(新课标)2020版高考数学二轮复习第一部分基础考点自主练透第1讲选择、填空题的4种特殊解法学案理人教A版

bb方法诠释

第1

选、空的4种特解方法一特(例排法使用前提使用技巧

常见问题特例法是根据题设和各选项的具体情况和特点，选取满足条件的特殊的数值、特殊的点殊的例子特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的方程、特殊的数列等，针对各选项进行代入对照，结合排除法，从而得到正确的答案真题示例

满足当一般性结论成立时，对符合条件的特殊化情况也一定成立

求范围、比较大小、找到满足条件的合含母求值、恒成立适的特殊化例子问、任意性问题举反例排除时等而对于函数图象至需要两次或两次的别、不等式、空以上特殊化例子才间面位置关系等不可以确定结论.宜接求解的问题，常通过排除法解决.技法应用sin＋(2019·高考全国卷Ⅰ)函数(x)＝cosx＋在－，π]的图象大致()(2019·高考全国卷Ⅱ)若ab，则)A．ln(a－)>0B．3<3

取特殊值＝，合函数的奇偶性进行排除，答案选D．答案：取a＝－b＝2，则ab，可验证A，BD错误，只有C正确.C．－

>0

答案：D．|a|>||(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y＝－＋＋的图象大致()

当x＝时y＝，除AB；当x＝时x

>，以此时>2，排除C，故选D．(2018·高考全国卷Ⅰ)如图来自希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三

答案：不妨设△ABC为腰直角三角形易区域Ⅰ，Ⅱ的面积相.答案：角形ABC斜边BC直角边AC.△的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ在个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p，，p()A．＝B．＝C．＝D．＝＋π(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α

，

取角终上的特殊(1，，用定义代310入计算，求sinα，cosα.答案.10πtanα＝，cos－4

＝__________.

310答案：10(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f)在－∞∞)单调递减，且为奇函数．若(1)＝－，则满足－1≤(x≤1的x的取范围是()．－，．－，．，．，(2017·高考山东卷若>b，＝，下列不等式成立的是)1A．＋<log(＋)b2ab1B．<log(＋)<＋21bC．＋<log(a＋)<b21bD．log(a＋)<＋b2

当x＝时，fx－＝(2)<＝1，不满足；当x＝时(－＝(1)＝－，足．所以选D．答案：1利用特殊值法检验排除，当a＝2，＝时2选项A，，对的不等式不成立，故选B答案：1212[4(－，≥，1．设(＝若f(x)>3，则x取值范围()<2，A．(－∞，)∪(2，＋C．(－∞，∪(3＋

B．，2)D．－，13解析：选C．取x＝，(1)＋1<3，x≠，排除B；取＝，则(3)22log8＝，故x≠，除A．故选C．2．如果a，，，，为各项都大于零的等数列，公差d≠0，则下列关系正确的n为)A．C．＋>a＋

B．a<D．a＝a解析：选B．取特殊数列，不妨a＝，则a，＝4＝5＝，经检验，只有选项B成．|1－x|3．函数f()＝的象()1－||解析选C因≠±1所以排除因为f＝所以函数f(x)的图象过点01)，1－3排除D；因为f＝，以除B故选．21－x4．如图，点P为椭＋＝上第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A、顶点B25999分别作y轴轴平行线，它们相交于点C，点P引BC的平行线交于点，交BC于点M于两形PMCN面积为S形的面积为S∶＝)A．11C．2

B．1D．3解析：选A．不妨取点5

，9则可计算S＝

6×(5－4)＝，56由题易得PD＝，＝，5166所以＝＝，255所以∶＝5．若函数＝f()对义域D中每一个x，存在唯一的D，使fx)·(＝1成立，则称f(x)“影子函数”，有下列三个命题()“影子函数”fx)的值域可以是R；“影子函数”fx)可以是奇函数；若y＝(x)y＝(x都是“影子函数”，且定域相同，则y＝(x)·()是“影子函数”．上述命题正确的序号()A．①C．③

B．D．③解析：选B．对于①：假设“影子函数”的值域为R，则存在x，使得f(x)，此时不存在x，使f(x()1，所以①错；1对于②()＝(≠0)意x∈(∞∪(0x＝(x(＝，因为函数f(x)＝(≠0)为奇函数，所以“影子函数()可以是奇函数，②正确；1对于③()＝(>0))＝>0)是“影子函数”F)＝()gx＝1(xx不是“影子函数”(因为对任意x∈无数多个∈F(xFx)＝，以③错．综上，应选B→→mnmn→→mnmn6．(一题多)已知E为△ABC的心，AD为边上的中线，令a，＝，过点E→→11的直线分别交AB，于P，两，＝＝nb则＋＝)mA．3C．5

