0422增加-数理逻辑第八节课

一.回顾这门课的最

的任务是梳理清楚何为“正确”的推理形式

/一.回顾这门课的最

的任务是梳理清楚何为“正确”的推理形式

/正确的推理形式：保真的(truth-preserving)一.回顾这门课的最

的任务是梳理清楚何为“正确”的推理形式

/正确的推理形式：保真的(truth-preserving)它的所有实例（命题集到命题）如果前提都真，则结论也真一.回顾这门课的最

的任务是梳理清楚何为“正确”的推理形式

/正确的推理形式：保真的(truth-preserving)它的所有实例（命题集到命题）---具体的情景如果前提都真，则结论也真一.回顾这门课的最

的任务是梳理清楚何为“正确”的推理形式

/正确的推理形式：保真的(truth-preserving)它的所有实例（命题集到命题）---具体的情景如果前提都真，则结论也真只要能反映命题的真假----外延化情景一.回顾这门课的最

的任务是梳理清楚何为“正确”的推理形式

/正确的推理形式：保真的(truth-preserving)两个任务形式化外延化情景一.回顾这门课的最

的任务是梳理清楚何为“正确”的推理形式

/正确的推理形式：保真的(truth-preserving)两个任务形式化外延化情景

确定命题（的真假）一.回顾这门课的最

的任务是梳理清楚何为“正确”的推理形式

/正确的推理形式：保真的(truth-preserving)两个任务形式化

不同的逻辑“部件…..外延化情景

确定命题（的真假）一.回顾不同的逻辑“部件”不同“粗细地”外延化情景不同的形式化一.回顾不同的逻辑“部件”不同“粗细地”外延化情景不同的形式化命题逻辑与谓词逻辑一.回顾命题逻辑语义演算系统一系列精确的概念、方法一.回顾命题逻辑语义演算系统一系列精确的概念、方法命题逻辑的逻辑常项起作用的推理形式一.回顾谓词逻辑语义演算系统一系列精确的概念、方法谓词逻辑的逻辑常项起作用的推理形式一.回顾谓词逻辑的要素量词（全称量词、存在量词）关系词（谓词）函数词常项变项真值联结词一.回顾谓词逻辑的要素量词（全称量词、存在量词）关系词（谓词）函数词常项变项真值联结词哪些是逻辑常项？一.回顾谓词逻辑的要素量词（全称量词、存在量词）关系词（谓词）函数词常项变项真值联结词哪些是逻辑常项？一.回顾谓词逻辑的要素量词（全称量词、存在量词）关系词（谓词）函数词常项变项真值联结词哪些是逻辑常项？一.回顾谓词逻辑的要素量词（全称量词、存在量词）关系词（谓词）函数词常项变项真值联结词哪些是逻辑常项？一.回顾变项真值联结词哪些是逻辑常项？谓词逻辑的要素量词（全称量词、存在量词）关系词（谓词）函数词常项变项不指特定的个体，与量词配合起作用一.回顾谓词逻辑的要素量词（全称量词、存在量词）关系词（谓词）函数词常项变项真值联结词哪些是逻辑常项？变项不指特定的个体，与量词配合起作用例子对每个自然数x，存在着一个自然数y（x小于y并且y

是偶数）一.回顾谓词逻辑的要素量词（全称量词、存在量词）关系词（谓词）函数词常项变项真值联结词形式化与外延化二.语形学初步谓词逻辑的要素量词（全称量词、存在量词）关系词（谓词）函数词常项变项真值联结词二.语形学初步谓词逻辑的要素量词（全称量词、存在量词）关系词（谓词）函数词常项变项真值联结词要素的符号表示、语形对象的构成…二.语形学初步谓词逻辑的要素量词（全称量词、存在量词）关系词（谓词）函数词常项变项真值联结词

,

,

,

,要素的符号表示、语形对象的构成…二.语形学初步谓词逻辑的要素量词（全称量词、存在量词）关系词（谓词）函数词常项变项真值联结词

,

,

,

,（全称）、（存在）要素的符号表示、语形对象的构成…二.语形学初步谓词逻辑的要素量词（全称量词、存在量词）关系词（谓词）函数词常项（全称）、（存在）变项

x0,

x1,

x2,

…（可数无穷多）真值联结词

,

,

,

,要素的符号表示、语形对象的构成…二.语形学初步谓词逻辑的要素量词（全称量词、存在量词）（全称）、（存在）关系词（谓词）函数词常项变项真值联结词x0,x1,x2,…（可数无穷多）,

