信号与系统8.6-8.7-无动画

离散系统的系统函数信号x(n)=zn是系统的特征函数，H(z)是系统的特征值或称系统函数。H

(z)

h(n)z

nn系统函数H(z)是系统单位样值响应的z变换。另一方面，由z变换的卷积定理y(n)

h(n)

x(n)

Y

(z)

H

(z)

X

(z)于是X

(z)Y

(z)H

(z)

即系统函数是系统零状态响应的z变换比上激励的z变换。由系统方程的z变换设系统方程N

M

ak

y(n

k)

br

x(n

r)k

0

r

0于是rMkrNk

0kr

0a

z

Y

(z)

X

(z)b

zX

(z)Y

(z)H

(z)

rN

kM

rb

z

ak

zk

0

r

0

即由一常系数线性差分方程表示的系统，其系统函数完全由方程的系数所确定，是一个z的有理分式。系统函数极点分布对应的时间特性⑴极点位于正实轴上：|pk|<1，对应的时间函数是单调衰减的；例如：Re{

z}j

Im{z}112z

1IZT

nz

1H

(z)

h(n)

( ) u(n)2|

pk|=1，对应的时间函数是等幅的；例如：nh(n)01

23H

(z)

z

IZT

h(n)

u(n)z

1|pk|>1，对应的时间函数是单调增加的；例如：nh(n)01

2

3IZT

h(n)

(1.2)n

u(n)z

1.2H

(z)

znh(n)01

23⑵极点位于负实轴上：|pk|<1，对应的时间函数是震荡衰减的；例如：Re{

z}j

Im{z}12z

1IZT

nz

1H

(z)

h(n)

( ) u(n)2|pk|=1，对应的时间函数是等幅震荡的；例如：1H

(z)

z

IZT

h(n)

(1)n

u(n)z

1.2H

(z)

znh(n)z

1|pk|>1，对应的时间函数是增幅震荡的；例如：

0

123nh(n)0123

IZT

h(n)

(1.2)n

u(n)h(n)n0123

k⑶

极点位于单位圆上：p

=e±jω，对应的时间函数是等幅变化的；当ω=0，对应的时间函数相当于直流信号；例如：zRe{

z}j

Im{z}11zIZT

nH

(z)

h(n)

(1)

u(n)z

1z2IZTnH

(z)

h(n)

cos(

)u(n)z2

1

2n0123nh(n)01

2h(n)3H

(z)

IZT

h(n)

u(n)z

1当ω=±π，对应的时间函数等幅震荡，且频率是最高的；例如：当ω=±π/2，对应的时间函数等幅震荡，但频率介于以上两者之间；例如：nh(n)01234k

k⑷极点位于z平面的其它地方：p

=|p

|e±jω，对应的时间函数是变幅震荡的；当|pk|<1，对应的时间函数减幅震荡；例如：Re{

z}j

Im{z}112

41422

)z

2n(

)

cos(n)u(n)2

z

1z(z

H

(z)

4

IZT

h(n)

当|pk|>1，对应的时间函数增幅震荡；例如：4H

(z)

z2IZT

h(n)

(2)n

cos(n

)u(n)

2

2z

4z(z

2)nh(n)01

23nh(n)03

4

51

2

6离散时间系统的因果性与稳定性对于稳定系统为满足收敛条件，应该有|z|=1；或者说稳定系统的系统函数的收敛域，应该包含单位圆。即稳定系统的系统函数，其极点不应分布在单位圆上！因果系统的极点分布因果系统的z域描述Re{

z}j

Im{z}11由z变换的收敛域知道，对于以上因果信号的z变换，即系统函数，其收敛域应满足|z|>R1。因果系统的系统函数是有理分式时，分子多项式的阶次不应高于分母多项式的阶次。§8-6

序列的一、离散时间变换----DTFT变换的定义设离散时间序列x(n)的z变换X

(z)

x(n)z

nn单位圆被包含在它的收敛域之内。于是zeX

(e

j

)

