微积分习题讲解与答案

习题8.11.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程:⑴x(y))2-2yy'+xy=0(2)x2⑴x(y))2-2yy'+xy=0(2)x2y-xy，+y=0(3)x2y"'+4y"+(sinx)y=0(4)需「二sin2°解(1)1阶非线性1阶线性3阶线性1阶线性2.验证下列函数是否是所给微分方程的解,sinxxy+y=cosx,y=一x(1-x2)y'+xy=2x,y=2+Cx1-x2(C为任意常数)y"-2y'+y=0,y=Cex(c为任意常数)⑷y〃一(九十九)y'十九九y=0,y=Ce大产+Ce大2x(C,c为任意常数)12121212(x-2y)y'=2x-y,x2-xy+y2=C(C为任意常数)(xy-x)y"+xy'2+yy'-2y'=0,y=ln(xy)xcosx-sinxsinx解(1)是，左=x+=cosx=右x2x(2)、-Cx左二(1-x2),-+x(2+Cv1-x2)=2x=右,1-x2(3)是，左二Cex-2Cex+Cex=0=右(4)是，左二(C九2e大产+C九2e—)-(九十九)(C九e大产

11221211+C九e3)十九九(Ce大产

22121+Ce%x)=02=右/-、2x-y-(5)是，左二(x-2y)——--=2x-y=右

x-2y2xy2-xy3-2xyy2yy(6)是，左二(孙-x)(xy-x)3+x(xrx?+y赤-2R2xy2—xy3—2xy+xy2(xy—x)2(xy—x)2+(y2+(y2一2y)(xy一x)=0(xy—x)2(2)d2y=cosx;(2)d2y=cosx;dx2⑶(1+y)dx—(1—y)dy=0(4)y，=匕2(1+x2)yJy"dx=Jcosxdx,y'=sinx+C1Jy'dx=J(sinx+C)dx,y=—cosx+Cx+CJ1―yJ1―ydy=Jdx1+yJ>dy=Jdx解得J—dy+J-^-dy=Jdx1+y即一y+2ln11+y1=x+C(4)J—y—dy=J——x——dx1+y2(1+x2)(4)解得ln(1+y2)=ln(1+x2)+C21+y2-整理得=C21+x24.已知曲线y=f(x)经过原点，并且它在点(x,y)处的切线的斜率等于2x2，试求这条曲线的方程。解已知y'=2x22-解得y=-x3+c又知曲线过原点，得C=02所求曲线方程为y=1尤3xx=1习题8.21.用分离变量法求下列微分方程的解(1)y，=4x*(2)xy，—(1)y，=4x*y'=10x+y(4)sec2xtanydx+sec2ytany'=10x+y(5)(5)xydx

1+y1+xdy=0,yI=1x=0J—L/y=J4xdxyy解得y=(x2+c)2(2)JdyJdx

ylnyx解得y=eCxJ10-ydy=J10xdx解得一10-y=10x+C即10x+10-y=Csec2ysec2x,(4)Jd-dy=-Jdx解得InItanyI=-InItanxI+C(4)tanytanx1整理得tanx-tany=C(5)Jy(1+y)dy=Jx(1+x)dx解得2y2+3yxy，-y-yy2-x2=0(5)xy，-y-yy2-x2=0由于y由于yIx=0=15,解得C=6115=—x115=—x2+—x3+一则不y2+鼻y323(6)Je-ydy=Je2xdx解得-e-y(6)3由于y1x=0=0则。=-2原方程解为2e-y=3—e2x2.求下列齐次方程的解(1)xy'=yIn—x(2)dy_x+y

dxx-y(4)(4)x2dy=(y2—xy+x2)dx(5)⑹x((5)⑹x(x+2y)y'-y2=0,yIy2+x2=xy——dxdxy解(1)令u=，代入方程得

x分离变量得两边积分得duu+x-dx=ulnududxu(Inu-1)xInIInu-11=InIxI+C1整理得IInu-11=CIxI整理得2y将u=回代，即得原方程通解xln2-1=Cx(2)原式可化为(2)原式可化为dxy1——xy令u=，代入方程得xdu1+uu+x=dx1-u分离变量得(1-u)du_dx1+u2x两边积分得arctanu——ln(1+u2)=InIxI+C21y将u=回代，即得原方程通解x

