数学课堂育人新探

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黄小妹

[摘要]当前学科素养的培养已经成为教师开展教学所要贯彻的重要内容，教师需要从基础的学科特点出发，进行拓展，分析对应学科核心素养的教学表达，并想方法将其融入实际的教学设计中.

[关键词]学科素养;椭圆;标准方程

当前学科素养的培养已经成为教师开展教学所要贯彻的重要内容，教师需要从基础的学科特点出发，进行拓展，分析对应学科核心素养的教学表达，并想方法将其融入实际的教学设计中.对于高中数学而言，学科素养的培养主要表达在数学抽象、规律推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个维度，且数学思想作为数学学科独有的精华内容，其本身与学科素养的培养也存在一定的关联，对学生的发展也有着重要的促进作用.

一、数学学科素养培养的必要性

新课标对学科素养的培养做出了明确的要求，教育部发行的《中国高考评价体系》和《中国高考评价体系说明》两份文件中也明确地提出了高考对于学生学科素养发展的考察.鉴于两方面要求，教师需要调整自己的教学方向，在教学设计之中，融入学科素养的培养.除此之外，学科素养的培养也是当前立德树人教学任务的主要表达，其可以促进学生学科素养的有效发展，对于学生对相关学科的深入学习也有着十分大的帮助.

二、将数学思想融入教学

数学思想是数学的精华内容，其直接指向多种解题的思维方法.为了帮助学生有效把握数学解题的本质内容，提高学生的解题能力，教师需要将数学思想融入教学.在高中阶段，学生所学习的数学内容具备较高的难度，数学思想的引入，对于学生解答难题很有帮助.基于此，教师在教学实际中需要将数学思想融入实际的教学中.下面以《椭圆及其标准方程》教学为例加以说明.

（一）教材分析

本课为人教A版其次章其次节的内容，是学生学习了《曲线与方程》之后学习的，它是后续教学椭圆几何性质、双曲线、抛物线定义等知识的基础.从知识结构来看，本课的知识起着承上启下的作用.椭圆的学习是学生学习双曲线、抛物线等内容的基础.本课所教学的内容主要包含椭圆定义、椭圆标准方程等.通过椭圆知识学习，学生就可以解决日常生活中一些涉及椭圆的问题.椭圆的知识内容在高考中占有对比重要的地位，所占的分数比例也较大.

本课的教学重点在于让学生通过对椭圆标准方程的学习感受数形结合思想，进而让学生理解和把握椭圆的定义和椭圆的两种标准方程.

本课的教学难点在于椭圆标准方程的建立和推导.对于学生而言，椭圆标准方程的推导过程是十分抽象且具有高度规律性的，这使得学生在推导的过程中很简单陷入思维误区.为了帮助学生更好地实现方程的推导，教师需以问题为导向逐步引导学生思考.

（二）教学过程

本节课运用了黄河清书记“问题导学〞的教学模式进行构建，课堂划分为五个主要架构：教学导入—概念形成—深度探究—习题摸索—小结归纳.

1.设置疑问，导入课堂

请观测下面的方程，你能找出哪些信息呢？

使用两个钉子和等长的绳子为学生演示画椭圆的方法.

设计意图：教师通过提问引导的方式，让学生思考圆和椭圆的区别，分析椭圆与圆之间的区别和联系.问题2的提出，让学生比较圆的概念引申到椭圆的概念.教师通过画出椭圆的轨迹，让学生初步认识椭圆与圆之间的关系.接着教师向学生介绍本课的学习目标，及时达成对椭圆标准方程的认识，感受其推导的过程.

2.结合问题，形成概念

两个钉子之间距离的改变，會让椭圆发生什么变化呢？

设计意图：通过问题的提出，让学生思考在画椭圆的过程中，作为两个基准点的钉子的位置变化会对椭圆产生影响.在思考的过程中，学生也会想到圆心对于圆的影响，从而对钉子位置的作用进行初步的猜想.

根据轨迹的变化，你能说出椭圆是满足什么条件的点的轨迹吗？

在黑板上绘制出椭圆的简易图，并在画椭圆的两个钉子的位置标注[F1]和[F2].

