湘教版九年级数学上册第二章一元二次方程课件

2.1一元二次方程第二章一元二次方程2.1一元二次方程第二章一元二次方程1学习目标1.在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识。2.理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程。3.知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项。学习目标1.在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形2如图所示，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中取3）.要建立方程，关键是找出问题中的等量关系。分析问题涉及的等量关系是：矩形的面积-圆的面积=矩形的面积

.情境导入问题一如图所示，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm3分析问题涉及的等量关系是：解:由于圆的半径为xcm,则它的面积为3x2cm2.根据等量关系，可以列出方程化简，整理得①

矩形的面积-圆的面积=矩形的面积

.分析问题涉及的等量关系是：解:由于圆的4据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.分析问题涉及的等量关系是：解:

该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x.根据等量关系，可以列出方程化简，整理得②两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量×(1+年平均增长率)2问题二据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年5方程

①和

②，它们有什么共同点？①②

两个方程都只有一个未知数.

它们的左边都是二次多项式.它们的右边是0。观察方程①和②，它们有什么共同点？①②两个方程都只有一6从方程①和②受到启发，如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程.它的一般形式是其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项．ax2+bx+c=0（a，b，c是已知数，a≠0）总结归纳从方程①和②受到启发，如果一个方程通过整理可以使右边为0，而7

1.

下列方程哪些是一元二次方程?(1)

7x2-6x=0(2)

2x2-5xy+6y=0(5)

x2+2x-3=1+x2(3)

2x2--1=0－13x解:以上是一元二次方程的是：(4)=0－y22(6)

3x3-3x=0（1）（4）当堂练习1.下列方程哪些是一元二次方程?(1)7x2-6x=82.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项3x2＝5x－1(x＋2)(x－1)＝64－7x2＝03x2

－5x＋1＝0x2＋x－8＝0－7x2

＋0

x＋4＝031－7－5101－843－5＋111－8－704＋2.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系91.一元二次方程的概念

2.一元二次方程的一般形式如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程.ax2+bx+c=0（a，b，c是已知数，a≠0），其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项．通过这节课学习，你有哪些收获？

课堂小结1.一元二次方程的概念2.一元二次方程的一般形式如果一个102.2.1配方法第2章一元二次方程第1课时用直接开平方法解一元二次方程2.2.1配方法第2章一元二次方程第1课时用11学习目标1.理解并掌握一元二次方程的根的概念;2.会用直接开平方法解形如的方程．（重点、难点）学习目标1.理解并掌握一元二次方程的根的概念;12问题：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？导入新课问题：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油13解：设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：10×6x2＝1500，由此可得x2＝25，根据平方根的意义，得x＝±5，即x1＝5，x2＝－5．但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为5dm.解：设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为14前面题解得的x1＝5，x2＝－5也叫作10×6x2＝1500的根．一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根．一、一元二次方程的解（根）前面题解得的x1＝5，x2＝－5也叫作10×6x2＝150015例1：已知x=1是一元二次方程x2-mx+2m=0的一个解，则m的值是()A.-1B.1C.0D.0或1解析：把x=1代入一元二次方程x2-mx+2m=0

可得m=-1.A典例精析例1：已知x=1是一元二次方程x2-mx+2m=0的一个解，16问题1：能化为(x+m)2=n(n≥0)的形式的方程需要具备什么特点？左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为(x+m)2=n(n≥0).问题2：x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±3，如果x换元为2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？一起看看下面的例题．二、直接开平方法解一元二次方程问题1：能化为(x+m)2=n(n≥0)的形式的方程需要具备17例2：解方程：(1)x2＋4x＋4＝1(2)x2＋6x＋9＝2解：(1)由原方程得：(x+2)2=1直接开平方得：x+2=±1

x1=-1

x2=-3右边是大于0的数所以方程有个不同的的实数解(2)由原方程得：(x+3)2=2直接开平方得：典例精析例2：解方程：(1)x2＋4x＋4＝1(2)x2＋6x＋18用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负常数的形式，再根据平方根的定义求解．注意开方后，等式的右边取“正、负两种情况”．方法归纳用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平191．一元二次方程x2－4＝0的根为(

)A．x＝2B．x＝－2C．x1＝2，x2＝－2D．x＝42．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是(

