都是“经验”惹的祸

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韩冬青

[摘

要]为提高教学效率、学习效率，老师和学生都希望把题目归类，举一反三，避免无谓的重复，这当然无可厚非，绝大多数状况下确实提高了教学效率和学习效率.但有时我们归纳得不够完整，不够完善，或者不够严谨，甚至会出现错误.文章针对不太完整、不太确切或不太严谨的归纳举了几个例子，如“SSA〞问题、借助平移求面积问题、线段旋转扫过的面积问题.经验会让我们受益匪浅，也会让我们固步不前，甚至会让我们犯经验主义错误.

[关键词]“SSA〞;旋转;平移;转化;经验

古语说“经验大于学问〞，可见经验之重要.当然，经验至少可以分为两类，一类是成功的经验，另一类是失败的经验.成功的经验会让我们少走好多弯路，失败的经验则会提醒我们避开那条失败的路，总之无论是成功的经验，还是失败的经验，都会让我们受益匪浅.下面，笔者就数学上常见的几个问题谈谈自己的看法.

“SSA〞问题

好多学生都知道“SSA〞是一个假命题，但对其本质了解得并不明了，看到“两边及其中一边的对角对应相等〞就认为两个三角形不全等;好多教师知道“SSA〞虽然是一个假命题，但在特别条件下也能成立，却忽略了“在特别的图形关系中，满足‘SSA的两个图形也能全等〞这一事实.教材上为什么给出了那样的反例？反例是不是要具备特别的条件？“SSA〞有没有成立的可能？在什么状况下成立？在什么状况下不成立？笔者通过查阅资料和自己的思考，找出了“SSA〞成立和不成立的根本原因.

在三角形全等的证明方法中，“SSS〞“SAS〞“ASA〞等都是借助尺规作图来进行探究的，只要作出来的三角形与原三角形能够完全重合，便得到了“SSS〞“SAS〞“ASA〞证明全等的基才能实，所以“SSA〞是否成立也可以借助尺规作图来看作出的三角形是不是和原三角形全等.“两组边及其中较大边的对角对应相等的两个三角形全等.〞“假如两个三角形满足最大的角对应相等，那么无论是锐角三角形还是钝角三角形，‘SSA能说明两个三角形全等.当‘SSA中角的对边大于或等于邻边时，‘SSA能证明两个三角形全等.〞现笔者对上面的命题进行再次探究.

现在对图1（αa，我们用尺规作图，作出满足上述条件的△DEF，我们发现所作的△DEF是唯一的（如图2），所以此时△DEF与△CBA全等.

（2）若b=a，△ABC是等腰三角形，我们不需要通过尺规作图，便可根据“SAS〞或“ASA〞或“AAS〞得到这样的两个等腰三角形全等.

（3）若b=asinα，即AB⊥AC，此时△ABC是直角三角形，我们简单得到通过尺规作图作出符合条件的直角三角形唯一（如图3），所以两三角形全等.

（4）若asinα1时，如α=60°，β=60°时，S>x2，此时图17中空白部分的面积不等于图18中空白部分的面积，不可以把图17转化为图18来解决;当S;假如α为锐角且β为钝角，或α为钝角且β为锐角，有SOA），假如∠OBA是钝角（OA>OB），那么上述问题的结果就会变成S=S-S.假如∠OAB（或∠OBA）是直角或者是锐角，结论是否会发生变化呢？我们来逐一研究.

（1）假如∠OAB=90°，如图21，此时S=S+S-（S+S）=S-S.这与∠OAB为钝角时的求解