,

,

,要素的符号表示、语形对象的构成…怎么表示？二.语形学初步谓词逻辑的要素（全称）、（存在）关系词（谓词）函数词常项变项真值联结词x0,x1,x2,…（可数无穷多）,

,

,

,要素的符号表示、语形对象的构成…怎么表示？量词（全称量词、存在量词）不同领域不同选用二.语形学初步例子1（初等数论）自然数，

小于关系，

函数

加、乘小于关系二元的关系R加乘二元的函数二元的函数二.语形学初步例子1（初等数论）自然数，

小于关系，

函数

加、乘小于关系 二元的关系

R加乘二元的函数二元的函数够了吗？二.语形学初步例子1（初等数论）自然数，

小于关系，

函数

加、乘小于关系 二元的关系

R加乘二元的函数二元的函数每个数都大于等于零够了吗？二.语形学初步例子1（初等数论）自然数，

小于关系，

函数

加、乘小于关系 二元的关系

R加乘零二元的函数二元的函数常项等于关系 二元的关系每个数都大于等于零够了吗？二.语形学初步例子1（初等数论）自然数，

小于关系，

函数

加、乘小于关系 二元的关系

R加乘零二元的函数二元的函数常项等于关系 二元的关系每个数都大于等于零x0(x0Rx0)够了吗？二.语形学初步例子1（初等数论）自然数，

小于关系，

函数

加、乘小于关系 二元的关系

R加乘零二元的函数二元的函数常项等于关系 二元的关系每个数都大于等于零

x

(x0

00够了吗？形式数论中还会使用其它的Rx

)符号二.语形学初步与命题逻辑不同，谓词逻辑里有许多语言，这些语言是针对不同的领域，出于不同的需要而设计的，所有这些语言有共同部分，相应于逻辑常号的符号，称它们为逻辑符号；不同语言共有的还有辅助符号：左右括号；各个语言中所特有的，常项、关系词符号、函数符号等统称为非逻辑符号二.语形学初步的字母表由以下符号组成：定义1

一个一阶语言1.一组非逻辑符号：一个（可能空的）常项集；对每个n对每个n1,一个（可能空的）n元谓词集；1,一个（可能空的）n元函数符号集。2.一组固定的逻辑符号：变项

x0,

x1,

x2,

…（可数无穷多）；量词

，

（全称量词，存在量词）；真值函数联结词

，

，

，括号)，(。二.语形学初步的字母表由以下符号组成：定义1

一个一阶语言1.一组非逻辑符号：一个（可能空的）常项集；对每个n对每个n1,一个（可能空的）n元谓词集；1,一个（可能空的）n元函数符号集。2.一组固定的逻辑符号：变项

x0,

x1,

x2,

…（可数无穷多）；量词

，

（全称量词，存在量词）；真值函数联结词

，

，

，括号)，(。所有的一阶语言都有相同的逻辑符号二.语形学初步的字母表由以下符号组成：定义1

一个一阶语言1.一组非逻辑符号：一个（可能空的）常项集；对每个n对每个n1,一个（可能空的）n元谓词集；1,一个（可能空的）n元函数符号集。2.一组固定的逻辑符号：变项

x0,

x1,

x2,

…（可数无穷多）；量词

，

（全称量词，存在量词）；真值函数联结词

，

，

，括号)，(。所有的一阶语言都有相同的逻辑符号非逻辑符号谓词确定一个一阶语言二.语形学初步例子2 符号化下面的句子对每个自然数，都存在另外一个自然数比它大存在一个比所有自然数大的自然数二.语形学初步例子2 符号化下面的句子对每个自然数，都存在另外一个自然数比它大存在一个比所有自然数大的自然数语言

非逻辑符号 大于二.语形学初步例子2 符号化下面的句子对每个自然数，都存在另外一个自然数比它大存在一个比所有自然数大的自然数语言

非逻辑符号 大于插议：对象语言与元语言符号可以相同，使用时注意差别前者可以视为“名字”，后者代表“对象本身”二.语形学初步例子2 符号化下面的句子对每个自然数，都存在另外一个自然数比它大存在一个比所有自然数大的自然数语言