)A．0个B．1个C．2个D．3个3．一元二次方程x2＝7的根是

．CC当堂练习1．一元二次方程x2－4＝0的根为()CC当堂204．若代数式3x2－6的值为21，则x的值是

．5．解下列方程：

(1)2y2－100＝0；(2)(x＋6)(x－6)＝64.解析：由题意可得方程：3x2－6＝21；解这个方程得：x1=3，x2=-3.解：x2-36=64

x2=100

x=±10解：2y2=100

y2=504．若代数式3x2－6的值为21，则x的值是21直接开平方法解一元二次方程一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根直接开平方法解形如课堂小结直接开平方法解一元二次方程一元二次方程的解：使方程左右两边相222.2一元二次方程的解法2.2.1配方法（第二课时）2.2一元二次方程的解法2.2.1配方法（第二课时）23学习目标1.使用完全平方式把x²+ax型的代数式配成(x+p)²-q(q≥0)的形式.2.运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.学习目标1.使用完全平方式把x²+ax型的代数式配成(x+24(1)(2)2、下列方程能直接根据平方根的意义来解吗?1、解下列方程:左边是完全平方式可转化成(x+b)2=a(a≥0)的形式，再根据平方根的意义求解.旧知回顾(1)(2)2、下列方程能直接根据平方根的意义来解吗?1、25湘教版九年级数学上册第二章一元二次方程课件26(1)(2)(3)=(+)2=(

)2=(

)2填上适当的数或式,使下列各等式成立.()2=(

)2(4)观察(1)(2)当二次项系数是1时,所填的常数项与一次项系数之间有什么关系?当二次项系数是1时，常数项是一次项系数绝对值一半的平方.探究(1)(2)(3)=(+)2=()2=27怎样解方程x²+6x-16=0？能把方程x²+6x-16=0转化成(mx+n)²=a的形式吗？

移项两边加上32,使左边配成完全平方式左边写成完全平方的形式开平方变成了(mx+n)2=a的形式怎样解方程x²+6x-16=0？能把方程x²+6x-128把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数，然后根据平方根的意义求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法配方的作用是？降次归纳总结把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数，29解下列方程:①x²+10x+9=0②x²-x-=0③

x2－2x＋4＝0方程无实数根当堂练习解下列方程:①x²+10x+9=0②x²-x-=30用配方法解一元二次方程的步骤：移项：把常数项移到方程的右边；配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；开方：根据平方根意义，方程两边开平方（有正负两根）求解：解一元一次方程；定解：写出原方程的解.课堂小结用配方法解一元二次方程的步骤：移项：把常数项移到方程的右边；312.若x2–mx+49是一个完全平方式，则m=

