北师大版九年级数学下册8圆内接正多边形课件

第三章圆初中数学（北师大版）九年级下册第三章圆初中数学（北师大版）1知识点一

圆内接正多边形顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正

多边形的外接圆.把一个圆n(n≥3)等分,依次连接各分点,我们就可以作出一个圆内接正n边

形.(1)相关定义:知识点一

圆内接正多边形2名称概念图形中心一个正多边形的外接圆的圆心

叫做这个正多边形的中心

半径外接圆的半径叫做正多边形的

半径中心角正多边形每一边所对的圆心角

叫做正多边形的中心角边心距中心到正多边形的一边的距离

叫做正多边形的边心距名称概念图形中心一个正多边形的外接圆的圆心

叫做这个正多边形3(2)相关公式:名称公式图例内角正n边形的每个内角为

=180°-

中心角正n边形的每个中心角为

外角正n边形的每个外角为

周长正n边形的周长ln=nan(an为边长)面积正n边形的面积Sn=

rnln(rn为边心距,ln为周长)(2)相关公式:名称公式图例内角正n边形的每个内角为

 =14温馨提示作出圆内接正多边形的半径和边心距,构造直角三角形,利用勾

股定理求出边心距、边长等,再利用正多边形的相关公式可求出周长和面积.例1已知正六边形的半径为R,求正六边形的边长、边心距和面积.解析如图3-8-1,正六边形在☉O内,连接OA,OB,过点O作OM⊥AB于点M,设边心距为r.在Rt△AOM中,∵正六边形的中心角为60°,∴∠AOM=30°,∴OA=2AM,∵AB=2AM,图3-8-1温馨提示作出圆内接正多边形的半径和边心距,构造直角三角形,5∴AB=OA=R.∴在Rt△OAM中,由勾股定理,得r=

=

R.∴S正六边形=6S△AOB=6×

AB·OM=3R×

R=

R2.故正六边形的边长为R,边心距为

R,面积为

R2.规律总结在解决有关正六边形和正方形的计算问题时,我们往往作相邻

的两条半径,使其与边分别构成等边三角形和等腰直角三角形,然后与前面

学过的勾股定理、垂径定理及切线的性质等联系综合求解.∴AB=OA=R.规律总结在解决有关正六边形和正方形的计算6知识点二

圆内接正多边形的画法要作半径为R的正n边形,只要把半径为R的圆n等分,然后顺次连接各

等分点即可.知识点二

圆内接正多边形的画法7注意(1)用量角器等分圆是一种简单而常用的方法,但边数很大时,容易

有较大的误差.(2)尺规作图是一种比较准确的等分圆的方法,但有很大的局限性,它不能

将圆任意等分,只限于一些特殊的正多边形,如正四边形、正八边形、正十

六边形、正六边形、正十二边形、正三角形等.等分圆周法可以画任意正

多边形.例2用尺规画半径为2cm的正十二边形.分析先作互相垂直的直径,然后分别以这两条直径的四个端点为圆心,2

cm长为半径画弧,即可得☉O的12个等分点,依次连接各点得到正十二边形.注意(1)用量角器等分圆是一种简单而常用的方法,但边数很大8解析如图3-8-2所示,作法:(1)画半径为2cm的☉O,作直径AB⊥CD.(2)分别以A、B、C、D为圆心,2cm长为半径画弧,交☉O的各点和A、B、

C、D即为☉O的12个等分点.(3)顺次连接各等分点,得到正十二边形AKLDEFBGHCIJ.则十二边形AKLDEFBGHCIJ即为所求作的正十二边形.

图3-8-2解题关键

熟记常用的正多边形的作图方法是解决本题的关键.解析如图3-8-2所示,作法:图3-8-2解题关键

9题型一

正多边形的相关计算例1

(2018河南驻马店确山期末)如图3-8-3,边长为4的正六边形ABCDEF

的中心与坐标原点O重合,AF∥x轴,将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋

转n次,每次旋转60°,当n=100时,顶点A的坐标为

()

图3-8-3A.(-2,2

)

B.(-2,-2

)C.(2,-2

)

D.(2,2

)题型一

正多边形的相关计算例1

(2018河南驻10解析

如图3-8-4,连接OA,∵∠BOH=90°,∠AOB=60°,∴∠AOH=30°,∵OA

=4,∴AH=2,∴OH=

=2

.∵六边形ABCDEF是正六边形,∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置,∵100÷6=16……4,∴当

n=100时,顶点A的坐标为(-2,-2

).故选B.

图3-8-4答案

B方法归纳本题为图形与坐标问题,在正多边形中,要充分利用正多边形边

与角的特殊性质解题,如:正n边形的中心角为

.解析

如图3-8-4,连接OA,∵∠BOH=90°,∠11题型二

正多边形的实际应用例2如图3-8-5,有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的

周长和面积.图3-8-5分析正多边形的半径即为正多边形的外接圆的半径,求地基的周长与面

积,可通过构造直角三角形求出正多边形的边长与边心距.题型二

正多边形的实际应用例2如图3-8-5,有一个12解析如图3-8-6,连接OB,OC,过点O作OP⊥BC于P.由于六边形ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于

=60°,且OB=OC,所以△OBC是等边三角形,从而正六边形的边长等于它的半径,所以地基的周长l=6×4=24(m),在Rt△OPC中,OC=4m,PC=

=

=2m,根据勾股定理,可得OP=

=2

m,所以地基的面积S=

l·OP=

×24×2

=24

(m2).图3-8-6点拨正多边形的周长等于边长乘边数,正多边形的面积等于周长与边心

距的积的一半.解析如图3-8-6,连接OB,OC,图3-8-6点拨正多13知识点一

圆内接正多边形1.下列给出五个命题:①正多边形都有内切圆和外接圆,且这两个圆是同心圆;②各边相等的圆外切多边形是正多边形;③各内角相等的圆内接多边形是正多边形;④正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形;⑤正n边形的中心角αn=

,且与每一个外角相等.其中正确的命题有

()A.2个

B.3个

C.4个

D.5个知识点一

圆内接正多边形1.下列给出五个命题:14答案

A①正多边形都有一个内切圆和一个外接圆,这两个圆是同心圆,

圆心是正多边形的中心,故①正确;②各边相等的圆外切多边形的各内角不

一定相等,故不一定是正多边形,如菱形,故②错误;③圆内接矩形的各内角

相等,但不是正多边形,故③错误;④边数是偶数的正多边形既是轴对称图

形又是中心对称图形,而边数是奇数的正多边形只是轴对称图形,不是中心

对称图形,故④错误;⑤正n边形的中心角αn=

,且与每一个外角相等,故⑤正确.故正确的是①⑤,共有2个.故选A.答案

A①正多边形都有一个内切圆和一个外接圆,这两个152.(2015辽宁铁岭中考)如图3-8-1,点O是正五边形ABCDE的中心,则∠BAO

的度数为

.