-y,_y2、.一2arctan——ln(1+—)=lnx2+Cxx2整理得y2arctan——ln(x2+y2)=Cx(3)原式可化为电=y+，y丫_idxx丫1x)y令u=，代入方程得xdux——=uU2-1dx分离变量得dudxuu2-1x两边积分得ln1u+\u2—11=lnlx1+C1即lu+vu2—11=Clxly将u=回代，即得原方程通解x2+『2『—i=&xx)(4)原式可化为dy_(y)2_y.—+1dx1x)xy令u=土，代入方程得xduu+x=u2—u+1dx分离变量得dudxu2—2u+1x两边积分得CC'(x)=1CC'(x)=1=Ini%I+C1%=Ce1-uyy将u=回代，即得原方程通解x%=Ce%-y(5)y2+(%2-%y)—=0

d%八,fyTdyy2I%d%%y-%2f1]-]I%JTOC\o"1-5"\h\zydu==u,则u+%=%d%ud%+%(1-u)du=01-ud%…Jdu+=Cu%1lnI%uI-u=C1y%u=ec1+u=ceu，.=y=ce%d2fyT(6)原式可化为dy=y2=Ix(6)原式可化为dxx2+2xyi+2yxy令u=，代入方程得xduu2u+x——=dx1+2u分离变量得(1+2u)du_dx

=-u+u2x两边积分得Inu2+u=-InI%I+C1

y将u=回代，即得原方程通解xy2+冲=Cx将yI=1代入得C=2x=1于是，特解为y2+xy=2x习题8.31.求下列微分方程的通解(1)y1.求下列微分方程的通解(1)y，+y=e-x⑶(x2+1)y'+2xy=4x2(2)xy'+y=x2+3x+2(4)1-2xy+y=1x2(5)ylnydx+(x-(5)ylnydx+(x-lny)dy=0(6)(2x-y2)y'=2y解(1)这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程dy+y=0dx的通解。分离变量得两端同时积分，得得通解为dy=-dxyln|y|=-x+C1y=Ce-x用常数变易法，把C换成C(x)，即y=C(x)e-x两边微分，得dy=Cf(x)e-x-C(x)e-xdx代入原方程，得两端同时积分，得C(元)=尤+C故所求微分方程通解为其中C为任意常数。〜、1~、c2(2)P(x)=—,Q(x)=x+3+—xx则y=e」P(x)dxJQ(x)JP(x)dxdx+C=e」^dxIfx+3+-]e，^gdx+C]=e-inixi(x2+3x+2)dx+C-[-x3+3x2+2x+C或：这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程dy+y_01dxxdxinidxiniyi=-inixi+C-两端同时积分，得得通解为Cy——x用常数变易法，把C换成C(x)，即C(x)y———x两边微分，得dy_C'(x)x-C(x)dxx2代入原方程，得两端同时积分，得八/、13八-C(x)=x3+—x2+2x+C32故所求微分方程通解为其中为任意常数。P(x)=j=e-JP(x)dx]JQ(x)eJP(x)dxdx+C-J丛d-J丛dx=ex2+1J-x^eJx2+严dx+C=e-ln(x2+1)J4x2dx+C1-2x-Jdx1-2x-Jdx=ex21=x2ex(5)1=x2ex+C=x21+Cedx原式可化为而+jinjjJInJ1-2xP(x)=——,Q(x)=1

