高考调研二轮复习数学理

第一部分

论

方

法研究一些数学思想和方法吧！它将会使你站在一个崭新的高度去审视问题．只有熟练地掌握数学的思想和方法，才能使你在解答高考综合题时左右逢源、游刃有余！“数学思想方法”是数学的，要熟练掌握通性通法，才是穿越高考的关键．所有的高考试题都可以用基本思想方法求解，可以采用常用技巧，但对于有些比较难以掌握的技巧与方法则应淡化甚至放弃.专题1

函数与方程思想c一、函数思想就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，并用函数的解析式将其表示出来，从而通过研究函数的图像和性质，使问题获解．二、方程思想就是分析数学中的变量间的等量关系，构建方程或方程组，转化为对方程的解的 ，从而使问题获解．三、函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数

y＝f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或

f(x)<0)，就是求函数y＝f(x)的正(或负)区间，再如方程

f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x

轴的交点问题，方程

f(x)＝a有解，当且仅当a

属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要.类型一 利用函数思想确定参数范围【典例

1】

(2014·重庆)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋1

＋22a对任意实数

x

恒成立，则实数

a

的取值范围是

．【答题模板】

(1)审题知本题为恒成立问题；(2)联想恒成立问题常用方法：分离参数法(本题已分离)；(3)求|2x－1|＋|x＋2|的最小值；(4)解关于a

的不等式得a

的范围．【解析】

设

y＝|2x－1|3x＋当x<－2

时，y＝－3x－1>5；当－2≤x<152时，y＝－x＋3>2；当

x≥1

5

52时，y＝3x＋1≥2.故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为2.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2

1

＋2

对任意实数

x

恒成立，所＋2a5

12

25

1

1以2≥a

＋2a＋2.解不等式2≥a

＋2a＋2，得－1≤a≤2，故a

的取

2

值范围是－1，1

.【答案】－1，

12【对点练

1】

(2014·“北约”自主招生试题)如果

f(x)＝lg(x2－2ax＋a)的值域为R，求实数a

的取值范围．【解析】由题意知x2－2ax＋a

能够取遍所有正数．即函数

g(x)＝x2－2ax＋a有零点，所以

Δ＝4a2－4a≥0解得a≤0

或a≥1.即a

的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．π【典例

2】

若方程

cos2x－sinx＋a＝0

在(0，2]上有解，则实数

a

的取值范围为

．【答题模板】将a表示成x的三角函数―→求三角函数的最值【解析】

由cos2x－sinx＋a＝0，得

a＝sin2x＋sinx－1.问题变成求函数

a＝sin2x＋sinx－1

在

x∈(0

π

时的值域问，2]题．5∵a＝(sinx＋1

2－

，2)

4而0<sinx≤1，∴－1<a≤1，即a

的取值范围为(－1,1]．【答案】

(－1,1]【对点练2】实数m

的最大值为(A．1C．－1(2014·衡水模拟)方程m＋1－x＝x

有解，则)B．0D．－2【解析】

由原式得

m＝x－1－x，设1－x＝t(t≥0)，则

m＝1－t2－t

5

(t

1

2.＝4－

＋2)5

1

2∴m＝4－(t＋2)

