1误差分析与数据处理课件

第一章误差分析与数据处理1.1测量及其分类直接测量间接测量1）按测量的方式分：2）按测量条件分等精度测量不等精度测量3）按测量过程的状态分静态测量动态测量1第一章误差分析与数据处理1.1测量及其分类直接测量1）按测

直接测量：

凡是使用仪器或量具就可直接得到被测量值的测量；例如：用直尺测量长度；以表计时间；天平称质量；安培表测电流。间接测量：从一个或几个直接测量结果按一定的函数关系计算出来的过程，称为间接测量。hdM1）

直接测量和间接测量2直接测量：凡是使用仪器或量具就可直接得到被测量值的测量；等精度测量：2）等精度测量和非等精度测量在相同的条件下，对某一物理量进行多次测量得到的一组测量值称作等精度测量。相同的条件：指同一时间地点、同一人、相同的测量仪器和测量环境等条件。非等精度测量：在不同测量的条件下，对某一物理量进行多次测量，所得的测量值的精确程度不能认为是相同的，称作非等精度测量。3等精度测量：2）等精度测量和非等精度测量在相同的条件下，对某1.2真值、代表值与误差1.2.1真值指在某一时刻和某一位置的某个物理量客观存在的真实值。严格地讲，真值是无法测得的，只能测得真值的近似值。实际应用中真值是指测量次数无限多时的平均值作为真值。理论真值：理论上证明过的某些已知的固定量值，如三角形之和为180º。约定真值：国际计量组织通过决议规定的某些计量单位的量值，如规定铂铱合金的国际千克原器为1kg的质量单位。光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485为1米。相对真值：高一级标准器（核对仪表）与低一级标准器或一般仪器相比误差小得多，认为前者是后者的相对真值。41.2真值、代表值与误差1.2.1真值理论真值：理论上证明过1.2.2代表值

简单的说，就是通过测量和数据处理，认为能够代表真值的数据。中位值

将所测量的数值按其大小顺序排列，位于正中间的数值叫做中位值。平均值

设x1，x2……xn代表各次观测值，n代表观测次数，则算数平均值：平方平均值（均方根平均值）几何平均值冶金试验中，常用算数平均值作为代表值51.2.2代表值5按误差的数值表达式分（2种）：绝对误差

测量值与真值之差称为绝对误差。相对误差

绝对误差与真值之比值为相对误差。按误差的性质和产生的原因分（4种）：系统误差随机误差1.2.3误差及误差分类任何测量结果都有误差！过失误差缓变误差6按误差的数值表达式分（2种）：绝对误差测量值与真值之差定义：在一定条件下，对同一物理量进行多次测量时，其误差按一定的规律变化，测量结果都大于真值或都小于真值。

并且为其它的物理量（如温度等）的函数，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。产生原因：仪器，理论推导，实验方法，操作，环境等。（1）系统误差天平不等臂仪器7定义：在一定条件下，对同一物理量进行多次测量时，其误差按一定系统误差的分类1）按系统误差产生的原因分设备误差：由于测量仪器、工具的不准确或安装不正确造成的，如仪器的零位不准，空行程、不水平、不垂直、导线的影响等。环境误差：由于测量环境条件变化的影响，如温度、压力、外电磁场的影响。人员误差：由测量人员自身造成的，如读数的偏大、偏小、测量的超前或滞后等。方法误差：由于测量方法不完善，计算公式的近似简化引起的。2）按系统误差的性质分固定误差：测量过程中符号和数值大小都不变，如仪器的零点误差。累进误差：在测量过程中，随某个因素（如时间、长度）而递增或递减，就像用不准确的尺子测量大距离。周期性误差：误差的数值与符号呈周期性的变化，如辊轴偏心等。变化规律复杂的误差：需要用公式或曲线表示其变化规律的误差，如光线示波器振动子的圆弧误差。8系统误差的分类1）按系统误差产生的原因分设备误差：由于测量仪1)将观测值依次排列，如偏差的大小有规则地向一个方向变化，即前面为负号，后面为正号，且符号为（一一一一一十＋＋十＋）或相反（＋十＋＋十一一一一一），则说明该组观测值含有累进的系统误差。如中间有微小波动，则说明有随机误差的影响。发现系统误差的简单方法2)将观测值依次排列，如偏差符号作有规律交替变化，则测量中含有周期性误差。如中间有微小波动，则说明有随机误差的影响。3)在某一测量条件时，测量偏差基本上保持相同符号。当变为另一测量条件时偏差均变号，则表明测量中含有随测量条件改变而变化的固定误差。4)按测量次序，若观测值前半部分偏差之和与后半部分偏差之和的差值明显不为零，则该测量中含有累进误差。5)若测量条件改变前偏差之和与改变后偏差之和的差值显然不为零，则该测量中含有随条件而变化的固定误差。通过观察偏差发现系统误差91)将观测值依次排列，如偏差的大小有规则地向一个方向变化，即定义:在同一条件下，对同一量进行多次测量时，如果没有系统误差，测量结果仍会出现一些无规律的起伏，这种偶然的，不确定的偏离叫做随机误差。

