控制测量中三角锁推算元素的精度估算

§2.3三角锁推算元素的精度估算在1.1.2小节中已经提到，控制测量工作的第一阶段就是控制网的设计阶段。论述控制网的精度是否能满足需要是技术设计报告的主要内容之一。虽然对于评定控制网的优劣、费用的高低也是一项重要的指标，但是，通常首先考虑的是精度，只有在精度指标满足要求的情况下，才考虑选择费用较低廉的布设方案。本节着重介绍估算三角锁边长精度的方法。近20年来，随着电子计算机的广泛应用，以近代平差理论为基础的控制网优化设计理论获得了迅速地发展。例如，仅在表达控制网质量的指标方面，无论在广度和深度上，均非过去所能比。2.3.1精度估算的目的和方法精度估算的目的是推求控制网中边长、方位角或点位坐标等的中误差，它们都是观测量平差值的函数，统称为推算元素。估算的方法有两种。公式估算法此法是针对某一类网形导出计算某种推算元素(例如最弱边长中误差)的普遍公式。由于这种推算过程通常相当复杂，需经过许多简化才能得出有价值的实用公式，所以得出的结果都是近似的。而对另外一些推算元素，则难以得出有实用意义的公式。公式估算法的好处是，不仅能用于定量地估算精度值，而且能定性地表达出各主要因素对最后精度的影响，从而为网的设计提供有用的参考。推导估算公式的方法以最小二乘法中条件分组平差的精度计算公式为依据，现列出公式如下。设控制网满足下列两组条件方程式av+av+…+av+w=0122nna(I)bv+bv+…+bv+w-022nnbrv+rv+…+rv+w-01122nnr(II)推算元素F是观测元素平差值的函数，其一般形式为F=9(1+v,l+v,…，l+v)式中，1为观测值，P为其权，¥为其相应的改正数：实际上v的数值很小，可将上式iiii按台劳级数展开，并舍去二次以上各项，得到其线性式式中F=F+fv+fv+…+fv01122(I)式中F=F+fv+fv+…+fv01122nn(2-1)根据两组平差的步骤，首先按第一组条件式进行平差，求得第一次改正后的观测值，然后改化第二组条件方程式。设改化后的第二组条件方程式为则F的权倒数为Av+则F的权倒数为Av+Av+•--+Av+w二A=01122Bv+Bv+.•+Bv+W二=01122nnB「1「心Laf12「p1L虬J2「PT1AL]2P1BL「-1P2P~PF—aa]]PI—..,—bb1]P—「AA]]Pi「BB-1P如果平差不是按克吕格分组平差法进行的，（2-2）即全部条件都是第一组，没有第二组条件，则在计算权倒数时应将上式的后两项去掉。（2-3）F的中误差为（2-3）'_Lm=±p,|F式中，日为观测值单位权中误差。程序估算法此法根据控制网略图，利用已有程序在计算机上进行计算。在计算过程中，使程序仅针对所需的推算元素计算精度并输出供使用。通常这些程序所用的平差方法都是间接平差法。设待求推算元素的中误差、权（或权系数）分别为M、P（Q），后者与网形和边角观测值权的比例有关（对边角网而言），不具有随机性。至于单位权中误差目，对验后网平差来说，是由观测值改正数求出的单位权标准差的估值，具有随机性。但对于设计的控制网来说，用于网的精度估算，可取有关规范规定的观测中误差或经验值。这时需要计算的主要是了:或‘‘a，所用程i2.3.2三角锁推算边长的精度估算序最好具有精度估算功能。否则，应加适当修改，以使其自动跳过用观测值改正数计算目的程序段，而直接由用户将指定值赋给日。如此计算出的M即为所需结果。在这种情况下，运行程序开始时应输入由网图量取的方向和边长作为观测值，各观测值的精度也应按设计值给出。输入方式按程序规定进行。2.3.2三角锁推算边长的精度估算单三角形中推算边长的中误差图2-8中，设s为三角形的起算边，s为推算边，A、B、C为角度观测值，于是由s°推算s的函数式为