图3-8-1答案54°解析∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠BAE=

=108°.又∵点O是正五边形ABCDE的中心,∴∠BAO=∠EAO=

=54°.2.(2015辽宁铁岭中考)如图3-8-1,点O是正五边形A163.(2019山东青岛中考)如图3-8-2,五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,AF

是☉O的直径,则∠BDF的度数是

.

图3-8-23.(2019山东青岛中考)如图3-8-2,五边形ABCDE17答案54°解析如图,连接AD,∵AF是☉O的直径,∴∠ADF=90°,∵五边形ABCDE是

☉O的内接正五边形,∴∠ABC=∠C=108°,∴∠ABD=72°,∴∠F=∠ABD=7

2°,∴∠FAD=18°,∴∠CDF=∠DAF=18°,∴∠BDF=36°+18°=54°.

答案54°解析如图,连接AD,∵AF是☉O的直径,∴∠A18知识点二

圆内接正多边形的画法4.中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分,然后连接

五等分点(如图3-8-3).五角星的每一个角的度数为

()

图3-8-3A.30°

B.35°

C.36°

D.37°答案

C五等分点将圆分成5等份,每一段弧的度数为

=72°,所以五角星的每一个角的度数为

=36°.知识点二

圆内接正多边形的画法4.中华人民共和国国旗上195.如图3-8-4,已知☉O,求作☉O的内接正八边形.

图3-8-4解析作图如下:作法:(1)作☉O的任意一条直径AC;(2)作AC的垂直平分线BD,交☉O于B,D两点;(3)连接AD,作AD的垂直平分线交

于点M;(4)用同样的方法分别作出

,

,

的中点E,F,G;(5)依次连接☉O上各点,即得所求作的☉O的内接正八边形AEBFCGDM.5.如图3-8-4,已知☉O,求作☉O的内接正八边形.解析201.正六边形的边心距与边长之比为

()A.

∶3

B.

∶2C.1∶2

D.

∶2答案

B如图,设正六边形ABCDEF的边长为2a,O为正六边形的中心,连

接OA、OB,作OM⊥AB于M,∴△OAB是等边三角形,∴OA=OB=AB=2a,AM=BM=a.在Rt△OAM中,由勾股定理可得OM=

a,则正六边形的边心距与边长之比为OM∶AB=

a∶2a=

∶2,故选B.1.正六边形的边心距与边长之比为 ()答案

B如212.如图,在正八边形ABCDEFGH中,四边形BCFG的面积为20cm2,则正八边

形的面积为

cm2.答案40解析如图,连接AD、HE,分别交BG、CF于点O、P、M、N,则△ABO,△CDP,△EFN,△HGM均为全等的等腰直角三角形,四边形

BCPO、四边形GFNM为全等的矩形.设正八边形的边长为acm,则OA=OB=

acm,则AD=(

a+a)cm.所以S矩形BCFG=S矩形ADEH=a(

a+a)=20cm2,(S△ABO+S△CDP+S△EFN+S△HGM)+S矩形BCPO+S矩形GFNM=a2+2×

a×a=a2+

a2=20cm2,故正八边形的面积为20+20=40(cm2).2.如图,在正八边形ABCDEFGH中,四边形BCFG的面积223.如图,将正六边形放在平面直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若点A的

坐标为(-1,0),则点C的坐标为

.

答案

3.如图,将正六边形放在平面直角坐标系中,中心与坐标原点重合23解析如图,连接OB,OC,易证四边形ABCO是菱形,又A(-1,0),∴OC=OA=BC=AB=1.设BC与y轴的交点为H,∵O是正六边形的中心,∴BH=CH=

.在Rt△OCH中,OH=

=

=

.∴点C的坐标是

.解析如图,连接OB,OC,设BC与y轴的交点为H,∴BH=244.正八边形的中心角的度数为

,每个内角的度数为

,每个

外角的度数为

.答案45°;135°;45°解析正八边形的中心角的度数为360°÷8=45°.∵正八边形每个外角的度数为360°÷8=45°,∴每个内角的度数为180°-45°=135°.4.正八边形的中心角的度数为

,每个内角的度数为255.观察圆内接正五边形ABCDE(如图),解答下列问题:(1)以AB为底,且顶角为36°的等腰三角形有多少个?以AB为腰,且顶角为36°

的等腰三角形有多少个?将它们表示出来;(2)以AB为底,且底角为36°的等腰三角形有多少个?以AB为腰,且底角为36°

的等腰三角形有多少个?将它们表示出来.

解析(1)以AB为底,且顶角为36°的等腰三角形只有1个,即△DAB;以AB为

腰,且顶角为36°的等腰三角形有2个,即△ABG,△ABJ.(2)以AB为底,且底角为36°的等腰三角形只有1个,即△FAB;以AB为腰,且底

角为36°的等腰三角形有2个,即△ABE,△ABC.5.观察圆内接正五边形ABCDE(如图),解答下列问题:解析266.画一个半径为1cm的正五边形,再作出这个五边形的各条对角线,画出一

个五角星.解析画法:(1)以O为圆心,1cm长为半径画圆;(2)以O点为顶点,OA为一边作∠AOB=72°,再依次作∠BOC=∠COD=∠

DOE=∠EOA=72°,分别与圆交于点B、C、D、E;(3)分别连接AB、BC、CD、DE、EA,则正五边形ABCDE就是所要画的正

五边形,如图①;(4)分别连接AC、AD、BD、BE、CE,得五角星,如图②.图①图②6.画一个半径为1cm的正五边形,再作出这个五边形的各条对277.如图,△OAB为正三角形,以O为圆心,OA长为半径作☉O,直径FC∥AB,

AO、BO的延长线分别交☉O于点D、E,求证:六边形ABCDEF是正六边形.