在[0，＋∞)上是减函数．∴t＝0

时，m

的最大值为1.【答案】

A【典例3】x2

y2

3a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为2

，F

是椭圆E

的右焦点，直线

AF的斜率为2 3，O

为坐标原点．3求E

的方程；设过点A的动直线l

与E相交于P，Q

两点，当△OPQ的面积最大时，求l

的方程．类型二 利用函数思想求最值(2014·新课标 Ⅰ)已知点

A(0，－2)，椭圆

E【答题模板】

(1)用待定系数法求出

a，b，进而求出椭圆的方程；设出直线方程，代入椭圆方程，设而不求，利用根与系数的关系转化，从而建立面积的目标函数；利用二次函数、不等式、导数求解．【解析】c

3(1)设

F(c,0)，由条件知，2

2

3

c＝

3.＝ ，得c

32

2

2又a＝

2

，所以a＝2，b

＝a

－c

＝1.x22故E

的方程为4

＋y

＝1.(2)当l⊥x

轴时，不合题意．故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x22

2

2将y＝kx－2

代入4

＋y

＝1，得(1＋4k

)x

－16kx＋12＝0.3当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>4时，x1,2＝8k±2

4k2－34k2＋1.从而|PQ|＝

k2＋1|x1－x2|＝4

k2＋1·

4k2－34k2＋1.又点O

到直线PQ

的距离d＝2k2＋1，1所以△OPQ

的面积S△OPQ＝2d|PQ|＝4

4k2－34k2＋1

.△OPQ设

4k2－3＝t，则

t>0，S

＝4tt2＋4＝4t＋

t4

.4

7因为t＋t

≥4，当且仅当

t＝2，即k＝±2

时等号成立，且满足Δ>0，所以当△OPQ

的面积最大时l

的方程为y＝

2

x7

－2

或y＝－

72

x－2.【对点练

3】

(2014·求椭圆C

的离心率；设O

为原点，若点A

在直线y＝2

上，点B

在椭圆C

上，且OA⊥OB，求线段AB

长度的最小值．【答题模板】

(1)把椭圆方程化为标准形式，确定

a，b，c的值，由公式求离心率；(用x0，y0

表示出来．椭圆上，把|AB|化为只含有

x0一个变范围确定最值．x2

y2【解析】

(1)由题意，得椭圆

C

的标准方程为4

＋

2

＝1.∴a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝

2.c

2故椭圆C

的离心率e＝a＝

2

.(2)设点A，B

的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.0因为OA⊥OB，所以→·→＝0，即tx

＋OA

OB02y

＝0，解得

t＝－2y0x0.0

0

0

0

0又x2＋2y2＝4，所以|AB|2＝(x

－t)2＋(y

－2)2＝(x

＋x02y0)2＋(y00

04y2x200－2)2＝x2＋y2＋

0＋4＝x2＋4－x220＋24－x2x200

＋4＝x20＋82

x02＋4(0<x20≤4)．因为x20＋82

x00

02≥4(0<x2≤4)，且当x2＝4

时等号成立．所以|AB|2≥8.故线段

AB

长度的最小值为

2

2.【典例4】(2014·江西)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1

中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1.求证：A1C⊥CC1；若AB＝2，AC＝