sinAs-s0sinB单三角形中有下列图形条件A+B+C-180=0按角度平差时，条件方程式的系数为a=+1，a=+1，a=+1s对角度a、B、C的偏导数（各角以弧度为单位）如下8scosAsinAcosA人AdA0sinB0sinBsinAf=-scotB，f=0设角A、B、C为等精度观测，中误差为m，，，代入（2-2）式（去掉后两项）得[ff]=s2(cot2A+cot2B)[af]=s2(cotA一cotBsinAs-s0sinB1=s2（cot2A+cot2B）-1s2（cotA-cotB）2='s2（cot2A+cot2B+cotAcotB）P33s将上式的结果代入（2-3）式，并注意上式在求导数时角度是以弧度为单位的，因而相应的测角中误差也应化成以弧度为单位，即为丈，于是可得P”m"'1m",‘2m="I=\|—s2（cot2A+cot2B+cotAcotB）s写成相对中误差的形式为m=—-（cot2A+cot2B+cotAcotB）（2-4）sp"3过去经常使用边长对数的中误差，为此可利用微分式ds

dlgs=p—s式中，p=0.43429为常用对数的模，将上式换成中误差的形式有（2-5）（2-6）式中的mi是以对数第6位为单位的。于是（2-5）式又可改写为m=m”~\I—(cot2A+cot2B+cotAcotB)（2-6）lgsp"3将上式右端的土虹乘以根号内的cotA和cotB可得■2o。…m,,-m勺-(82+52+55)(2-7)式中H・106cotAP”U•106cotBP”(2-8)5的含义可以这样理解，因为d1gsinA=U'cotAdAP”（以以秒为单位）当办=1"时U，cotAd1gsinA=P"左端为正弦对数每秒的增量，在对数表上即为相应每1”的正弦对数表列值之差，简称为正弦对数每秒表差。若以对数第6位为单位，则上式可写为由此可见若令d1gsinA=U'cotA106=5

p"A5A等于角A的正弦对数每秒表差（以对数第6位为单位）。5A+5B+5A5B=R（2-9）则(2-7)式可写为（2-10）表2-5r=52+8；+%%（以对数第六位为单位）140,J38136134132130*128126124122120,118116114112110*108106104102100c989620°100625.225.425.625.826.126.426.727.027,327.627.928.228.628.929,329.630.030.330.731.131.S31,832.23；2290.820.420,520.720.921.121.32L521.822.022.322.622.923.223.423.824.124.324.625.025・425-726.12(2483.274.267.116.816.917*017.117.217,517.717.918.118.318.618.819.119.319.619.920.120.420.721.02L4212677.168.361.455.914.014.014.114.214.414.514.714.915,115.315.515.715.916,216.416.616.917.217.417.72872.163.556.851.447.01L81L81L912.012.112.212.312.512.712*813.013.213,413.713-914-114.514.614.92D*68.27&68,78.7&88.97.37.47.41.57.66.36.36.46.46.55.45.55.55.518.94.74-74.88.7810,89.88.98.17.46.710.39.38.47.77.06.49.98.98.07.36.66.09.58.S7.76.96.25.713,81,01.1183.53.20.9053.22,92.6022.92,72.42.22.72.42.22-52.22,02.32.01,82.1】.91,62.01.7L51如果已知的不是测角中误差初，，，而是方向中误差r,,（有关方向和方向观测的概念见第三章），则利用关系代入（2-10）式可得■4