凡是由未被发现和无法控制的因素产生的误差均为随机误差。其特点是数值大小和方向均带有随机性和不定性。产生原因：随机误差是由于人的感官灵敏程度和仪器精密程度有限以及实验中难以确定的因素而引起的。（2）随机误差（偶然误差）温度忽高忽低气流飘忽不定电压漂移起伏10定义:在同一条件下，对同一量进行多次测量时，如果没有系统误①正态性：绝对值小的误差出现的概率高，绝对值大的误差出现的概率低，绝对值很大的误差出现的概率近于零②对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等③有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值有一定的界限，超过此界限的误差概率等于零。④抵偿性：正号的随机误差之和与负号的随机误差之和的绝对值相等，互相抵消。

式中的是一个与实验条件有关的常数，称之为正态分布的标准误差。±是曲线两个拐点的横坐标位置。

随机误差的特征f（δ）δ11①正态性：绝对值小的误差出现的概率高，绝对值大的误差出现的（3）过失误差

是指数值上随时间缓慢变化的误差,一般它是由零部件的老化、机械零件内应力变化引起的。由于它有不平稳随机过程的特点，误差值在单调缓慢变化，因此不能象对系统误差那样引进一次修正量即能校正，又不能象对一般随机误差那样按平稳随机过程的特点来处理，因而常需不断进行校正，测量准确度与对仪器仪表的校正周期有关。（4）缓变误差：它是一种显然与事实不符的误差，主要是由于操作人员的粗心大意、操作错误等引起的。如测量、记录或计算的错误等。此类误差无规律可循，含有过失误差的测量数据只能舍弃不用，无法修正。只要加强操作人员的责任心，过失误差是可以避免的。一般要进行舍弃。12（3）过失误差是指数值上随时间缓慢变化的误差,一般它1.2.4精密度与准确度准确度：指测量结果的正确性，准确度高表示系统误差小精密度：是指在相同的条件下，对同一被测量进行多次重复测量时，测量值的重复程度。说明各测量值之间的重复性或分散程度，它是测量中随机误差大小的反映。精密度表示测量结果的重演程度，精密度高表示随机误差小精确度：是指测量结果与其真值的接近程度。它反映了测量的总误差，是精密度和准确度的综合反映。（a）精密度好（b)准确度好（c）两者都好131.2.4精密度与准确度准确度：指测量结果的正确性，准确度高1.2.5误差的表示与计算（1）绝对误差标准绝对误差σ其中当测量次数无限大时：平均绝对误差δ：对同一物理量进行多次测量时，各次测量值及其绝对误差不会相同，我们将各次测量的绝对误差取绝对值后再求平均值，并称其为平均绝对误差。

