数学建模竞赛课件 微分方程模型

微分方程模型理学院：方郁文2011年7月7日微分方程模型理学院：方郁文1微分方程模型建模步骤1、模型准备2、模型假设3、模型构成4、模型求解与分析5、模型检验6、模型应用微分方程模型建模步骤1、模型准备21、模型准备

如果想对某个实际问题进行数学建模，通常要先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清要建模的问题属于哪一类学科的问题，然后查找搜集与建模要求有关的资料和信息为接下来的数学建模做准备，根据实际要求确定要研究的量，如自变量、未知函数、必要参数，这一过程称为模型准备。

对于微分方程模型而言，要寻找表示导数的常用词，如“速率”、‘增长”(在生物学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经济学中)等。1、模型准备

如果想对某个实际问题进行数学建模，通常要先了32、模型假设一个实际问题会涉及到很多因素，如果把涉及的所有因素都考虑到，既不可能也没必要，而且还会使问题复杂化导致建模失败。要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设，这一过程称为模型假设。在明确建模目的和掌握相关资料的基础上，去除一些次要因素。以主要矛盾为主来对该实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设可以为数学建模带来方便使问题得到解决。

2、模型假设一个实际问题会涉及到很多因素，如果把涉及的所有因43、模型构成

有了模型假设后，就可以选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系，这一过程称为模型构成。对于微分方程而言：就是建立瞬时表达式：根据自变量有微小改变△t时，因变量的增量△X，建立起在时段△t上的增量表达式，即建立瞬间表达式。有些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。3、模型构成

有了模型假设后，就可以选择适当的数学工具并根据54、模型求解与分析采用解方程、计算机模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解，其中有些可以用计算机软件（如MATLAB）来做这些工作，同时有时候还需要对获得结果进行数学上的分析，如分析变量之间的依赖关系和稳定状况等，这一过程称为模型求解与分析。4、模型求解与分析采用解方程、计算机模拟、定理证明等各种传统65、模型检验

把模型在数学上分析的结果与研究的实际问题做比较以检验模型的合理性称为模型检验。模型检验对建模的成败是很重要的，如果检验结果不符合实际，应该修改补充假设或改换其他数学方法重新做模型构成。通常，一个模型要经过如此多次反复修改才能得到满意结果。

5、模型检验

把模型在数学上分析的结果与研究的实际问题做比较76、模型应用利用建模中获得的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释和预报，以供决策者参考称为模型应用。6、模型应用利用建模中获得的正确模型对研究的实际问题给出预报8关于微分方程模型的一些例子模型关于微分方程模型的一些例子模型9静态模型参数常定模型指决定系统特性的因素不随着时间的推移而变化的系统模型，静态模型的假定本身是对系统的一种简化，是相对比较简单的参数时变模型指系统的状态随时间的推移而变化动态模型

静态模型参数常定模型参数时变模型动态模型10背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长一、人口增长模型背景年1625183011指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(t)~时刻t的人口模型假设：

人口增长速率与当时人口数成正比，比例系数为是常数r，r为相对人口增长率

今年人口x0,年增长率rk年后人口指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(12指数增长模型的结论、应用及局限性结论：随着时间增加，人口按指数规律无限增长。与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合应用：可用于短期人口增长预测局限性：不符合19世纪后多数地区人口增长规律，不能预测较长期的人口增长过程实际上人口增长率r不是常数(逐渐下降)指数增长模型的结论、应用及局限性结论：随着时间增加，人口按指13阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增14dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x15参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4专家估计r=0.2557,xm=392.1参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口利用统计数据用最16模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为217阻滞增长模型的结论、应用及局限性结论：1、不管人口开始时处于什么状态，随着时间的增长，人口最终趋近于其人口最大容量；2、当人口总数超过人口容量时，人口数量将减少；3、人口总数小于人口容量时，人口数量会增加。应用：可用来做相对较长时期的人口预算局限性：它为单调曲线阻滞增长模型的结论、应用及局限性结论：18二、经济增长模型1、建立产值与资金、劳动力之间的关系2、研究资金与劳动力的最佳分配，投资效益最大3、调节资金与劳动力的增长率，使经济（生长率）增长二、经济增长模型1、建立产值与资金、劳动力之间的关系191.道格拉斯(Douglas)生产函数产值Q(t)资金K(t)劳动力L(t)技术f(t)=f0F为待定函数1.道格拉斯(Douglas)生产函数产值资金K(t20模型假设静态模型每个劳动力的产值每个劳动力的投资z随着y的增加而增长，但增长速度递减yg(y)0模型假设静态模型每个劳动力的产值每个劳动力的投资z随着y21-----------Douglas生产函数

