讲义结构力学大学教材章节课件PPT讲义221P(附例题)6

31443523第十三章矩阵位移法基本概念单元刚度矩阵(局部坐标系)(整体坐标系)整体刚度矩阵(连续梁)(平面刚架)等效结点荷载计算步骤和算例忽略轴向变形的矩形刚架的整体分析上机作业（连续梁程序设计）1§13-1概述矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段，三位一体的方法。手算与电算的不同：手算：怕繁，讨厌重复性的大量运算，追求机灵的计算技巧，运算次数较少的方法。电算：怕乱，讨厌头绪太多，零敲碎打的算法，追求计算过程程序化，通用性强的方法。

矩阵位移法（有限单元法）的基本思路是：

先将结构离散成有限个单元，然后再将这些单元按一定条件集合成整体。这样，就使一个复杂结构的计算问题转化为有限个简单单元的分析与集成问题。有限单元法的两个基本环节：1）单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵(物理关系)2）整体分析：由单元刚度矩阵形集成整体刚度矩阵，建立结构的位移法基本方程(几何关系、平衡条件)2单元刚度矩阵是用来表示杆端力与杆端位移之间的物理关系的，不是新东西，但有几点新考虑：重新规定正负规则，以矩阵的形式表示，讨论杆件单元的一般情况。杆端局部编码与局部坐标系eE，A，Il局部坐标系中的杆端位移分量1u2u1v2v2q1q2M2Y2X1X1M1Y局部坐标系中的杆端力分量{}=Feee={}De12yx§13-2单元刚度矩阵（局部坐标系）3单元刚度方程方程1q1u1v2v2q2u1X1Y1M2X2Y2M)(,,1221uulNXNX-=D=-=llEAND=由虎克定律：由转角位移方程，并考虑：2QYBA=1,QYAB-=12,vv-=D()212212212)(6vvlEIlEIY--+-=qq()212212112)(6vvlEIlEIY-++=qq()212212642vvlEIlEIlEIM-++=qq()212211624vvlEIlEIlEIM-++=qq4ee=ee（13—5）单元刚度方程（13—6）单元刚度矩阵单元刚度矩阵的性质1）单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。2）其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位移引起的杆端力。如第个杆端位移分量=1时引起的第个杆端力2M1q三六ji?反力互等定理53）单元刚度矩阵是对称矩阵。4）第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个杆端力分量。5）一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。不存在逆矩阵{}De{}Fe正问题力学模型将单元视为“两端有六个人工控制的附加约束的杆件”{}De控制附加约束加以指定。解的性质为任何值时，{}De{}Fe都有唯一的解答。且总是一个平衡力系，不可能是不平衡力系。{}De{}Fe反问题将单元视为“两端自由的杆件”。{}Fe直接加在自由端作为指定的杆端力{}Fe为不平衡力系时没有静力解。{}De{}Fe为平衡力系时有无穷多组解。{}De1X1Y1M2X2Y2M1X1Y1M2X2Y2M62v=10312lEI312lEI-EI26l-EI26l-01v=10312lEI312lEI-EI26lEI26l0e第二列元素变符号即第五列第一列元素变符号即第四列第二行元素变符号即第五行第一行元素变符号即第四行7特殊单元单元的某个或某些杆端位移的值已知为零。如梁单元、柱单元。特殊单元的单元刚度矩阵，可由一般单元的单元刚度矩阵删除与零杆端位移对应的行和列得到。为了使计算过程程序化、标准化、自动化，只采用一般单元的刚度矩阵作为标准形式。各种特殊单元的刚度矩阵有计算机程序去自动形成。某些特殊单元的刚度矩阵是可逆的。121q2q122M1M8选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。选整体坐标系是为进行整体分析。按一个统一的坐标系来建立各单元的刚度矩阵单元坐标转换矩阵1X1Y1M2X2Y2Myx1X1Y1M2X2Y2Myxαyxyxα§13-3单元刚度矩阵（整体坐标系）9单元坐标转换矩阵[T]是一正交矩阵。同理：整体坐标系中的单元刚度矩阵设：将（a）、（b）代入（a）（b）101））表示示在在整整体体坐坐标标系系第第j个杆杆端端位位移移分分量量=1时时引引起起的的第第i个杆端端力力分分量量。。2））[k]@是对对称称矩矩阵阵。。3）一般单元元的[k]@是奇异矩阵。。例13-1求求图示刚刚架中各单元元在整体标系中的单元元刚度矩阵。。设各杆的几几何尺寸相同。