高中数学选修11公式概念总结

选修1-1数学公式观点第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系命题1、命题：一般地，在数学中我们把语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈说句叫做命题。此中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。2、命题的组成：在数学中，命题往常写成“若p，则q”的形式。此中p叫做命题的条件，叫做命题的结论。四种命题3、互抗命题：一般地，关于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做互抗命题。此中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的抗命题。假如原命题为“若p，则q”，则它的抗命题为“若q，则p”.4、互否命题：一般地，关于两个命题，此中一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的条件的否认和结论的否认，我们把这样的两个命题叫做互否命题。假如把此中的一个命题叫做原命题，，那么另一个叫做原命题的否命题。假如原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.5、互逆否命题：一般地，关于两个命题，此中一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的结论的否认和条件的否认，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。假如把此中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。假如原命题为“若p，则q”，则它的逆否命题为“若q，则p”.6、以上总结归纳：若p，则q若q，则p原命题若p，则q抗命题若q，则p否命题若p，则q逆否命题若q，则p四种命题间的互相关系

原命题互逆抗命题互否互为逆互为逆否互否否7、四种命题间的互相关系：一般地，原命否命题逆否命题题、抗命题、否命题与逆否命题这四种命题p，则q互逆q，则p之间的互相关系：若若8、四种命题的真假性：一般地，四种命题的真假性之间的关系：1）两个命题和互否命题，它们有同样的真假性；2）两个命题为互逆否命题或互否命题，它们的真假性没有关系。原命题抗命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假选修1-1数学11.2充要条件与必需条件充分条件与必需条件1、充要条件与必需条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理能够得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作pq，而且说p是q的充分条件，q是p的必需条件。假如“若p，则q为假命题”，那么由p推不出q，此时我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必需条件。充要条件pq，又有qp，就记作pq.此时，我们说，p是q的充分2、一般地，假如既有必需条件，简称充要条件。1.2内容总结条件p与结论q的关系结论用会合表示p：A，q：Bpqp是q的充分条件ABqpp是q的必需条件BApq且qpp是q的充分不用要条件AüBpq且qpp是q的必需不充分条件BüApqp是q的充要条件ABpq且qpp是q的既不充分AB且BA也不用要条件1.3简单的逻辑联构造且（and）1、p且q定义：一般地，用关系词“且”把命题p和命题q连结起来，就获得一个新命题，记作pq，读作“p且q”.与会合AIBxxA且xB有关。2、p且q的真假：当p，q都是真命题时，pq是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题。简记为：一假则假，同真则真。或（or）3、p或q定义：一般地，用关系词“或”把命题p和命题q连结起来，就获得一个新命题，记作pq，读作“p或q”.与会合AUBxxA或xB有关。4、p或q的真假：当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，pq是假命题。简记为：一真则真，同假则假。非（not）p，读作5、p非q定义：一般地，对一个命题p通盘否认，就获得一个新命题，记作“非p”或“p的否认”.与会合eAxxU且xAU选修1-1数学26、p非q的真假：若p是真命题，p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题。简记为：与p真假性相反。1.4全称量词与存在量词全称量词1、定义：短语“对全部的”“对随意一个”在逻辑中往常叫做全称量词，并用符号“”表示。含有全程量词的命题，叫做全称命题。2、表述形式：对M中随意一个x，有px建立。符号简记为xM，px.存在量词3、定义：短语“存在一个”“至有少一个”在逻辑中往常叫做存在量词，并用符号“”表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题。4、表述形式：存在M中的一个x0，是px0建立。符号简记为x0M，px0.含有一个量词的命题的否认5、全称命题的否认：一般地，关于含有一个量词的全程命题的否认，有下边的结论：全称命题p：xM，px，它的否认p：x0M，px.0全称命题的否认是特称命题。