x2j=e-JP(x)dx]JQ(x)eJP(x)dxdx+C=elnx2+=x2exIJe-J-^dy—eylny1J--dy—eylnydy+C=e-InllnyIJ1einllnyldy+Cy1-f11n2y+Clny12TOC\o"1-5"\h\zdxx(6)原式可化为——dyy1yp(y)———,Q(y)―—yy2则x―e-JP(y)dy-J-」dy—-J-」dy—eyyJ-%y1—eydy+C2=elnlyIJ—-e-lnIyIdy+C2-Iy11J-2IyI2.某种商品的消费量X随收入I的变化满足方程dXwd二X+…0是常数)当I—0时，X二Xo，求函数X-X(1)的表达式。一，，「d一，，「dX解原式可化为次-X-aP(I)=-1,Q(I)=a"则X―e-JP(I皿|7Q(I)eJ—e-—e-J-idiJaeieJ-1dIdI+C1-e/gadI+CLe1岛+C]又当I—0时，X―X，得C―X00则原方程解为X―eIlaI+X]0习题8.4.某商品的需求函数与供给函数分别为Q=Q=a-bP,Q=-c+dP(其中a,b,c,d，均为正常数)价格价格p(t)的假设商品价格p是时间t的函数，已知初始价格P(0)—Po,且在任一时刻，，变化率与这一时刻的超额需求Q-Q成正比(比例常数为k>0)

ds(1)求供需相等时的价格P(均衡价格)e求价格P(t)的表达式分析价格P(t)随时间的变化情况(1)当Q=Q时，即

dsa+ca—bP=-c+dP，得P=P=eb+d(2)dP由于rk(Od-Q"k[(a一bP)-(-c+dP)]，即dP+k(b—d)P=k(a+c)dt方程通解为a+cP=+Ce-k(b+d)t=P+Ce-k(b+d)tb+de已知价格P(0)二P0代入得。二Po-。于是P(t)=P+(P-P)e-k(b+d)t

e0e(3)由于limP(t)=lim[P+(P—P)e-k(b+d)t]=P

pQ为需求量，且当.已知某种商品的需求价格弹性为£=^-ep-1,其中pQ为需求量，且当p=1时，需求量Q=1,试求需求函数关系。解设需求关系式为Q=Q(p)，则由题设知pg二j-1Q(p)Q(p)1Q(p)+Q(p)=pep

p此微分方程通解为Q(p)=e」pdpIepJpdpdp+C=—1p—1)ep+C」L」p将Q(1)=1代入，得C=1,故所求需求函数为p—11Q(p)=ep+pp设某厂生产某种产品,随产量的增加,其总成本的增长率正比于产量与常数2之和,反比于总成本,当产量为0时,成本为1,求总成本函数。解设产量为％，总成本为C,比例系数为1,则依题意有'dy元+2<'dx~yyI=1Ix=0解此微分方程,得y2=(x+2)2+C把初始条件yI=1代入解得C=-3x=0于是总成本函数为y2=(x+2)2—34.在宏观经济研究中，发现某地区的国民收入y，国民储蓄S和投资/均是时间看的函数，且储蓄额S是国民收入的白，投资额为国民收入增长率的1。若当t=0时，国民收入为5亿元，试求国民收入函数(假定在时间t的储蓄额全部用于投资)解依题意得S=—y,I=1dy103dt因为储蓄额全部用于投资,故有S=I即国民收入函数应满足方程1dy=1y3dt101、求下列微分方程通解y"=sinx⑶y"一(y')2=0(x2+y"=sinx⑶y"一(y')2=0(x2+1)y"一2xy'=0解(1)y'=J2dx=2x+C1y=f(2x+C)dx=x2+Cx+C112y'=Jsinxdx=-cosx+Cy=J(-cosx+C)dx=-sinx+Cx+C112(3)令y'=p,y〃=p'，原方程降阶为dp-p2=0dx分离变量得dp_dxP2两边积分得1p二C+x1,1y=C+x1所以y=」--—dx=-InIC+xI+CyC+x121(4)令y'=p,y"原方程降阶为分离变量得两边积分得dp分离变量得两边积分得dp2xp=0dxx2+1dp2x,=dxpx2+1lnIp1=ln(x2+1)+C即所以y=C(X2+即所以y=C(X2+1)