3，并求此最大值【答题模板】(1)利线垂直；设AA1＝x，建立目标函数V(x)；利用配方法求最大值．【解析】

(1)由

AA1⊥BC，知

BB1⊥BC.又BB1⊥A1B，且A1B∩BC＝B，故

BB1⊥平面BCA1，即BB1⊥A1C.又BB1∥CC1，所以A1C⊥CC1.(2)方法一 设

AA1＝x，在

Rt△A1BB1

中，A1B＝

A1B2－BB2＝

4－x2.1

1同理，A1C＝

A1C2－CC2＝1

13－x2.在△A1BC

中，cos∠BA1C＝A1B2＋A1C2－BC2＝

－x24－x23－x2

，

sin

∠

BA1C

＝2A1B·A1C12－7x24－x23－x2，1所以S△A1BC＝2A1B·A1C·sin∠BA1C＝12－7x22.从而三棱柱

ABC－A1B1C1

的体积

V＝S

直·l＝S△A1BC·AA1＝x

12－7x22.2因为

x

12－7x

＝

12x2－7x4＝2

62367

7－7x

－

＋

，故当x＝16＝

42，即AA

＝

427

7

7时，体积

V

取到最大值3

77

.方法二

过

A1

作

BC

的垂线，垂足为

D，连接

AD.由AA1⊥BC，A1D⊥BC，故BC⊥平面AA1D，BC⊥AD.又∠BAC＝90°，1

1所以S△ABC＝2AD·BC＝2AB·AC.所以AD＝2

217.设AA1＝x，在Rt△AA1D

中，A1D＝

AD2－AA2＝1712－x2，1S△A1BC＝2A1D·BC＝12－7x22.从而三棱柱ABC－A1B1C1

的体积V＝S

直·l＝S△A1BC·AA1＝x

12－7x22.2因为

x

12－7x

＝

12x2－7x4＝2

62367

7－7x

－

＋

，故当x＝6＝

42.7

71即AA

＝7742时，体积

V

取到最大值3

.7【对点练4】已知正四棱锥的体积为323

， 四棱锥的侧棱长的最小值为()A．2

3

B．2C．2

2

D．4【解析】

，设正四棱锥的底面边长为

a，高为

h.21

3232则该正四棱锥的体积V＝3a

h＝

3

，故a2h＝32，即a2＝

h

.则其侧棱长为2a

22l＝

2

＋h

＝162h

＋h

.令f(h)16＝

h

＋h2，162h3－16则

f′(h)＝－h2

＋2h＝

h2

，令f′(h)＝0，解得h＝2.显然当h∈(0,2)时，f′(h)<0，f(h)单调递减；当h∈(2，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)单调递增．16所以当h＝2

时，f(h)取得最小值f(2)＝

2

＋22＝12.故其侧棱长的最小值

l＝

12＝2

3.【答案】

A【典例5】(2013·浙江)设e1，e2

为单位向量，非零向量b1

2

1＝xe

＋ye

，x，y∈R.若e

，eπ

|x|2

的夹角为6，则|b|的最大值等于

．【答题模板】|x|将b

用x，y的函数式表示―→求最值【解＝11＋

y

2＋yx

3x＝1y

3

2

1x＋

2

＋4y

3当x＝－2

时取得最大值．【答案】

2n【对点练5】若数列{a

}的通项公式为a8n＝3×(8)1

n－3×

1

n(4)2＋

1

n(

)(其中n*m∈N

)，且该数列中最大的项为

a

，则

m＝

.【答题模板】【解析】

令

x＝(1

n，则

0<x≤12)

2.构造f(x)＝8x3－3x2＋x，x∈(0，1

，2]3所以f′(x)＝8x2－6x＋1.令

f′(x)＝0，解得

x

1

x

1.1＝4，

2＝2所以f(x)在(0，1

上为增函数，在

14](4，2]1

上为减函数．所以f(x)max4

4＝f(1

，即当x＝时，f(x)最大．)

