2022-2023学年福建省莆田市第二中学高二数学理期末试卷含解析

2022-2023学年福建省莆田市第二中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.使得的展开式中含有常数项的最小的为 （）A． B． C． D．参考答案：B略2.函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（）A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16参考答案：A【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间[0，3]上的单调性，根据函数的变化规律确定函数在区间[0，3]上最大值与最小值位置，求值即可【解答】解：由题意y'=6x2﹣6x﹣12令y'＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）减，在（2，3）上增又y（0）=5，y（2）=﹣15，y（3）=﹣4故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是5，﹣15故选A3.设命题p：直线x﹣y+1=0的倾斜角为135°；命题q：平面直角坐标系内的三点A（﹣1，﹣3），B（1，1），C（2，2）共线．则下列判断正确的是（）A．￢p为假 B．￢p∧￢q为真 C．p∨q为真 D．q为真参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先判断命题p，命题q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，得到结论．【解答】解：直线x﹣y+1=0的斜率为1，倾斜角为45°，故命题p为假命题；直线AB的斜率为2，直线BC的斜率为1，故三点A（﹣1，﹣3），B（1，1），C（2，2）不共线．故命题q为假命题，故￢p为真命题，故A错误；￢p∧￢q为真命题，故B正确；p∨q为假命题，故C错误；q为为假命题，故D错误；故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，直线的倾斜角，三点共线等知识点，难度中档．4.过双曲线x2－=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有

A．1条

B．2条

C．3条

D．4条参考答案：C5.下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③P命题的否命题和P命题的逆命题同真同假④若|C|＞0则C＞0其中正确结论的个数是(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4参考答案：B考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．分析：令f（x）=x﹣sinx，利用导数分析其单调性，可判断①；写出原命题的逆命题，可判断②；P命题的否命题和P命题的逆命题是等价命题，同真同假，可判断③；若|C|＞0则C＞0或C＜0，可判断④．解答：解：令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，故f（x）=x﹣sinx在R上为增函数，故x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即x＞sinx恒成立，故①正确；命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x=0，则x﹣sinx=0”，故②错误；P命题的否命题和P命题的逆命题是等价命题，同真同假，正确；④若|C|＞0则C＞0或C＜0，不正确．故选：B．点评：本题考查函数的单调性的运用，考查逆命题，考查四种命题，属于基础题和易错题．6.“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时，cos2a=cos（4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2kπ+?a=kπ+（k∈Z），或2a=2kπ﹣?a=kπ﹣（k∈Z），故选A．【点评】判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．7.正方体棱长为1，为侧面内的动点，且,则P点所形成轨迹图形的长度为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D8.数列前项和为，若，则等于（）A．B．

C．

D．参考答案：A9.在一项调查中有两个变量x（单位：千元）和y（单位：t），如图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程类型的是（

）A.y＝a+bx B.y＝c+d C.y＝m+nx2 D.y＝p+qex（q＞0）参考答案：B散点图呈曲线，排除选项，且增长速度变慢，排除选项，故选.10.函数有(

)A.最大值为1 B.最小值为1C.最大值为e D.最小值为e参考答案：A【分析】对函数进行求导，判断出函数的单调性，进而判断出函数的最值情况.【详解】解:，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，有最大值为，故选A.【点睛】本题考查了利用导数研究函数最值问题，对函数的导函数的正负性的判断是解题的关键.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于

．参考答案：【考点】圆的切线方程；两直线的夹角与到角问题．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ的值，可得cosθ、tanθ的值，再计算tan2θ．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA=，圆的半径为r=，∴sinθ=，∴cosθ=，tanθ=，∴tan2θ==，故答案为：．12.用4种颜色给一个正四面体的4个顶点染色，若同一条棱的两个端点不能用相同的颜色，那么不同的染色方法共有_____________种。 参考答案：2413.抛物线的焦点坐标是

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．参考答案：14.已知双曲线C：的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为_____________．参考答案：4.【分析】利用双曲线的性质及条件列a,b,c的方程组，求出c可得.【详解】因为双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，所以,解得，所以双曲线的焦距为4.故答案为4.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，注意隐含条件，考查运算求解能力，属于基础题.15.点P（﹣1，2）在不等式2x+3y﹣b＞0表示的区域内，则实数b的范围是．参考答案：b＜4考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：根据点P（﹣1，2）在不等式2x+3y﹣b＞0所表示的平面区域内，将点的坐标代入，列出关于b的不等式，求出实数b的取值范围．解答：解：∵P（﹣1，2）在不等式2x+3y﹣b＞0表示的区域内，∴﹣2+6﹣b＞0，解得b＜4，则实数b的范围是b＜4，故答案为：b＜4．点评：考查二元一次不等式（组）与平面区域，理解二元一次不等式表示的平面区域，会利用数形结合的数学思想解决问题．16.如图：先将等腰的斜边与有一个角为的的斜边重合，然后将等腰沿着斜边AB翻折成三棱锥,若，则的最大值为_.参考答案：17.已知函数在区间（-1,1）上恰有一个极值点，则实数的取值范围是

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．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)若f(x)有极大值28，求f(x)在上的最小值．参考答案：(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，故有解得a＝1，b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16.由题设条件知16＋c＝28，得c＝12.此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，因此f(x)在上的最小值为f(2)＝－4.19.参考答案：20.在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若点P在曲线C上，且P到直线l的距离为1，求满足这样条件的点P的个数.参考答案：(1)；(2)3个.试题分析：（1）由曲线的极坐标方程为,两边分别乘以,再根据,即可将极坐标方程转化为直角坐标方程.由直线的参数方程为（为参数）,消去参数t可得直角坐标系中的直线方程.（2）由圆心(2,0)到直线的距离为1.所以恰为圆半径的，所以圆上共有3个点到直线的距离为1.（1）由得，故曲线的直角坐标方程为：，即；由直线的参数方程消去参数得，即．4分（2）因为圆心到到直线的距离为，恰为圆半径的，所以圆上共有3个点到直线的距离为1．7分考点：1.极坐标方程.2.参数方程.21.观察下列等式：，，，，……（1）依照上述4个式子的规律，归纳出第n个等式；（2）用数学归纳法证明上述第n个等式.参考答案：(1)第个等式为（2）要证明的等式即（i）当时，等号显然成立（ii）假设时，等号成立，则当时，所以假设成立，综上，.19.解：22.已知{an}是由正数组成的等比数列，a2=2，且a4，3a3，a5成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{an+1﹣λan}的前n项和为Sn，若Sn=2n﹣1（n∈N*），求实数λ的值．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；定义法；转化法；等差数列与等比数列．【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式建立方程关系求出公比即可，（2）根据等比数列的求和公式利用分组法求出Sn的值，利用对比法进行求解即可．【解答】解：（1）∵a2=2，且a4，3a3，a5成等差数列．∴a4+a5=2×3a3，即qa3+q2a3=6a3，即q2+q﹣6=0，得q=