m=r-R（2-11）14（2-11）=一RPs3由（2-9）和（2-8）式可知R与三角形的内角有关，亦即与三角形的形状有关。通常将工称为三角形的图形权倒数，也就是以方向的权为单位权，三角形推算边（一般是Plgs指精度最差的边，即最弱边）边长对数的权倒数称为三角形的图形权倒数。关于图形权倒数的这个定义不仅适用于三角形，也适用于下面讲述的大地四边形等其他图形。为了便于计算图形权倒数，已将R列成数表，以角度A,B为引数查取（见表2-5）。三角形的最有利形状以上导出了三角形的图形权倒数公式，并说明了它同三角形的形状有关。由此，我们自然会提出什么样的三角形图形权倒数最小，亦即推算出的边长精度最高的问题。为了便于研究，选取（2-6）式进行分析。图2-9令Q=cot2A+cot2B+cotAcotB。欲使-」最小，亦即m］最小，则应使Q最小。图2-9lgs表面看来这是个多元极值问题，但应注意，A,B,C三个角为三角形的内角，此外由图2-8,从已知边％推求任一边s或s'应使它们精度相等，则应使A=C。于是考虑这两个条件，可写出B=180。—（A+C）=180。—2A因而使Q最小变成了一元极值问题。首先求出1一cot2AcotB=cot(180。—2A)=—cot2A=2cotA将上式代入Q表达式内，得到Q=cot2A+(1—cot2A)2+cotA(1—cot2A)=3cot2A+^tan2A2cotA2cotA44为了求。的极小值，将上式对A取一阶导数，并令其为零，则

=-~cotA-csc2A+—tanAsec2A=0dA22经整理得方程tan4A=3因此A=52。46'=C，B=180。—2A=74。28'这个结果说明，以$0为底边，角度a=C=52。46'的等腰三角形，对推算边长的精度最为有利。然而上述结果只是从推算边长精度最高这一要求得出的。如果用这种等腰三角形布设三角锁，则三角形的边长将越来越短（见图2-9），因而将无法扩展下去。这说明实际布网时不能只从精度考虑，而必须顾及各方面的条件。若按正三角形布网，则不仅点位密度均匀而且正三角形的r值（=4.4）与上述最有利图形（=4.0）也比较接近。因此从两个方面的要求综合考虑，可以认为正三角形是布网的理想图形。三角形锁中推算边长的中误差图2-10代表一段三角形单锁，其中$为起算边，$,$,$,...,$为传距边。在每个三角形中与传距边相对的角为传距角，用A和B表示。三角形中另一个角用C表示，称为间隔角，与之相对的边称为间隔边。'''设三角形单锁是按角度观测和按角度平差的，也就是所有A,B,C,A,B,C,...等角都是等精度独立观测值并按此参加平差。现在导出计算$的边长对数中误差的公式。n图2-10由图2-10可以看出$是由$依次经过第1，第2，…，第n个三角形推算而得的，由于在平差时只是将第/个三角形的角度闭合差平均分配在三个内角a、B、C上，因此平差后只有这三个内角是相关的，而'''不同三角形之间各角是互不相关的。于是每个三角形对推算边长，所产生的误差可以认为是互相独立的。因而根据协因数传播律可知，由起始边$通过各三角形推算最末边$的权倒数将是各三角形图形权倒数之制，即上=4£R（2-12）P3ig$n1图2-10大地四边形和中点多边形推算边长的中误差图2-11在两相邻三角形内加测一条对角线所构成的图形，称为大地四边形，如图2-11、2-12所示。这种图形在工程控制网中应用颇广，例如桥梁三角网，通常就采用一个或几个大地四边形构成。图2-13所示的图形为中点多边形。大地四边形和中点多边形都是构成三角网的主要图形。图2-11、2-12和2-13中的,是已知边，s是推算边。图2-11和2-12两种图形中既含有若干图形条件(前者有3个)又含有一个极条件.因此不易推出边长中误差的普遍公式。图2-11图2-12对于大地四边形，此处只给出两种典型情况的图形权倒数公式。一种是图2-11(a)所示的矩形大地四边形和图2-12(a)所示的菱形大地四边形(由两个等边三角形加测对角线所构成的图形)。按方向平差时它们的图形权倒数如下：矩形大地四边形1=0.75£R(2-13)P矩菱形大地四边形=1.25£R(2-14)，菱式中£R=R+R(见图2-11(b)和图2-12(b)、(c))。在图2-12(a)中，如果不加测长对角线II-W，而按图2-12(b)计算三角形单锁的图形权倒数，则得上=1.33£R(见(2-12)式)。与(2-14)式比较，可见加测长P对角线后，£R前面的系数仅由1.33降低为1.25,这说明图形强度增强很少。但长对角线给观测带来困难，如在平地还须增加觇标高度。由此可见，在两个近似等边的三角形内一般不宜加测长对角线。虽然对于任意角度的大地四边形计算图形权倒数的普遍公式不易求得，但是在实际作业中所选出的大地四边形通常总是介于矩形与菱形大地四边形之间，因此可近似地取(2-13)式和(2-14)式中系数的平均值，作为计算任意角度大地四边形图形权倒数的系数，即—=£R(2-15)P四按上式计算大地四边形权倒数时有两个不同的推算路线(见图2-11(b)和图2-12(c))，应取其中较小的£r。£r较小的那条推算路线又称最佳推算路线。对于中点多边形，现给出三种图形的最弱边边长对数的权倒数如下：中点五边形-=0.75£RP