l=5m，A=0.5m2,I=1/24m4E=3×107kN/m221与比较[I][k]@，[k]@同阶,性质类似：11解：（1）求求kek1k2==×104（2）求ke11单元α=90°21单元α=0k2=×10412结点力、结点点位移、形成成总刚度矩阵阵(传统位移移法)Δ1Δ2Δ3F1F2F3Δ1Δ2Δ3F1F2F3Δ1=1Δ1×K11K21K31K12K22K32Δ2=1Δ2×K13K23K33Δ3=1Δ3×F=KΔK为整体刚度矩矩阵，简称总总刚。§13-4连连续梁的的整体刚度矩矩阵13整体刚度矩阵阵的性质1）总刚是结结点力用结点点位移来表达达的联系矩阵阵。2）[K]中的元素Kij表示第j个结点位移分分量Δj=1（其它结点位移分量=0）时所产生生的第i个结点力。3）[K]是对称矩阵。。4）如果引入入支承条件，，[K]是可逆矩阵。。形成整体刚度度矩阵Δ2=1K12K22K321112k121k22122k112k212结点发生单位位位移杆端发生单位位位移变形协调条件件产生附加约束束中约束力(总刚元素)产生杆端力(单刚元素)平衡条件总刚元素是由由单刚元素集合而而成K22k221k112k212K3214直接刚度法形形成总刚(刚刚度集成法)首先要注意同同一个结点位位移在整体中中与在各单元元中编码不同同。单元结点位移移总码按局部码顺序排列列而成的向量称为“单元定位向量量”{λ}。e单元对应关系：局局部码→总码码单元定位向量量{λ}e12θA（1）→→1θB（2）→→2{λ}=112θB（1））→→2θB（2））→→3{λ}=223将各单单元的的单刚刚的行行列局局部码码（i）、（（j）换成对对应的的结点点位移总码码λi、λλj，按此行行列总总码将单刚刚元素素送入入总刚刚。即即:k(i)(j)→2112213ABC(1)(2)(1)(2)15例13-2试试求图图示连连续梁梁的整整体刚刚度矩矩阵[K]。。i1i2i31230123解：1）编编码凡给定定为零的的结点点位移移分量,其其总码码均编编为零零。{λ}=112{λ}=2232）单单元定定位向向量{λ}=3303）求求单刚刚并集集成总总刚[k]=14i12i12i14i1(1)(2)↑↑↑124i12i12i14i1[k]=24i22i22i24i2(1)(2)↑↑↑23+4i22i22i24i2[k]=34i32i32i34i3(1)(2)↑↑↑30+4i312312300在给节节点位位移编编码时时已经经考虑虑了支支承条条件。。(先处理理法)161n2312n+1对于n跨连续续梁，，有n+1个节点点，不不难导导出整整体刚刚度矩矩阵如如下：：4i12i12i14(i1+i2)02i24(i1+i2)02i22i3002in-14(In-1+in)2in2in4in000[K]=[K]n+1，n+1是稀疏疏矩阵阵和带带状矩矩阵。。1n2317情况复复杂：：1）结结点位位移分分量增增加到到三个个；2）各各杆方方向不不尽相相同，，要进进行坐坐标变变换；；3）除除了刚刚结点点，还还要考考虑铰铰结点点等其其它情情况。。1、结结点位位移分分量的的统一一编码码———总码码yx000123040结点位位移列列阵:{Δ}=[Δ1Δ2Δ3Δ4]T=[uAvAθAθC]T结点力力列阵阵:{F}=[F1F2F3F4]T2、单单元定定位向向量211(1)(2)(3)(4)(6)(5)2(1)(2)(3)(5)(4)(6){λ}=1[123004]T{λ}=2[123000]TACB§13-5刚刚架的的整体体刚架架矩阵阵183、单元集集成过程×104[k]=1123004[K]=123430000001230100030100500305030×104k2=×104123000+12+0－30+0+300+0－30+0+100求单刚191）结点位位移分量的的统一编码码——总码码铰结点处的的两杆端结结点应看作半独立的的两个结点点（C1和C2）它们的线位位移相同，，角位移不同同，00012321AC1BD000456475C234、铰结点点的处理线位移采用用同码，角位移采用用异码。2）单元定定位向量：：{λ}=1[123456]T{λ}=2[123000]T{λ}=3[457000]T3）按①②②③次序进进行单元集集成：20×104[k]=11234561234567300500-3010030000-30000012300-12300301000-30500-12-30012-30[K]=104×-3000030000123000k2=×104+12+0－30+0+300+0－30+0+100k3=×104457000+12+0－30+0+300+0－30+0+100－30?211、整体刚刚度方程{F}=[K]{Δ}………（a））表示由{Δ}→{F}结点力的关系式。。反映了结结点的刚度度性质，不涉及结构构上的实际际荷载。2、位移法法基本方程程→∵在给结点位位移分量编总总码时，已考考虑了结构的的支承连接情情况，[K]是非奇异矩阵阵。∴如果已知结结构上的结点点荷载{P}，（a））就是求结点位位移{Δ}的位移法基本本方程。