证明

∵△OAB为正三角形,∴∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°,OB=AB=OA,∴点B在☉O上.∵FC∥AB,∴∠FOA=∠OAB=∠COD=60°,∠COB=∠OBA=∠EOF=60°.而

∠DOE=∠AOB=60°,∴∠AOB=∠COB=∠COD=∠EOD=∠EOF=∠FOA=60°,∴

=

=

=

=

=

,即点A、B、C、D、E、F六等分☉O.∴六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形,即六边形ABCDEF是正六边形.7.如图,△OAB为正三角形,以O为圆心,OA长为半径作☉O288.已知☉O和☉O上一点A.(1)作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;(2)在(1)所作的图中,如果点E在

上,求证:DE是☉O的内接正十二边形的一边.解析(1)作图如下:作法:①作直径AC;②作直径BD⊥AC,依次连接AB、BC、CD、DA,则四边形ABCD为☉O的

内接正方形;③分别以点A、C为圆心,OA长为半径画弧,交☉O于点E、H、F、G,顺次

连接AE、EF、FC、CG、GH、HA,则六边形AEFCGH为☉O的内接正六

边形.(2)证明:连接OE,DE.8.已知☉O和☉O上一点A.解析(1)作图如下:29∵∠AOD=

=90°,∠AOE=

=60°,∴∠EOD=∠AOD-∠AOE=90°-60°=30°.∵360°÷12=30°,∴DE是☉O的内接正十二边形的一边.∵∠AOD= =90°,∠AOE= =60°,301.(2018福建三明一模)如图3-8-5,在正八边形ABCDEFGH中,连接AC,AE,则

的值是

()图3-8-5A.1

B.

C.2

D.

答案

B如图,连接AG、GE、EC,由题意知四边形ACEG为正方形,故

=

.故选B.

1.(2018福建三明一模)如图3-8-5,在正八边形ABC312.(2019江苏扬州中考)如图3-8-6,AC是☉O的内接正六边形的一边,点B在

上,且BC是☉O的内接正十边形的一边,若AB是☉O的内接正n边形的一边,则n=

.图3-8-6答案15解析如图,连接BO,∵AC是☉O的内接正六边形的一边,∴∠AOC=360°÷

6=60°,∵BC是☉O的内接正十边形的一边,∴∠BOC=360°÷10=36°,∴∠

AOB=∠AOC-∠BOC=60°-36°=24°,∴n=360°÷24°=15.故答案为15.

2.(2019江苏扬州中考)如图3-8-6,AC是☉O的内接323.如图3-8-7,正八边形ABCDEFGH的半径为2,则它的面积为

.图3-8-7答案8

解析如图,连接OA,OC,OB,AC,设OB与AC相交于点P,根据题意可知∠AOC=90°,OB⊥AC,OA=OC=OB=2,∴AC=2

,∴AP=PC=

,∴正八边形的面积为8×

×2×

=8

.3.如图3-8-7,正八边形ABCDEFGH的半径为2,则它33如图,已知正三角形ABC的边长为2a.(1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积;(2)根据计算结果,要求圆环的面积,只需测量出哪一条弦的长度就可以算

出圆环的面积?(3)已知正n边形的边长为2a,请直接写出它的内切圆与外接圆组成的圆环

的面积.

如图,已知正三角形ABC的边长为2a.34解析(1)连接OD,OB.由BC=2a知BD=a,又易知∠OBD=30°,∴OD=

a,OB=

a,∴S圆环=πOB2-πOD2=π

-π

=πa2.(2)由S圆环=πOB2-πOD2=π(OB2-OD2)=πBD2可知,要求圆环的面积,只需测量出

弦BC(或AB或AC)的长度,即正三角形的边长即可.(3)S圆环=πa2.解析(1)连接OD,OB.由BC=2a知BD=a,35一、选择题1.(2019江苏扬州一模,8,★☆☆)☉O是一个正n边形的外接圆,若☉O的半

径与这个正n边形的边长相等,则n的值为

()A.3

B.4

C.6

D.8答案

C∵☉O的半径与这个正n边形的边长相等,∴这个正n边形的中心角为60°,∴

=60°,∴n=6,故选C.一、选择题答案

C∵☉O的半径与这个正n边形的边长相362.(2019浙江宁波模拟,8,★☆☆)如图3-8-8,☉O是正六边形ABCDEF的外接

圆,P是弧EF上一点,则∠BPD的度数是

()图3-8-8A.30°

B.60°

C.55°

D.75°答案

B如图,连接OB,OD,∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BOD=

×2=120°,∴∠BPD=

∠BOD=60°,故选B.

2.(2019浙江宁波模拟,8,★☆☆)如图3-8-8,☉O373.(2019四川成都金牛模拟,9,★☆☆)如图3-8-9,边长为2的正方形ABCD内

接于☉O,则阴影部分的面积为

()

图3-8-9A.

+1

B.

-1

C.

+1

D.

-1答案

B∵正方形的边长为2,∴圆的半径为

,∴阴影部分的面积为

=

=

-1,故选B.3.(2019四川成都金牛模拟,9,★☆☆)如图3-8-9,384.(2019河北保定定兴一模,9,★★☆)如图3-8-10,将边长为5的正六边形

ABCDEF沿直线MN折叠,则图中阴影部分的周长为

()图3-8-10A.20

B.24

C.30

D.35答案

C阴影部分的周长等于正六边形ABCDEF的周长,即5×6=30,故选

C.4.(2019河北保定定兴一模,9,★★☆)如图3-8-10395.(2019上海静安二模,4,★☆☆)如图3-8-11,在同一平面内,将边长相等的

正方形、正五边形的一边重合,那么∠1的大小是

()

图3-8-11A.8°

B.15°

C.18°

D.28°答案

C∵正五边形的内角的度数是

×(5-2)×180°=108°,又∵正方形的内角是90°,∴∠1=108°-90°=18°.故选C.5.(2019上海静安二模,4,★☆☆)如图3-8-11,在406.(2019河北保定定兴一模,15,★★☆)如图3-8-12,用四根长为5cm的铁丝,

首尾相接围成一个正方形(接点不固定),要将它的四边按图中的方式向外

等距离移动acm,同时添加另外四根长为5cm的铁丝(虚线部分)得到一个

新的正八边形,则a的值为

()

图3-8-12A.4cmB.5cmC.5

cmD.

cm6.(2019河北保定定兴一模,15,★★☆)如图3-8-141答案

D如图,由题意可知,△ABC是等腰直角三角形,AB=5cm,AC=BC=

acm,则a2+a2=52,解得a=

或a=-

(不合题意,舍去),故选D.