6、特定数题的否认：一般地，关于含有一个量词的特称命题的否认，有下边的结论：特称命题p：x0M，px0，它的否认p：xM，px.特称命题的否认是全称命题。第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆椭圆及其标准方程1、椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。用会合语言表示：PMPF1PF22a,2aF1F22、椭圆的知足条件：①当MF1MF22aF1F2时，M的轨迹为椭圆；②当MF1MF22aF1F2时，M的轨迹为F1，F2为端点的线段；③当MF1MF22aF1F2时，M的轨迹不存在。3、椭圆的标准方程：①焦点在x轴上：x2y21ab0a2b2我们把这样的方程叫做椭圆的标准方程，两个焦点分别是选修1-1数学3F1c,0，F2c,0，这里b2a2c2.②焦点在y轴上：y2x21ab0两个焦点分别为a2b2F10,c，F20,c.③当焦点不确立可设为：mx2ny21m0,n0,mn椭圆的简单几何性质x2y21ab0）（设椭圆的标准方程为4、范围：由图可知，椭圆上点A1A2为长轴，横坐标的范围是axa（a为长半轴长）。B1B2为短轴，纵坐标的范围是byb（b为短半轴长）。5、对称轴：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。6、极点：椭圆与它的对称轴有四个焦点，这四个交点叫做椭圆的极点。线段AA的长等于2a，线段BB的长等于2b.12127、离心率：椭圆的焦距与长轴长的比c叫做椭圆的离心率，常用eca表示，即e，离心率的范围：0e1.e越靠近于a，进而aba2c2越小，所以椭圆越扁；反之，当e越靠近0时，c靠近于0，进而b越靠近于a，这时椭圆就越靠近圆。当且仅当ab时，c0，这时两个焦点重合，图形变成圆，它的方程为x2y2a2椭圆增补内容8、离心率公式推导：P在y轴上：ec1b2cosOF2Baa2sincosP不在y轴上：e2sinsincos29、交点三角形面积公式：选修1-1数学4SVPFFb2sinb2tanCyP1PF1PF2sin121cos22周长公式：C2ac10、椭圆的第二定义：平面内，若动点M(x,y)与定点Fc,0的距离和它到定直线l:xa2cac0，则M的轨迹是一个椭圆。的距离的比是常数ca注：①常数为离心率，定直线为椭圆的准线②Fl焦半径：设Px0,y0.当焦点在x轴上时，PF1左=aex0，PF2右aex0.当焦点在x轴上时，PF1下=aey0，PF2上aey0.11、直线与椭圆的地点关系x2y21ab0消去x或消去y解方程。地点关系的判断：联立a2b2AxByC0①当直线与椭圆有两个焦点时，直线与椭圆订交，即0；②当直线与椭圆有一个焦点时，直线与椭圆相切，即0；③当直线与椭圆无焦点时，直线与椭圆相离，即0.12、弦长公式设直线ykxb与椭圆订交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，则弦长公式为：ABx1x21k21k2x1x224x1x2ABy1y21111y124y1y2k2k2y213、中点弦长公式（P点在弦AB的中点）焦点在x轴上：kOPkABa2轴上：kOPkABb2b2；焦点在ya2.2.2双曲线双曲线及其标准方程1、双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于FF2）的点的轨迹叫做双曲线。两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离FF112叫做双曲线的焦距。用符号表示：PF1PF22aF1F22c.选修1-1数学52、双曲线的轨迹：①当02aF1F2时，F1，F2的轨迹为双曲线；②当2aF1F2时，动点的轨迹以F1或F2为端点的射线；③当2aF1F2，则动点轨迹不存在。x2y21a0,b0.3、双曲线的标准方程：①焦点在x轴上：2b2a我们把这样的方程叫做双曲线的标准方程，两个焦点分别是F1c,0，F2c,0的双曲线，这里c2a2b2.②焦点在y轴上：y2x21a0,b0.两个焦点分别为a2b2F10,c，F20,c.③当焦点不确立可设为：mx2ny21m0,n0,mnx2y21a0,b0）双曲线的简单几何性质（设双曲线的标准方程为b2a24xa与xa所表示的地区内，而在axa之间没有图像。、范围：双曲线在不等式5、对称轴：双曲线既是轴对称图形，也是中心对称图形。6、极点：双曲线和它的对称轴有两个焦点，他们叫做双曲线的极点。线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度等于2b，b叫做双曲线的半虚轴长。x2y27、（1）渐近线的意义：双曲线a2b21的各支向外延长时，与这两条直线渐渐靠近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线。当在x轴上时，矩形的两条对角线所在直线的方程式ybx；当在y轴aa上时，矩形的两条对角线所在直线的方程式yx.b（2）等轴双曲线：假如ab，那么双曲线的方程为x2y2a2，它的实轴与虚轴的长都等于2a，它的一般形式：x2y20（0，在x轴；0，在y轴）；渐近线方程为yx；离心率：e2选修1-1数学68、离心率：双曲线的焦距与实轴长的比c叫做双曲线的离心率，由于ca0，所以双曲ca线的离心率e.e越靠近于1，双曲线张口越小。1a双曲线增补内容ca2b2b29、离心率公式推导：e1，be21aa2aa10、焦点三角形面积公式：SPF1F2b2sinb21costan211、双曲线的第二定义：动点到定点F的距离与它到定直线l的距离之比是常数ee1.12、直线与双曲线的地点关系地点关系的判断：联立直线l:ykxm消y带入双曲线C可解。