 尽可能大。由 是的单调减函数，所以的取值应该尽能小，但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计ˆ（示性函数 解:记随量x服从总体为[ ]上的均匀分布，E(X)2 ˆ2 所以的矩估计 p(x)X的密度函数 故它的是似然函数 X x x L() x(nnI{ 2 nI{ X x x L() x(n (n L(L( 要 达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次 尽可能大。n 是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能于,因此给出最大似然估计ˆ 2 1 2解:似然函数为

2 (22)2e22i1lnL(2)nln(2)nln(2) n(X它的对数为

22 lnL(

2 求偏导并令它等于零2解 的似然估计值

2224 1 n (Xin

解:根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可 E(x)-xf(