答案

D如图,由题意可知,△ABC是等腰直角三角形,42二、填空题7.(2019陕西中考模拟,19,★★☆)如图3-8-13,正六边形ABCDEF内接于

☉O,☉O的直径是6,则正六边形的周长是

.

图3-8-13答案18解析∵正六边形ABCDEF内接于☉O,☉O的直径是6,∴☉O的半径为3,∴正六边形ABCDEF的边长为3,∴正六边形ABCDEF的周长是3×6=18.二、填空题答案18解析∵正六边形ABCDEF内接于☉O,438.(2019湖南株洲石峰模拟,19,★★☆)如图3-8-14,正六边形ABCDEF外接

圆的半径为4,则其内切圆的半径是

.

图3-8-148.(2019湖南株洲石峰模拟,19,★★☆)如图3-8-144答案2

解析作OG⊥AF于G,连接OA、OF,如图所示,则OG为正六边形内切圆的半径,则△OAF是等边三角形,∴OA=AF=4,∴AG=

AF=2,∴OG=

=

=2

.答案2 解析作OG⊥AF于G,连接OA、OF,如图所示459.(2019陕西宝鸡岐山二模,19,★★☆)正多边形的中心角与该正多边形的

一个内角的关系是

.答案互补解析设正多边形的边数为n,则正多边形的中心角为

,正多边形的一个外角等于

,所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角,而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角互补,所以正多边形

的中心角与该正多边形的一个内角互补.9.(2019陕西宝鸡岐山二模,19,★★☆)正多边形的中心46三、解答题10.(2019浙江嘉兴海宁一模,19,★★☆)如图3-8-15,已知点O是正六边形

ABCDEF的对称中心,G,H分别是AF,BC上的点,且AG=BH.(1)求∠FAB的度数;(2)求证:OG=OH.

图3-8-15三、解答题47解析(1)∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠FAB=

=120°.(2)证明:如图,连接OA、OB,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,∵∠FAB=∠CBA,∴∠OAG=∠OBH,在△AOG和△BOH中,

∴△AOG≌△BOH(SAS),∴OG=OH.解析(1)∵六边形ABCDEF是正六边形,∵OA=OB,∴481.(2019河北保定一模,9,★★☆)如图,在半径为6的☉O中,正方形AGDH与

正六边形ABCDEF都内接于☉O,则图中阴影部分的面积为

()

A.27-9

B.54-18

C.18

D.541.(2019河北保定一模,9,★★☆)如图,在半径为6的☉49答案

B设EF交AH于M,交HD于N,连接OF、OE,如图所示,根据题意得

△EFO是等边三角形,△HMN是等腰直角三角形,∴EF=OF=6,

∴△EFO的高为OF·sin60°=6×

=3

,MN=2(6-3

)=12-6

,∴FM=

(6-12+6

)=3

-3,∴阴影部分的面积=4S△AFM=4×

(3

-3)×3

=54-18

.故选B.答案

B设EF交AH于M,交HD于N,连接OF、OE502.(2019上海虹口二模,5,★★☆)正六边形的半径与边心距之比为

()A.1∶

B.

∶1

C.

∶2

D.2∶

答案

D∵正六边形的半径为R,∴边心距r=

R,∴R∶r=1∶

=2∶

,故选D.2.(2019上海虹口二模,5,★★☆)正六边形的半径与边心513.(2019天津南开二模,10,★★☆)如图所示的“六芒星”图标是由圆的六

等分点连接而成的,若圆的半径为2,则图中阴影部分的面积为

()A.

B.3

C.6

D.4

答案

D如图,∵“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成的,∴△ABC与△ADE是等边三角形,∵圆的半径为2,∴AH=3,BC=AB=2

,∴AE=

,AF=1,∴图中阴影部分的面积=S△ABC+3S△ADE=

×2

×3+

×

×1×3=4

.故选D.3.(2019天津南开二模,10,★★☆)如图所示的“六芒星524.(2019江西上饶广丰一模,5,★★☆)如图,正六边形的中心为原点O,点A的

坐标为(0,4),顶点E(-1,

),顶点B(1,

),设直线AE与y轴的夹角∠EAO为α,现将这个正六边形绕中心O旋转,当α取最大角时,它的正切值为()

A.

B.1

C.

D.

4.(2019江西上饶广丰一模,5,★★☆)如图,正六边形的53答案

C如图所示,连接EO,AM,

∵正六边形是中心对称图形,∴绕中心O旋转时,点E与B重合时,α的角度不

变,点E与F、M重合时,α的角度不变,点E与G、H重合时,α的角度不变,此时角度最小.∵AN=4-

,EN=1,OM=OE=

=2,答案

C如图所示,连接EO,AM,54∴tan∠EAN=

=

=

,tan∠MAO=

=

=

,当OE⊥AE时,α角是最大的,∵OE=2,OA=4,∴α=30°,∴tanα=

.∴当α取最大角时,它的正切值为

.故选C.∴tan∠EAN= = = ,tan∠MAO= = = ,555.(2019江苏南京二模,14,★★☆)如图,正六边形的面积为6a,则图中阴影部

分的面积为

.

答案2a解析如图,连接AD,BE,CF交于点O.∵六边形ABCDEF是正六边形,∴CF∥AB∥DE,∴S△ABF=S△AOB=

S正六边形ABCDEF,S△DEF=S△EOD=

S正六边形ABCDEF,∴S阴影=

S正六边形ABCDEF=2a.5.(2019江苏南京二模,14,★★☆)如图,正六边形的面566.(2019江苏南通海门二模,17,★★☆)如图,将边长为2m的正六边形铁丝

框ABCDEF变形为以点A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所

得扇形FAB(阴影部分)的面积为

.