非逻辑符号 大于（1）（2）(

)(

)二.语形学初步例子2 符号化下面的句子对每个自然数，都存在另外一个自然数比它大存在一个比所有自然数大的自然数语言

非逻辑符号 大于（1）（2）(

)(

)插议：有时由于的领域（范围）不同还需要增加符号二.语形学初步例子2 符号化下面的句子对每个自然数，都存在另外一个自然数比它大存在一个比所有自然数大的自然数语言

非逻辑符号 大于（1）（2）(

)(

)插议：有时由于的领域（范围）不同还需要增加符号本例中如果的范围不仅在自然数集，而是在实数集二.语形学初步例子2 符号化下面的句子对每个自然数，都存在另外一个自然数比它大存在一个比所有自然数大的自然数语言

非逻辑符号 大于（1）（2）(

)(

)插议：有时由于的领域（范围）不同还需要增加符号本例中如果

的范围不仅在自然数集，而是在实数集则增加一个一元的谓词符号N二.语形学初步例子2 符号化下面的句子对每个自然数，都存在另外一个自然数比它大存在一个比所有自然数大的自然数语言

非逻辑符号 大于(N(N(N(N))))插议：有时由于的领域（范围）不同还需要增加符号本例中如果

的范围不仅在自然数集，而是在实数集则增加一个一元的谓词符号N二.语形学初步例子3 符号化下面的句子恰有三个互不相同的素数小于7二.语形学初步例子3 符号化下面的句子恰有三个互不相同的素数小于7语言

非逻辑符号

、P、7、二.语形学初步例子3 符号化下面的句子恰有三个互不相同的素数小于7语言

非逻辑符号

、P、7、一种尝试((7)

(P

P

P

))是

(

)的缩写)

(

77其中二.语形学初步例子3 符号化下面的句子恰有三个互不相同的素数小于7语言

非逻辑符号

、P、7、一种尝试 对吗？((7)

(P

P

P

)))

(

77二.语形学初步例子3 符号化下面的句子恰有三个互不相同的素数小于7语言

非逻辑符号

、P、7、一种尝试 对吗？((7)

(P

P

P

)))

(

77二.语形学初步例子3 符号化下面的句子恰有三个互不相同的素数小于7语言

非逻辑符号

、P、7、一种尝试 对吗？((7)

(P

P

P

)))

(

77二.语形学初步例子3 符号化下面的句子恰有三个互不相同的素数小于7语言

非逻辑符号

、P、7、一种尝试 对吗？((7)

(P

P

P

)))

(

77正确的(()

(

777)

(PP

P

)

((

7

P

)

()))二.语形学初步例子4 符号化下面的句子的法国国王是秃头二.语形学初步例子4 符号化下面的句子的法国国王是秃头一种尝试

B(c)非逻辑符号

c（ 的法国国王）

B（是秃头）二.语形学初步例子4 符号化下面的句子的法国国王是秃头的法国国王）

B（是秃头）一种尝试

B(c)非逻辑符号c（：二.语形学初步：例子4 符号化下面的句子的法国国王是秃头一种尝试

B(c)非逻辑符号

c（ 的法国国王）

B（是秃头）(KF(

)

B(

)

((KF(

)

B(

))))的法国国王）非逻辑符号KF（作为谓词符号，

B（是秃头），二.语形学初步：例子4 符号化下面的句子的法国国王是秃头一种尝试

B(c)非逻辑符号

c（ 的法国国王）

B（是秃头）(KF(

)

B(

)

((KF(

)

B(

))))非逻辑符号KF（作为谓词符号，

B（是秃头），的法国国王）插议：

“

”地位特殊

有时也把它当作逻辑常项二.语形学初步例子4 符号化下面的句子的法国国王是秃头一种尝试

B(c)非逻辑符号

c（ 的法国国王）

B（是秃头）：(KF(

)

