幻矩和多维-超级幻立方

任何奥秘的揭示或破增添了瑰宝无论它暂（2004612日初稿录（200591日三稿前言12第一部分本文所用的名词、记号、定理。…………312点、线、 34斜线、斜 34原幻立方、幻立 5正交 56定 6第二部 23阶超级幻立 78保氏立方 7823阶超级原幻立方 923阶超级原幻立方M和 9 第三部分n3(n≥3)阶超级幻立 指示立 33阶超级原幻立方 ，前言上世纪七十年代有人了一个8阶幻立方，其竖和、行和、列和、层面斜和、205222052。有结果而无构造方法。一时九十年代于所著《幻方》一书中，称之为特殊幻方。九十年代，福建也造出一个，仅23阶超级幻立方仅此三个。造一个23阶的，已非常，遑论更高阶的n3，何况当时幻方学家大多以为超级幻方或幻立方只2223阶之中，为一种特殊现象而已。，2001年，我已解决了超级幻方问题，所用定理及方法，总结为《幻方与幻立方的当论》一书，在书中才提出n3(n≥3)阶超级幻立方是否存在的问题。原以为十年、二十年后，甚或2004年有了结果。《超级幻立方一文初稿写成后其中不免出现一些新概念新定理即使也要用心能读懂，乃复印了若干份，请幻方转送他们的，请在“说理透彻，文词浅显”上多出意使读者比较容易看懂此文们提了很多意见的曹陵先生还在计算机上复验了3超级幻立方的全部数据，强先生甚至动笔改写了文中几节。本文定稿时，全部吸了他们的意见，在此表示谢意，特别要向两先生致谢。第二部分为3阶超级幻方在本文之前世上只有三个这种幻立方但不如何造23了数的奥秘外，并无神秘可言。抽象地论证n3，篇幅会很长，语言会非常烦琐，很难读下去。因而本文从33开始。先根据一个3阶指示立方I作出成为正交组的三个33阶超级原幻立方，LMN，于是36L+33M+N+133阶超级幻立方。但是，对于构造过程的各项结果（数据用理论证明（其实，实地验算已非常了读者读懂了这一段，便可自行论证n3了。斜线斜和子立方子立方和超级原幻立方正交三元组（正交组）超级幻立方保氏立方以立方体为元素的立方体指示立方第一部分1方位11后右后下22