答案8m2

解析∵正六边形ABCDEF的边长为2m,∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=2m,∴

的长=2×6-2-2=8(m),∴扇形FAB(阴影部分)的面积=

×π×22=8(m2).6.(2019江苏南通海门二模,17,★★☆)如图,将边长为577.(2019江西新余一模,19,★★☆)如图,在正五边形ABCDE中,CA与DB相交

于点F,若AB=1,求BF的长.

7.(2019江西新余一模,19,★★☆)如图,在正五边形A58解析在正五边形ABCDE中,∵∠ABC=∠DCB=108°,BC=BA=CD,∴∠

BAC=∠BCA=∠CDB=∠CBD=36°,∴∠ABF=72°,∴∠AFB=∠CBD+∠ACB=72°,∴∠AFB=∠ABF,∠FCB=∠FBC,∴AF=AB=1,FB=CF,设FB=FC=x,∵∠BCF=∠BCA,∠CBF=∠CAB,∴△BCF∽△ACB,∴CB2=CF·CA,∴x(x+1)=1,∴x2+x-1=0,∴x=

或x=

(不合题意,舍去),∴BF=

.解析在正五边形ABCDE中,∵∠ABC=∠DCB=108°59一、选择题1.(2019四川成都中考,9,★☆☆)如图3-8-16,正五边形ABCDE内接于☉O,P

为

上的一点(点P不与点D重合),则∠CPD的度数为

()

图3-8-16A.30°

B.36°

C.60°

D.72°一、选择题60答案

B如图,连接OC,OD.

∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠COD=

=72°,∴∠CPD=

∠COD=36°,故选B.答案

B如图,连接OC,OD.612.(2019江苏宿迁中考,7,★★☆)如图3-8-17,正六边形的边长为2,分别以正

六边形的六条边为直径向外作半圆,与正六边形的外接圆围成的6个月牙

形的面积之和(阴影部分面积)是

()

图3-8-17A.6

-πB.6

-2πC.6

+πD.6

+2π答案

A6个月牙形的面积之和=3π×12-

=6

-π.故选A.2.(2019江苏宿迁中考,7,★★☆)如图3-8-17,正623.(2019浙江衢州中考,9,★★☆)如图3-8-18,取两根等宽的纸条折叠穿插,

拉紧,可得边长为2的正六边形,则原来的纸条宽为

()图3-8-18A.1

B.

C.

D.2答案

C边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成,其中等边

三角形的高为原来的纸条宽度,所以原来的纸条宽度=

×2=

.故选C.3.(2019浙江衢州中考,9,★★☆)如图3-8-18,取634.(2019四川自贡中考,11,★★☆)图3-8-19中有两张型号完全一样的折叠

式饭桌,将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后,就能形成一个圆形

桌面(可近似看做正方形的外接圆),正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面

积之比最接近于

()图3-8-19A.

B.

C.

D.

4.(2019四川自贡中考,11,★★☆)图3-8-19中有64答案

C如图,连接AC,设正方形的边长为a,∵四边形ABCD是正方形,∴

∠B=90°,∴AC为圆的直径,∴AC=

AB=

a,则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为

=

≈

,故选C.

答案

C如图,连接AC,设正方形的边长为a,∵四边形655.(2019广西河池中考,10,★☆☆)如图3-8-20,在正六边形ABCDEF中,AC=2

,则它的边长是

()

图3-8-20A.1

B.

C.

D.25.(2019广西河池中考,10,★☆☆)如图3-8-20,66答案

D如图,过点B作BG⊥AC于点G.在正六边形ABCDEF中,每个内角为(6-2)×180°÷6=120°,∴∠ABC=120°,∠

BAC=∠BCA=30°,∴AG=

AC=

,∴GB=1,AB=2,即正六边形的边长为2.故选D.答案

D如图,过点B作BG⊥AC于点G.67二、填空题6.(2019陕西中考,17,★☆☆)若正六边形的边长为3,则其较长的一条对角

线长为

.答案6解析如图所示,AD、BE、CF为正六边形最长的三条对角线,由正六边形

的性质可知,△AOB,△COD为两个边长相等的等边三角形,∴AD=2AB=6,

故答案为6.

二、填空题答案6解析如图所示,AD、BE、CF为正六边形687.(2019广西柳州中考,16,★★☆)在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最

大的正方形纸片,则这个正方形纸片的边长应为

.答案5

解析如图所示,连接OB,OC,过O作OE⊥BC,设这个正方形纸片的边长

为a,

∵OE⊥BC,∴OE=BE=

,∵OE2+BE2=OB2,∴

+

=52,∴a=5

.7.(2019广西柳州中考,16,★★☆)在半径为5的圆形纸69三、解答题8.(2018江苏无锡中考,21,★★☆)如图3-8-21,已知五边形ABCDE是正五边

形,连接AC、AD.证明:∠ACD=∠ADC.

图3-8-21三、解答题70证明∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB=AE=BC=ED,∠B=∠E,在△ABC和△AED中,

∴△ABC≌△AED(SAS),∴AC=AD,∴∠ACD=∠ADC.证明∵五边形ABCDE是正五边形,711.(2019宁夏中考,8,★★☆)如图,正六边形ABCDEF的边长为2,分别以点A,

D为圆心,以AB,DC为半径作扇形ABF,扇形DCE,则图中阴影部分的面积是

()

A.6

-

πB.6

-

πC.12

-

πD.12

-

π1.(2019宁夏中考,8,★★☆)如图,正六边形ABCDE72答案

B∵正六边形ABCDEF的边长为2,∴正六边形ABCDEF的面积是

×6=6×2×

=6

,∠FAB=∠EDC=120°,∴阴影部分的面积是6

-

×2=6

-

,故选B.答案

B∵正六边形ABCDEF的边长为2,732.(2019四川雅安中考,11,★★☆)如图,已知☉O的内接六边形ABCDEF的

边心距OM=2,则该圆的内接正三角形ACE的面积为

()

A.2

B.4

C.6

D.4

2.(2019四川雅安中考,11,★★☆)如图,已知☉O的内74答案

D如图所示,连接OC、OB,过O作ON⊥CE于N.

∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠COB=60°,∵OC=OB,∴△COB是等边三角形,∴∠OCM=60°,∴OM=OC·sin∠OCM,∴OC=

=

.∵∠OCN=30°,∴ON=

OC=

,CN=2,∴CE=2CN=4,∴该圆的内接正三角形ACE的面积=3×

×4×

=4

.故选D.答案

D如图所示,连接OC、OB,过O作ON⊥CE于753.(2015天津中考,17,★☆☆)如图,在正六边形ABCDEF中,连接对角线AC,

CE,DF,EA,FB,DB,可以得到一个六角星.记这些对角线的交点分别为H,I,J,

K,L,M,则图中等边三角形共有

个.

答案8解析等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△

FLK、△ACE、△BDF,共8个.3.(2015天津中考,17,★☆☆)如图,在正六边形ABC764.(2019海南中考,14,★☆☆)如图,☉O与正五边形ABCDE的边AB、DE分

别相切于点B、D,则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为

度.

答案144解析∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠E=∠A=

=108°.∵AB、DE与☉O相切,∴∠OBA=∠ODE=90°,∴∠BOD=(5-2)×180°-90°-108°-108°-90°=144°.4.(2019海南中考,14,★☆☆)如图,☉O与正五边形A775.(2019四川南充中考,12,★★☆)如图,以正方形ABCD的AB边向外作正六

边形ABEFGH,连接DH,则∠ADH=

度.

答案15解析∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,在正六边形ABEFGH中,∵AB=AH,∠BAH=120°,∴AH=AD,∠HAD=360°-90°-120°=150°,∴∠ADH=∠AHD=

×(180°-150°)=15°.5.(2019四川南充中考,12,★★☆)如图,以正方形AB786.(2019贵州铜仁中考,24(1),★★☆)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,BE

是☉O的直径,连接BF,延长BA,过F作FG⊥BA,垂足为G.求证:FG是☉O的

切线.证明如图,连接OF,AO,∵AB=AF=EF,∴

=

=

,∴∠ABF=∠AFB=∠EBF=30°,∵OB=OF,∴∠OBF=∠BFO=30°,∴∠ABF=∠OFB,∴AB∥

OF,∵FG⊥BG,∴OF⊥FG,∴FG是☉O的切线.

6.(2019贵州铜仁中考,24(1),★★☆)如图,正六边791.(2019河北秦皇岛海港模拟)已知正方形MNKO和正六边形ABCDEF的边

长均为1,把正方形放在正六边形外边,使OK边与AB边重合,如图3-8-22所

示,按下列步骤操作.将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转,使KN边与

BC边重合,完成第一次旋转;再绕点C顺时针旋转,使NM边与CD边重合,完

成第二次旋转;……在这样连续6次旋转的过程中,点M在图中直角坐标系

中的纵坐标可能是

()

图3-8-22A.

B.-2.2

C.2.3

D.-2.31.(2019河北秦皇岛海港模拟)已知正方形MNKO和正六边80答案

A如图.∵正方形MNKO和正六边形ABCDEF的边长均为1,∴第一次旋转后点M1的纵坐标为

,第二次、第三次旋转后点M2(M3)的纵坐标为-

,第四次旋转后点M4的纵坐标为-

-

,第五次旋转后点M5的纵坐标为

+

,第六次旋转后点M6的纵坐标为

.故选A.答案

A如图.坐标为 + ,第六次旋转后点M6的纵坐812.阅读材料并解答问题:与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆,与正四边形各边都相

切的圆叫做正四边形的内切圆,……与正n边形各边都相切的圆叫做正n边

形的内切圆.设正n(n≥3)边形的面积为S正n边形,其内切圆的半径为r,试探索正

n边形的面积.(1)如图3-8-23①,当n=3时,设AB切☉O于点C,连接OC,OA,OB,则OC⊥AB.∵OA=OB,∴∠AOC=

∠AOB,AB=2AC.在Rt△AOC中,∵∠AOC=

×

=60°,OC=r,∴AC=rtan60°,∴AB=2rtan60°,∴S△OAB=

r·2rtan60°=r2tan60°,∴S正三角形=3S△OAB=3r2tan60°.2.阅读材料并解答问题:82(2)如图3-8-23②,当n=4时,仿照(1)中的方法和过程可求得S正四边形=

.(3)如图3-8-23③,当n=5时,仿照(1)中的方法和过程可求得S正五边形=

.(4)如图3-8-23④,根据以上探索过程,请直接写出S正n边形的大小.

图3-8-23(2)如图3-8-23②,当n=4时,仿照(1)中的方法和过83解析(2)4r2tan45°.设AB切☉O于点C,连接OC,OA,OB,则OC⊥AB,OC=r.∵OA=OB,∴∠AOC=

∠AOB=

×

=45°,∴AC=rtan45°,∴AB=2AC=2rtan45°,∴S△OAB=

r·2rtan45°=r2tan45°,∴S正四边形=4S△OAB=4r2tan45°.(3)5r2tan36°.设AB切☉O于点C,连接OC,OA,OB,则OC⊥AB,OC=r.∵OA=OB,∴∠AOC=

×

=36°,∴AC=rtan36°,∴AB=2AC=2rtan36°,∴S△OAB=

r·2rtan36°=r2tan36°,∴S正五边形=5S△OAB=5r2tan36°.解析(2)4r2tan45°.84(4)S正n边形=nr2tan

.详解:设AB切☉O于点C,连接OC,OA,OB,则OC⊥AB,OC=r,∵OA=OB,∴∠AOC=

×

=

,∴AC=rtan

,∴AB=2AC=2rtan

,∴S△OAB=

r·2rtan

=r2tan

,∴S正n边形=nS△OAB=nr2tan

.(4)S正n边形=nr2tan .851.(2019四川绵阳游仙模拟)如图1,将一个正六边形的各边延长,构成一个正

六角星AFBDCE,它的面积为1;取△ABC和△DEF各边的中点,连接成正六

角星A1F1B1D1C1E1,如图2中阴影部分;取△A1B1C1和△D1E1F1各边的中点,连

接成正六角星A2F2B2D2C2E2,如图3中阴影部分;如此下去,则正六角星A4F4B4

D4C4E4的面积为

()

图1图2图3

A.

B.

C.

D.

