大学物理学3课件

第3章动量守恒与机械能守恒

本章学习要点动量定理和动量守恒定律功和动能定理势能功能原理和机械能守恒定律本章小结3.1动量定理和动量守恒定律3.1.1质点的动量和动量定理1．动量质点的质量m与其速度v的乘积称为质点的动量，用p表示，即动量是矢量，其方向与速度v的方向相同。在国际单位制中，动量的单位为kg·m/s。根据质点动量的定义，牛顿第二定律可表示为：上式说明，物体的动量对时间的变化率等于物体所受的合外力，这是牛顿第二定律更普遍的表述形式。若在t0→t时间内，F为恒力，则上式可写为：若F为变力，则可用一个不变的平均冲力来代替变力，在不改变冲量大小的情况下，使问题简化，此时冲量是矢量，其方向与动量的增量方向相同。在国际单位制中，冲量的单位为N·s。冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量；而动量是描述质点或质点系运动状态的物理量，是状态量。3．质点的动量定理上式称为质点的动量定理，它表明，作用于质点的合外力的冲量等于质点动量的增量。动量定理描述了力对时间的积累效应，它给出了过程量（冲量I）与该过程初、末状态的状态量（动量p0和p）之间的定量关系。由动量定理可知，在相等的冲量作用下，不同质量的物体，其速度变化是不同的，但其动量变化却是相同的。所以，从过程的角度看，动量p比速度v更能恰当地反映物体的运动状态。因此，描述物体做机械运动的状态参量，用动量p比用速度v更准确些。上式为矢量式，它在直角坐标系中的分量式为：【例3-1】如下图所示，质量m＝0.15kg的小球以v0＝10m/s的速度射向光滑地面，入射角θ1＝30°，然后沿θ2＝60°的反射角方向弹出。设碰撞时间Δt＝0.01s，计算小球对地面的平均冲力。【解】选小球为研究对象。因地面光滑，碰撞时小球在水平方向上不受作用力，地面对小球的作用力沿法线方向竖直向上。设地面对小球的平均冲力为，碰后小球速度为v。建立坐标系如右图所示，根据质点的动量定理有：3.1.2质点系的动量定理在研究多个有相互作用的物体的运动情况时，可以把这些物体作为整体系统来研究，称为物体系。若其中的每一个物体都能抽象为质点，则该物体系就可以抽象为质点系。在一个由质点系构成的力学系统中，我们把系统外的物体对系统内各质点的作用力称为外力；把系统内各质点间的相互作用力称为内力。如右图所示，两质点的质量分别为m1和m2，在t1到t2时间内，除有相互作用的内力为f12和f21外，它们还分别受到外力F1和F2的作用，其速度分别从v10和v20变为v1和v2。分别对两质点应用动量定理，有：3.1.3动量守恒定律若质点系的合外力为零，即则上式表明，在一个力学系统中，当系统所受合外力为零时，系统的总动量将保持不变。这一规律称为动量守恒定律。4．动量守恒定律只适用于惯性系，定律中各物体的动量都是对同一惯性系而言的。5．物体所受外力的矢量和为零时，虽然系统的总动量不变，但由于系统各物体间的内力作用，各物体的动量大小和方向都可能发生变化。动量守恒定律是从牛顿运动定律中导出的，但牛顿运动定律只适用于宏观物体做低速运动的情况，而动量守恒定律适用的质点系范围，则大到天体、宇宙，小到质子、中子等微观粒子。因此，动量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的定律之一。【例3-2】如下图所示，水平光滑轨道上有长为l、质量为m2的平板车，质量为m1的人站在车的一端。起初，人和车都静止。当人从车的一端走向另一端时，人和车相对地面各自的位移是多少？【解】选人和车组成的系统为研究对象，因系统在水平方向不受外力，故在水平方向系统的动量守恒。