l与双曲线C：22C:x2y21ab（1）当kb，若m0，方程有一根，直线与双曲线有一焦点，此时直线平行于渐近a线；若m0，方程无根，直线与双曲线无焦点，该直线就是渐近线。（2）当kb，①0时，直线与双曲线有两个相异焦点；②0时，直线与双曲线a0时，直线与双曲线相离，没有交点。相切，有一个焦点；③13、弦长公式设直线ykxb与双曲线订交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，则弦长公式为：AB1k2x1x21k2x124x1x2x2AB11y1y211y1y224y1y2k2k214、中点弦公式已知Ax1,y1，Bx2,y2是双曲线x2y21a0,b0上的两个不一样的点，a2b2x12y121a2b2Mx0,y0是线段AB的中点，则x2y2221a2b215、共轭双曲线（以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线）选修1-1数学7x2y21与y2x21①有共同的渐近线；②111a2b2b2a2e12e222.3抛物线抛物线及其标准方程1、定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。2、抛物线标准方程的四种形式图形标准方程交点坐标准线方程y22pxp0px,2p02y22pxp0px,2p02x22py0,PPyp022x22pyPP0,yp022①焦点在一次项所含未知数的轴上，②张口由一次项系数正负决定，③焦点的非零坐标是一次项系数的1.4抛物线的简单几何性质（设抛物线的标准方程y22pxp0）3、范围：由于p0，由方程可知，关于抛物线y22pxp0，x0，所以这条抛物线在y轴的右边，张口方向与x轴正向同样；当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无穷延长。4、对称轴：抛物线y22pxp0对称轴是以x轴为对称轴的轴对称图形。5、极点：抛物线和它轴的交点叫做抛物线的极点。6、离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率，用e选修1-1数学8表示。由定义可知：e1抛物线增补内容7、抛物线与直线的地点关系设直线l:ykxb与抛物线y22pxp0，公共点的个数等于方组ykxby22px

不一样实数解的个数。①当k0，则当0时，直线与抛物线订交，有两个公共点；当0时，直线与抛物线相切，有一个公共点；当0时，直线与抛物线相离，无公共点。②当k0，则直线yb与抛物线订交，有一个公共点。特别地，设xm，则当m0时直线l的斜率不存在时，l与抛物线订交，有两个公共点；当m0时，l与抛物线相切，有一个公共点；当m0时，l与抛物线相离，无公共点。8、弦长公式设Ax1,y1，Bx2,y2是直线ykxb与抛物线的交点，则弦长公式为：AB1k2xx1k2xx2224xx2111AB11y1y211y1y24y1y22k2k29、中点弦设Ax,y，Bx,y是抛物线y22pxp0上的点，AB中点Mx,y，则112200AB的斜率为p，则y1y2y12ppy0x1x2y2y0第三章导数及其应用3.1变化率与导数变化率问题1、均匀变化率：设x1，x2是函数yfx定义域内两个不一样的数，fx2fx1把式子x2x1称为函数yfx从x1到x2的均匀变化率。习惯上用x表示x2x1，也可把x看作是有关于x1的一个“增量”，可用x1x取代x2；近似地，yfx2fx1.于是，均匀变化率能够表示为yx导数的观点选修1-1数学92、刹时速度把物体在某一时刻的速度称为刹时速度。一般地，函数yfx在xx0处的刹时变化率yfx0xfx0yfx是limlimx，我们称它为函数在xx0处的导数，x0xx0记作f'x0或y'xx0x0limyfx0xfx0，即f'xlimxx0x0导数的几何意义x0,fx0'x0fx0xfx03、切线方程：求函数在点处的导数flimxk，x0获得曲线在点Px0,fx0处的切线的斜率。3.2导数的计算几个常用函数的导数1、函数yfxc的导数：y'limylim00.xx0x02、函数yfxx的导数：y'limylim11xx0x03、函数yfxx2的导数：y'limylim2xx2xx0xx01limylim114、函数yfx的导数：y'xx2xxx2xx0x0基本初等函数的导数公式及导数的运算法例5、基本初等函数的导数公式（1）若fxc，则f'x0；（2）若fxxaaQ*，则f'xaxa1；（3）若fxsinx，则f'xcosx；（4）若fxcosx，则f'xsinx；（5）若fxax，则f'xaxlnaa0；（6）若fxex，则f'xex；（7）若fxlogax，则f'x10，且a1）；（axlna（8）若fxlnx，则f'x1x11；（9）若f，则f'x2.xxx6、导数的运算法例（10）fxgx'f'xg'x；选修1-1数学10（11）fxgx'f'xgxfxg'x；fxf'xgxfxg'xx0；（12）'g2ggxx（13）cfx'c'fxcfx'cf'x.推导：14）15）

fxgxhx'f'xgxhxfxg'xhxfxgxh'xfxgxhx'f'xg'xh'x3.3导数在研究函数中的应用函数的单一性与导数1、函数的单一性与其导函数的关系：在某个区间a,b内，假如f'x0，那么函数yfx在这个区间内单一递加；假如f'x0，那么函数yfx在这个区间内单一递减。若fx在a,b单一递加，则f'x0在a,b恒建立。注意：①原函数看增减，导函数看正负；②f'x越大，yfx越大。2、求单一区间的一般步骤：①确立函数fx的定义域；②求导函数f'x；