1.(2019四川绵阳游仙模拟)如图1,将一个正六边形的各边86答案

D∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边的中点,

∴正六角星AFBDCE∽正六角星A1F1B1D1C1E1且相似比为2∶1,∵正六角星AFBDCE的面积为1,∴正六角星A1F1B1D1C1E1的面积为

,同理可得,第二个正六角星的面积为

=

,第三个正六角星的面积为

=

,第四个正六角星的面积为

=

.故选D.答案

D∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△872.某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是不是正多边形”

时,进行如下讨论:甲同学:这种多边形不一定是正多边形,如圆内接矩形;乙同学:我发现边数是6时,它也不一定是正多边形,如图①,△ABC是正三角形,

=

=

,可证明六边形ADBECF的各内角相等,但它未必是正六边形;丙同学:我能证明边数是5时,它是正多边形,我想边数是7时,它可能也是正多边形.(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等;(2)请你证明各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图②)是正七边形

(不必写已知,求证);(3)根据以上探索过程提出你的猜想(不必证明).2.某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是不是正多边88解析(1)由题图①知∠AFC对

,∵

=

,而∠DAF对的

=

+

=

+

=

,∴∠AFC=∠DAF.同理可证其余各角都等于∠AFC.故乙同学构造的六边形各内角相等.(2)∵∠A对

,∠B对

,∠A=∠B,∴

=

,∴

=

,同理可证得,

=

=

=

=

=

=

.∴各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG是正七边形.(3)猜想:当边数是奇数时(或当边数是3,5,7,9,…时),各内角相等的圆内接多边形是正多边形.当边数是偶数时(或当边数是4,6,8,10,…时),各内角相等

的圆内接多边形不一定是正多边形.解析(1)由题图①知∠AFC对 ,边形是正多边形.当边数是89第三章圆初中数学（北师大版）九年级下册第三章圆初中数学（北师大版）90知识点一

圆内接正多边形顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正

多边形的外接圆.把一个圆n(n≥3)等分,依次连接各分点,我们就可以作出一个圆内接正n边

形.(1)相关定义:知识点一

圆内接正多边形91名称概念图形中心一个正多边形的外接圆的圆心

叫做这个正多边形的中心

半径外接圆的半径叫做正多边形的

半径中心角正多边形每一边所对的圆心角

叫做正多边形的中心角边心距中心到正多边形的一边的距离

叫做正多边形的边心距名称概念图形中心一个正多边形的外接圆的圆心

叫做这个正多边形92(2)相关公式:名称公式图例内角正n边形的每个内角为

=180°-

中心角正n边形的每个中心角为

外角正n边形的每个外角为

周长正n边形的周长ln=nan(an为边长)面积正n边形的面积Sn=

rnln(rn为边心距,ln为周长)(2)相关公式:名称公式图例内角正n边形的每个内角为

 =193温馨提示作出圆内接正多边形的半径和边心距,构造直角三角形,利用勾

股定理求出边心距、边长等,再利用正多边形的相关公式可求出周长和面积.例1已知正六边形的半径为R,求正六边形的边长、边心距和面积.解析如图3-8-1,正六边形在☉O内,连接OA,OB,过点O作OM⊥AB于点M,设边心距为r.在Rt△AOM中,∵正六边形的中心角为60°,∴∠AOM=30°,∴OA=2AM,∵AB=2AM,图3-8-1温馨提示作出圆内接正多边形的半径和边心距,构造直角三角形,94∴AB=OA=R.∴在Rt△OAM中,由勾股定理,得r=

=

R.∴S正六边形=6S△AOB=6×

AB·OM=3R×

R=

R2.故正六边形的边长为R,边心距为

R,面积为

R2.规律总结在解决有关正六边形和正方形的计算问题时,我们往往作相邻

的两条半径,使其与边分别构成等边三角形和等腰直角三角形,然后与前面

学过的勾股定理、垂径定理及切线的性质等联系综合求解.∴AB=OA=R.规律总结在解决有关正六边形和正方形的计算95知识点二

圆内接正多边形的画法要作半径为R的正n边形,只要把半径为R的圆n等分,然后顺次连接各

等分点即可.知识点二

圆内接正多边形的画法96注意(1)用量角器等分圆是一种简单而常用的方法,但边数很大时,容易

有较大的误差.(2)尺规作图是一种比较准确的等分圆的方法,但有很大的局限性,它不能

将圆任意等分,只限于一些特殊的正多边形,如正四边形、正八边形、正十

六边形、正六边形、正十二边形、正三角形等.等分圆周法可以画任意正

多边形.例2用尺规画半径为2cm的正十二边形.分析先作互相垂直的直径,然后分别以这两条直径的四个端点为圆心,2

cm长为半径画弧,即可得☉O的12个等分点,依次连接各点得到正十二边形.注意(1)用量角器等分圆是一种简单而常用的方法,但边数很大97解析如图3-8-2所示,作法:(1)画半径为2cm的☉O,作直径AB⊥CD.(2)分别以A、B、C、D为圆心,2cm长为半径画弧,交☉O的各点和A、B、

C、D即为☉O的12个等分点.(3)顺次连接各等分点,得到正十二边形AKLDEFBGHCIJ.则十二边形AKLDEFBGHCIJ即为所求作的正十二边形.

图3-8-2解题关键

熟记常用的正多边形的作图方法是解决本题的关键.解析如图3-8-2所示,作法:图3-8-2解题关键

98题型一

正多边形的相关计算例1

(2018河南驻马店确山期末)如图3-8-3,边长为4的正六边形ABCDEF

的中心与坐标原点O重合,AF∥x轴,将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋

转n次,每次旋转60°,当n=100时,顶点A的坐标为

()

图3-8-3A.(-2,2

)

B.(-2,-2

)C.(2,-2

)

D.(2,2

)题型一

正多边形的相关计算例1

(2018河南驻99解析

如图3-8-4,连接OA,∵∠BOH=90°,∠AOB=60°,∴∠AOH=30°,∵OA

=4,∴AH=2,∴OH=

=2

.∵六边形ABCDEF是正六边形,∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置,∵100÷6=16……4,∴当

n=100时,顶点A的坐标为(-2,-2

).故选B.