.1.关于x的二次三项式x2+4x+k是一个完全平方式，则k的值是

.3.用配方法将二次三项式a2-4a+5变形结果是（

）

A．（a-2）2+1B．（a+2）2-1

C．（a+2）2+1D．（a-2）2-14±14A4.用配方法解下列方程：（1）x2-3x-1=0（2）x2–x-=05.用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－3k＋5的值必定大于零.小试牛刀2.若x2–mx+49是一个完全平方式，则m=321.本节课你学到了什么？2.若是要解方程2x²﹣4x﹣1=0该如何解？思考1.本节课你学到了什么？思考332.2一元二次方程的解法2.2.2公式法第二章一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.2.2公式法第二章一元二34教学目标学会用公式法解一元二次方程，其一般步骤：1、把方程化成一般形式，并写出a、b、c的值.2、求出b2-4ac的值.特别注意:当b2-4ac≥0时原方程有实数解.3、代入求根公式：4、写出方程的解：x1=？，x2=?教学目标学会用公式法解一元二次方程，其一般步骤：1、把方程化35解：移项，得配方由此可得利用配方法解一元二次方程回顾旧知解：移项，得配方由此可得利用配方法解一元二次方程回顾旧知36化：把原方程化成x＋px＋q=0的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px=－q.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.开方：根据平方根的意义，方程两边开平方.求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.用配方法解一元二次方程的步骤方程右边是非负数x2＋px＋()2=－q＋()2(x+)2=－q＋()2化：把原方程化成x＋px＋q=0的形式.用配方法解一37一元二次方程的一般形式是什么？ax2＋bx＋c=0(a≠0)如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？导入新课一元二次方程的一般形式是什么？ax2＋bx＋c=0(a≠38任何一元二次方程都可以写成一般形式你能否也用配方法得出①的解呢？二次项系数化为1，得配方即①②移项，得试一试任何一元二次方程都可以写成一般形式你能否也用配方法得出①的解39因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：（2）当 时，一元二次方程 有实数根．（1）当 时，一元二次方程 有实数根．（3）当 时，一元二次方程 没有实数根．因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：40一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式.通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.由上可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根.一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法当时，方程有实数根吗？归纳小结一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠041例2：用公式法解方程（1）x2-4x-7=0结论：当时，一元二次方程有两个不相等的实数根.–例2：用公式法解方程（1）x2-4x-7=0结论：当时，一421.变形:化已知方程为一般形式;3.计算:△=b2-4ac的值;4.代入:把有关数值代入公式计算;5.定根:写出原方程的根.2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;公式法1.变形:化已知方程为一般形式;3.计算:△=b2-4ac43解：则：方程有两个相等的实数根：这里的a、b、c的值分别是什么？结论：当时，一元二次方程有两个相等的实数根.解：则：方程有两个相等的实数根：这里的a、b、c的值分别是什44这里的a、b、c的值分别是什么？则：方程有两个不相等的实数根结论：当时，一元二次方程有两个不相等的实数根.这里的a、b、c的值分别是什么？则：方程有两个不相等的实数根45这里的a、b、c的值分别是什么？∴方程无实数根.结论：当时，一元二次方程没有实数根.这里的a、b、c的值分别是什么？∴方程无实数根.结论：当时，46用公式法解一元二次方程的一般步骤1.将方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.2.求出∆

的值.3.(a)当∆>0时，代入求根公式:

写出一元二次方程的根：

x1=______，x2=______.

(b)当∆=0时，代入求根公式： 写出一元二次方程的根：

x1=x2=______.

(b)当∆<0时，方程实数根.

用公式法解一元二次方程的一般步骤1.将方程化成一般形式，并47求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程解这个方程，得精确到0.001，x1≈1.236，虽然方程有两个根，但是其中只有x1≈1.236符合问题的实际意义，所以雕像下部高度应设计为约1.236m．求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程解这个方程，48随堂练习

用公式法解下列方程：随堂练习用公式法解下列方程：49答案：（1）（2）（3）（4）（5）（6）答案：（1）50课堂小结公式法求根公式步骤一化（一般形式）；二定（系数值）；三求（Δ值）；

四判（方程根的情况）；五代（求根公式计算）.根的判别式b2-4ac务必将方程化为一般形式课堂小结公式法求根公式步骤一化（一般形式）；根的判别式b2-51第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.2.3因式分解法第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.2.352学习目标1.用因式分解法，即用提取公因式法、平方差公式、完全平方公式等解一元二次方程及其应用.2.三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：学习目标1.用因式分解法，即用提取公因式法、平方差公式、完全531.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?2.什么叫分解因式?把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.直接开平方法配方法X2=a(a≥0)(x+m)2=n(n≥0)公式法复习导入1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?2.什么叫分解因54你能解决这个问题吗一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，

这个数是几？你是怎样求出来的？小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得小颖做得对吗?小明做得对吗?自我探究你能解决这个问题吗一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如55当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.老师提示:1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”分解因式法当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因56自学P38两个例题，注意方程各自的特点，自学后比一比谁能灵活运用分解因法解相关方程.2.思考“动脑筋”中提出的问题，灵活运用因式分解法.自学自学P38两个例题，注意方程各自的特点，自学后比一比谁能57用分解因式法解方程:(1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).分解因式法解一元二次方程的步骤是:2.将方程左边因式分解;3.根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.4.分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.1.化方程为一般形式;例题欣赏用分解因式法解方程:(1)5x2=4x;(2)x-2=x(581.x2-4=0;2.(x+1)2-25=0.解：1.(x+2)(x-2)=0,∴x+2=0,或x-2=0.∴x1=-2,x2=2.你能用分解因式法解下列方程吗？2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,∴x+6=0,或x-4=0.∴x1=-6,x2=4.这种解法是不是解这两个方程的最好方法?你是否还有其它方法来解?你有几种方法来解题1.x2-4=0;2.(x+1591.解下列方程:当堂练习1.解下列方程:当堂练习60解：设这个数为x,根据题意,得∴x=0,或2x-7=0.2x2=7x.2x2-7x=0,x(2x-7)