B(

)))非逻辑符号

KF（作为谓词符

的法国国王）B（是秃头），插议：

“

”地位特殊

有时也把它当作逻辑常项按带还是不带区分为带等词的谓词逻辑不带等词的谓词逻辑形式化可以使 由命题提取出形式，相应的公式另一面，还需要外延化情景，以能确定公式对应题的真假形式化可以使 由命题提取出形式，相应的公式另一面，还需要外延化情景，以能确定公式对应题的真假借助集合论来进行外延化三.集合论初步集合（不）是什么？三.集合论初步集合（不）是什么？在数学等课程中已经介绍过集合相关概念三.集合论初步集合（不）是什么？在数学等课程中已经介绍过集合相关概念例子5这个教室里所有人组成一个集合所有自然数组成一个集合三.集合论初步集合（不）是什么？集合论创始人康托（Georg

Cantor）的“定义”“

把一个‘集合’理解为任意这样一个聚合M，它将

的直观或思想的确定的、有明确分别的一些对象m（称为M的‘元素’）聚为一个整体。”三.集合论初步集合（不）是什么？集合论创始人康托（Georg

Cantor）的“定义”“

把一个‘集合’理解为任意这样一个聚合M，它将

的直观或思想的确定的、有明确分别的一些对象m（称为M的‘元素’）聚为一个整体。”聚合三.集合论初步集合（不）是什么？集合论创始人康托（Georg

Cantor）的“定义”“

把一个‘集合’理解为任意这样一个聚合M，它将

的直观或思想的确定的、有明确分别的一些对象m（称为M的‘元素’）聚为一个整体。”聚合 一些对象聚为一个整体三.集合论初步集合（不）是什么？集合论创始人康托（Georg

Cantor）的“定义”“

把一个‘集合’理解为任意这样一个聚合M，它将

的直观或思想的确定的、有明确分别的一些对象m（称为M的‘元素’）聚为一个整体。”聚合 一些对象聚为一个整体如例子5中，两个集合（聚合）三.集合论初步集合（不）是什么？集合论创始人康托（Georg

Cantor）的“定义”“

把一个‘集合’理解为任意这样一个聚合M，它将

的直观或思想的确定的、有明确分别的一些对象m（称为M的‘元素’）聚为一个整体。”“直观的”或“思想的”对象三.集合论初步集合（不）是什么？集合论创始人康托（Georg

Cantor）的“定义”“

把一个‘集合’理解为任意这样一个聚合M，它将

的直观或思想的确定的、有明确分别的一些对象m（称为M的‘元素’）聚为一个整体。”“直观的”或“思想的”对象一种理解：直观的对象指 ，思想的对象指集合。三.集合论初步集合（不）是什么？集合论创始人康托（Georg

Cantor）的“定义”“

把一个‘集合’理解为任意这样一个聚合M，它将

的直观或思想的确定的、有明确分别的一些对象m（称为M的‘元素’）聚为一个整体。”“直观的”或“思想的”对象某种理解：直观的对象指 ，思想的对象指集合。因此，一个集合也可以是另一个集合的元素。三.集合论初步集合的表示枚举性质表示法三.集合论初步集合的表示枚举一个集合元素不多时，全部列出来三.集合论初步集合的表示枚举一个集合元素不多时，全部列出来例子6{

