总结拉格朗日中值定理的应用

总结拉格朗日中值定

理的应用总结拉格朗日中值定理的应用以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意义！拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。凑导数法。:这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式，凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的&换成X，变形后观察法凑成F’（X），由此求出辅助函数F（x）.如例1.例1.设函数/G）在［q,用上连续，在（o,b）内可导，证明7存在XGU）,使得2旦/（&）-/（即=（屏-#）,⑴分析:结论变形为用⑴-舟即可窿成FJ）|f=O.将f换成走,结论变形为砌渺_.）加=0.即卜［街--。从而可设辅助函数为凡加J［他顼。）］-&*）/（也有本麒得征证明泠FC沪胃［/。）-/例-G-oVCO，则FG）在叫上连续,在5）内可导，且由罗尔定理知,至少存在一点£耘侦上）,使得FW=2^fW-/（«）］-（胪S/的=°常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含&的部分作为k,即使常数部分分离出来并令其为k,恒等变形使等式一端为a与f(a)构成的代数式，另一端为b与.f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a或b)改为变量x移项即为辅助函数f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定k,一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公式.如例3.例3.设/U)在［州们上连续，在内可导,试旺存在一点£e(如6),使等式lnf)成立.分析:将结论变形为"牛格)&<£),左边为常Ino-lna数，因此可令则有f(b)-Klnb"Inb-Lna-Kins令兀用，可得辅助函数F(x)^f(x)-Klnx,证法1：设则可验证FG)在囱奶上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理得证.证法2：将所求证等式的右端恒等变形为再)装。)=£^)函数川)=岫则函数f(x),g(x)Inb-lna七倒推法区阅种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出所知的条件和结论.如例4。以存在矶6),使得捋=¥，即S-f(q)成(£)吧・例4,设爪％）在［a.b］（O<a<b｝上连续，在Sb）内可导,且f（（i）=b内h）=a.证明：在―）内至少存在一点入使广您）=火）分析:所要证的结论可变形为歆WW（£）二。，即证［折（*（*）］如也即成G）］*o,作辅助函数F（x）=xAr）在区间⑷们上使用事尔定理证明：令F（x）=zf（x）,由题设知FJ）在［a.b］±连续，在（。0）内可导,之间关乘积因子法：之间关较困系的证明，直接构造函数往往比较困难.将所证结论的两端都乘以或除以一个恒正或恒负的函数，证明的结论往往不受影响，（A为常数）是常用的乘积凶子.如例5.较困例5.若/怂）在I。估］上连续，在（Q0）内可导，且六占）寸（6）维证明*北E35）,使尸（E火）分析**是个恒力正的因子，所证明等式或不等式的两端都可以或除以这样的一个因子.等式或不等式仍然成立，于是想到e-k是个理想的乘积因子证明：引人辅助函数由题设知f（q=f（6）=0/（.）在⑷切上连续，在（m）内可导,为色以可导函数g（x）可导条件，直接运用费马定理，完成证明。加例6。顷&；.成立,例6.证明：若/U）在［"止可导测广⑴可取到广（履与广（3之间的一切值.证明:Vi?2（。）■矿（b））（或"e（f（b）,f\a）））,令g（妇顼尤）-加由_/｛左）的性质搭（，）在［港］上可导，且g侦）才⑴-W,由7?的件质，有g"）丫（b）d）,不妨设^（u）＞0T即lim区小威也＞0,由极限的4w%—＜1性质知，3昂＞0,使得当时书J）＞g（。），即如）不是有界闭区间［。,6］上的连续函数gu）的最大值,同理,由＜（6）＜0知卯&＞0*使得当薰《U~（6）时，有g（x）＞g（b）,即）也不是gJ）在［□.&iA〕顷一拉格朗日中值逸证明（不）等式饵故言鳏当的麟数"（鼠间附％），必在在知e（a,b）言鳏当的麟数"（鼠间附％），在不等式的证明中，关键是.通过缠勺范围，，根据等函数可靠曲归如晰分式的范围，得*如例题7。例《二乩由可三（广3）•"）（或宜顷（b顷^y<iri^L<-^y,0<5.<^芭yy证明：由于切子=如一心所以要证原不等式可变形为—＜lnX~~＜-取辅助函数f3丈—yy=/心、有f（.芭）=—,由于OVj'VSV工'故-VE=^＜—,所以.—＜fg=£=例8：7:、―外V二得证口—yy试证不等式■其中k>l,n为自然数。（tn-lFInktf证明：令低户小好1）,对此）在[n,n+l|t应用拉氏中值定理『则在ItLn+1）内存在旨使卜f（n户f⑥，即k*-kD-k4胃，因为41.j__i_i_,Ink",所以有七『苓”考虑到函数在E上是单调速液]J_J_]J_]J_的，又因n<?<n+b故有_!二，所以侦、（rt+lf曰n2（n+lfInkn1例9：设OVct<P求证：§丁<tanp-tanct<§京corhCIcos2B证明】在区间[atp]上对函数如使用中值定理，可知存在&匚色弟），使得taiiB-tana=Cp-Ct）（tout）1得=—cosscoax由于在（0,号）上e皿是严格递减的函数，从而由0<coaxa<p〈号一可得COS~a>COS25>COS2p>0二利用拉格朗日中值定理求极限CORaCOSp求极限的方法有很多，常见的有利用洛必达法则，利用重要极限等，而对于一些极限也可用拉格朗日中值定理或者只能用这种方法来求解，如例10,11.求极retail&+D-biaretail^例10：分折：因为要求的极限为型,所以我们可先用洛必达法则求轮但是逋过计算发现利用这个方法很唯求解，仔细观窒迎日后不鹿看出极限中的bianctan&+D-biaiActanx实际上为函数f电=lnar-ctam在区间卜x+l]±的两个端点的函数值的差,所以我们可先用拉格朗口中值定理将极限的形式留匕然后再求解】