=0,2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.解：设这个数为x,根据题意,得∴x=0,或2x-7=0.2x61用分解因式法解下列方程

参考答案：1.;2.；4.;小试牛刀用分解因式法解下列方程参考答案：1.62

参考答案：参考答案：63当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”当堂小结当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个64因式分解法解一元二次方程的步骤是:(1)化方程为一般形式;(2)将方程左边因式分解;(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程.(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.因式分解法解一元二次方程的步骤是:65解下列方程

参考答案：课后作业解下列方程参考答案：课后作业66

参考答案：参考答案：672.3一元二次方程根的判别式2.3一元二次方程根的判别式68教学目标1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的范围.教学目标1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；692.我们在运用公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，总是要求b2-4ac≥0.这是为什么？1.写出解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.导入新课2.我们在运用公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a70我们知道,任何一个一元二次方程∵a≠0∴4a2>0配方

我们知道,任何一个一元二次方程∵a≠0∴4a2>0配方71当时，当时，当时，方程有两个不相等的实数根：方程有两个相等的实数根：方程没有实数根.1.3.2.当时，当时72我们把叫做一元二次方程的根的判别式，用符号“”表示，即.记住了，别搞错!我们把叫做一元二次方程记住了，别搞错!73例

不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况.

（1）

3x2－x＋1=3x；（2）5（x2＋1）=7x；（3）x2－4x=－4.方程要先化为一般形式，再求判别式例题讲解例不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况.方程要先化为74

解：（1）原方程化为一般形式为：3x2－4x＋1=0.因为=（－4）2－4×3×1=16－12=4>0，所以，原方程有两个不相等的实数根.（1）

3x2－x＋1=3x；解：（1）原方程化为一般形式为：75

解：（2）原方程化为一般形式为：5x2－7x＋5=0.因为=（－7）2－4×5×5=49－100=－51<0，所以，原方程没有实数根.（2）5（x2＋1）=7x；解：（2）原方程化为一般形式为：76

解：（3）原方程化为一般形式为：

x2－4x＋4=0.

因为=（－4）2－4×1×4=16－16=0，所以，原方程有两个相等的实数根.（3）x2－4x=－4.解：（3）原方程化为一般形式为：77已知关于x的方程x2－2(k＋1)x＋k2＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)求证：x＝－1不可能是此方程的实数根．(2)证明：若x＝－1是方程x2－2(k＋1)x＋k2＝0的实数根，则有(－1)2＋2(k＋1)＋k2＝0，即k2＋2k＋3＝0.∵Δ＝b2－4ac＝－8<0，故此方程无实数根，k值不存在，∴x＝－1不可能此方程的实数根．题目探究已知关于x的方程x2－2(k＋1)x＋k2＝0有两个不相等的781.当时，方程有两个不相等的实数根，其根为：一元二次方程：的根的情况可由

来判断：2.当时，方程有两个相等的实数根，其根为：3.当时，方程有没有实数根.x1=，x2=；x1=x2=；当堂小结1.当时，方程有两个不相等的实数根，其根为：一元791.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是（）A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根D2.方程x2-3x+1=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根A3.下列一元一次方程中，有实数根的是（）A.x2-x+1=0B.x2-2x+3=0C.x2+x-1=0D.x2+4=0C当堂练习1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是（）D804.若方程2x2-(k-1)x+8=0有两个相等的实数根，求k的值.解：又∵方程有两个相等的实数根,4.若方程2x2-(k-1)x+8=0有两个相等的实数根812.4一元二次方程根与系数的关系

2.4一元二次方程根与系数的关系82学习目标了解一元二次方程

的两个根分别是

、，那么：这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.学习目标了解一元二次方程83新课引入新课引入84

的两个根为x1，x2，则：ax2+bx+c又

ax2+bx+c=

于是.