，

}，{1，2，3}三.集合论初步集合的表示枚举一个集合元素不多时，全部列出来例子6A={

，

}，B={1，2，3}三.集合论初步集合的表示枚举一个集合元素不多时，全部列出来例子6A={

，

}，B={1，2，3}A，B也作为对象三.集合论初步}，B={1，2，3}集合的表示枚举例子6A={

，A，B也作为对象称“ ”是A的元素，或者 属于A用

A

表示三.集合论初步}，B={1，2，3}集合的表示枚举例子6A={

，A，B也作为对象称“ ”是A的元素，或者 属于A用

A

表示； 不属于 ，例如1

A三.集合论初步集合的表示枚举元素多时，一般写出几个元素，后面用…例子7N={1，2，3

，…}

自然数集三.集合论初步集合的表示性质表示法如果P(x)表示一个性质，则就用{x

|

P(x)}表示所有具有此性质的元素的聚合（集合）；换言之：任给x，x {x

|

P(x)}当且仅当x有性质P。三.集合论初步就用{x

|

P(x)}表示所集合的表示性质表示法如果P(x)表示一个性质，则有具有此性质的元素的聚合三.集合论初步就用{x

|

P(x)}表示所集合的表示性质表示法如果P(x)表示一个性质，则有具有此性质的元素的聚合例子7

ℕ={x

|

x是自然数}三.集合论初步就用{x

|

P(x)}表示所集合的表示性质表示法如果P(x)表示一个性质，则有具有此性质的元素的聚合例子7

ℕ={x

|

x是自然数}一个特别的集合

{x

|

x

x}三.集合论初步就用{x

|

P(x)}表示所集合的表示性质表示法如果P(x)表示一个性质，则有具有此性质的元素的聚合例子7

ℕ={x

|

x是自然数}一个特别的集合

{x

|

x

x}

空集，记为三.集合论初步就用{x

|

P(x)}表示所集合的表示性质表示法如果P(x)表示一个性质，则有具有此性质的元素的聚合例子7

ℕ={x

|

x是自然数}一个特别的集合

{x

|

x

x}

空集，记为对任意的x，x三.集合论初步就用{x

|

P(x)}表示所集合的表示性质表示法如果P(x)表示一个性质，则有具有此性质的元素的聚合的观念：任意一个性质或概念决定一个集合集合是性质或概念的外延三.集合论初步就用{x

|

P(x)}表示所集合的表示性质表示法如果P(x)表示一个性质，则有具有此性质的元素的聚合的观念：任意一个性质或概念决定一个集合集合是性质或概念的外延任给一个性质P，一定有作为它的外延的集合？三.集合论初步就用{x

|

P(x)}表示所集合的表示性质表示法如果P(x)表示一个性质，则有具有此性质的元素的聚合的观念：任意一个性质或概念决定一个集合集合是性质或概念的外延任给一个性质P，一定有作为它的外延的集合？按照 的观点，回答为：是三.集合论初步就用{x

|

P(x)}表示所集合的表示性质表示法如果P(x)表示一个性质，则有具有此性质的元素的聚合的观念：任意一个性质或概念决定一个集合悖论

取性质

X

X三.集合论初步就用{x

|

P(x)}表示所集合的表示性质表示法如果P(x)表示一个性质，则有具有此性质的元素的聚合的观念：任意一个性质或概念决定一个集合悖论

取性质

X

X有集合具有这个性质，如{

，

}三.集合论初步就用{x

|

P(x)}表示所集合的表示性质表示法如果P(x)表示一个性质，则有具有此性质的元素的聚合的观念：任意一个性质或概念决定一个集合悖论

取性质

X X，令S=

{x

|

X

X}三.集合论初步就用{x

|

P(x)}表示所集合的表示性质表示法如果P(x)表示一个性质，则有具有此性质的元素的聚合的观念：任意一个性质或概念决定一个集合悖论

取性质

X X，令S=

{x

|

X

X}S

S三.集合论初步就用{x

|

P(x)}表示所集合的表示性质表示法如果P(x)表示一个性质，则有具有此性质的元素的聚合的观念：任意一个性质或概念决定一个集合悖论

取性质

X X，令S=

{x

|

X

X}S

S

S

S三.集合论初步就用{x

|

P(x)}表示所集合的表示性质表示法如果P(x)表示一个性质，则有具有此性质的元素的聚合的观念：任意一个性质或概念决定一个集合悖论

取性质

X X，令S=

{x

|

X

X}S

S

S

SS

S三.集合论初步就用{x

|

P(x)}表示所集合的表示性质表示法如果P(x)表示一个性质，则有具有此性质的元素的聚合的观念：任意一个性质或概念决定一个集合悖论

取性质

X X，令S=

{x

|

X

X}S

S

S

SS

S

S

S三.集合论初步就用{x

|

P(x)}表示所集合的表示性质表示法如果P(x)表示一个性质，则有具有此性质的元素的聚合的观念：任意一个性质或概念决定一个集合折中的部分，如果手里已经有一个集合A，那么对任意的性质P(x)，