{P}=[K]{Δ}……（b））注：结点力与与结点荷载的的不同。结点点力是发生给给定的结点位位移，在结点上所需需施加的力，，它与体系的的刚度有关，，由刚度方程确定。而结结点荷载是给给定的与体系系无关。由结结点荷载产产生的未知结点点位移由位移移法基本方程程求解。3、等效结点点荷载平衡方程的荷荷载{P}是作用在结点点上的集中荷荷载，当荷载载不是结点集中荷荷载时，应化化成等效结点点荷载。§13-6等等效结点荷荷载22↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓θ1θ2θ3↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓FP2FP1FP3P2P1P3结点约束力{FP}=-FP2=-FP1-FP3=Δ1Δ3Δ2θ3==θ2=θ1等效结点荷载载{P}=－{FP}{Δ}可由位移法基基本方程(b)求得.注意：非结点荷载与与等效结点荷荷载等效的条条件是，两者者产生相同结点位移。除了结点位移移外，等效结结点荷载与原原荷载产生的的其它位移和内力并不相相同。等效结点荷载载为位移法基基本体系附加加约束中约束束力的负值。。而约束力为各各固端力之和和。所以求结结构等效结点点荷载应该先求出单元的的等效结点荷荷载，它是单单元固端力的的负值。位移法方程：：234、按单元集集成法求整体体结构的等效效结点荷载⑴局部坐标系系中的单元固固端约束力e⑵整体坐标系系中的单元等等效结点荷载载ee⑶整体结构的的等效结点荷荷载{P}由各单元{P}中的元素按{λ}在{P}中进行定位并并累加。e⑷等效结点荷荷载与直接结结点荷载叠加加，即得结构构的结点荷载载。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓4.8kN/m2.5m2.5m5m8kN12yx例13-3求求图示结构构的等效结点点荷载{P}.e解:1)求单元①单元②242)求单元①的倾角角α1=0123004单元元②②的的倾倾角角α2=90°°123000{P}=123401210-10+4+0－54125-10251））整理理原原始始数数据据，，进进行行局局部部编编码码和和整整体体编编码码。。2））用用式式（（13-6））形成成局局部部坐坐标标系系中中的的单单元元刚刚度度矩矩阵阵3））用用式式（（13-21））形形成成整整体体坐坐标标系系中中的的单单元元刚刚度度矩矩阵阵4））用用单单元元集集成成法法形形成成整整体体刚刚度度矩矩阵阵[K]5））形形成成整整体体结结构构的的等等效效结结点点荷荷载载6））解解方方程程[K]{Δ}={P}，，求出出结结点点位位移移{Δ}。。7））求求各各杆杆杆杆端端力力↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓θ1θ2θ3↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓FP2FP1FP3P2P1P3=-FP2=-FP1-FP3=Δ1Δ3Δ2θ3==θ2=θ1固端力{FP}@杆端端位位移移产产生生的的杆杆端端力力{P}计算算步步骤骤§13-7计计算算步步骤骤和和算算例例26000123000456例13-4:求求内内力力。。横横梁梁b1×h1=0.5m××1.26m,立柱柱b2×h2=0.5m××1m.6m12m↑↑↑↑↑↑↑↑1kN/m213xy解:1)原原始始数数据据及及编编码码27e13×10－32×10－32)形成[k]283)形形成成[k]单元元①①、、③③(α=90o)坐标标转转换换矩矩阵阵为为13×10－3单元②(α=0o)坐标转换矩阵为单位矩阵所以:224)形形成成[K]123+][11k③+][11k①úúûùêêëé=][][][][][22211211kkkkK②②②②29×10－35)求求等等效效节节点点荷荷载载{P}111单元元在在整整体体坐坐标标系系中中的的等等效效节节点点荷荷载载集成成等等效效节节点点荷荷载载306)解解基基本本方方程程31②7)求求杆杆端端力力单元元①①1①①①①②②②②32③③③③③②①8.492.093.044.38M图(kN.m)4.76＋1.24－－0.431.24＋1.24Q图(kN)N=0.43N=－－1.24N=－－0.43N图(kN)331））结结点点位位移移分分量量的的统统一一编编码码————总总码码在刚刚结结点点A铰结结点点C1和C2处，，竖向向位位移移均均为为零零，，故故其其编编码码也应应为为零零，，另另外外它它们们的的水水平平位移移分分量量都都相相等等，，因因此此它它们们的水水平平位位移移应应采采用用同同码码。。