这说明了产值随着资金和劳动力的增长而增长，但是增长速度在减慢。-----------Douglas生产函数这说明了产值随22QK~单位资金创造的产值QL~单位劳动力创造的产值~资金在产值中的份额1-~劳动力在产值中的份额更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数Douglas生产函数QK~单位资金创造的产值QL~单位劳动力创造的产值23求K/L(每个劳动力占有的资金)，使效益S最大资金和劳动力创造的效益资金来自贷款，利率r劳动力付工资w

2、资金与劳动力的最佳分配（静态模型）这就是资金与劳动力的最佳分配.可见，w,r,K/L这是符合常识的.求K/L(每个劳动力占有的资金)，使效益S最大资金和劳动力243、经济(生产率)增长的条件(动态模型)常用衡量经济增长指标：Q(t)增长或Z(t)=Q(t)/L(t)增长

模型假设1.投资增长率与产值成正比2.劳动力相对增长率为常数3、经济(生产率)增长的条件(动态模型)常用衡量经济增长指25------Bernoulli方程------Bernoulli方程26数学建模竞赛课件微分方程模型27产值Q(t)增长dQ/dt>0a)经济增长的条件产值Q(t)增长dQ/dt>0a)经济增长的条件28这说明：如果劳动力增加，产量增加；劳动力减少，产量只能在有限的时间内保持增加

这说明：如果劳动力增加，产量增加；劳动力减少，产量只能在有限29每个劳动力的产值Z(t)=Q(t)/L(t)增长dZ/dt>0b)经济增长的条件每个劳动力的产值Z(t)=Q(t)/L(t)增长dZ/dt30劳动力增长率小于初始投资增长率劳动力增长率小于初始投资增长率31结论道格拉斯(Douglas)生产函数是计量经济学中的一个重要的模型，在此基础上讨论的资金和劳动力是一个静态模型，而利用微分方程研究的劳动生产率增长条件是一个动态模型，虽然推导过程繁琐，但是结果简明，并且能做出合理的解释结论道格拉斯(Douglas)生产函数是计量经济学中的一个重32三、传染病模型问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型三、传染病模型问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变33已感染人数(病人)x(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设随时间增加，病人人数一直增加，不符合实际必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模已感染人数(病人)x(t)每个病人每天有效接触(足以34模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1.总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2.每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模~日接触率SI模型模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1.总人数35Logistic模型di/dti01/21Logistic模型di/dti01/2136ii010t1/2tmtm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tm这表示所有人最终将被传染，全为病人，不合实际没有考虑病人可以治愈！ii010t1/2tmtm~传染病高潮到来时刻(日接触率37模型3病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3.病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。模型3病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS38i0i0接触数=1~阈值1-1/idi/dt01>10ti>11-1/i0i0接触数=1~阈值1-1/idi/dt0139i0t1i0di/dt<0idi/dt01

11-1/表明感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数局限：有些病治愈后具有很强的免疫力i0t1i0di/dt<0idi/dt0140模型4病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率,日治愈率,

接触数=/建模需建立的两个方程模型4病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总41无法求出的解析解在相平面上研究解的性质无法求出在相平面上42消去dt相轨线相轨线的定义域消去dt相轨线相轨线的定义域43si101D传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向P1s0im1/

~阈值P3P4P2S0P1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)单调降至0相轨线及其分析si101D传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方44预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/降低s0提高r0提高阈值1/降低(=/),群体免疫预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日45的估计被传染人数的估计记被传染人数比例的估计被传染人数的估计记被传染人数比例46x<<s0i0P1i00,s01这说明：提高阈值1/或降低s0

降低被传染人数比例xx<<s0i0P1i00,s01这说明：提高阈值47稳定性模型对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。稳定性模型对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后48四、捕鱼业的持续收获渔业是再生资源再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。问题及分析在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。背景四、捕鱼业的持续收获渔业是再生资源再生资源应适度开发——在49产量模型模型假设1.无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律2.单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比r~固有增长率,N~最大鱼量h(x)=Ex,E~捕捞强度x(t)~渔场鱼量产量模型模型假设1.无捕捞时鱼的自然增长服从Logisti50建模捕捞情况下渔场鱼量满足不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件建模捕捞情况下渔场鱼量满足不需要求解x(t),只需知道51一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡点设x(t)是方程的解，若从x0某邻域的任一初值出发，都有称x0是方程(1)的稳定平衡点一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性（自治）方程F(x)52不求x(t),判断x0稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程不求x(t),判断x0稳定性的方法——直接法(1)的近似线53产量模型平衡点E~捕捞强度r~固有增长率产量模型平衡点E~捕捞强度r~固有增长率54稳定性判断x0稳定,可得到稳定产量x1稳定,渔场干枯只要适量的捕捞，就可以使渔场鱼量稳定在x0稳定性判断x0稳定,可得到稳定产量x1稳定,渔场干枯55在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大P的横坐标x0~平衡点y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标h~产量f与h交点Phmx0*=N/2P*y=E*x在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大P的横坐标x056产量最大结论：控制渔场鱼量为最大鱼量的一半此时产量最大结论：控制渔场鱼量为最大鱼量的一半此时57效益模型模型假设1.鱼销售价格p2.单位捕捞强度费用c单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.稳定平衡点收入T=ph(x)=pEx支出S=cE效益模型模型假设1.鱼销售价格p2.单位捕捞强度费用c58求E使R(E)最大渔场鱼量求E使R(E)最大渔场鱼量59EsS(E)T(E)0rE捕捞过度