X

(z)

|定义为序列x(n)的离散时间j

x(n)e

jnn变换（DTFT）。记为X

(e

j

)

DTFT{x(n)}

x(n)e

jnn由离散时间序列x(n)的反z变换x(n)

1

X

(z)zn1dz2j

C由于单位圆在X(z)的收敛域之内，以上围线积分可沿单位圆上进行。于是n12j

z

1

X

(z)z

dz

x(n)

11)dejj

j(n

X

(e

)e2j

12j

X

(e

j

)e

j(n1)

jejd

1

X

(e

j

)e

jnd2

1记为x(n)

IDTFT{X

(e

j

)}

X

(e

j

)e

jnd2

1于是， 得到一对变换关系：X

(e

j

)

DTFT{x(n)}

x(n)e

jnn-------DTFT变换式x(n)

IDTFT{X

(e

j

)}

X

(e

j

)e

jnd2

1-------DTFT反变换式记为x(n)

DTFT

X

(e

j)由以上反变换式可见，DTFT是将序列x(n)分解为不同角频率ω的复指数序列ejωn的组合，X(ejω)是不同分量的复振幅的相对大小，上，称X(ejω)是序列x(n)的频谱。变换的举例二、离散时间1、单边指数序列于是x(n)

anu(n)a

1nX

(e

j

)

x(n)e

jn

n0ane

jn1

ae

j

1

以上序列的z变换为11

az

1X

(z)

z

aRe{

z}j

Im{z}1a当|a|<1，单位圆被包含在收敛域中，所以11

ae

jz

e

jX

(e

j

)

X

(z)

n02

41

3

5nx(n)01 2

3

4

5x(n)a

0a

0

1

1

ae

janu(n)

DTFT

即2、双边指数序列x(n)

a

na

1于是X

(e

j

)

x(n)e

jnn

ane

jnn01

ane

jnn其中1

ane

jn

ane

jnn

n1jaej1

ae所以aej1

aejX

(e

j

)

1

1

a21

ae

j

1

2a

cos

a23、矩形窗序列x(n)

RN

(n)

u(n)

u(n

N)nx(n)

R4

(n)01 2

3

4

51X

(e

j

)

x(n)e

jnnN

1

e

jnn01

e

j1

e

jNX

(e

j

)

(e

jN

/

2

e

jN

/

2

)e

jN

/

2(e

j/

2

e

j/

2

)e

j/

22N

12sin(

)

2

e

jsin(

N

)2sin(

)sin(

N

)X

(e

j

)

2

X

(e

j)

e

j()

2

sin

2

2

sin

N

()

N

1

argX

(e

j

)2N

40()204

334nx(n)

R4

(n)01 2

3

4

51三、离散时间 变换的基本性质1、周期性X

(e

j)

X

(e

j(2)

)即序列是时域离散的，其离散时间变换是以2π为周期的周期信号。注意，连续时间周期信号，其连续时间变换是离散的。例如：单边指数序列11

ae

jX

(e

j

)

DTFT{anu(n)}

1

ae

j11

11

ae

j

(

2)

1

ae

je

j

22、线性设e

j

)iix

()n

DTFT

X则ii

iDTFTii

iC

x

(n)

C

X

(e

)j例如：双边指数序列x(n)

anu(n

1)

anu(n)a

1则X

(e

j)

DTFT{anu(n

1)}

DTFT{anu(n)}aej1

aej

1

1

a21

ae

j

1

2a

cos

a23、时移与频移性设则有x(n)

DTFT

X

(e

j)x(n

m)

DTFT

X

(e

j)e

jmx(n)ej0n

DTFT

X

(e

j(0

)

)例如：设矩形窗序列RN(n)的宽度N为奇数，22sin(

)DTFTNR

(n)

e

j

N

1N

2

sin(

)nx(n)

R5

(n)01 2

3

4

51X

(e

j

)2N

50()205

4

4

5已知则RN(n)左移(N-1)/2后，是一个偶对称的序列,nx(n

N

1)21

2

31

3

21根据时移性2sin(

)22sin(

N

)DTFTN)