{x

A

|

P(x)}是一个集合三.集合论初步集合的外延性原则对给定的任意集合A与B，如果对任意x，xA当且仅当x

B，则A

=

B三.集合论初步集合的外延性原则对给定的任意集合A与B，如果对任意x，xA当且仅当x

B，则A

=

B律对任意的对象A与B，如果对任意性质P，P(A)当且仅当P(B)，则A=B三.集合论初步集合的外延性原则对给定的任意集合A与B，如果对任意x，xA当且仅当x

B，则A

=

B律对任意的对象A与B，如果对任意性质P，P(A)当且仅当P(B)，则A=B外延性

一个集合完全由它所包含的元素决定三.集合论初步集合的外延性原则对给定的任意集合A与B，如果对任意x，xA当且仅当x

B，则A

=

B命题1

空集是唯一的——如果A和B都是空集，则A

=

B三.集合论初步集合的外延性原则对给定的任意集合A与B，如果对任意x，xA当且仅当x

B，则A

=

B命题1

空集是唯一的——如果A和B都是空集，则A

=

B证:假设A和B是空集三.集合论初步集合的外延性原则对给定的任意集合A与B，如果对任意x，xA当且仅当x

B，则A

=

B命题1

空集是唯一的——如果A和B都是空集，则A

=

B证:假设A和B是空集，那么对任意的x，x

A

x

B

并且x

B

x

A三.集合论初步集合的外延性原则对给定的任意集合A与B，如果对任意x，xA当且仅当x

B，则A

=

B命题1

空集是唯一的——如果A和B都是空集，则A

=

B证:假设A和B是空集，那么对任意的x，x

A

x

B

并且x

B

x

A前件都假三.集合论初步定义2（1）称集合A是集合B的子集，记为A任意的x，如果x

A，则x

BB，若，对（2）设A

B

，若A

B，则称A

是B的真子集，记为A

B三.集合论初步定义2（1）称集合A是集合B的子集，记为A任意的x，如果x

A，则x

BB，若，对（2）设A

B

，若A

B，则称A

是B的真子集，记为A

B例子8

（1）{

，

}（2）

{x

|

x

2并且x是偶数}，使得x=y+z}？{x

|

x是人}{x

|

存在素数y和z三.集合论初步定义2（1）称集合A是集合B的子集，记为A任意的x，如果x

A，则x

BB，若，对（2）设A

B

，若A

B，则称A

是B的真子集，记为A

B例子8

（1）{

，

} {x|

x是人}（2）

{x

|

x

2并且x是偶数} {x

|

存在素数y和z，使得x=y+z}？不知道（哥德巴赫猜想）三.集合论初步定义2（1）称集合A是集合B的子集，记为A任意的x，如果x

A，则x

BB，若，对（2）设A

B

，若A

B，则称A

是B的真子集，记为A

B命题2

对任意的集合A，

A三.集合论初步定义2（1）称集合A是集合B的子集，记为A任意的x，如果x

A，则x

BB，若，对（2）设A

B

，若A

B，则称A

是B的真子集，记为A

B命题2

对任意的集合A，证：对任意的x，如果xA，则x

A

前件为假三.集合论初步定义2（1）称集合A是集合B的子集，记为A任意的x，如果x

A，则x

BB，若，对（2）设A

B

，若A

B，则称A

是B的真子集，记为AB命题3则A对任意的集合A，B，若ABB，并且BA，三.集合论初步定义2（1）称集合A是集合B的子集，记为A任意的x，如果x

A，则x

BB，若，对（2）设A

B

，若A

B，则称A

是B的真子集，记为AB命题3

对任意的集合A，B，若A则A

BB，并且BA，证：

A

B

对任意的x，如果xA，则xBB

A

对任意的x，如果xB，则xA三.集合论初步定义2（1）称集合A是集合B的子集，记为A任意的x，如果x

A，则x

BB，若，对（2）设A

B

，若A

B，则称A

是B的真子集，记为A

B命题4

对任意的集合A，B，C，若A

B，并且BC

，则A

C三.集合论初步定义2（1）称集合A是集合B的子集，记为A任意的x，如果x

A，则x

BB，若，对（2）设A

B

，若A

B，则称A

是B的真子集，记为A

B命题4

对任意的集合A，B，C，若A

B，并且BC

，则A

C证：任取x，设x

A三.集合论初步定义2（1）称集合A是集合B的子集，记为A任意的x，如果x

A，则x

BB，若，对（2）设A

B

，若A

B，则称A

是B的真子集，记为A

B命题4

对任意的集合A，B，C，若A

B，并且BC

，则A

C证：任取x，设x

A，则x

B，进而x

C三.集合论初步定义3设A是集合，称集合{X

|

X(A)A}为A的幂集，记为三.集合论初步定义3设A是集合，称集合{X

|

X(A)A}为A的幂集，记为例子9

（1）(

)=？三.集合论初步定义3设A是集合，称集合{X

|

X(A)A}为A的幂集，记为例子9

（1）(

)=？三.集合论初步定义3设A是集合，称集合{X

|

X(A)A}为A的幂集，记为例子9

（1）

(

)=？(

)三.集合论初步定义3设A是集合，称集合{X

|

X(A)A}为A的幂集，记为例子9

（1）

(

)=？(

)对任意的集合A，若A

(

)，三.集合论初步定义3设A是集合，称集合{X

|

X(A)A}为A的幂集，记为例子9

（1）

(

)=？(

)对任意的集合A，若A(

)，则A三.集合论初步定义3设A是集合，称集合{X

|

X(A)A}为A的幂集，记为例子9

（1）

(

)=？(

)对任意的集合A，若A又据命题2

A(

)，则A三.集合论初步定义3设A是集合，称集合{X

|

X(A)A}为A的幂集，记为例子9

（1）

(

)=？(

)对任意的集合A，若A

(

)，则A又据命题2 A

；再据命题3

A

=三.集合论初步定义3设A是集合，称集合{X

|

X(A)A}为A的幂集，记为例子9

（1）

(

)=？(

)对任意的集合A，若A

(

)，则A又据命题2 A

；再据命题3

A

=三.集合论初步定义3设A是集合，称集合{X

|

X(A)A}为A的幂集，记为例子9

（1）

(

)={

}(2)

({1，2，3})=?三.集合论初步定义3设A是集合，称集合{X

|

X(A)A}为A的幂集，记为例子9

（1）

(

)={

}(2)