00010221AC1BD000103140C232））单单元元定定位位向向量量：：{λ}=1[102103]T{λ}=2[102000]T{λ}=3[104000]T3））按按①①②②③③次次序序进进行行单单元元集集成成：：§13-8忽忽略略轴向向变形形时矩矩形刚刚架的的整体体分析析34×104[k]=1102103123412341021033000－30001000+050－300+0+300+0050+0100102000k2=×104102000000010050050100+12－30－30+100k3=×104104000104000+12－30－30+100[K]=104×35例13-5:求求内力力。横横梁b1×h1=0.5m××1.26m,立柱b2×h2=0.5m××1m忽略轴轴向变变形的的影响响。.6m12m↑↑↑↑↑↑↑↑1kN/m解:1)原原始数数据及及编码码000102000103213xy36e13×10－32×10－32)形成[k]373)形形成[k]单元①①、③③(α=90o)坐标转转换矩矩阵为为13×10－3单元②(α=0o)坐标转换矩阵为单位矩阵所以:224)形形成[K]12338102000①1020002.31－6.9427.8－6.94③103000103000+2.31－6.94－6.9427.8②102103102103+52.5－52.5+0+0+52.5－52.5+0+27.8+013.9+0+0+013.9+27.8+04.62－－6.94－－6.94－6.9455.613.9－6.9413.955.6123123[K]=10－3×395)求求等效效节点点荷载载{P}111单元在在整体体坐标标系中中的等等效节节点荷荷载集成等等效节节点荷荷载6)解解基本本方程程40②7)求求杆端端力单元①①1①①①①②②②②41③③③③③②①8.412.093.094.47M图(kN.m)4.75＋1.25－－0.431.25＋1.25Q图(kN)N=0.43N=－－1.25N=－－0.43N图(kN)由单元元刚度度方程程求出出的杆杆端轴轴力为零零。为为什么么？根据节节点平平衡由由剪力力求轴轴力。。②①③轴向变变形影影响不不大。。42单元的的刚度度方程程(局局部坐坐标））u1u2X1X2e12X1X2Y2Y1X1X2yxx注意：：①桁桁架单单元的的结点点转角角不是基本本未知知量。。②无无须求求等效效结点荷载载。③③杆端端力是是由结结点位位移产生的的。§13-9桁桁架架及组组合结结构的的整体体分析析坐标转转换矩矩阵单元的的刚度度方程程(整整体坐坐标））433ll10kN10kN例13-6求求图示示桁架架内力力(EA=常数)。解：1、编编码如如图；；⑥①②③④⑤124{0}{0}2、形成3、形形成[k]@[k]②=[k]④=[k]②=[k]④单元①①③α=90°°[k]①=[k]③=44单元⑤⑤α=45°°[k]⑤=单元⑤⑤α=135°[k]⑥=3ll10kN10kN⑥①②③④⑤124{0}{0}4、集集成总总刚[K]5、节点点荷载456、解基基本方程程7、杆端端力计算算46补充内容容节点位移移分量自由节点点位移分分量(基基本未知知量，相相应的节节点荷载载已知)受约束的的位移分分量(已已知量，，相应的的约束反反力未知知)先处理法法1、节点点位移分分量中不不含受约约束的支支座位移移，节点点力分量量中不含未知的的支座反反力。2、由单单刚考虑边界条件[K][Δ]3、对于于具有非非刚性连连接、支支承节点点较多且且分散、、不考虑虑轴向变形的结结构最为为方便。。可减少少内存，，提高计计算速度度。但要要对各节位位移进行行统一编编码，形形成各单单元的定定位向量量。后处理法法1、节点点位移分分量中含含有受约约束的支支座位移移，节点点力分量量中含有未知的的支座反反力。2、由单单刚考虑边界条件[K][Δ](原始刚刚度矩阵阵,奇异异)3、每个节点位移分量数相同，的阶数是节点总数乘节点位移分量数，整个分析过程便于编制通用程序。适用于节点多支座约束少，考虑轴向变形的结构。但占用内存大。47补充内容容后处理法法边界条条件的处处理在后处理法中，由于没有考虑边界条件，由[k]@集成的是奇异矩阵，由单元集合成的体系是自由体，具有刚体位移。没有确定定的位移移解。位移边界界条件处处理的三三种方法法：1、划行行划列法法编制程序序较复杂杂，不常常采用。。2、主对对角元置置大数法法设第i个节点位移分量(已知)0di=D0di=D为了将第第i个方程改改为:将kii置一大数数如R=1020Pi改为Rd0第i个方程变变为:该法虽为为近似处处理，程程序设计计容易实实现，故故被广泛泛应用。。RRd048补充内容2、主对角元元置1法0di=D第i个方程变为:为了不破坏总总刚的对称性性第i列也作相应的的处理。为了不影响其其他方程，荷载向量也要要作相应的改变。00····1·····0d000···1···0该法是精确的的处理方法，，被经常采用用，但不如主主对角元置大大数简便。491）结点位移移分量的统一一编码——总总码在刚结点A铰结点C1和C2处，竖向位移均为为零，故其编编码也应为零，另另外它们的水水平位移分量都相相等，因此它它们的水平位移应应采用同码。。00010221AC1BD