R

(n

N

1sin(

)22sin(

N

)DTFTNR

(n

N

1

)2因为，此时序列是一偶对称信号，与连续时间傅氏变换相同，其变换应是X

(e

j

)2N

50()20

X

(e

j

)2N

50纯实函数。变换的波形

。离散时间信号的 变换是以2πn2x(n

N

1)1

2

31

3

21为周期的连续函数，其幅度函数的波形是以π偶对称的，相位函数是奇对称的。例如：设则由频移性(1)n

x(n)

e

jn

x(n)

DTFT

X

(e

j()

)x(n)

DTFT

X

(e

j)x(n)n20

1 3

4X

(e

j

)02

21x

(n)n1

20

3

4)1X

(ej02

24、共轭与反褶设则有x(n)

DTFT

X

(e

j)x*(n)

DTFT

X

*(e

j)x(n)

DTFT

X

(e

j)所以有

[*()X(ejX

e)]2[(()*

xn)x]xnnDTFT

12(R)e}{

1jIm{x(n)}

1

[x(n)

x*(n)]DTFT

1

[

X

(e

j

)

X

*(e

j

)]2

j

2

j即序列实部的离散时间 变换是序列离散时间变换的共轭对称分量，虚部的离散时间 变换是序列离散时间叶变换的共轭

称分量。5、奇、偶、虚、实性设x(n)

x

(n)

jx

(n)

DTFT

X

(e

j

)

X

()

jX

()r

i

R

I

X

(e

j)

e

j()当x(n)是实序列，即

x(n)

x*(n)则X

(e

j

)

X

*(e

j)即实序列的离散时间 变换，实部是偶对称的，虚部是奇对称的，模是偶对称的，相位是奇对称的。当x(n)是实偶序列，即

x(n)

x*(n)

x(n))(e)()j(()R

jX(()I

)

j

XR

jX

I

X

e)(e

j()X

e

j

X则X

(e

j)

X

*(e

j)

X

(e

j)XR

()

jXI

()

XR

()

jXI

()

XR

()

jXI

()即XI

()

0当x(n)是实奇序列，即

x(n)

x*(n)

x(n)则X

(e

j)

X

*(e

j)

X

(e

j)XR

()

jXI

()

XR

()

jXI

()

XR

()

jXI

()XR

()

0即实偶序列的离散时间 变换，是实偶对称的；实奇序列，即其离散时间 变换是纯虚且奇对称的。

XR

()

Re{X

(e

j

)}同样可求，其中的奇分量X

(e

)]2121

jjDTFT

[

X

(e

)

x(n)]

ex

(n)

[x(n)

2121j)]

j

Im{X

(e

)}DTFT

jox

(n)

[x(n)

x(n)]

[

X

(e

)

X

(e

j当x(n)是实序列，即则其中的偶分量x(n)

x*(n)

j12j[

X

(e

)

X

(e21II

RR)

jX

()])

jX

()

X

()]

[

X

(设

x(n)

DTFT

X

(e

j)则有ddX

(e

j

)DTFTnx(n)

j6、频域微分性(序列线性

）例如：已知1

ae

janu(n)

DTFT

1则有]

[d

1d

1

ae

jna

nu(n)

DTFT

j(1

ae

j

)2ae

j7、卷积定理设

x

(n)

DTFT

X

(e

j)1

1x

(n)

DTFT

X

(e

j)2

2则有x

(n)

x

(n)

DTFT

X

(e

j)X

(e

j)1

2

1

2211 21 2j

jX

(e

)

X

(e

)DTFTx

(n)x

(n)

这里的卷积表示式X1

(e

)

X

2

(e

)

X1

(e

)

X

2

(e

)dj

j

j

j

()

X

2

(e

)

X1

(e

)dj

j

()称为周期卷积。参加卷积的两信号均是以2π为周期的周期信号，卷积的积分是在2π区间上的积分，卷积后的结果，仍然是以2π为周期的周期信号。有关它的运算，将在《数字信号处理》。设

x(n)