1由n3个小立方体堆垒而成一个n×n×n的大立方体，这个大立方体称为立方，小立方体称为2a,b,c,（a）是层面图，(b)是直观图。(c)是点象图。 nn这n个数字之和称为一个竖和。位于同一条由左至右的直线上的n个点，叫作数字立方一个n阶立方，从上至下，有n个层面。最上一层叫顶层，为第1层，顺次而下，为第2、3nn123nn1层，顺次而后，23n层为后层。ijk层相交而定的格子（胸腔、点）记(1,1,1)，下右后为（n,n,n3345i层，于是(i,1, (i,2,2),(i,3,3(i,4,4)(i,5,5)46610(1,3,5),(2,4,6),(3,5,7),(4,6,8),(5,7,9),(6,8,10)这是从顶层到后层的六点。(6,8,10)之后为321段。对角10点组成的对角斜线在顶层之 (1,4,6)，(1,5,7)，(1,6,8)，(1,8,10)，(1,9,1)，(1,10,2)，(1,1,3)，46（5）440，1，2，……m-1各m2个组成的m阶数字立方。如果它的竖和、行和、列和以及对角和1m（m-1，则称之为原幻立方。212原幻立方12高级原幻立方12212（m3+1（m3+12m（m3+12而中的n1m（m3+1，则称为超级幻立方。255A，B，Cma1,a2,…am;b1,b2,…bmc1,c2,…cm。它们在同位胞a,b,c,a是某个aib是某个bj，cckAB,C组成一个新的立方[A，它的元素是有序组[a,b,c]。也用[A,B,C]来表示其元集，[AB,C]={[a,b,c]|a∈A,b∈B,C∈C,a,b,c如果[AB,C]={[aibj,ck]|ij,A，B，C时，[A，B，C]m3a1a2,…,am;b1,b2,…bm；c1,c2,…cmA，B，C是一个正交三元组，在本文中省称为正交组，以区别于A，B，C是正交组，则A,B,C的任意排列都是正交组，例如B,A,C。12A,B,C,D6之（1）所示：AB,CAB,D6之（2）所示，[AB,C]0,1AC是个正交组。[A,B,D]缺了[0,1,0]，[1,1,1]，故A,B,D不是个正交组。例2 A,B,C如图7所示，A,B,C是个正交组661设LA1，A2，…，Amm2个构成的立方，MB1，B2，…，Bm各m2个构成的立方，N是由C1，C2，…，Cm各m2个构成的立方。诸A，B，C都是小立方，L，M，N作Aiai1ai2,…ain各n2个构成的立方，i=1,2,…m;Bjaj1aj2,…ajn各n2个构成的立方，j=1,2,…,CkcK1cK2,…cKn各n2个构成的立方，k=1,2,…m各Ai是同态的，各Bj是同态的，各Ck也是同态的。但不同的Ai没有公共元，不同的Bj没CkA1，B1，C1是个正交组。Laiu（i=1,2,…mu=1,2,…n）M作为bjv（i=1,2,…m;v=1,2,…,n）NcKW（k=1,2,…,m;w=12,…,n）的立方，时，L，M，NL，M，NaiubjvckwL，M，N仍为正交组，只要证明，任意的有序组[aiu,bjv,ckw]L，M，N的拼合[L，M，N]的元即可。,bjv∈BjCkCkw∈Ck。A1，B1，C1是正交组，分别与Ai，Bj，Ck同态，故Ai，Bj，Ck也是正交组，因而有序组[aiu,bjv,ckw]∈[Ai，Bj，Ck]L，M，NAi，Bj，Ck为元时，有序组[Ai，Bj，Ck]∈[L，M，N]L，M，N以aiu,bjv,ckw为元时，[Ai，Bj，Ck]成为拼合，且[Ai，Bj，Ck] L，M，Naiu，bjv，CkwA1，A2同态，无公共元；B1，B2同态无公共元；C1，C2也同态，无公共元。A1，B1，C1是8所示。8A，B，C9 9（1,9(1),(2),(3)L，M，N27个L，M，N2L，M，Nnn证明的方式、方法与《幻方与幻立方的当论》P118的定理15完全相同，从略第二部分2377（1592，（127510其性质为竖和相等（值为9，面和相等（值为18，相对两棱之和相等。保氏以高兴的心情“六合立方之巧则智之可以讲清了。其实，将六合立方的各数表为“二进数”有又8813(b)例如，07互补，16互补。这个图的第二层和第一层是互补的，知道了第一层，便也知道了13(c)414141515就是我要构造的超级L（ABCD-A’B’C’D’）L1）LA的前面或后面，故行2）L的列都由八个数字组成，正好是保氏立方上下两面的和数，故列和73）L的竖都由一对互补的数重复四次而成，故竖和7由上而下的各水平面上的斜线，用到了保氏立方的八个数字，故其和k77由左而右的各垂直平面上的斜线，用到了保氏立方的八个数字，故其和k面或后面，故其和=14×2=28任取一对角线，例如说是由（1,1,1）到(8,8,8)的，再任作它的平行线，例如说从(1,3,0，3，6， 7，4，1，设那对角斜线 x1x3x5x70，6，7，1（A的前面；x2,x4x6x8为其投影的互4，5，3，2（A的后面，故其和=28，而每根对角斜线都适用这种推理，故对角斜和=28由于L中任何上下相邻两数是互补的，故任何2×2×2的子立方由4个互补的竖构成，2×2×2=7×4=28。923M9（1,1,1—自上而下，M的第1、5层全同；第2、6层全同；第3、7层全同，第4、8层全同。自前至1、3、5、72、4、6、8（1,1,1BACDD’C’17。2、3、45、6、7、8层相同。M，NL。L既然是超级的，M，NL，M，NL，M，N7[L,M,N]=