85所以即：

这表明，当时，一元二次方程根与系数之间具有如下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.所以即：这表明，当时，一元二次方程根与系数之间86例1根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积：(1)(2)(3)题目探究例1根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x87（1）（2）整理得：（3）整理得：解：（1）（2）整理得：（3）整理得：解：88例2已知关于x的方程的一个根为-3，求它的另一个根及q的值.解：设的另一个根为x2，则解得由根与系数之间的关系得因此，方程的另一个根是0，

q的值为0.例2已知关于x的方程的一个89

1．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积．(1)2x2－4x－3＝0；(2)x2－4x＋3＝7；(3)5x2－3＝10x＋4.课堂练习1．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1，90答案：（1）（2）（3）x1＋x2＝4，x1x2＝－4

答案：（1）x1＋x2＝4，x1x2＝－4912.已知方程的一根为1，求它的另一个根及m的值.解：设的另一个根为x2

，则解得有根与系数之间的关系得因此，方程的另一个根是，m的值是16.2.已知方程的一根为1，923．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根．(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．解：(1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0，∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1·x2＝m2＋5，∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28，解得：m＝－4或m＝6.∵m＝－4时原方程无解，∴m＝6；3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x93(2)①当7为底边时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得：m＝2.∴方程变为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.∵3＋3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1＝7，代入方程得：49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得：m＝10或4.当m＝10时，方程变为x2－22x＋105＝0，解得：x＝7或15.∵7＋7＜15，不能组成三角形；当m＝4时方程变为x2－10x＋21＝0，解得：x＝3或7，此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.(2)①当7为底边时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5943、已知黑板的长和宽是方程的两根，求黑板的面积和周长？利用韦达定理，我们不必求出方程的解，给计算带来方便定理应用3、已知黑板的长和宽是方程的两根95这个题目中第③问，你会吗？你还会哪些常见的变形求值？这个题目中第③问，你会吗？你还会哪些常见的变形求值？96另外几种常见的求值另外几种常见的求值97你认为韦达定理还有哪些作用？作用二：已知一元二次方程的一根，可以求另一根你认为韦达定理还有哪些作用？作用二：已知一元二次方程的一根，98若给出一元二次方程两根的关系，你能利用吗？若给出一元二次方程两根的关系，你能利用吗？99

二个核心

三个应用一个定理：韦达定理(表述根与系数关系)应用1.求含有两根的代数式的值；应用2.已知一元二次方程的一根，可以求另一根.应用3.已知含有待定系数的一元二次方程的两根

的关系，可以求待定系数的值随堂总结二个核心三个应用一个定理：韦达定理(表述根与系数关系)100一元二次方程的应用——增长率问题一元二次方程的应用——增长率问题101学习目标1.建立一元二次方程模型解决一些代数问题.2.把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题.学习目标102（1）通过前面的学习你知道解一元二次方程有哪些方法吗？你有什么体会？（2）列一元一次方程解应用题分几个步骤？应注意什么？（3）小学六年级计算增长率你会吗？总结回顾（1）通过前面的学习你知道解一元二次方程有哪些方法吗？你有什103解一元二次方程的方法有:（1）开平方法（2）配方法（3）公式法（4）因式分解法解一元二次方程的方法有:104列一元一次方程解应用题的一般步骤实际问题数学问题已知量、未知量、相等关系解释解的合理性方程的解方程抽象分析合理验证求出列出列一元一次方程解应用题的一般步骤实际问题数学问题已知量、未知105塘溪学校由于努力改善办学条件，很抓教学质量，学校越办越红火，学生在校人数逐年增多，2015年为640人，预计2017年达到1000人，

求我校这两年人数平均增长率为多少?

如果设2016年、2017年这两年学生人数平均每年的增长率为x，则：1.2016年学生人数列式为

2.2017年学生人数列式为

3.根据题意，列方程得

想一想塘溪学校由于努力改善办学条件，很抓教学质量，学校越办越红火，1061.若某个量原来的值是a，每次增长的百分率是x，则增长1次后的值是a（1+x），增长2次后的值是a(1+x)2

，…增长n次后的值是a(1+x)n

，这就是增产率公式。2.若某个量原来的值是a，每次降低的百分率是x，则降低n次后的值是a(1-x)n，这就是降低率公式。归纳规律1.若某个量原来的值是a，每次增长的百分率是x，则增长1次后107

