建筑工程之结构力学讲义44

§14-4两个自由度体系的自由振动一、刚度法（1）两个自由度体系m1m2y1(t)y2(t)m1m2K2K1K2K1y1(t)y2(t)11两自由度体系自由振动微分方程1设解为=常数当然Y1=Y2=0为其解，为了求得不全为零的解，令特征方程频率方程1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始终保持不变。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。2（1）主振型（2）按主振型振动的条件：初位移或初速度与此振型相对应；m1m2Y21Y11Y12Y22最小圆频率称为第一(基本)圆频率：——第二圆频率由此可见：

多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持不变，此时，多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动。实际上，多自由度体系在零时刻的y0或vo通常不能完全与某一振型相对应。3例7：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和k2，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。m1m2k1k2解：（1）求频率方程中的刚度系数11k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2（3）一般振动两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动多自由度体系自由振动的振型分解4（3）求主振型1.6181.01.00.618第1振型第2振型（2）求频率k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式若有5（3）求主振型（2）求频率若有若n=90则第一振型和第二振型分别为：可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨大反应的现象，称为鞭梢效应。如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。6二、柔度法m1m2y1(t)y2(t)设解为此时惯性力幅值在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时惯性力作用下的静力位移。主振型的位移幅值等于主振型惯性力幅值作用下产生的静力位移。7m1m2Y1Y2当然解Y1=Y2=0，为了求得不全为零的解，令令主振型80.5a例9.试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。12aaamm解：（1）计算频率1a1（2）振型10.27713.61第一振型第二振型9三、主振型及主振型的正交性

m1m2Y11Y21由功的互等定理：整理得：m1m2Y12Y22因，则存在：两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。10由功的的互互等等定定理理：：上式式分分别别乘乘以以ω12、ω22，则得得：：第一一主主振振型型惯惯性性力力在在第第二二主主振振型型位位移移上上所所做做的的功功等等于于零零；；第第二二主主振振型型惯惯性性力力在在第第一一主主振振型型位位移移上上所所做做的的功功等等于于零零；；某一一主主振振型型的的惯惯性性力力在在其其它它主主振振型型位位移移上上不不做做功功，，其其能能量量不不会会转转移移到到其其它它主主振振型型上上，，不不会会引引起起其其它它主主振