δ=（│x1-xo│+│x2-x0│+……+│xn-x0│）/nδ为平均绝对误差；

∆x1、∆x

2、……∆x

n为各次测量的绝对误差141.2.5误差的表示与计算（1）绝对误差标准绝对误差σ其中测量次数有限多次时：设一组观测值的标准误差为，则任一观测值的误差介于的概率为68%的概率为95%的概率为99.7%工程技术测量中常用表示最大可能误差。超过此范围的误差认为是过失误差。方差σ2标准绝对误差的平方即为方差σ2，在数据运算过程中常被使用15测量次数有限多次时：设一组观测值的标准误差为，则任一观算术平均值的标准误差

在同一条件下对同一物理量作多次重复测量，各次所求出的算术平均值并不相同，表明算术平均值相对于客观真值也存在误差。所以计算算术平均值的误差，对于表征测量结果的精密度具有重要意义。算术平均值的标准误差的计算公式：

上式说明，测量值的标准误差σ是算术平均值的标准误差倍。当测量次数n越大，算术平均值越接近真值，测得精度越高。标准绝对误差σ16算术平均值的标准误差在同一条件下对同一物理量作多次重复是指这样一种误差，在一组测定中，误差绝对值大于P的测定值与误差绝对值小于P的测定值各占总测定值的一半。测量次数较多时：P=0.675σ或然误差P（2）相对误差（δ相对、σ相对）实验测得的数值与真实数值之间的差数称为“绝对误差”，而“绝对误差”与“真实数据”的比值称为“相对误差”。

思考题：1-15，1-1617是指这样一种误差，在一组测定中，误差绝对值大于P的测1.3可疑观测值的舍弃工程技术测量中常用表示最大可能误差。超过此范围的误差认为是过失误差。1.3.13σ准则（赖特准则）

根据随机误差的正态分布，误差在士3σ间出现的概率为99.7%，误差在此范围以外出现的概率只有0.3%，即测量300次才能遇上一次。对于通常只测量一、二十次的试验，误差超出士3σ范围的已不属于随机误差，而是过失误差。因此规定：当某一测量值的误差超过士3σ时，则判断为过失误差，应予舍弃。然后重新计算σ值，并重新判断其它剩下的测量值。181.3可疑观测值的舍弃工程技术测量中常用表示最大可某数据与包括这个数据在内的平均值的偏差，大于这组数据或然误差P的k倍时，该数据应该舍弃。1.3.1乔文涅法则19某数据与包括这个数据在内的平均值的偏差，大于这组数据2020课后作业：1-17练习题：21课后作业：1-17练习题：211.4.1平均误差的传递1.4间接误差的传递设有函数N=f(x1,x2,x3……xn)式中，N由x1,x2,x3……xn各直接测量值来确定如果测定x1,x2,x3……xn时的平均误差分别为Δx1……Δxn

，且足够小。则将上面函数全微分并取其绝对值，以消除正负误差对消的的影响，则可得到计算N的平均误差公式：两边取对数再求微分，然后将dx1，dx2……dxn等分别换成Δx1……Δxn

，则可以得到相对平均误差的表达式：221.4.1平均误差的传递1.4间接误差的传递设有函数两边取1.4.2标准误差的传递设有函数N=f(x1,x2,x3……xn)式中，N由x1,x2,x3……xn各直接测量值来确定则间接测量N的标准误差与各直接测量的标准误差的关系为：相对误差传递公式：231.4.2标准误差的传递设有函数相对误差传递公式：2324241.5.1

有效数字的基本概念0.51.01.51.13m准确数欠准确数定义：准确数字加欠准确数字（一般1位）1.5数据处理与测量结果表示251.5.1有效数字的基本概念0.51.01.51.13m1）关于“0”①.当“0”在数字中间或末尾时有效数学上：物理上：②.小数点前面的“0”和紧接小数点后面的“0”不算作有效数字。例如：近似数32.04有四个有效数字3、2、0、4。近似数0.0470有三个有效数字4、7、0。③改变单位，不改变有效数字的位数。如：24.01mL24.0110－3L

261）关于“0”①.当“0”在数字中间或末尾时有效数学上：数据过大或过小时，可以用科学记数法表达。2).数值的科学记数法

在使用近似值时，一般都指明要求精确到某个值或保留多少位有效数字.为了能简便地表示出一个近似数的精确度，我们常常把一个正数写成a×10k的形式.其中1≤a<10，k∈Z，a要写出全部有效数字.例如当看到：x=5.34×10-2，y=5.34×105，z=5.340×105，就知道x，y，z准确值的范围是：0.05335≤x<0.05345，533500≤y≤534500，533950≤z≤534050.