1所以当n＝2

时，an

取得最大值，即

m＝2.【答案】

2【典例

6】

(1)(2014·“华约”自主招生试题)函数

f(x)＝

22(cosx－sinx)sin(x＋π

－2asinx＋b(a>0)的最大值为1，最小值为－4)4，求a，b

的值．【答题模板】 化简

f(x)，利用最值建立关于

a，b的方程组进行求解．类型三 利用方程思想求值【12

21＝2(cos

x－sin

x)－2a＝－sin2x－2asinx＋b＋21＝－(sinx＋a)2＋a2＋b＋2.∵a>0，∴－a<0.若－1<－a<0，即

0<a<1

时，则当

sinx＝－a

时，f(x)取得最大值

a2＋b＋21.1当sinx＝1

时，f(x)取得最小值－2a＋b－2.由题意知21a

＋b＋2＝1，12－2a＋b－

＝－4，解得

a＝－1±

5(舍去)．若－a≤－1，即

a≥1

时，1则当

sinx＝1

时，f(x)取得最小值－2a＋b－2.21当sinx＝－1

时，f(x)取得最大值

2a＋b－.由题意知1－2a＋b－2＝－4，122a＋b－

＝1，∴54a＝

，b＝－1.45综上可知

a＝，b＝－1.(2(a，b

为常数)过点P7x＋2y＋3＝0

平行，则a＋b

的【答题模板】 若点在曲线上，则坐与已知直线平行，则斜率相等，建立关于

a，b

的解．b【解析】

y＝ax2＋x的导数为

y′＝2axb－x2，直线7x＋2y＋3＝0

的斜率为－27.由题意得b4a＋2＝－5，b

74a－4＝－2，解得a＝－1，b＝－2.则a＋b＝－3.【答案】

－3【对点练6】(1)(2014·新课标卷Ⅱ)设向量a，b

满足|a＋b|＝

10，|a－b|＝

6，则a·b＝()A．1

B．2C．3

D．5【解析】

分别把两个模平方后相减可得数量积

a·b

的值．|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4.∴a·b＝1.【答案】

A(2)(2014·Sn

为其前

n

项和．若

S1，S2，S4

成等比数列，则

a1

的值为

【解析】

根据等差数列的前

n

项和公式求出

S1，S2，S4的表达式，然后利用等比数列的性质求解．等差数列{an}的前n

项和为

Sn＝na1＋nn－12d，所以S1，S2，S4

分别为a1,2a1－1,4a1－6.因为S1，S2，S4

成等比数列，1

1

11所以(2a

－1)2＝a

·(4a

－6)，解方程得a1＝－2.1【答案】

－2【1(a>b>0)的左、右焦点一点，且△PF1F2

面积的最大值等求椭圆的方程；直线y＝2

上是否存在点

Q，使得从该点向椭条切线相互垂直？若存在，求点Q

的坐标；若不存在，说明理由隐含条件：a2＝b程；(2)直线与椭圆相切，将方程联立得方y)的方程，利用判别式为零求解．【解析】

(1)因为点

P

在椭圆上，所以－b≤yP≤b.因此当|yP|＝b

时，△PF1F2

面积最大，且最大值为21

2

P1|F

F

|·|y

|＝1

c·b2·2＝bc＝2.又离心率为

2c

22

，即a＝

2

.cbc＝2，

2由a＝

2

，a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝c2＝2.x2

y2所以椭圆的方程为4

＋2

＝1.(2)假设直线

y＝2上存在点

Q

满足题意，设

Q(m,2)．显然，当

m＝±2

时，从

Q

点所引的两条切线不垂直，当

m≠±2

时，设过点

Q

向椭圆所引的切线

l的斜率为

k，则

l

的方程为

y＝k(x－m)＋2.y＝kx－m＋2，由x2y2

4

＋

2

＝1，消去y，整理得因为Δ所以(m2－4)k设两切线的斜率分别1

2故k

k

＝2m2－4＝－1，解得

m＝±

22)．所以直线y＝2

上存在两点(2，2)和(－2，2)满【对点练7】(2014·x2

y2a

b1

221

2焦点分别为

F

，F

，右顶点为

A，上顶点为

B，已知|AB|＝ 3|F

F

|.求椭圆的离心率；设P

为椭圆上异于其顶点的一点，以线段

PB

为直径的圆经过点

F1，经过点

F2

的直线

l

与该圆相切于点

M，|MF2|＝2

2，求椭圆的方程．(2)设出P

点坐标，在椭圆上，从而表示出点P的坐标，解Rt△TF2M

求出c2

的值．【解析】

(1)设椭圆右焦点

F2

的坐标为(c,0)．由|AB|＝

3

F

F

|，可得a2＋b2＝3c2.2

|

1

2222c221a

2又

b

＝a

－c

，则 ＝.2所以椭圆的离心率e＝

2

.(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2，x2

y2故椭圆方程为2c2＋c2＝1.设

P(x0，y0)，由

F1(－c,0)，B(0，c)，有

→

→F1P＝(x0＋c，y0)，F1B＝(c，c)．由已知，有→·

→＝0，即(x

＋c)c＋y

c＝0.F1P

F1B

0

0又c≠0，故有