为了大力弘扬雷锋精神,塘溪学校今年3月份开展了“情暖敬老院·爱在行动中”的学雷锋活动。3月5日学校发出捐出你的一点零花钱，奉献你的一片爱心倡议，同学们积极响应，当天学校收到捐款650元，3月7日收到捐款2151.5元，求我校这两天平均款增长率为多少?变式训练为了大力弘扬雷锋精神,塘溪学校今年3月份开展了“情暖108变式问题一：当天学校收到捐款650元，到3月7日一共收到捐款2151.5元，求我校这两天平均捐款增长率为多少?变式问题二：当天学校收到捐款650元，3月7日与3月6日一共收到捐款2151.5元，求我校这两天平均捐款增长率为多少?变式问题一：109变式问题三：当天学校收到捐款650元，3月7日与3月5日一共收到捐款2151.5元，求我校这两天平均捐款增长率为多少?变式问题四：当天学校收到捐款650元，3月7日比3月6日多收到捐款2151.5元，求我校这两天平均捐款增长率为多少?变式问题三：110变式问题五：当天学校收到捐款650元，3月7日比3月5日多收到捐款2151.5元，求我校这两天平均捐款增长率为多少?变式问题六：当天学校收到捐款650元，3月7日比3月5日和3月６日的捐款总数还多2151.5元，求我校这两天平均捐款增长率为多少?变式问题五：1111.某校图书馆的藏书在两年内从５万册增加到7.2万册，问平均每年藏书增长的百分率是多少？作业1.某校图书馆的藏书在两年内从５万册增加到7.2万册，问平均1122.将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，若这种商品涨价x元，则可赚得y元的利润.（1）写出x与y之间的关系式；（2）为了赚得8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？2.将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，113解∶（1）商品的单价为50+x元，每个的利润是（50+x）-40元，销售量是500-10x个，则依题意得y=［（50+x）-40］（500-10x），即y=-10x2+400x+5000.（2）依题意，得-10x2+400x+5000=8000.整理，得x2-40x+300=0.解得x1=10,x2=30.所以商品的单价应定为50+10=60（元）或50+30=80（元）.当商品的单价为60元时，其进货量只能是500-10×10=400（个）；当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500-10×30=200（个）.解∶（1）商品的单价为50+x元，每个的利润是（50+x）-114先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师115第2章一元二次方程2.5.2图形面积第2章一元二次方程2.5.2图形面积116快递包裹一年需25亿纸箱快递包裹一年需25亿纸箱1172.5.2图形面积

一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364cm2.求截去的小正方形的边长？解：设截去的小正方形的边长为。由题意得：

为什么？x40-2xx28-2x答：截去的小正方形的边长为7cm。2.5.2图形面积一块长和宽分别为40cm，2118例3如图2-4，一长为32m、宽为24m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540m²，求道路的宽.

分析：虽然“整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”，但道路不是规则图形，因此不便于计算。若把道路平移，此时绿化部分就成了一个新的矩形了，题目探究例3如图2-4，一长为32m、宽为24m的矩形地面上修建119解：设道路宽为xm，则新矩形的边长为(32-x)m，宽为(20-x)m，根据等量关系列出方程。(32-x)(20-x)=540

整理，得x²-52x+100=0解得x1=2,x2=50

x2=50＞32，不符合题意，舍去,故x=2.答：道路的宽为2米.解：设道路宽为xm，则新矩形的边长为(32-x)m，宽为(120如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?（2）能否使所围矩形场地的面积810m2，为什么?

鸡场45mxx80-2x鸡场45m如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围121如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．如果给鸡场开扇2m宽的门，怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?鸡场45m如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围122如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．如果把鸡场隔成两个小鸡场，又怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?鸡场鸡场45m鸡场如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围123例

如图2-6所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm²？根据题意得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm解：设点P，Q出发xs后可使△PCQ的面积为9cm²整理，得解得

x1=x2=3答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².例如图2-6所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6c1242．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2?(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm?(3)在(1)中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝125湘教版九年级数学上册第二章一元二次方程课件126列方程解应用题的一般步骤是:1.审:审清题意:已知什么,求什么?2.设:设未知数,语句完整,有单位(同一)的要注明单位;3.列:列代数式,找出相等关系列方程;4.解:解所列的方程;5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活.列方程解应用题的关键是:

找出相等关系.归纳总结归纳总结127第二章一元二次方程小结复习第二章一元二次方程小结复习1281.能够根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程.2.理解配方法，会用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根之间是否相等.4.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.考试指南1.能够根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程.3.会用一129因式分解法知识点内容一元二次方程定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)注意：其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项一元二次方程的解法(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法；(4)_______________考点梳理因式分解法知识点内容一元二次定义只含有一个未知数，且未知数的130(续表)有两个不相等的有两个相等的没有b2－4ac知识点内容一元二次方程根的判别式判别式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式为Δ＝________判别式与方程根之间的关系(1)当Δ>0时，原方程_____________实数根；(2)当Δ＝0时，原方程____________实数根；(3)当Δ<0时，原方程______实数根一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题的一般步骤(1)审题；(2)设未知数；(3)列一元二次方程；(4)解一元二次方程；(5)检验；(6)作答(续表)有两个不相等的有两个相等的没有b2－4ac知识点内容131题型一：解一元二次方程1.(湖北随州)用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝0，下列变形正确的是()

答案：D2.(山东聊城)一元二次方程x2－2x＝0的解是

答案：x＝0或x＝2________.

典型例题探究题型一：解一元二次方程 典型例题探究1323.解方程：(1)(江苏徐州)解方程：x2－2x－3＝0；(2)(辽宁大连)解方程：x2－6x－4＝0.[解题技巧]解一元二次方程的方法：先确定所选方法，再动笔解.方法的确定是先考虑因式分解法和直接开平方法，再考虑配方法和公式法.3.解方程：(1)(江苏徐州)解方程：x2－2x－3＝0；[133题型二：一元二次方程根的判别式4.(重庆)已知一元二次方程2x2－5x＋3＝0，则该方程根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.两个根都是自然数D.无实数根答案：A题型二：一元二次方程根的判别式A.有两个不相等的实数根1345.(山东德州)若一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数解，则a的取值范围是()A.a<1B.a≤4C.a≤1D.a≥1答案：C6.(四川凉山州)关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是()A.m≤3B.m＜3C.m＜3，且m≠2D.m≤3，且m≠2答案：D

[易错陷阱]利用根的判别式确定一元二次方程中所含有的未知数的取值范围时，既要考虑方程的定义，又要考虑方程根的情况.在计算过程中，往往忽视一元二次方程的定义而导致错误.5.(山东德州)若一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数解， 135题型三：一元二次方程的应用例：(2015年广西)为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同.(1)求每年市政府投资的增长率；(2)若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？

题型三：一元二次方程的应用 136解：(1)设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，得3(1＋x)2＝6.75.解得x＝0.5，或x＝－2.5(不合题意，舍去).∴x＝0.5＝50%，即每年市政府投资的增长率为50%.(2)∵12(1＋50%)2＝27，∴2015年建设了27万平方米廉租房.解：(1)设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，得3(1＋137【试题精选】7.(广西梧州)向阳村2014年的人均收入为12000元，2016年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x，由题意，得12000(1＋x)2＝14520.解得x1＝－2.1(不合题意，舍去)，x2＝0.1＝10%.答：这两年的年平均增长率为10%.【试题精选】1388.(四川巴中)如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽.解：设小路的宽为xm，依题意，有(40－x)(32－x)＝1140.整理，得x2－72x＋140＝0.解得x1＝2，x2＝70(不合题意，舍去).答：小路的宽应是2m.8.(四川巴中)如图，某农场有一块长40m，宽32m139相等的实数根，则实数a的取值范围是()A.a≥2B.a≤2C.a＞2D.a＜2答案：C2.(广东)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为()答案：B相等的实数根，则实数a的取值范围是()2.(广东)1403.(广东)解方程：x2－3x＋2＝0.3.(广东)解方程：x2－3x＋2＝0.1414.(广东)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元.(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？解：(1)设捐款增长率为x，根据题意，得10000×(1＋x)2＝12100(元).解得x1＝0.1，x2＝－2.1.(不合题意，舍去)答：捐款增长率为10%.(2)12100×(1＋10%)＝13310(元).答：第四天该单位能收到13310元捐款.4.(广东)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有1422.1一元二次方程第二章一元二次方程2.1一元二次方程第二章一元二次方程143学习目标1.在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识。2.理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程。3.知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项。学习目标1.在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形144如图所示，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中取3）.要建立方程，关键是找出问题中的等量关系。分析问题涉及的等量关系是：矩形的面积-圆的面积=矩形的面积

.情境导入问题一如图所示，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm145分析问题涉及的等量关系是：解:由于圆的半径为xcm,则它的面积为3x2cm2.根据等量关系，可以列出方程化简，整理得①

矩形的面积-圆的面积=矩形的面积

.分析问题涉及的等量关系是：解:由于圆的146据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.分析问题涉及的等量关系是：解:

该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x.根据等量关系，可以列出方程化简，整理得②两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量×(1+年平均增长率)2问题二据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年147方程

①和

②，它们有什么共同点？①②

两个方程都只有一个未知数.