以人行走方向为x轴正向，设v1和v2分别为某时刻人和车相对地面的速度，根据动量守恒定律有：设u为人相对车的速度，由相对运动关系可知：则解得：v2为负，表示车的运动方向沿x轴负向。人在t0～t时间内，以速度u从车的一端走到另一端，人相对车的位移为l。设在此时间内，人和车相对地面的位移分别为x1和x2，则x2为负，表示车相对地面的位移沿x轴负向，即与人行走的方向相反。3.2功和动能定理3.2.1功1．恒力的功如下图所示，质点在恒力F的作用下沿直线运动，其位移为Δr，F与Δr的夹角为θ。则质点所受的力与其位移的标积称为功，用W表示，即功是标量，只有大小，没有方向，但有正负之分。当0≤θ＜π/2时，W＞0，表示力对质点做正功；当π/2＜θ≤π时，W＜0，表示力对质点做负功，即物体克服外力做功；当θ＝π/2时，W＝0，表示力与质点位移方向相互垂直时不做功。在国际单位制中，功的单位为焦耳（J），1J＝1N·m。在直角坐标系中，也可写为：若有几个力F1、F2、…、Fn同时作用在质点上，则它们的合力F的功为：上式表明，合力所做的功等于各分力做功的代数和。【例3-3】如下图所示，一轻绳跨过无摩擦的滑轮，系在质量为m的物体上，用大小不变的力F作用于绳的另一端，使物体向右运动。已知滑轮顶比物体所在平面高h，不计物体本身的高度和滑轮质量。当物体在水平面从A移到B时，求力对物体所做的功。【解】如上图所示，建立Ox坐标轴。设物体在A点的位置坐标为x1，在B点的位置坐标为x2。因不计绳和滑轮的质量，绳端作用于物体上拉力的大小为F，方向沿绳拉物体的方向。3.2.2功率为了描述做功的快慢，引入了功率的概念。若在Δt时间内力做功为ΔW，则力在Δt时间内的平均功率为：Δt→0时，平均功率的极限值称为瞬时功率P，简称功率，即上式表明，功率为力与质点速度的标积。这一点有很重要的实用价值，一般机器都有额定功率，由上式可知，在额定功率下，机器提供的力越大，其速度就会越小，汽车在行驶过程中常常需要换挡依据的就是这个原理。在国际单位制中，功率的单位为瓦特（W），1W＝1J/s。3.2.3质点的动能定理如下图所示，质量为m的质点在合外力F的作用下，沿曲线从A点运动到B点，其速度从vA变为vB。设作用在位移元dr上的合外力F与dr之间的夹角为θ，则合外力F对质点所做的元功为：由牛顿第二定律及切向加速度aτ的定义可得：则关于质点的动能定理还应说明以下几点。1．由于动能定理也是从牛顿运动定律中推出的，因此，动能定理也仅适用于惯性系。2．功与动能的联系与区别。由于合外力对质点所做的功等于质点动能的增量，因此，功是动能变化的量度。功是与在外力作用下质点位置的移动过程相联系的，是一个过程量；而动能则决定于质点的运动状态，是一个状态量。3．动能与动量的联系与区别。质点的动能和动量都是利用m和v两个因素来表示物体的运动状态的，都是状态量，它们在数量上的关系为：动量是矢量，依赖速度的方向；而动能是标量，与速度的方向无关。动量的改变由力的冲量决定，是力的时间累积效应；而动能的改变由力的功决定，是力的空间累积效应。【例3-4】一质量为0.1kg的质点由静止开始运动，运动方程为r＝5t3i＋2j，求在t0＝0到t＝2s的时间内，作用在该质点上的合力所做的功。【解】因故质点在t0＝0和t＝2s时的速度分别为：t0＝0时，v0＝0；t＝2s时，v＝60m/s根据质点的动能定理，有【例3-5】如下图所示，一质量为m的珠子系在线的一端，线的另一端绑在墙上的钉子上，线长为l，先拉动珠子使线保持水平静止，然后松手使珠子下落，求线摆下θ角时珠子的速率v。【解】选珠子为研究对象。如上图所示，珠子受力为：重力mg和拉力T。珠子在圆弧上移动位移元dr时，合外力做的元功为：3.2.4质点系的动能定理如下图所示，两质点的质量分别为m1和m2，f12和f21分别为两质点相互作用的内力，