({1，2，3})={{1,

2,

3},

{1,

2},

{1,

3},

{2,

3},{1},

{2},

{3},

}三.集合论初步定义3设A是集合，称集合{X

|

X(A)A}为A的幂集，记为命题5

（1）若集合AB，则

(A)(B)三.集合论初步定义3设A是集合，称集合{X

|

X(A)A}为A的幂集，记为命题5

（1）若集合A证；任取C

(A)则C

AB，则

(A)(B)三.集合论初步定义3设A是集合，称集合{X

|

X(A)A}为A的幂集，记为B，则

(A)命题5

（1）若集合A证；任取C

(A)则C A

，据命题4，

C

B(B)三.集合论初步定义3设A是集合，称集合{X

|

X(A)A}为A的幂集，记为命题5

（1）若集合AB，则(A)(B)（2）对任意的集合A，(A)三.集合论初步定义3设A是集合，称集合{X

|

X(A)A}为A的幂集，记为命题5

（1）若集合A（2）对任意的集合A，命题2，

A，B，则

(A)(A)(B)三.集合论初步定义3设A是集合，称集合{X

|

X(A)A}为A的幂集，记为命题5

（1）若集合A（2）对任意的集合A，B，则

(A)(A)(B)命题2，

A，据例子9

（1）

(

)三.集合论初步定义3设A是集合，称集合{X

|

X(A)A}为A的幂集，记为命题5

（1）若集合A（2）对任意的集合A，B，则

(A)(A)(B)命题2，据（1）

(

)A，据例子9

（1）

(

)(B)三.集合论初步集合间运算定义3

给定集合A和B，称集合{x

|

x称集合{x

|

x称集合{x

|

xA或x

B}为A和B的并集，记为A B。A且x

B}为A和B的交集，记为A B。A且x

B}为A和B的差集，记为A B。三.集合论初步集合间运算定义3

给定集合A和B，称集合{x

|

x称集合{x

|

x称集合{x

|

xA或x

B}为A和B的并集，记为A B。A且x

B}为A和B的交集，记为A B。A且x

B}为A和B的差集，记为A B。例子10

（1）{1，2，3}{2，3，4}=

{1，2，3，4}三.集合论初步集合间运算定义3

给定集合A和B，称集合{x

|

x称集合{x

|

x称集合{x

|

xA或x

B}为A和B的并集，记为A B。A且x

B}为A和B的交集，记为A B。A且x

B}为A和B的差集，记为A B。例子10

（1）{1，2，3} {2，3，4}=

{1，2，3，4}（2）{1，2，3} {2，3，4}={2，3}三.集合论初步集合间运算定义3

给定集合A和B，称集合{x

|

x称集合{x

|

x称集合{x

|

xA或x

B}为A和B的并集，记为A B。A且x

B}为A和B的交集，记为A B。A且x

B}为A和B的差集，记为A B。例子10

（1）{1，2，3} {2，3，4}=