它们的左边都是二次多项式.它们的右边是0。观察方程①和②，它们有什么共同点？①②两个方程都只有一148从方程①和②受到启发，如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程.它的一般形式是其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项．ax2+bx+c=0（a，b，c是已知数，a≠0）总结归纳从方程①和②受到启发，如果一个方程通过整理可以使右边为0，而149

1.

下列方程哪些是一元二次方程?(1)

7x2-6x=0(2)

2x2-5xy+6y=0(5)

x2+2x-3=1+x2(3)

2x2--1=0－13x解:以上是一元二次方程的是：(4)=0－y22(6)

3x3-3x=0（1）（4）当堂练习1.下列方程哪些是一元二次方程?(1)7x2-6x=1502.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项3x2＝5x－1(x＋2)(x－1)＝64－7x2＝03x2

－5x＋1＝0x2＋x－8＝0－7x2

＋0

x＋4＝031－7－5101－843－5＋111－8－704＋2.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系1511.一元二次方程的概念

2.一元二次方程的一般形式如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程.ax2+bx+c=0（a，b，c是已知数，a≠0），其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项．通过这节课学习，你有哪些收获？

课堂小结1.一元二次方程的概念2.一元二次方程的一般形式如果一个1522.2.1配方法第2章一元二次方程第1课时用直接开平方法解一元二次方程2.2.1配方法第2章一元二次方程第1课时用153学习目标1.理解并掌握一元二次方程的根的概念;2.会用直接开平方法解形如的方程．（重点、难点）学习目标1.理解并掌握一元二次方程的根的概念;154问题：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？导入新课问题：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油155解：设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：10×6x2＝1500，由此可得x2＝25，根据平方根的意义，得x＝±5，即x1＝5，x2＝－5．但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为5dm.解：设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为156前面题解得的x1＝5，x2＝－5也叫作10×6x2＝1500的根．一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根．一、一元二次方程的解（根）前面题解得的x1＝5，x2＝－5也叫作10×6x2＝1500157例1：已知x=1是一元二次方程x2-mx+2m=0的一个解，则m的值是()A.-1B.1C.0D.0或1解析：把x=1代入一元二次方程x2-mx+2m=0

可得m=-1.A典例精析例1：已知x=1是一元二次方程x2-mx+2m=0的一个解，158问题1：能化为(x+m)2=n(n≥0)的形式的方程需要具备什么特点？左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为(x+m)2=n(n≥0).问题2：x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±3，如果x换元为2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？一起看看下面的例题．二、直接开平方法解一元二次方程问题1：能化为(x+m)2=n(n≥0)的形式的方程需要具备159例2：解方程：(1)x2＋4x＋4＝1(2)x2＋6x＋9＝2解：(1)由原方程得：(x+2)2=1直接开平方得：x+2=±1

x1=-1

x2=-3右边是大于0的数所以方程有个不同的的实数解(2)由原方程得：(x+3)2=2直接开平方得：典例精析例2：解方程：(1)x2＋4x＋4＝1(2)x2＋6x＋160用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负常数的形式，再根据平方根的定义求解．注意开方后，等式的右边取“正、负两种情况”．方法归纳用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平1611．一元二次方程x2－4＝0的根为(

)A．x＝2B．x＝－2C．x1＝2，x2＝－2D．x＝42．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是(

)A．0个B．1个C．2个D．3个3．一元二次方程x2＝7的根是

．CC当堂练习1．一元二次方程x2－4＝0的根为()CC当堂1624．若代数式3x2－6的值为21，则x的值是

．5．解下列方程：

(1)2y2－100＝0；(2)(x＋6)(x－6)＝64.解析：由题意可得方程：3x2－6＝21；解这个方程得：x1=3，x2=-3.解：x2-36=64

x2=100

x=±10解：2y2=100

y2=504．若代数式3x2－6的值为21，则x的值是163直接开平方法解一元二次方程一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根直接开平方法解形如课堂小结直接开平方法解一元二次方程一元二次方程的解：使方程左右两边