iy=\C(x2+l)dx=C2求解初值问题[〃3j=-y2(1)2y⑶=1,火3)=1{(1+x)yrr+yr=ln(x+1)|j(O)=O,jXO)=O(1—X3+X13解(1)设＜=，，则y"=。?，代入原方程，得dyp^=lyl

dy2J分离变量得pdp=^y2dy积分得p2=y3+C,即Cyf)2=y3+C由由3)=1，火3)=1得。=033则y'=±yi,由y"Z0知;/单调增加，于是y，=y2再积分一次，可得通解±—2y2=x+C]y(3)=1得q=-5令y'=P，则y〃=原方程化为(x+l)p^+p=ln(x+1)

,1ln(x+1)p'P=属于一阶线性方程x+1x+1-[，dx「ln(x+1)[-1dxJ.「p=eJx+1JeJx+1dx+C\_x+111I」一八C-x=jln(x+1)dx+C=ln(x+1)+——1x+11x+1由J'(0)=0得C1=0y=y=1ln(x+1)-dx+C2=(x+1)ln(x+1)-2x+ln(1+x)+C2又由J(0)=0得C=02初值问题的解为y=(x+1)ln(x+1)一2x+ln(1+x)习题8.61.求下列方程通解⑴j"-2j'-3j=0(2)J"+7j'+12j=0(3)J"-6j，+9j=0(4)J"+J'+J=0解⑴j〃-2j'-3j=0解特征方程为入2-2X-3=0解得两个不同实根入=3,入=-1，所求方程的通解为12j=Ce3x+Ce-x

12其中C,C是任意常数12⑵j"+7J'+12J=0解特征方程为入2+7X+12=0解得两个不同实根入=-3,入=-4，所求方程的通解为12j=Ce-3x+Ce-4x

12其中c,c是任意常数12⑶y"-6y'+9y=0解特征方程为入2—6X+9=0其特征根九1二九2=3为二重实根，所求方程通解为y=(C+Cx)e3x

12其中c,c是任意常数12(4)y"+y'+y=0解特征方程为入2+X+1=0解得两个共轭虚根九=-1+Si,九=-1-S，，所求方程通解为TOC\o"1-5"\h\z12222233-1xy=(Ccos——x+Csin——x)e2x

1222其中C,C是任意常数12.求方程y〃+2y'+3y=0满足初始条件yI=1,y'I=1的特解x=0x=0解特征方程为X2+2X+3=0解得两个共轭虚根X=-1+四,九=-1-<2i，所求方程通解为12y=(Ccos2x+Csin<2x)e-x

12由初始条件yI=1,y'I=1得0〕=1x=0x=01又由y'=(e-xcos<2x)'+C(e-xsin、2x)'2=e-x(cosJ2x+、；2sin22x)+Ce-x(-sin<2x+v2cos<2x)

2由y'1=1，得C=V2x=02于是满足初始条件的特解为y=(cos<2x+22sin2x)e-x.求微分方程y"-2y'-3y=3x+1的一个特解解f(x)=3x+1=(3x+1)eox，其中n=1*=0不是特征方程入2—2入—3=0的根，得y*=ax+b为所给方程的一个特解，直接将y*代入原方程，得-3ax-2a-3b=3x+1比较系数得J-3a=31-2a-3b=11解得a=-1,b=-1所以y*=-x+即为所求特解.求微分方程y"-2y'+y=12xex的通解解f(x)=12xex，其中n=1,日=1对应的齐次方程为y"-2y'+y=0特征方程入2-2X-3=0有二重特征根X=1齐次方程通解为y=Cex+Cxex