这样记数方法叫做科学记数法.

27数据过大或过小时，可以用科学记数法表达。2).数值的科学记数

某电阻值为20000（欧姆），保留三位有效数字时写成2.00104

又如数据为0.0000325m，使用科学记数法写成3.2510-5m再例如：28某电阻值为20000（欧姆），保留三位有效数字时写1.加减运算

结果的位数取决于绝对误差最大的数据的位数例：0.0121绝对误差：0.00005

25.64

0.005(绝对误差最大）1.0570.000526.70911.5.2有效数字运算规则291.加减运算26.70911.5.2有效数字运算规则22.乘除法：与参与运算的有效数字最少的那个数位数相同3乘方开方：与底的有效数字位数相同4指数、对数、三角函数：由改变量决定。

sin19.580=0.3351227；sin19.590=0.3352871所以sin19.580=0.33515有多个数值参加运算时，在运算中应按有效数字运算规则定的多保留一位，以防止由于多次取舍引入计算误差。但运算最后仍应舍去。6对于公式中的常数π、e等在计算中其有效数字位数一般取比参与运算的各数中有效数字位数最少的还要多一位。有效数字的取舍规则：“四舍六入五凑偶”302.乘除法：与参与运算的有效数字最少的那个数位数相同有表1伏安法测100电阻对应数值表1999/12/2注：电压表量程7.5V精度等级1.0电流表量程50mA精度等级1.01.5.3数据处理方法（1）列表法31表1伏安法测100电阻对应数值表1991.选择合适的坐标分度值I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004.连成图线3.标实验点2.标明坐标轴（2）作图法321.选择合适的坐标分度值I(mA)U(V)8.004.05.标出图线特征I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.006.标出图名A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上A、B两点可得被测电阻R为：至此一张图才算完成！335.标出图线特征I(mA)U(V)8.004.0020.用Origin绘图软件绘制实验结果

1 0.193441.5 2.051242 0.80052.5 4.788813 2.382683.5 3.701474 5.653254.5 5.714345 6.894825.5 9.52936 6.624656.5 6.196777 9.027357.5 6.777638 10.513918.5 10.756119 10.716439.5 12.9853910 12.1527110.5 12.44126Xy（2）作图法34用Origin绘图软件绘制实验结果 X例：对下表伏安法测量电阻的数据进行处理，应用逐差法求电阻值。表1伏安法测100电阻数据表数据分为两组，隔3项逐差，再取平均。即：逐差法的优点：利用逐差法求物理量，可以充分利用数据，消除一些定值系统误差，减小随机误差的影响（3）逐差法35例：对下表伏安法测量电阻的数据进行处理，应用逐差法求电阻值。（4）最小二乘法

假设两个物理量之间满足线性关系，其函数形式可写为y=a+bx。现由实验测得一组数据最小二乘法：比较准确，实际中涉及的大多为线性问题，截距a斜率b36（4）最小二乘法假设两个物理量之间满足线性关37371.5.4不确定度1、为什么要引入不确定度？误差概念的局限性一般来说，真值是无法得到的，误差是测量值与真值之差。我们只能通过一定的方法对测量误差进行估计。2、不确定度含义：所谓测量不确定度，是指由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度。实际上是对测量的真值在某个量值范围的一个评定。381.5.4不确定度1、为什么要引入不确定度？误差概区间称为置信区间，P称为置信概率（用百分数表示）含义：被测量的真值以一定的置信概率P落在置信区间内。称为不确定度