封闭式捕捞追求利润R(E)最大

开放式捕捞只求利润R(E)>0R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)Es=2ER临界强度下的渔场鱼量ERE*令=0EsS(E)T(E)0rE捕捞过度封闭式捕捞追求利润R(E60谢谢各位同学！谢谢各位同学！61微分方程模型理学院：方郁文2011年7月7日微分方程模型理学院：方郁文62微分方程模型建模步骤1、模型准备2、模型假设3、模型构成4、模型求解与分析5、模型检验6、模型应用微分方程模型建模步骤1、模型准备631、模型准备

如果想对某个实际问题进行数学建模，通常要先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清要建模的问题属于哪一类学科的问题，然后查找搜集与建模要求有关的资料和信息为接下来的数学建模做准备，根据实际要求确定要研究的量，如自变量、未知函数、必要参数，这一过程称为模型准备。

对于微分方程模型而言，要寻找表示导数的常用词，如“速率”、‘增长”(在生物学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经济学中)等。1、模型准备

如果想对某个实际问题进行数学建模，通常要先了642、模型假设一个实际问题会涉及到很多因素，如果把涉及的所有因素都考虑到，既不可能也没必要，而且还会使问题复杂化导致建模失败。要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设，这一过程称为模型假设。在明确建模目的和掌握相关资料的基础上，去除一些次要因素。以主要矛盾为主来对该实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设可以为数学建模带来方便使问题得到解决。

2、模型假设一个实际问题会涉及到很多因素，如果把涉及的所有因653、模型构成

有了模型假设后，就可以选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系，这一过程称为模型构成。对于微分方程而言：就是建立瞬时表达式：根据自变量有微小改变△t时，因变量的增量△X，建立起在时段△t上的增量表达式，即建立瞬间表达式。有些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。3、模型构成

有了模型假设后，就可以选择适当的数学工具并根据664、模型求解与分析采用解方程、计算机模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解，其中有些可以用计算机软件（如MATLAB）来做这些工作，同时有时候还需要对获得结果进行数学上的分析，如分析变量之间的依赖关系和稳定状况等，这一过程称为模型求解与分析。4、模型求解与分析采用解方程、计算机模拟、定理证明等各种传统675、模型检验

把模型在数学上分析的结果与研究的实际问题做比较以检验模型的合理性称为模型检验。模型检验对建模的成败是很重要的，如果检验结果不符合实际，应该修改补充假设或改换其他数学方法重新做模型构成。通常，一个模型要经过如此多次反复修改才能得到满意结果。

5、模型检验

把模型在数学上分析的结果与研究的实际问题做比较686、模型应用利用建模中获得的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释和预报，以供决策者参考称为模型应用。6、模型应用利用建模中获得的正确模型对研究的实际问题给出预报69关于微分方程模型的一些例子模型关于微分方程模型的一些例子模型70静态模型参数常定模型指决定系统特性的因素不随着时间的推移而变化的系统模型，静态模型的假定本身是对系统的一种简化，是相对比较简单的参数时变模型指系统的状态随时间的推移而变化动态模型

静态模型参数常定模型参数时变模型动态模型71背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长一、人口增长模型背景年1625183072指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(t)~时刻t的人口模型假设：