B．1D．3解析：选A．由于直线PQ是点E的条“动”直线，所以结果必然是一个定值故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，令PQ∥BC，→2→→2→2则＝AB，＝AC此时，mn＝，33311故＋＝3.故选A．→→→1→法二：如图2，直线与直线PQ重合，此时AP＝，＝，m＝，＝，以2211＋＝故A．7．如图，在三棱柱的侧棱AA和BB上各一动点P，满足＝，P，，三的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比)A．3∶C．4∶

B．∶D．3解析：选B．将，置于殊位置P→A，Q→，时仍满足条件＝BQ(＝0)，则有.→→→→.→→→→→→V＝＝C-

V3因此过P、、C三点的截面把棱柱分成体积比为2∶1两部分．8AD分是△ABC的中AD|＝BE|＝D与的夹角为120°·＝________．→23解析：若△为等边三角形，|AB|，3→→→→2所以·＝AB|||cos60＝32答案：3方法二验法方法诠释

使用前提

使用技巧

常见问题验证法是把选项代入题干中进行检验，或反过来从题干中找合适的验证条件，代入各选存在唯一正项进行检验，从而可否定错误确选.选项而得到正确选项的一种方法.

可以结合特例法、排除法等先否定一些明显错误的选项，再选择直觉认为最有可能的选项进行验证，这样可以快速获得答案

题干信息不全、选项是数值或范围、正面求解或计算烦琐的问题等.真题示例1(2019·高考全国卷Ⅰ)右图是求的＋＋2程序框图，图中空白框中应填()

技法应用11对于选项A，＝.＝时A＝，2＋12＋21当k＝时，A＝，故正确；经验证＋＋2选项B，，均符合题意．故选．答案：A．＝

＋1B．＝＋AC．＝

11＋2A1D．＝＋2(2018·高考北京卷设合A＝，)|－≥1＋>4，－≤2}，()．对任意实数，(2，)．对任意实数，(2，1)∉A．当且仅当a<0时，(21)∉3D．且仅当≤时，(21)∉2(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数()＝2cos－sinx2，则)A．()的最小正周期为π，最大值为3B．()的最小正周期为π，最大值为4C．()的最小正周期为2π，大值为3D．()的最小正周期为2π，大值为4(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数，其图象与函数y＝的象关于直线＝称的是)．＝ln(1)．＝ln(2)．＝ln(1)

对取字验证0Aa＝时B3错；a＝时C错．以选D．2答案：当sin0，cosx＝1时函值为4所以A，C错把π代验证，可得f(＋π)＝(，说明错．选B答案：函数＝x的象过定点(1，，而(1，0)关于直线1对的点还是(1将(1，0)代入选项验证.答案：ππD．＝ln(2x)(2017·高考全国卷Ⅰ)设A是圆C：＋3m

＝长的两个端点．若C上存在点M满足

选取四个选项的差异值m3，＝代入∠AMB＝120°，则m的取值范围()A．(0，]∪[9，＋．，3]∪[9，∞)．，]∪[4，∞)．，3]∪[4，∞)

证答案：1．下列函数中，在其定义域内是增函数又是奇函数的()1A．＝－x

B．＝logC．＝

D．＝x＋1解析：选Dy－在0，＋(－∞0)上调递增，但是在整个定义域内不是单调x递增函数，故A错；y＝－logx的义域0，＋∞)于原点不对称，不是奇函数，故B错；y＝x不是奇函数，故误；令()＝y＝＋，－)＝(－)＋－x)＝－－＝f(x，是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上调递增故D确，故选D．2．下列函数为偶函数的是()A．＝sin

B．＝xcosC．＝|lnx|

D．＝2

x解析：选B．因为＝x是函数y＝x是函数，＝cosx是函数，所以A选为奇函数，选为偶函数；选项函数图象是把对数函数y＝ln的图象在x下方部分1翻折到x轴上，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数选为指数函数y＝，2是非奇非偶函数．故选B．3．设函数fx＝cos，下列结论错误的()3A．()的一个周期为－π2B．＝(的图象关于直线x＝对3ππ解析选C)＝－＋πππ解析选C)＝－＋ππππ时，f(x＝sinC．