{1，2，3，4}（2）{1，2，3}（3）{1，2，3}{2，3，4}={2，3}{2，3，4}={1}三.集合论初步集合的大小故老相传，早期原始人只能数数到3三.集合论初步集合的大小故老相传，早期原始人只能数数到3养了多于3只的羊怎么办？三.集合论初步集合的大小故老相传，早期原始人只能数数到3养了多于3只的羊怎么办？对应法三.集合论初步集合的大小故老相传，早期原始人只能数数到3养了多于3只的羊怎么办？对应法三.集合论初步集合的大小故老相传，早期原始人只能数数到3养了多于3只的羊怎么办？对应法三.集合论初步集合的大小故老相传，早期原始人只能数数到3养了多于3只的羊怎么办？对应法三.集合论初步集合的大小故老相传，早期原始人只能数数到3养了多于3只的羊怎么办？对应法三.集合论初步集合的大小对应法本质上是双射（1）

A到B之间的一个对应法则f称为A到B之间的一个，若对每个a

A，都存在唯一的b

B，使得a与b由f关联这时记b=f(a)三.集合论初步集合的大小对应法本质上是双射（1）

A到B之间的一个对应法则f称为A到B之间的一个，若对每个a

A，都存在唯一的b

B，使得a与b由f关联，称它为单射，如果对任意这时记b=f(a)（2）

f称为A到B之间的一个的x,

y A，若f(x)

=f(y)则x

=y三.集合论初步集合的大小对应法本质上是双射（1）

A到B之间的一个对应法则f称为A到B之间的一个，若对每个a

A，都存在唯一的b

B，使得a与b由f关联，称它为单射，如果对任意这时记b=f(a)（2）

f称为A到B之间的一个的x,

y A，若f(x)

=f(y)则x

=y，称它为满射，若任意的y（3）

f称为A到B之间的一个B，都有x A，使得f(x)

=

y三.集合论初步集合的大小对应法本质上是双射（1）

A到B之间的一个对应法则f称为A到B之间的一个，若对每个a

A，都存在唯一的b

B，使得a与b由f关联，称它为单射，如果对任意这时记b=f(a)（2）

f称为A到B之间的一个的x,

y A，若f(x)

=f(y)则x

=y，称它为满射，若任意的yf称为A到B之间的一个B，都有x A，使得f(x)

=

y即为单射，又为满射的称为双射三.集合论初步集合的大小定义4

称集合A与B等势，记为AB的双射B，若存在A到三.集合论初步集合的大小定义4

称集合A与B等势，记为AB的双射B，若存在A到例子11

（1）{1，2，3}与{a，b，c}等势三.集合论初步集合的大小定义4

称集合A与B等势，记为AB的双射B，若存在A到例子11

（1）{1，2，3}与{a，b，c}等势（2）自然数集N与偶数集2N等势f(n)=2n三.集合论初步集合的大小定义4

称集合A与B等势，记为AB的双射B，若存在A到例子11

（1）{1，2，3}与{a，b，c}等势自然数集N与偶数集2N等势自然数集N与整数集等势三.集合论初步B，若存在A到集合的大小定义4

称集合A与B等势，记为AB的双射定义5（1）不与N等势的N的子集是有穷集（2）与N的有穷子集等势的集合是有穷集三.集合论初步B，若存在A到集合的大小定义4

称集合A与B等势，记为AB的双射定义5（1）不与N等势的N的子集是有穷集（2）与N的有穷子集等势的集合是有穷集三.集合论初步B，若存在A到集合的大小定义4

称集合A与B等势，记为AB的双射定义5（1）不与N等势的N的子集是有穷集（2）与N的有穷子集等势的集合是有穷集定义6

与N等势的集合称为可数无穷集三.集合论初步B，若存在A到集合的大小定义4

称集合A与B等势，记为AB的双射定义5（1）不与N等势的N的子集是有穷集（