人口增长速率与当时人口数成正比，比例系数为是常数r，r为相对人口增长率

今年人口x0,年增长率rk年后人口指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(73指数增长模型的结论、应用及局限性结论：随着时间增加，人口按指数规律无限增长。与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合应用：可用于短期人口增长预测局限性：不符合19世纪后多数地区人口增长规律，不能预测较长期的人口增长过程实际上人口增长率r不是常数(逐渐下降)指数增长模型的结论、应用及局限性结论：随着时间增加，人口按指74阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增75dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x76参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4专家估计r=0.2557,xm=392.1参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口利用统计数据用最77模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为278阻滞增长模型的结论、应用及局限性结论：1、不管人口开始时处于什么状态，随着时间的增长，人口最终趋近于其人口最大容量；2、当人口总数超过人口容量时，人口数量将减少；3、人口总数小于人口容量时，人口数量会增加。应用：可用来做相对较长时期的人口预算局限性：它为单调曲线阻滞增长模型的结论、应用及局限性结论：79二、经济增长模型1、建立产值与资金、劳动力之间的关系2、研究资金与劳动力的最佳分配，投资效益最大3、调节资金与劳动力的增长率，使经济（生长率）增长二、经济增长模型1、建立产值与资金、劳动力之间的关系801.道格拉斯(Douglas)生产函数产值Q(t)资金K(t)劳动力L(t)技术f(t)=f0F为待定函数1.道格拉斯(Douglas)生产函数产值资金K(t81模型假设静态模型每个劳动力的产值每个劳动力的投资z随着y的增加而增长，但增长速度递减yg(y)0模型假设静态模型每个劳动力的产值每个劳动力的投资z随着y82-----------Douglas生产函数

这说明了产值随着资金和劳动力的增长而增长，但是增长速度在减慢。-----------Douglas生产函数这说明了产值随83QK~单位资金创造的产值QL~单位劳动力创造的产值~资金在产值中的份额1-~劳动力在产值中的份额更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数Douglas生产函数QK~单位资金创造的产值QL~单位劳动力创造的产值84求K/L(每个劳动力占有的资金)，使效益S最大资金和劳动力创造的效益资金来自贷款，利率r劳动力付工资w

2、资金与劳动力的最佳分配（静态模型）这就是资金与劳动力的最佳分配.可见，w,r,K/L这是符合常识的.求K/L(每个劳动力占有的资金)，使效益S最大资金和劳动力853、经济(生产率)增长的条件(动态模型)常用衡量经济增长指标：Q(t)增长或Z(t)=Q(t)/L(t)增长

模型假设1.投资增长率与产值成正比2.劳动力相对增长率为常数3、经济(生产率)增长的条件(动态模型)常用衡量经济增长指86------Bernoulli方程------Bernoulli方程87数学建模竞赛课件微分方程模型88产值Q(t)增长dQ/dt>0a)经济增长的条件产值Q(t)增长dQ/dt>0a)经济增长的条件89这说明：如果劳动力增加，产量增加；劳动力减少，产量只能在有限的时间内保持增加

这说明：如果劳动力增加，产量增加；劳动力减少，产量只能在有限90每个劳动力的产值Z(t)=Q(t)/L(t)增长dZ/dt>0b)经济增长的条件每个劳动力的产值Z(t)=Q(t)/L(t)增长dZ/dt91劳动力增长率小于初始投资增长率劳动力增长率小于初始投资增长率92结论道格拉斯(Douglas)生产函数是计量经济学中的一个重要的模型，在此基础上讨论的资金和劳动力是一个静态模型，而利用微分方程研究的劳动生产率增长条件是一个动态模型，虽然推导过程繁琐，但是结果简明，并且能做出合理的解释结论道格拉斯(Douglas)生产函数是计量经济学中的一个重93三、传染病模型问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型三、传染病模型问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变94已感染人数(病人)x(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设随时间增加，病人人数一直增加，不符合实际必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模已感染人数(病人)x(t)每个病人每天有效接触(足以95模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1.总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2.每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模~日接触率SI模型模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1.总人数96Logistic模型di/dti01/21Logistic模型di/dti01/2197ii010t1/2tmtm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tm这表示所有人最终将被传染，全为病人，不合实际没有考虑病人可以治愈！ii010t1/2tmtm~传染病高潮到来时刻(日接触率98模型3病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3.病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。模型3病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS99i0i0接触数=1~阈值1-1/idi/dt01>10ti>11-1/i0i0接触数=1~阈值1-1/idi/dt01100i0t1i0di/dt<0idi/dt01

11-1/表明感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数局限：有些病治愈后具有很强的免疫力i0t1i0di/dt<0idi/dt01101模型4病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率,日治愈率,

接触数=/建模需建立的两个方程模型4病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总102无法求出的解析解在相平面上研究解的性质无法求出在相平面上103消去dt相轨线相轨线的定义域消去dt相轨线相轨线的定义域104si101D传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向P1s0im1/

~阈值P3P4P2S0P1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)单调降至0相轨线及其分析si101D传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方105预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/降低s0提高r0提高阈值1/降低(=/),群体免疫预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日106的估计被传染人数的估计记被传染人数比例的估计被传染人数的估计记被传染人数比例107x<<s0i0P1i00,s01这说明：提高阈值1/或降低s0

降低