π的一个零点为x＝－3D．()在区间，递2π2ππcos的期为T＝π所对当x＝时2－＝π，333π2ππ2cosπ＝－1，所以B对；f(x＋)＝cos(2x＋)＝－时2＋＝0cos0，2333ππ22π所以C错∈，∈，x在，2333选C．

上递减所以D对故4．已知函数fx)＝()A．(0，C．(2，

1为奇函数，(＝lnx－2f(，则函数gx的点所在区间为x－B．，2)D．，4)12解析：选C．函数()＝为奇函数，可得a＝，则gx＝－f(x＝ln－，－2显然函数g(x为函数，且有g(1)＝ln－2－2<0g(2)＝2－1<0，(3)＝3－，31g(4)＝4－>0，(2)(3)<0故函数x)的点所在区间(，，故选．25．已知函数(x)＝sin最小值为)A．2C．10

π(其中>0)图象一条对称轴为直线x＝，则的12B．D．解析：选B．(从选项验证)若ω＝，则当x＝时f(x)＝sin＋12126

3＝，符2合题意；若ω4，则当x＝为4.

πππ＋12126

＝，合题意，所以ω的小值6函fx)＝－x－＋xf(a＋f(a－2)>0实数的值范围是)A．(－∞，1)C．(－，

B．－，D．－，解析选D(从选项验证)若＝1则f(a)f(a－2)＝(1)＋f(－＝不足(

)＋(－2)>0，所以B，C错若a＝－2，则(a)＋(a－2)(4)(－4)0，也不满足f(a

)＋(－2)>0，以A错故选D．7．设、满约束条A．－5C．－或3

x＋≥，且＝＋的小值为7则＝()x－≤－，B．D．或3解析：选B．当a＝－时，出不等式组表示的可行域，如图所(阴影部分．由得点(，－，则目标函数z＝－过点取得最大值．z＝－3－5×(－＝，满足题意，排除AC选项当＝，作出不等式组表示的可行域，如图所(阴影部分．由得点(1标函数z＝＋yB点时取得最小值＝＋3×2＝，足题意．故选B．方法三估法方法诠释由于选择题提供了唯一正确的答案，又不需写出过程，因此可以通过猜测、合情推理、估算获得答案，这样往往可以减少运算量．估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省时.真题示例

使用前提针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的命题，常与特值法结合起来使用

使用技巧对于数值计算，常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等；对于几何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算.技法应用

常见问题求几何体的表面积、几何体的体积、三角函数的值、离心率、参数的范围等mn＋mn＋26)23(2019·高考全国卷Ⅰ)古希腊时，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

5－15－1(≈0.618，称为22黄金分割比)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度5－1与咽喉至肚脐的长度之比也是.某人2满足上述两个黄金分割比例，且腿长为cm，顶至脖子下端的长度为26cm，其身高可能是()．165cm．175cm．185cm．190cm(2019·高考全国卷Ⅰ)已知alog0.2，＝2，＝0.2，()．<<．<<．<<．<<(2018·高考全国卷Ⅲ)设ABC，是一

设某人身高为cm，子下端肚脐的长度为cm，则由腿长为105cm，可得m－5－1>≈0.618，解得>169.890.1052由头顶至脖子下端的长度为26，265－1可得>≈0.618，解得<42.071.n226＋5－由已知可得＝≈0.618解－得m<178.218.综上，此人身高m满足169.890<<178.218，所以其身高可能为175cm.故选．答案：因为＝log0.2<0＝2>1c＝0.2<1，所以>>.选．答案：等边三角形ABC的面为3，显然球心不个半径为4的的球面上四点eq\o\ac(△,，)为边是三角形的中心，所以三棱锥体积最大时，三角形且其面积为93，则三棱DABC体积的最大值()．3．3

1三棱锥的高应在区间(4，8)内，以×9331×4<<×93×8即123<<243，故选B．3log33log3．3．31(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f)＝sin(＋5ππ)＋cos(－)最大值为)366A．5B．13C．51D．5(2017·高考全国卷Ⅱ)若a＞1曲－

答案：π当x＝时函值大于，故选．6答案：

＝的离心率的取值范围()

列出关于e表达式，用表，根据a>1，．2，＋∞)．2，．，2)D．(1，

估算的围答案为C．答案：1．已知aloge，＝ln，c＝log1，a，的小关系()A．>>C．>>

B．>>D．>>11解析：选D．＝e>1，＝ln＝∈，，＝log1＝log3>log，据此可得2c>a>.故选D．2．某班设计了一个八边形的班(图所，它由四个腰长为，顶角为的腰角形和一个正方形组成，则该八边形的面积)A．2sin－α＋Bsin－3cosα＋33C．3sin－3cosα＋D2sin－cosα＋解析：选A．当顶角α→时，八边形几乎是边长为的方形，面积接近于4，四个选项中，只有A符，故选A．xy3为曲线－＝a>0b右上的一点分别双曲线的左、右焦点，则ab△F的切圆圆心的横坐标为()A．C．a＋