3、不确定度的相关概念测量值的最终表示相对不确定度定义为﹪39区间称为置信区间，P称为置信概率4.直接测量结果的不确定度估算404.直接测量结果的不确定度估算401）A类不确定度分量的估算计算表明，在6<n≤10时有限次测量411）A类不确定度分量的估算计算表明，在6<n≤10时有限例：用螺旋测微器测得一钢丝直径D，仪器误差0.004mm，测量前进行零点修正，修正后数据如下：D(mm)1.5161.5191.5141.5131.5231.5172）B类不确定度分量的估算42例：用螺旋测微器测得一钢丝直径D，仪器误差0.004mm5.间接测量结果的不确定度估算间接测量是以直接测量为基础的，则其必然也有误差存在。间接测量是利用已知函数关系式的转换测量。间接测量量：y直接测量量：x1,x2,…,xk函数关系形式为：a)间接测量的平均值435.间接测量结果的不确定度估算间接测量是以直接测量为基础的，b)间接测量的不确定度传递公式全微分先计算y的相对不确定度E，然后再计算比较方便。44b)间接测量的不确定度传递公式全微分先计算y的相对不确定度注意：1.

平均值有效数字位数不要超过测量值的有效数字;2.

不确定度只取一位（仅当首位为1或2时保留两位，相对不确定度保留2位有效数字；3.

不确定度的最后一位数字要和平均值的对齐。45注意：1.平均值有效数字位数不要超过测量值的有效数本章重点误差的分类、原因、特点、消除办法平均误差、标准误差的计算乔文涅法则实验数据的表示方法46本章重点误差的分类、原因、特点、消除办法46第一章误差分析与数据处理1.1测量及其分类直接测量间接测量1）按测量的方式分：2）按测量条件分等精度测量不等精度测量3）按测量过程的状态分静态测量动态测量47第一章误差分析与数据处理1.1测量及其分类直接测量1）按测

直接测量：

凡是使用仪器或量具就可直接得到被测量值的测量；例如：用直尺测量长度；以表计时间；天平称质量；安培表测电流。间接测量：从一个或几个直接测量结果按一定的函数关系计算出来的过程，称为间接测量。hdM1）

直接测量和间接测量48直接测量：凡是使用仪器或量具就可直接得到被测量值的测量；等精度测量：2）等精度测量和非等精度测量在相同的条件下，对某一物理量进行多次测量得到的一组测量值称作等精度测量。相同的条件：指同一时间地点、同一人、相同的测量仪器和测量环境等条件。非等精度测量：在不同测量的条件下，对某一物理量进行多次测量，所得的测量值的精确程度不能认为是相同的，称作非等精度测量。49等精度测量：2）等精度测量和非等精度测量在相同的条件下，对某1.2真值、代表值与误差1.2.1真值指在某一时刻和某一位置的某个物理量客观存在的真实值。严格地讲，真值是无法测得的，只能测得真值的近似值。实际应用中真值是指测量次数无限多时的平均值作为真值。理论真值：理论上证明过的某些已知的固定量值，如三角形之和为180º。约定真值：国际计量组织通过决议规定的某些计量单位的量值，如规定铂铱合金的国际千克原器为1kg的质量单位。光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485为1米。相对真值：高一级标准器（核对仪表）与低一级标准器或一般仪器相比误差小得多，认为前者是后者的相对真值。501.2真值、代表值与误差1.2.1真值理论真值：理论上证明过1.2.2代表值

简单的说，就是通过测量和数据处理，认为能够代表真值的数据。中位值

将所测量的数值按其大小顺序排列，位于正中间的数值叫做中位值。平均值

设x1，x2……xn代表各次观测值，n代表观测次数，则算数平均值：平方平均值（均方根平均值）几何平均值冶金试验中，常用算数平均值作为代表值511.2.2代表值5按误差的数值表达式分（2种）：绝对误差