{[1,m,k]|1∈L,m∈M,k∈N,l,m,k同位}k，把LMk同位的数找出构成{[l,m,k]}，再取并集。k=0时，可如下所示求得{[l,m,0]}：L，MN018 177551775566440022432543254325000000000000077556775566440022161076107610700000000000052345234

第层第366006600 0022300223547016000018可见，L，MN0{[l,m,o]|l∈Lm∈Mo∈Nl,m,o同位={[l,m,o]|l,m=0,1,2,…,1,2,…,7k

第7{[l,m,k]|l∈Lm∈Mk∈Nl,m,k同位={[l,m,k]|l,m=0,1,2,…,7 [L,M,N]=

{[1,m,k]|l,m=0,1,2,…,={[l,m,k]|l,m,k=0,1,2,…,这就是说，L，M，N既然，L，M，N23AB，C第三部分n3(n≥31为n(n3-1)193I=abcd-2n(n≥3)n33现在作立方L（A1B1C1D1A1B1C1D1。LI的行构成，但I的每个数字要重复9次3次。LI9次而成。LA1B1C1D1 图

23,25,

9,

18,713,20,6,

15,22,24,

112

23,

5,

18,726,

19,

1,

2134、5、61、2、33m+i(m=0,1,2,3,4,5,6,7,8;i=1,2,3)层i层全同。易知，L的行和=a×9+b×9+c×9=(a+b+c)×9=39×9=351a,b,cIL的列和=（a×3+b×3+c×3）×3=351。a,b,c是IL的竖和=（a+b+c）×9=351。a,b,cI27个列。例如，自（1,5,1）出发平行于主对角线的斜线，连续通过中间的列带及右边（a2×3+b2×3+c2×3）+（a3×3+9a1b1c1为I斜和a1+b1+c1a2+b2+c23511层（左层）~9I10~18I的（从左到右）219层~27层（右层）I的右层 000221111111110002211111111100022111111111000221111110002211111100022111111000221110002211100022111 L的左 图 L的前层（第1层）A1A1B1B1（图23，它由三个“行带”组成，每个行带又由三个全同的9351。由前至后的二十七个层面中，第1，2，3；10，11，12；19，20，21层，都由I的前层变来。第4，5，6；13，14，15；22，23，24层由I的从前至后的中层变来，第7，8，9；16，17，18；25，26，27I的后层变来，变的方式相同，因此，所有这些层面的斜和=351。 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 L的前 图

A1C1，即从（1,1,1）到(27,27,27)。而平行于它2327把这层面斜线上的数用①②③循环，如图24所示①②③①②000③①②0①②③①2②55③①②①②3③5①②9 998③ ①②69由L的构造，自上而下，每三层循环一次。故为①的数，都在指示立方I的顶层上，它就是原像；为②的数在I的中层的投影是原像；为③的数在I的底层上的投影是原像。注意，一条层面斜线在穿过图21的一个“列带”时，数的有三种可能1）①②③——①②③——2）②③——①②③——①②③—3）③——①②③——①②③—2249ILI39L3阶子立方和39×9=351令MI9；MI33；MI9 00 2424242424242424 24242424242424242626262626262626261212121212121212 2626262626262626261212121212121212 2626262626262626261212121212121212 0 2424242424242424 24242424242424242626262626262626261212121212121212 2626262626262626261212121212121212 2626262626262626261212121212121212 0 2424242424242424 24242424242424242626262626262626261212121212121212 2626262626262626261212121212121212 2626262626262626261212121212121212

26,10,左起第1，4，7，10，13，16，`9，22，25层全同；第2，5，8，11，14，17，20，23，26层全同；NI9次而成。NI3N28

20,

6,102

26,

15,

9,22,8 6,103

11,213，6，9，12，15，18，21，24，27 002626 1010102626 1010102626 10102626 1010102626 1010102626 10102626 1010102626 1010102626 10102626 1010102626 1010102626 10102626 1010102626 1010102626 10102626 1010102626 1010102626 10102626 1010102626 1010102626 10102626 1010102626 1010102626