DTFT

X

(e

j)则有n

2

j2X

(e

)

d2

x(n)

18、 瓦尔定理与在连续时间变换相同，这里瓦尔定理表示信号在时域的总能量，等于频域中不同频率分量的能量|X(ejω)|2/2π在一个周期（2π）上的积分。这里|X(ejω)|2称为序列x(n)的能量密度谱函数。§8-7

离散时间系统的频率响应一、离散时间系统的频率响应在连续时间系统地分析中知道，所谓频率响应是表示当正弦信号作用于系统时，输出稳态响应的幅度和相位，随输入信号频率变化而变化的特性。costh(t)y(t)

cost

h(t)y(t)

h(t)

cost

H

(

j)

cos[t

()]H

(

j)

h(t)e

jtdt

H

(

j)

e

j()与连续时间系统中一样，这里频率响应也是表示当正弦序列作用于系统时，输出稳态响应的幅度和相位，随输入序列角频率变化而变化的特性。h(n)cosne

jny(n)

cosn

h(n)h(n)

e

jny(n)

h(n)

e

jn设线性时不变系统的单位样值响应为h(n)，复指数序列作用于系统的响应为

h(m)e

j(n

m)m

h(m)e

jme

jnm

H

(e

j

)e

jn

H(ej)

e

j[n()]nH

(e

j

)

h(n)e

jn

H

(e

j)

e

j()同样可以证明，当系统的单位样值响应h(n)为实序列，正弦序列作用于系统的响应为y(n)

h(n)

cosn

H

(e

j)

cos[n

()]这里，H(ejω)是系统的频率响应，它的模|H(ejω)|是系统的幅频响应，相位φ(ω)是系统的相频响应。由前式可见，频率响应与系统函数的关系jH

(e

j

)

H

(z)z

eze

j

h(n)znn

h(n)e

jnn二、传统数字滤波器的幅频响应与连续时间系统的情况一样，传统滤波器又叫选择性滤波器。根据系统的幅频特性将其划分为：低通、高通、带通与带阻滤波器等。0C0CH

(

j)0L

HH

(

j)0L

HH

(j)

H

(j)

H

(e

j

)0

C2H

(e

j

)0C2H

(e

j

)20

L

H

H

(e

j

)20

L

H

三、离散时间系统的频率响应曲线N

(z)D(z)H

(z)

N前面所示滤波器的幅频特性均是理想情况。与连续时间系样，理想滤波器是不能实现的，且是非因果的。与连续时间系统类似，离散时间情况下，当系统函数是有理分式时，滤波器的频率响应曲线，也可以由其零极点在z平面上的分布，通过几何的方法粗略地估计出来。Mk

1

r

1

(z

pk

)(z

zr

)式中，zr与pk分别是系z

e

jH

(e

j

)

H

(z)N统函数的零点与极点。于是Mk

1

r

1

(e

zr

)k(e

p

)jjz

e

jH

(e

j

)

H

(z)Nk(e

p

)jMrk

1

r

1

(e

z

)j式中的每一个因式，分别表示由零点或极点指向单位园的矢量。每个矢量有模与相角，于是系统的频率响应可表示为Re{

z}j

Im{z}1jN

krkjrB

eA

ek

1jH

(e

j

)

r

1

Nk

1kM

Mr

r

1

e

B

AM

Nj

(r

k

)r1

k

1

H

(e

j)

e

j()NM

Bk

Ark

1H

(e

j

)

r

1

M

Nk

1r

1()

r

k例如：已知系统函数，试粗略地画出它们的零极图与频响曲线。2z

1(1)

H

(z)

2z

1z

z2z

1(2)

H

(z)

2z

12

z

1H

(z)

z(z

1)

(3)z22z

2解：⑴12(1)

H

(z)

z

z2z

1Re{

z}j

Im{z}11201z

2(2)

H

(z)

z2z

1Re{

z}j

Im{z}1120H

(e

j

)2

2

320

(