测量值与真值之差称为绝对误差。相对误差

绝对误差与真值之比值为相对误差。按误差的性质和产生的原因分（4种）：系统误差随机误差1.2.3误差及误差分类任何测量结果都有误差！过失误差缓变误差52按误差的数值表达式分（2种）：绝对误差测量值与真值之差定义：在一定条件下，对同一物理量进行多次测量时，其误差按一定的规律变化，测量结果都大于真值或都小于真值。

并且为其它的物理量（如温度等）的函数，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。产生原因：仪器，理论推导，实验方法，操作，环境等。（1）系统误差天平不等臂仪器53定义：在一定条件下，对同一物理量进行多次测量时，其误差按一定系统误差的分类1）按系统误差产生的原因分设备误差：由于测量仪器、工具的不准确或安装不正确造成的，如仪器的零位不准，空行程、不水平、不垂直、导线的影响等。环境误差：由于测量环境条件变化的影响，如温度、压力、外电磁场的影响。人员误差：由测量人员自身造成的，如读数的偏大、偏小、测量的超前或滞后等。方法误差：由于测量方法不完善，计算公式的近似简化引起的。2）按系统误差的性质分固定误差：测量过程中符号和数值大小都不变，如仪器的零点误差。累进误差：在测量过程中，随某个因素（如时间、长度）而递增或递减，就像用不准确的尺子测量大距离。周期性误差：误差的数值与符号呈周期性的变化，如辊轴偏心等。变化规律复杂的误差：需要用公式或曲线表示其变化规律的误差，如光线示波器振动子的圆弧误差。54系统误差的分类1）按系统误差产生的原因分设备误差：由于测量仪1)将观测值依次排列，如偏差的大小有规则地向一个方向变化，即前面为负号，后面为正号，且符号为（一一一一一十＋＋十＋）或相反（＋十＋＋十一一一一一），则说明该组观测值含有累进的系统误差。如中间有微小波动，则说明有随机误差的影响。发现系统误差的简单方法2)将观测值依次排列，如偏差符号作有规律交替变化，则测量中含有周期性误差。如中间有微小波动，则说明有随机误差的影响。3)在某一测量条件时，测量偏差基本上保持相同符号。当变为另一测量条件时偏差均变号，则表明测量中含有随测量条件改变而变化的固定误差。4)按测量次序，若观测值前半部分偏差之和与后半部分偏差之和的差值明显不为零，则该测量中含有累进误差。5)若测量条件改变前偏差之和与改变后偏差之和的差值显然不为零，则该测量中含有随条件而变化的固定误差。通过观察偏差发现系统误差551)将观测值依次排列，如偏差的大小有规则地向一个方向变化，即定义:在同一条件下，对同一量进行多次测量时，如果没有系统误差，测量结果仍会出现一些无规律的起伏，这种偶然的，不确定的偏离叫做随机误差。

凡是由未被发现和无法控制的因素产生的误差均为随机误差。其特点是数值大小和方向均带有随机性和不定性。产生原因：随机误差是由于人的感官灵敏程度和仪器精密程度有限以及实验中难以确定的因素而引起的。（2）随机误差（偶然误差）温度忽高忽低气流飘忽不定电压漂移起伏56定义:在同一条件下，对同一量进行多次测量时，如果没有系统误①正态性：绝对值小的误差出现的概率高，绝对值大的误差出现的概率低，绝对值很大的误差出现的概率近于零②对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等③有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值有一定的界限，超过此界限的误差概率等于零。④抵偿性：正号的随机误差之和与负号的随机误差之和的绝对值相等，互相抵消。