B．D．＋b－a＋解析：选A．如图，点P双曲线向右顶点无限接近时PFF的切圆越来越小，直至“点圆“圆”应为右顶点，则内切圆圆心的横坐标为，故选A．π4．若0<α<β<，sin＋cosα＝a，β＋cosβ＝，则)4A．<C．<1

B．>bD．>2π解析选A若α→0sinα＋cosα＝→1.→则sinβ＋cosβ＝→2，4从而b>，结合选项分析，应选A．35.如图，在多面体ABCDEF中已知平面是边长为的方形，∥，＝，2与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积()9A．2C．6

B．15D．21解析选D连接BE四棱锥E的积为V＝×3×3×26面体的体积大于四棱锥EABCD的体积，即所求几何的体积V>＝，而四个选项里面大于615的只有，故选D．2方法四构法方法诠释

使用前提

使用技巧

常见问题构造法是一种创造性的解题方法，它很好地体现了数学中的发散、类比、转化思想．利用已知条件和结论的特殊性构造函数、数列、方程或几何图形等，从而简化推理与计算过程，使较复杂的或不易求解的数学问题简单化构造法来源于对基础知识和基本方法

所构造的函数、方程、图形等要合理，不能超出原题的限制条件

对于不等式、方程、函数问题常采用构造新函数，对于不规则的几何体常构造成规则几何体处.

比较大小数导数问题、不规则的几何体问题等的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从类似的问题中找到构造的灵.真题示例(2019·高考全国卷Ⅰ)已知三棱P的四个顶点在球O的面上＝PB＝PCeq\o\ac(△,，)ABC是边长为2的三角形E，分是PA，的中点90°O的积为A．86．6．6．6(2019·高考天津卷设>0y＋＝，

技法应用由∠＝90°可利用余弦定理可求PA＝＝＝2PA⊥利用外接球的直径是由该几何体补成的正方体的体对角线求，可得球的体积答案：首先把待求式子的分子展开，再把已知条件代入，化简后构造使用基本不等式的条件，则

(＋1)(2＋1)的最小值为_______.xy

由基本不等式即可求.答案：3(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD－AB中AB＝＝，＝，则面直

在长方体AD的面ABB的一侧再补填一个完全一样的长方体DA，研线DB所角的余弦值()1A．5

究△即.答案：．．．

5522(2016·高考全国卷Ⅱα是个平面n是两直线，有下列四个命题：①如果m⊥，m⊥，∥β，那么α⊥β.②如果m⊥，∥，么⊥n③如果α∥β，α，么∥β.④如果m∥α∥β那么与所的角和与β所的角相等其中正确的命题有________．填写所有正确命题的编号(2016·高考全国卷Ⅰ)若ab＞＜＜，则)A．logc<logB．loga<log．<．>(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数′()奇函数()(x∈)的导函数f(－＝，当x>0时，′()()<0则使得(成立的的值范围()．－，∪(01)．－，)∪(1，＋．－，∪(1，．，)∪(1，∞)

构造正方体，将有关棱与面看作问题中有关线与面，逐一判.答案：②③④构造函数＝logx和y＝用数的单调性可解决.答案：()据题意构造新函数(x＝，求导再解x题答案：1．已知定义在R上的导函数(x的导函数为′()，满足f′(x)<，且(x＋为偶函数，(4)，则不等式()<eA．(－，∞)C．(1，＋

的解集为()B．，＋∞)D．，＋∞)解析选B因(＋2)为偶函数所以f(x＋2)的图象关于直线＝0对所以()的图象关于直线＝称，所以f＝(4)＝1.f()设()＝(∈R)，′x)e－(x′(x)－x则′()＝＝.(e)e又′()<f(x，所以g′()<0(∈，所以函数gx在定义域上单调递减．f(x)(0)因为()<e<1，而g(0)＝＝，所以f()<e(ee

x)<(0)所以x>0.故选B．112．已知mn∈(2，，－<ln，则()nm．>．<1C．>2＋nD．，的小关系不确定11111解析：选A．由不等式可得－<lnm－lnn，即＋<＋ln．设fx＝＋mxx(x∈(2，e))，21－则′()＝