图3-8-4答案

B方法归纳本题为图形与坐标问题,在正多边形中,要充分利用正多边形边

与角的特殊性质解题,如:正n边形的中心角为

.解析

如图3-8-4,连接OA,∵∠BOH=90°,∠100题型二

正多边形的实际应用例2如图3-8-5,有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的

周长和面积.图3-8-5分析正多边形的半径即为正多边形的外接圆的半径,求地基的周长与面

积,可通过构造直角三角形求出正多边形的边长与边心距.题型二

正多边形的实际应用例2如图3-8-5,有一个101解析如图3-8-6,连接OB,OC,过点O作OP⊥BC于P.由于六边形ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于

=60°,且OB=OC,所以△OBC是等边三角形,从而正六边形的边长等于它的半径,所以地基的周长l=6×4=24(m),在Rt△OPC中,OC=4m,PC=

=

=2m,根据勾股定理,可得OP=

=2

m,所以地基的面积S=

l·OP=

×24×2

=24

(m2).图3-8-6点拨正多边形的周长等于边长乘边数,正多边形的面积等于周长与边心

距的积的一半.解析如图3-8-6,连接OB,OC,图3-8-6点拨正多102知识点一

圆内接正多边形1.下列给出五个命题:①正多边形都有内切圆和外接圆,且这两个圆是同心圆;②各边相等的圆外切多边形是正多边形;③各内角相等的圆内接多边形是正多边形;④正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形;⑤正n边形的中心角αn=

,且与每一个外角相等.其中正确的命题有

()A.2个

B.3个

C.4个

D.5个知识点一

圆内接正多边形1.下列给出五个命题:103答案

A①正多边形都有一个内切圆和一个外接圆,这两个圆是同心圆,

圆心是正多边形的中心,故①正确;②各边相等的圆外切多边形的各内角不

一定相等,故不一定是正多边形,如菱形,故②错误;③圆内接矩形的各内角

相等,但不是正多边形,故③错误;④边数是偶数的正多边形既是轴对称图

形又是中心对称图形,而边数是奇数的正多边形只是轴对称图形,不是中心

对称图形,故④错误;⑤正n边形的中心角αn=

,且与每一个外角相等,故⑤正确.故正确的是①⑤,共有2个.故选A.答案

A①正多边形都有一个内切圆和一个外接圆,这两个1042.(2015辽宁铁岭中考)如图3-8-1,点O是正五边形ABCDE的中心,则∠BAO

的度数为

.

图3-8-1答案54°解析∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠BAE=

=108°.又∵点O是正五边形ABCDE的中心,∴∠BAO=∠EAO=

=54°.2.(2015辽宁铁岭中考)如图3-8-1,点O是正五边形A1053.(2019山东青岛中考)如图3-8-2,五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,AF

是☉O的直径,则∠BDF的度数是

.

图3-8-23.(2019山东青岛中考)如图3-8-2,五边形ABCDE106答案54°解析如图,连接AD,∵AF是☉O的直径,∴∠ADF=90°,∵五边形ABCDE是

☉O的内接正五边形,∴∠ABC=∠C=108°,∴∠ABD=72°,∴∠F=∠ABD=7

2°,∴∠FAD=18°,∴∠CDF=∠DAF=18°,∴∠BDF=36°+18°=54°.

答案54°解析如图,连接AD,∵AF是☉O的直径,∴∠A107知识点二

圆内接正多边形的画法4.中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分,然后连接

五等分点(如图3-8-3).五角星的每一个角的度数为

()

图3-8-3A.30°

B.35°

C.36°

D.37°答案

C五等分点将圆分成5等份,每一段弧的度数为

=72°,所以五角星的每一个角的度数为

=36°.知识点二

圆内接正多边形的画法4.中华人民共和国国旗上1085.如图3-8-4,已知☉O,求作☉O的内接正八边形.

图3-8-4解析作图如下:作法:(1)作☉O的任意一条直径AC;(2)作AC的垂直平分线BD,交☉O于B,D两点;(3)连接AD,作AD的垂直平分线交

于点M;(4)用同样的方法分别作出

,

,

的中点E,F,G;(5)依次连接☉O上各点,即得所求作的☉O的内接正八边形AEBFCGDM.5.如图3-8-4,已知☉O,求作☉O的内接正八边形.解析1091.正六边形的边心距与边长之比为

()A.

∶3

B.

∶2C.1∶2

D.

∶2答案

B如图,设正六边形ABCDEF的边长为2a,O为正六边形的中心,连

接OA、OB,作OM⊥AB于M,∴△OAB是等边三角形,∴OA=OB=AB=2a,AM=BM=a.在Rt△OAM中,由勾股定理可得OM=

a,则正六边形的边心距与边长之比为OM∶AB=

a∶2a=

∶2,故选B.1.正六边形的边心距与边长之比为 ()答案

B如1102.如图,在正八边形ABCDEFGH中,四边形BCFG的面积为20cm2,则正八边

形的面积为

cm2.答案40解析如图,连接AD、HE,分别交BG、CF于点O、P、M、N,则△ABO,△CDP,△EFN,△HGM均为全等的等腰直角三角形,四边形

BCPO、四边形GFNM为全等的矩形.设正八边形的边长为acm,则OA=OB=

acm,则AD=(

a+a)cm.所以S矩形BCFG=S矩形ADEH=a(

a+a)=20cm2,(S△ABO+S△CDP+S△EFN+S△HGM)+S矩形BCPO+S矩形GFNM=a2+2×

a×a=a2+

a2=20cm2,故正八边形的面积为20+20=40(cm2).2.如图,在正八边形ABCDEFGH中,四边形BCFG的面积1113.如图,将正六边形放在平面直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若点A的

坐标为(-1,0),则点C的坐标为

.

答案

3.如图,将正六边形放在平面直角坐标系中,中心与坐标原点重合112解析如图,连接OB,OC,易证四边形ABCO是菱形,又A(-1,0),∴OC=OA=BC=AB=1.设BC与y轴的交点为H,∵O是正六边形的中心,∴BH=CH=

.在Rt△OCH中,OH=

=

=

.∴点C的坐标是

.解析如图,连接OB,OC,设BC与y轴的交点为H,∴BH=1134.正八边形的中心角的度数为

,每个内角的度数为

,每个