式中的是一个与实验条件有关的常数，称之为正态分布的标准误差。±是曲线两个拐点的横坐标位置。

随机误差的特征f（δ）δ57①正态性：绝对值小的误差出现的概率高，绝对值大的误差出现的（3）过失误差

是指数值上随时间缓慢变化的误差,一般它是由零部件的老化、机械零件内应力变化引起的。由于它有不平稳随机过程的特点，误差值在单调缓慢变化，因此不能象对系统误差那样引进一次修正量即能校正，又不能象对一般随机误差那样按平稳随机过程的特点来处理，因而常需不断进行校正，测量准确度与对仪器仪表的校正周期有关。（4）缓变误差：它是一种显然与事实不符的误差，主要是由于操作人员的粗心大意、操作错误等引起的。如测量、记录或计算的错误等。此类误差无规律可循，含有过失误差的测量数据只能舍弃不用，无法修正。只要加强操作人员的责任心，过失误差是可以避免的。一般要进行舍弃。58（3）过失误差是指数值上随时间缓慢变化的误差,一般它1.2.4精密度与准确度准确度：指测量结果的正确性，准确度高表示系统误差小精密度：是指在相同的条件下，对同一被测量进行多次重复测量时，测量值的重复程度。说明各测量值之间的重复性或分散程度，它是测量中随机误差大小的反映。精密度表示测量结果的重演程度，精密度高表示随机误差小精确度：是指测量结果与其真值的接近程度。它反映了测量的总误差，是精密度和准确度的综合反映。（a）精密度好（b)准确度好（c）两者都好591.2.4精密度与准确度准确度：指测量结果的正确性，准确度高1.2.5误差的表示与计算（1）绝对误差标准绝对误差σ其中当测量次数无限大时：平均绝对误差δ：对同一物理量进行多次测量时，各次测量值及其绝对误差不会相同，我们将各次测量的绝对误差取绝对值后再求平均值，并称其为平均绝对误差。

δ=（│x1-xo│+│x2-x0│+……+│xn-x0│）/nδ为平均绝对误差；

∆x1、∆x

2、……∆x

n为各次测量的绝对误差601.2.5误差的表示与计算（1）绝对误差标准绝对误差σ其中测量次数有限多次时：设一组观测值的标准误差为，则任一观测值的误差介于的概率为68%的概率为95%的概率为99.7%工程技术测量中常用表示最大可能误差。超过此范围的误差认为是过失误差。方差σ2标准绝对误差的平方即为方差σ2，在数据运算过程中常被使用61测量次数有限多次时：设一组观测值的标准误差为，则任一观算术平均值的标准误差

在同一条件下对同一物理量作多次重复测量，各次所求出的算术平均值并不相同，表明算术平均值相对于客观真值也存在误差。所以计算算术平均值的误差，对于表征测量结果的精密度具有重要意义。算术平均值的标准误差的计算公式：

上式说明，测量值的标准误差σ是算术平均值的标准误差倍。当测量次数n越大，算术平均值越接近真值，测得精度越高。标准绝对误差σ62算术平均值的标准误差在同一条件下对同一物理量作多次重复是指这样一种误差，在一组测定中，误差绝对值大于P的测定值与误差绝对值小于P的测定值各占总测定值的一半。测量次数较多时：P=0.675σ或然误差P（2）相对误差（δ相对、σ相对）实验测得的数值与真实数值之间的差数称为“绝对误差”，而“绝对误差”与“真实数据”的比值称为“相对误差”。

思考题：1-15，1-1663是指这样一种误差，在一组测定中，误差绝对值大于P的测1.3可疑观测值的舍弃工程技术测量中常用表示最大可能误差。超过此范围的误差认为是过失误差。1.3.13σ准则（赖特准则）

根据随机误差的正态分布，误差在士3σ间出现的概率为99.7%，误差在此范围以外出现的概率只有0.3%，即测量300次才能遇上一次。对于通常只测量一、二十次的试验，误差超出士3σ范围的已不属于随机误差，而是过失误差。因此规定：当某一测量值的误差超过士3σ时，则判断为过失误差，应予舍弃。然后重新计算σ值，并重新判断其它剩下的测量值。641.3可疑观测值的舍弃工程技术测量中常用表示最大可某数据与包括这个数据在内的平均值的偏差，大于这组数据或然误差P的k倍时，该数据应该舍弃。1.3.1乔文涅法则65某数据与包括这个数据在内的平均值的偏差，大于这组数据6620课后作业：1-17练习题：67课后作业：1-17练习题：211.4.1平均误差的传递1.4间接误差的传递设有函数N=f(x1,x2,x3……xn)式中，N由x1,x2,x3……xn各直接测量值来确定如果测定x1,x2,x3……xn时的平均误差分别为Δx1……Δxn