12由于N=1是重特征根，所以设非齐次方程特解为y*=x2(ax+b)ex直接将y*代入原方程，得(2b+6ax)ex=12xex比较系数得6a=122b=0解得a=2,b=0，因此j*=2x3e*为所给方程的一个特解，从而所求方程通解为y=Cex+Cxex+2x3ex12其中C,C是任意常数12.求方程y"+4y'+4y=cos2x的通解解对应齐次方程为y"+4y'+4y=0它的特征方程入2+4入+4=0有重根入=入=—212故对应齐次方程的通解为y=e-2x(C+Cx)

12由于0土2i不是特征根，因此设所给方程的特解为y*=asin2x+bcos2x代入原方程得—8bsin2x+8acos2x=cos2x比较系数得f—8b=0[8a=1解得a=1,b=0，因此y*=1sin2x为所给方程的一个特解，从而通解为88y=e—2x(C+Cx)+^sin2x128习题8.7.设某种产品就要推向市场，％时刻的销量为X(t)，由于产品良好性能，每个产品都是一个dx宣传品，t时刻产品销售的增长率近与X(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场dx容量M统计表明出与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N3)也成正比，试给出Mt)的方程，并求销量达到多少时最为畅销。解dx——=kx(N-x)dt其中k为比例系数，分离变量积分，可得N

x(t)=1+Ce-kNtdxCN2ke-kNtdt(1+Ce-kNt)2以及d2xCN3k2e-kNt(Ce-kN-1)dt2(1+Ce-kNt)2TOC\o"1-5"\h\zdxNd2x当x(t*)<N时，有>0,即销量x(t)单调增加；当x(t*)=时，=0；当dt2dt2Nd2xNd2xx(t*)〉时，<0；当x(t*)<时，>0；即当销量达到最大需求量¥的2dt22dt2一半时，产品最为畅销，当销量不成的一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减少。2、某商品的价格由供求关系决定，若供给量s与需求量Q均是价格P的线性函数：S=-1+3P,Q=4-P若价格P是时间t(年)的函数，且已知在时刻t时，价格P的变化率与过剩需求Q-S成正比，比例系数为2,试求价格P与时间t(年)的函数关系，且已知初始价格P0=2元，问当t=0.3年时价格应为多少？解依题意,得dPm=2(Q-S)=2(5-4P)解得P=5-Ce-8143由已知P=2，代入得C=--04

„53于是P=-+—e-8144则当t=0.3时，P(0.3卜1.32习题8.8(1)(1)y=f(n)=n2-3nn(2)y=n(n-1)(n-2)—(n-m+1)n解⑴Ay=(n+1)2.3n+1-n2-3n=3n(2n2+6n+3)n(2)y=n(n-1)(n-2)—(n-m+1)n解Ay=(n+1)n(n-1)—(n-m+2)-n(n-1)(n-2)…(n-m+1)n=n(n-1)…(n-m+2)[(n+1)一(n-m+1)]=mn(n一1)…(n—m+2)2、求下列差分方程的通解(1)y-y(1)y-y=n+3

n+1n(2)y-2y=2n2-1n+1n(3)y+2y=3.2n

n+1n(4)y+5y=1

n+1n解（1）因a=-1，对应齐次方程通解为y=C-1n=C(c为任意常数)设y*（n）=an2+an代入原方程，有a(n+1)2+a(n+1)-an2-an=n+3比较系数得a比较系数得a0所以y*(n)=—n2+—n22所求方程通解为C为任意常数（2）因a=-2，对应齐次方程通解为y=C-2n（c为任意常数）设y*(n)=a0n2+a1n+a2代入原方程,有a(n+1)2+a(n+1)+a-2an2-2an-2a=n2-120

比较系数得a=—2,a=—4,a=—5

012故有y*(n)=—2n2—4n—5所求方程通解为y(n)=C2n—2n2—4n—5(3)对应齐次方程通解为y=C-(—2)n(c为任意常数)又f(n)=3-2n，即b=3,d=2，且a+d=4丰0，因此，原方程的特解为y*(n)=-^-dn=32na+d4故原方程通解为一一3一y=C•(—2)n+—2n4（4）对应齐次方程通解为y=C'(—5)n