F1和F2分别为两质点所受的外力。在t1到t2时间内，两质点的速度分别从v10和v20变为v1和v2。对两质点分别应用质点的动能定理有：令，表示所有外力对质点系的做功之和；，表示质点系内各质点间的内力做功之和；，表示质点系末状态的动能；，表示质点系初状态的动能。将上述两式相加可得：如果把上述两个质点的质点系推广到由n个质点组成的质点系，上式仍然成立。上式称为质点系的动能定理，它表明，所有外力对质点系做功与内力做功之和等于质点系动能的增量。质点系的动能定理与质点系的动量定理不同。质点系的动量定理指出，质点系动量的变化只与外力的冲量有关；而质点系的动能定理则指出，质点系动能的变化既与外力做功有关，也与内力做功有关。例如，炸弹爆炸后，弹片四处飞散，它们的总动量并未变化，但其总动能显然增加了。3.3势能3.3.1万有引力、重力与弹力做功1．万有引力做功如下图所示，有两个质量分别为M、m的质点，其中，质点M固定不动，质点m在M的引力场中经任意路径由A点运动到B点，A、B两点相对于固定质点M的位矢分别为r1和r2。在质点m运动过程中，万有引力的大小和方向都在变化。设在任一位置，质点m的位矢为r，er为沿位矢r方向的单位矢量。则此时质点m受到质点M的万有引力为：当质点m沿路径移动位移元dl时，万有引力所做的元功为：因er·dl＝erdlcosθ＝dlcosθ＝dr，于是，上式可表示为：所以，质点m经任意路径由A点运动到B点的过程中，万有引力做功为：上式表明，万有引力做功只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过的路径无关。2．重力做功如下图所示，一质量为m的质点，在重力作用下，经任意路径由A点运动到B点，A点和B点距地面的高度分别为h1和h2。在位移元dr中，重力所做的元功为：于是，质点m经任意路径由A点运动到B点的过程中，重力做功为：上式表明，重力做功也只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过的路径无关。3．弹力做功如下图所示，有一弹簧水平放置，弹簧的一端固定，另一端与质量为m的质点相连。现以平衡位置为坐标原点O，以质点运动的直线为x轴，取向右为x轴正向。当质点偏离平衡位置为x时，在弹性限度内，质点所受的弹力为F＝－kxi。在位移元dx中，弹力所做的元功为：当弹簧的伸长量由x1变为x2时，弹力做功为：上式表明，弹力做功也只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过的路径无关。3.3.2保守力与非保守力从上述对万有引力、重力和弹力做功的讨论中可以看出，它们有一个共同特点，即这些力做功只与质点的起始和终了位置有关，而与路径无关。我们把具有这种特点的力称为保守力。除此之外，电荷间相互作用的静电力和原子间相互作用的分子力也是保守力。如下图所示为从初始位置A到终了位置B之间的两条曲线L1和L2。设质点在曲线上的位移元为dl。若质点沿曲线L1从A运动到B，则力F做功为；若质点沿曲线L2从A运动到B，则力F做功为。如果F为保守力，则这两个功是相等的，即若质点沿曲线L2从B运动到A，则力F做功记为，则，故上式可写为：上式中，两积分之和恰好是从A点开始，经闭合曲线一周返回A点的积分，于是，上式可写为：上式即为反映保守力做功特点的数学表达式，它表明，质点沿任一闭合路径运动一周时，保守力所做的功为零。然而，在物理学中，并非所有的力都具有做功与路径无关这一特点。我们把这种做功与路径有关的力称为非保守力。

3.3.3势能由上述分析可知，保守力做功是与系统相对位置改变有关的一种能量，因此，我们把这种与系统相对位置有关的能量称为系统的势能，用Ep表示。若用Ep1和Ep2分别表示初、末状态的势能，则它们与保守力做功W之间的关系为：

上式表明，保守力做的功等于系统势能增量的负值（或系统势能的减少）。势能的单位与功相同，也是焦耳（J）。势能是一个相对值，要确定系统处于空间某点的势能，需要选择一个参考点，规定系统在该点处的势能为零，此参考点称为势能零点。选定势能零点之后，系统在任一位置的势能Ep等于从该位置到势能零点，保守力所做的功。