，且足够小。则将上面函数全微分并取其绝对值，以消除正负误差对消的的影响，则可得到计算N的平均误差公式：两边取对数再求微分，然后将dx1，dx2……dxn等分别换成Δx1……Δxn

，则可以得到相对平均误差的表达式：681.4.1平均误差的传递1.4间接误差的传递设有函数两边取1.4.2标准误差的传递设有函数N=f(x1,x2,x3……xn)式中，N由x1,x2,x3……xn各直接测量值来确定则间接测量N的标准误差与各直接测量的标准误差的关系为：相对误差传递公式：691.4.2标准误差的传递设有函数相对误差传递公式：2370241.5.1

有效数字的基本概念0.51.01.51.13m准确数欠准确数定义：准确数字加欠准确数字（一般1位）1.5数据处理与测量结果表示711.5.1有效数字的基本概念0.51.01.51.13m1）关于“0”①.当“0”在数字中间或末尾时有效数学上：物理上：②.小数点前面的“0”和紧接小数点后面的“0”不算作有效数字。例如：近似数32.04有四个有效数字3、2、0、4。近似数0.0470有三个有效数字4、7、0。③改变单位，不改变有效数字的位数。如：24.01mL24.0110－3L

721）关于“0”①.当“0”在数字中间或末尾时有效数学上：数据过大或过小时，可以用科学记数法表达。2).数值的科学记数法

在使用近似值时，一般都指明要求精确到某个值或保留多少位有效数字.为了能简便地表示出一个近似数的精确度，我们常常把一个正数写成a×10k的形式.其中1≤a<10，k∈Z，a要写出全部有效数字.例如当看到：x=5.34×10-2，y=5.34×105，z=5.340×105，就知道x，y，z准确值的范围是：0.05335≤x<0.05345，533500≤y≤534500，533950≤z≤534050.

这样记数方法叫做科学记数法.

73数据过大或过小时，可以用科学记数法表达。2).数值的科学记数

某电阻值为20000（欧姆），保留三位有效数字时写成2.00104

又如数据为0.0000325m，使用科学记数法写成3.2510-5m再例如：74某电阻值为20000（欧姆），保留三位有效数字时写1.加减运算

结果的位数取决于绝对误差最大的数据的位数例：0.0121绝对误差：0.00005

25.64

0.005(绝对误差最大）1.0570.000526.70911.5.2有效数字运算规则751.加减运算26.70911.5.2有效数字运算规则22.乘除法：与参与运算的有效数字最少的那个数位数相同3乘方开方：与底的有效数字位数相同4指数、对数、三角函数：由改变量决定。

sin19.580=0.3351227；sin19.590=0.3352871所以sin19.580=0.33515有多个数值参加运算时，在运算中应按有效数字运算规则定的多保留一位，以防止由于多次取舍引入计算误差。但运算最后仍应舍去。6对于公式中的常数π、e等在计算中其有效数字位数一般取比参与运算的各数中有效数字位数最少的还要多一位。有效数字的取舍规则：“四舍六入五凑偶”762.乘除法：与参与运算的有效数字最少的那个数位数相同有表1伏安法测100电阻对应数值表1999/12/2注：电压表量程7.5V精度等级1.0电流表量程50mA精度等级1.01.5.3数据处理方法（1）列表法77表1伏安法测100电阻对应数值表1991.选择合适的坐标分度值I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004.连成图线3.标实验点2.标明坐标轴（2）作图法781.选择合适的坐标分度值I(mA)U(V)8.004.05.标出图线特征I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.006.标出图名A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上A、