电磁场与电磁波：第三章 恒定电流的磁场2

§3.4电感电容：电导/电阻：一、电感的定义回路交链的磁链与该回路的电流比值定义为回路的自感。在线性介质中，一个电流回路在空间任意一点P产生的

与电流成正比，因而穿过任意回路的磁通也与电流成正比。源回路目标回路若一回路由n匝导线绕成，则总磁通是各匝磁通之和，成为磁链，用表示。且可近似为目标回路

当磁场由自身回路的电流产生,则回路磁链与电流之比称为自感系数，简称自感，单位为H（亨）在线性各向同性媒质中，L

仅与回路的几何尺寸、媒质参数有关，与回路的电流无关。应注意，磁链与磁通不同，磁链是指与某电流交链的磁通。

称为互感系数，简称互感，单位仍为H

同样，第2回路电流产生的磁场与第一回路交链的磁链为，其比值同样称为互感系数

第1回路电流产生的磁场与第二回路交链的磁链为，则比值

自感与互感都仅取决于回路的形状、尺寸、匝数和介质的磁导率。互感还与两个回路的相互位置有关。在各向同性媒质中，

电流I1产生与回路2交链的磁链磁通链的定义演示二、自感——外磁链与内磁链外自感与内自感内磁链与外磁链ee外磁链外磁通内磁通内磁链自感计算的一般步骤：设自感又分为内自感

Li

和外自感

Le

。——内自感是导体内部仅与部分电流交链的磁链与回路电流比值。——外自感是导体外部闭合的磁链与回路电流的比值。三、电感的计算例3.4.1

求双线传输线单位长度的外自感。导线半径为R，导线间距离，如图所示。解：单根无限长导线在距其x处产生的磁感应强度例3.4.2

求导线回路的内电感。设长度为1的导线的截面如图，其中的均匀电流密度J＝I/a2，导线内r<a处,，由长度l，宽度dr的面积穿过的磁通与di交链的电流为，相应内磁链

内自感的值只与导线的长度有关，与半径无关。例题3.4.3:试求图示单位长度的同轴电缆的自感L。同轴电缆内导体纵截面

同轴电缆截面1)内导体的内自感

解:总自感内自感2）外导体内自感

工程上视同轴电缆外导体为面分布的电流，故忽略此部分的内自感。3)内、外导体间的外自感

故后面讨论时变电磁场时，同轴线的内外导体可以当作理想导电体，因而内外导电体中不可能存在时变电磁场。因此，当同轴线工作于时变电磁场时，内外导体中的磁通皆可忽略，只须考虑内外导体之间的磁通，同轴线单位长度内的电感等于外电感，即总电感为例题3.4.4:计算两对双线传输线每单位长度的互感。解:ABCDRACRADRBCRBDIII先求导线A通过电流I1时穿过C、D间平面的磁通’：导线B通过电流-I1时穿过C、D间平面的磁通”：

1)若回路方向相反，互感会改变吗？它反映了什么物理意义？2)铁板放在两线圈的下方,互感是增加了,还是减少了？为什么?如何计算?一块无限大铁板置于两对线圈的下方3）铁板插入两线圈之间后，互感是增加还是减少？为什么？自感是否增加？一块无限大铁板置于两线圈之间

无感线圈》用矢量磁位可计算磁通例3.4.1

求双线传输线单位长度的外自感。解法二由例3.2.1知一无限长直流线：在xoz平面中，且取R0为x=D/2处为参考点：+=注意其中的符号用矢量磁位计算互感和自感如图所示两个线形回路，设导线和周围媒质的磁导率都是0。回路通有电流，其对外作用中心可看成是在导线的几何中心上。诺伊曼公式由此两式还可见，若dl1与dl2处处保持垂直，则互感；若处处保持平行，则互感M值达到最大。因此，在电子电路中，如果需要增强两个线圈之间的耦合，应彼此平行放置；若要避免两个线圈相互耦合，则应相互垂直。此外，应注意互感可正可负，其值正负取决于两个线圈的电流方向（即回路的积分方向），但电感始终应为正值。实际上，由上面结果可以推知，若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁链增加，互感应为正值；反之，若互磁通与原磁通方向相反时，则使磁链减少，互感为负值。线形回路的自电感可分为外自感和内自感。设想将两线圈叠在一起，电流看作集中在导线l的轴线回路上，见图中的l1，而计算磁通的回路取作导线的边缘回路，见图中的l2。利用上述公式