势能零点的选择是任意的，对不同的势能零点，质点在同一位置的势能可能不同，但质点在任意两个给定位置的势能增量总是相同的，这与势能零点的选择无关。势能是状态的函数，是状态量，它是属于以保守力相互作用的整个质点系统的，不属于单个质点。只有保守力才有势能，不同保守力对应不同类型的势能。在力学中，对应于万有引力、重力和弹力的势能为万有引力势能、重力势能和弹性势能。

万有引力势能：通常选取两质点M、m相距无穷远处为万有引力势能零点，则当两质点相距为r时的万有引力势能为

重力势能：通常选取地面为重力势能零点，则质点在距地面任一高度h处的重力势能为

弹性势能：通常选取弹簧无形变时为弹性势能零点，则当弹簧的形变量为x时，系统的弹性势能为

3.4功能原理和机械能守恒定律3.4.1功能原理系统的动能与势能之和称为机械能，用E表示，即

力具有保守力与非保守力之分，对一个质点系而言，其内力也可分为保守内力和非保守内力。相应地，内力的功W内也可分为保守内力的功W保内和非保守内力的功W非保内，即W内＝W保内＋W非保内。因此，质点系的动能定理式可写为：

由于保守力做功等于系统势能增量的负值，即W保内＝Ep0－Ep，则上式可写为（功能原理）：

3.4.2机械能守恒定律根据功能原理可知，如果质点系所受的外力和非保守内力不做功或做功之和始终等于零，即W外＋W非保内＝0，则有：

上式表明，如果一个质点系只有保守内力做功，而外力和非保守内力不做功或做功之和等于零，则质点系的总机械能将保持不变。这一规律称为机械能守恒定律。上式还可写成：

即

上式表明，在满足机械能守恒定律的前提下，系统内各质点的动能和势能可以相互转化，但系统的动能与势能之和却是不变的。可见，保守内力的功只能使系统动能和势能之间发生等量转化，但却不能改变系统的总机械能。

3.4.3能量守恒定律由功能原理可知，外力与非保守内力做功的代数和不为零时，质点系的机械能将发生变化，这实际上是其他形式的能量与机械能之间的转化。例如，电动绞车提升重物时，电流做正功，电能转化为机械能；运动员举杠铃时，肌肉作用力做正功，人体内部的化学能转化为机械能等。在大量能量转移和转化的过程中，人们总结出一条重要的结论：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移的过程中其总量不变。这一规律称为能量守恒定律，它是自然界中最普遍的规律之一，机械能守恒定律只是这条定律在力学领域的特例。

【例3-6】如下图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端固定，沿斜面放置，斜面倾角为θ。质量为m的物体从与弹簧上端相距为a的位置以初速度v0沿斜面下滑，并使弹簧最多压缩b，求物体与斜面之间的摩擦因数μ。【解】将物体、弹簧和地球视为一个系统。物体的重力、物体与弹簧间的弹力为系统的保守内力；斜面对物体的支持力为外力，它与物体的位移垂直，不做功；斜面与物体间的摩擦力为外力，做功。取弹簧平衡位置处为弹性势能零点，弹簧压缩量最大处为重力势能零点，根据功能原理可知，摩擦力做的功等于系统机械能的增量，即

因

故可得：

【例3-7】如下图所示，有一质量可忽略不计的轻弹簧，其一端系在铅直放置的圆环顶点P，另一端系一质量为m的小球，小球穿过圆环并在圆环上做无摩擦的运动。设开始时，小球静止于点A，弹簧处于自然伸展状态，其长度为圆环的半径R；小球运动到圆环底端点B时，对圆弧没有压力。试求此弹簧的劲度系数k。【解】将弹簧、小球和地球视为一个系统。小球的重力、小球与弹簧间的弹力为系统的保守内力，圆弧对小球的支持力和点P对弹簧的拉力虽都为外力，但都不做功。因此，小球从点A运动到点B的过程中，系统的机械能守恒。取A点处为弹性势能零点，B点处为重力势能零点，设小球在点B的速率为v