解：设函数「e=h讶心出il在的对ijh对f*运用拉格朗日中值定理得Inarctan&+D■lnarctanx=——其中x<£<x+1.arcian^iI'因为XV技x+h所以——*5L+x21+][+(x+[)2又I7为L・皿11'饮•也—・u，「贝出-一她J~:-一I,I+X21+(,X+1}2所以由夹逼定理可得I姬志产L例1例11：.•白、：-|.1：1匚’i求极限甄备-昏=lim1lim--£•n广Gmn>0P勺4就可以得到解决分拆所要求的极限为E-E型.类似上一题，我们可先将分母通分后，然后用洛必达法则求解.-通过计算不菲.发现要两次用到洛坚达法则.而且计算量非常大,现在我们用另-种方法求解.-所求极限为二元函数f血9=了%在区间四珂上的两个端点的函数值的差，因此可利用拉格朗口中值定理先将极限转化.解：舍函数f血9=芒厂在m，nlh对变量y运用拉格朗日中值定理得=(m—n)些一X^—E^TIn*-泸tnxI2=取QZtnx可以看到，虽然这种方法中也用到洛必达法则.但先用拉格朗口中值定理将极限转化为较简单的形式可使计算最小许我因此,对于类似吊i的两神类型的未定式的极限…极限的表ii式中出现拉格朗口中值定理中的理业1或f技"&的形式的时候，先用拉格朗口b-a中值定理将极限转化然后再求就，常可以达到出其不意的效果，这就要求我们平时械题时要善亍观察题目的特征、总结解题方法o同时，例2也告诉我们对于多元函数我们也可以对其中的一个变量运用拉格朗日中值定理,此时只需将其它的变S看作常数即可，

三研究函数在区间上的性质因为拉氏中值定理沟通了函数与其导数的联系，很多时候。我们可以借助其导数，研究导数的性质从而了解函数在整个定义域区间上的整体认识。比如研究函数在区间上的符号、单调性、一致连续性，凸性等等，都可能用到拉氏中值定理的结论。通过对函数局部性质的研究把握整体性质，这是数学研究中一种重要的方法。如例12：证明:若函数於）于有穷或无穷的区间（糖）内有有界的导函数则于恤hj中一■致i至续证明：设当丈巴他b）时.|咽|生对于Vxi,xae（土旺在以珂茂为端点的区间上由拉氏中值定理，有"艺;而-世灵在为母之间，那么有|F闵|与H对T取&=|为-为|,|地）|碍在为禺之间）与H对T取&=|为-为|,|地）|碍在为禺之间）由一致连续定义可知+在（心））内一致连续口四估值问题证明估值问题，一般情况下选用泰勒公式证明比较简便。特别是二阶及二阶以上的导函数估值时。但对于某些积分估值，可以采用拉氏中值定理来证明。例6设「闵在|id）|上连续，旦匝Ffm=O,试证：L|『风|血、Inm|S|Wv£b证明：若啪三不等式晶然成立，