x0＋y0＋c＝0.①因为点

P

在椭圆上，故2c2x2

y20

＋

0c2＝1.②由①和②可得

3x2＋4cx

＝0.0

0034而点

P

不是椭圆的顶点，故

x

＝－

c.0c3代入①得y

＝，即点P

的坐标为4c—

，c3

3.设圆的圆心为T(x1，y1)．则x1＝4－3c＋02＝－3c，y1＝c3＋c2

22＝3c，1

15进而圆的半径

r＝

x

－02＋y

－c2＝

3

c.由已知，有|TF2|2＝|MF2|2＋r2.又|MF2|＝2

2

22，故有c＋3c

＋

2

252

20－3c

＝8＋9c

，解得

c

＝3.x2

y2所以所求椭圆的方程为6

＋3

＝1.【典例8】(2014·重庆)如图，在四棱锥P－ABCD

中，底面是以O

为中心的菱形，3πPO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M

为BC

上一点，且BM1＝2，MP⊥AP.(2)求二面【答题模板】

(1)建a)，利用MP⊥AP

建立关于

a

的方(2)利用解方程组先求两个半平面的法向量面角的余弦值，再利用平方关系求正弦值．【解析】(1)如图，连接

AC，BD，因为

ABCD

为菱形，则AC∩BD＝O，且AC⊥BD.以O

为坐标原点，→，→，→的方向分别为xOA

OB

OP轴，y

轴，z

轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz.因为∠BADπ

π＝3，故

OA＝AB·cos6＝3，OB＝AB·sinπ6＝1.3，0,0)，

→

＝OB所以

O(0,0,0)，A(

3，0,0)，B(0,1,0)，C(－(0,1,0)，

→

＝(－

3，－1,0)．BC

1

→

1

→

3

1由BM＝2，BC＝2，知BM＝4BC＝－4

，－4，0.

→

→

3

3

3

3从而

→

＝OB＋BM＝－ ，

，0，即

M－ ，

，0.OM

4

4

4

4故所求二面角

A－PM－C

的正弦值为510.设P(0,0，a)，a＞0，则→＝(－AP3，0，a)

→

3

3，MP＝

4

，－4，a.MP·AP因为

MP⊥AP，故

→

→＝03，即－4＋3a2＝0，所以

a＝

2

或a＝－ 3

舍去)，即

PO＝

32

(

2

.(2)由(1)知，AP→＝－3

33，0，

2

，MP＝

4

，－4，

2

，CP→

3

3

→

32＝

3，0，

.1设平面

APM

的法向量为n

＝111(x

，y

，z

)，平面PMC

的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．→

→由n1·AP＝0，n1·MP＝0，得－133x

＋

2

z1＝0，

4x1－

y1＋3

3

34

2z1＝0.故可取n11＝

，5

33，2.→

→由n2·MP＝0，n2·CP＝0，得

3

3

3

4

x2－4y2＋

2

z2＝0，3x2＋

32z2＝0.故可取n2＝(1，－3，－2)．1

2从而法向量

n

，n

的夹角的余弦值为

cos12〈n

，n

〉＝n

·n1

2|n1|·|n2|＝－

155

.【对点练

8】

在正方体

ABCD－A1B1C1D1

中，E

是棱

BC

的中点，试在棱

CC1

上求一点

P，使得平面

A1B1P⊥平面

C1DE.则CP∶PC1＝

.【解析】别为x

轴，y

轴，z

轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，CP＝a，1

1211则

P(0,1，a)，A

(1,0,1)，B

(1,1,1)，E(

，1,0)，C

(0,1,1)．∴

→

→A1B1＝(0,1,0)，A1P＝(－1,1，a－1)，→

1

→DE＝(2，1,0)，DC1＝(0,1,1)．设平面A1B1P

的一个法向量为

n1＝(x1，y1，z1)，则→→n1·A1P＝0，即n1·A1B1＝0，

y1＝0，－x1＋y1＋a－1z1＝0.令z1＝1，得x1＝a－1.∴n1＝(a－1,0,1)．设平面C1DE

的一个法向量为

n2＝(x2，y2，z2)，则→n2·DE＝0，2

1→n

·DC

＝0，即12x2＋y2＝0，y2＋z2＝0.令x2＝－2，y2＝1，z2＝－1，∴n2＝(－2,1，－1)．∵平面A1B1P⊥平面C1DE，1

21∴n

·n

＝0，∴－2(a－1)－1＝0，得a＝2.∴当

P

为C1C

的中点时，平面

A1B1P⊥平面C1DE.【答案】

1∶1【典例

9】

(1)若不等式

ax2＋bx＋2>0

的解

1

x<1为－2<

3，则不等式

2x2＋bx＋a<0

的解集是

．【答题模板】先由“三个二次”和根与系数的关系求出ab

的值，则不等式2x2＋bx＋a<0

易解．类型四 利用方程解不等式、求参数的值、范围1

12【解析】

由题意，知－2和3是一元二次方程

ax

＋bx＋