中点六边形—=0.72ZRP中点七边形—=1.05ZRP图2-13可见采用中点五边形或中点六边形较为有利。实际作业时所选定的中点多边形一般不符合等边情况，因此计算权倒数时常采用近似公式=Zr（2-16）P中用上式计算中点多边形图形权倒数，同样存在两条推算路线（见图2-13（b）和图2-13（c）），应取其中较小的Zr。混合锁段图形权倒数的计算实际作业时，由于受地形条件限制等原因，所选定的三角锁段常常是由几种图形混合组成的三角锁（见图2-14）。估算这种锁段的图形权倒数时，先按下列各式计算出每种图形的图形权倒数：三角形p=；Zr（2-17）大地四边形-1=Zr（2-18）P四中点多边形工=ZR（2-19）P中式中的R根据传距角由表2-5查出。但应注意，对后两种图形应取最佳推算路线求ZR。然后取锁段传算路线上各图形权倒数之和，即为推算边长s的图形权倒数L=Z-1（2-20）pPlgs对图2-14所示的锁段，推算边长s的图形权倒数为1P

lgs4vV"Vvv=一(ZR+ZR+ZR)+Z1P

lgs113111图2-14图2-14应强调的是（2-17）〜（2-19）各式的单位权中误差应为方向中误差「，，，于是最弱边边长对数的中误差为mig$rr”\件mig$rr”\件£R3(2-21)又由（2-5）式可知(2-22)m

ig$(2-22)^•106以上的分析均未顾及起算边边长误差的影响。然而三角网平差后推算边长的精度不仅受水平角观测误差的影响，而且还受起算边边长误差的影响。在独立三角网中，这两种误差影响是彼此无关的、互相独立的。设起算边长相对中误差为尧，其边长对数中b误差为mib，当顾及起算边长误差的影响时，按误差传播定律，（2-21）式应改写为migmig$两端有起算边的三角形单锁最弱传距边边长的中误差建立控制网时，为了提高精度，常在三角锁的两端布设起算边。当锁两端有起算边$和$时，最弱传距边大体上在锁的中央，即$（见图2-15）。12中图2-15图2-15设该锁按角度观测和按角度平差，可设想把全锁分为互相独立、大体相等的两个分段，分界边为$（见图2-15）。由两端起算边$和$分别推算$边长，可以得到两个中12中互相独立的数值s，和S”，然后取其带权平均值。中中(2-24)式中p，、p"分别为s、s中的权，则s中的权为P'+P”。设m、m"分别为s,、s”的中误差，单位权中误差为H2,则有s中s(2-24)式中p，、p"分别为s、s中的权，则s中的权为P'+P”。设m、m"分别为s,、s”的中误差，单位权中误差为H2,则有s中s中中中口2P'=^—，H2=P，m，中s中此外，由于权与误差的平方成反比，故有(2-25)P"m2=s中P'm"2s中（2-26）已知s中的权，再由（2-25）式可写出s中的中误差