相当于计算l1和l2两回路之间的互感。在上述计算中只考虑了导线外部的磁通，算得的是导线的外自感。若一回路由N匝导线绕成:线形回路的自电感仍为外自感和内自感之和：对于回路由N匝导线绕成L=？例3.4.5两互相平行且共轴的圆线圈，其中一个圆的半径a远小于距离d，另一个圆的半径b不受此限制，二者都只有一匝，求互感。解：小圆线圈1在大线圈2处产生的矢量位可看成是磁偶极子产生的矢量位，怎么理解：这个公式？即为什么是？

为什么计算的时候不是0？因为在导体的截面上穿进、穿出的磁通应该会互相抵消，即一半和截面法向相同，一半和截面法向相反，或者换句话说：书上在计算这部分内磁通时，为什么取得是一半截面？已知穿过闭合回路的磁通发生变化时，在回路中产生感应电动势，因而回路中产生感应电流。此时，产生电流所需的能量是由外部磁场提供的。若在回路中加入外源，回路中产生电流。在电流建立过程中，回路中产生的反磁通企图阻碍电流增长，为了克服反磁通产生的反电动势，以维持电流达到一定数值，外源必须作功。若电流变化非常缓慢，可以不考虑辐射损失，则外源输出的能量全部储藏在回路电流周围的磁场中。上述能量转换说明了磁场可在回路中产生电流，而外源又可向磁场提供能量。由此可见，磁场具有能量。根据外源在建立磁场过程中作的功即可计算磁场能量。§3.5磁场的能量

磁场作为一种特殊的物质，和电场一样具有能量。有专家预测，21世纪将是以磁力（磁能）作为能源代表的时代。高温超导体磁场特性的发现与利用，使梦想中之能源——受控热聚变,磁流体发电，太阳能卫星电站，逐步成为现实，利用磁能作为驱动力的超导体磁悬浮列车和超导磁动力船己向我们驰来。1.恒定磁场中的能量•媒质为线性；•磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射）；•系统能量仅与系统的最终状态有关，与能量的建立过程无关。假设：一、载流回路系统的磁场能量

电流回路系统的能量是建立电流过程中由电源供给的。

当电流从零增加时回路感应电动势将阻止电流的增加，外加电压须克服感应电动势而作功，使回路能量增加。

若所有回路固定，且忽略焦耳损耗，则电源作功将全部变为电流回路系统的磁场能量，这时回路上的外加电压和回路中的感应电动势大小相等方向相反。则t时刻，回路1、2中的感应电动势为

若要继续充电，外源必须克服回路的感应电动势做功

过程中，外源所做的功第一步：从

2.磁场能量推导当i1有增量di1时，周围磁场有改变，l1和l2两回路的磁链的增量分别是d11和d21。必须在回路1和2中外加电压-11和-21，以保证回路1中的电流在dt内改变di1和回路2中维持i2＝0。外源需做功第二步：不变，从

则t时刻，回路1、2中的感应电动势为

若要继续充电，外源必须克服回路的感应电动势做功，即

不变，从，外源所做的功故两个通电线圈的磁场能量推广自有能互有能

•

是回路k独存在时的能量，称为自有能量。自有能量始终大于零。二、磁场能量的分布及磁能密度

磁场能量是在建立回路电流的过程中形成的，分布于磁场所在的整个空间中。

•

与两回路的电流及互感系数有关，称为互有能。当两个载流线圈产生的磁通是相互增加的，互有能为正；反之为负。•对于单一回路

考虑到磁通可以用矢量磁位A表示，则磁能Wm可表示为式中为导电媒质体积元所占体积，为导电媒质的总体积。由矢量恒等式利用的关系，若电流连续地分布在体积V中，电流密度为J：由于在导体所占空间外并无其他电流分布，故上式体积分可遍及整个空间而不影响积分效果。上式表明磁能是以磁能密度的形式储存在整个场域中。单位：J（焦耳）磁能密度单位：得磁场能量与磁场强度平方成正比，磁场能量也不符合叠加原理。例3.5.1利用磁场能量求长为l，截面半径为a，（l>>a）的导线内自感。解：导线内离轴线R处，磁场强度•对于单一回路例3.5.2用磁场能量求无限长同轴线单位长度的电感。解：在的区域三个区域单位长度内的磁场能量分