设计意图：让学生初步认识到钉子位置[F1]和[F2]对椭圆的影响，进而教师帮助学生总结，明确椭圆的定义：平面内与两个定点[F1]，[F2]距离的和等于常数（大于[F1F2]）的轨迹叫椭圆.在此基础上，教师再联系圆的圆心，指出这两个定点为椭圆的焦点，两焦点之间的距离为焦距.

焦点为[F1]，[F2]的椭圆上任一点[M]，其具有哪些性质呢？

设计意图：通过问题引导学生思考椭圆轨迹上的点所具备的特别性质，学生通过思考不难知道椭圆上的点都满足椭圆的方程.但由于学生能力有限，其并不能清楚地总结出点M所具有的性质，所以教师要联系学生的回复，引导学生总结出[M]的性质：椭圆上任一点[M]，则有[MF1+MF2=2a2a>2c=F1F2].

定义中的常数为什么要大于焦距呢？

设计意图：引导学生思考椭圆中的限制问题，并使学生思考椭圆成立的条件.

若常数等于焦距，轨迹会变为什么呢？

设计意图：通过问题，引导学生思考特别状况，即当常数与焦距一致时，椭圆是否还是椭圆，又会变成什么.教师在教学中可以引导学生进行实际操作思考，得出当常数等于焦距时，轨迹为线段.

若常数小于焦距，轨迹又会怎样呢？

设计意图：对另一种状况的追问，引导学生进一步思考，通过分析，教师可以引导学生明确当常数小于焦距时，轨迹不存在.通过这几个问题，教师也能让学生明确，定义是判断椭圆的方法，定义是椭圆的一特性质.

若[F1]，[F2]之间的间距变为零，此时轨迹变为什么样呢？

设计意图：通过这一问题的提出，可以使学生直接认识到圆与椭圆的关系，并明确圆是椭圆的一种特别状况.

3.引导分析，深入探究

利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤该怎么操作呢？

设计意图：通过问题提出，引导学生思考相关的坐标系建立方法.一般而言，学生所设计的坐标系主要可能存在三种状况：①将[F1]，[F2]建在[x]轴上，以[F1][F2]的中点为原点;②把[F1]，[F2]建在[x]轴上，以[F1]为原点;③把[F1]，[F2]建在[x]轴上，以[F2]为原点.教师随后可以引导学生观测椭圆的特性，让学生思考哪一种建系方式更加适合.通过思考，不难看出方案①更加简便.

同学们可以尝试着进行推导吗？

设计意图：通过该问题让学生开始进行相关方程的推导.由于方程推导难度较大，教师可以再留给学生几分钟时间让他们尝试自主推导，然后，教师演示推导的过程.在推导的过程中，为了确保学生的参与，教师要能随着具体的推导节奏再提出问题.最终推导出椭圆的标准方程[x2a2+y2b2=1][（a>b>0）]（如图1）或[y2a2+x2b2=1][（a>b>0）]（如图2）.

通过观测，你发现椭圆的标准方程有什么特点呢？

设计意图：学生结合具体的方程与图像进行分析，研究椭圆方程的特性，学生提出的特征可能包括椭圆标准方程中三个参数的关系与椭圆焦点位置由标准方程中分母大小确定这两点.对于椭圆标准方程的具体形式，学生则可能会忽视，所以教师要将其点出.

4.给出习题，稳定加深

[练习一]请说出下面方程中哪些是椭圆的方程，若方程是椭圆的方程，请判断其焦点坐标位于哪个坐标轴，说出焦点的坐标.

设计意图：通过几个简单方程的呈现，检测学生是否达成了相关知识内容的有效把握.

[练习二]求符合以下条件的椭圆的标准方程.

设计意图：目的是让学生学会求椭圆的标准方程，为下节课学习椭圆的性质做好铺垫.

5.小结归纳

本节课你学到了什么呢？

设计意图：通过对本课知识内容的回想，学生可以再次对椭圆相关的知识进行回想，可以感受到椭圆方程中数形结合思想、方程与函数思想、化歸思想、极限思想等数学思想，从知识和思想两个方面实现学生对椭圆知识的总结，学生的相关数学素养也将在此过程中得到培养.在这过程中，教师还可以再度强调圆与椭圆的关系，让学生进行思考.

数学教学应围绕新课