考研数学常规基础班辅导讲义高数下

登登 进 万 登路径 与基金联合提供一亿课程补贴珍贵限额放 机会稍纵即学说获取条件与限全程学考研800学+四六级120学超级系统教学与+常规课堂面授教1-预报名，锁定超级补贴名额，立即获得考 全程学习套装考研800学+四六级120学超级系统教学与+常规课堂教 在校学生每省限额补贴1000额补贴600全程学习套装考研800学+四六级120学超级系统教学与+常规网 1获得超级全程学习套装限额特大学费补贴，每人补贴学费1200元以前10002获赠超级考研能量库（标准版超级全程3获赠180学时基础课程与高级学习学4获赠四六级完整课万学海文考研超级套装与其他考研机构课程对 我评万学考研超级全程四六级：120学时924无考研单科：85至130与基金与基金联合提供一亿课程补 珍贵限额放 机会稍纵即 学获得超级全程学习套装限额特大学费补贴，每人补贴学费1200元以获赠超级考研能量库（标准版获赠180学时基础课程与高级学习获赠四六级完整课登 进 万 登路径 学说获取条件与限全程学考研800学+四六级120学超级系统教学与+常规课堂面授教1-预报名，锁定超级补贴名额，立即获得考超级能量库，三天之内补齐余款获取震撼研超级全程学习全程学习套装考研800学+四六级120学超级系统教学与+常规课堂教 在校学生每省限额补贴1000额补贴600 全程学习套装考研800学+四六级120学超级系统教学与+常规网万学海文考研超级套装与其他考研机构课程对 我评万学考研超级全程四六级：120学时924无考研单科：85至130第五章多元函数微分学一、大纲内容与要只数学一的专属内容:方向导数和梯度空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线二二、知识网多元函数二元函数的极限二元函数的连续偏导数的定偏导数与全微

全微分 复合函数求导法分学求导法隐函数求导 二元函数的二阶泰勒公式(数学一要求三、基本内(一)多元函数、极限与连续多元函 二元函数的极,U(P0,意给定的正数，总存在正数PU(P0,f(P)Af(x,y)A

Af(xy当(xyx0y0

(x,y)(x0,y0

f(x,y)A.限存在;PP0P0APP0时f(x,y)A.如f(x,y) x2x4

,

kx趋于点O(0,0)0PO(0,0)时，其二重极限不是0因为当P沿曲线yx2趋于点O(0,0f(x,y)12证明二重极限不存在时，可以找两条路径，当动点P沿这两条不同路径趋于点P0时极二元函数的连续定义设二元函数f(Pf(xyD,P0x0y0DP0D如 (x,y)(x0,y0

f(xyf(x0y0f(xyP0x0y0连续.(二)多元函数偏导数与全微偏导数的定zf(xyM0x0y0yy0x以增量x

f(x0xy0f(x0y0存在，则称此极限为函zf(xy

(xy

f(x,y)limf(x0x,y0)f(x0,y0).类似地可以定义 全微分的定

x x0 如果zf(xy在点(xy的全增量zf(xxyyf(xy可表示为AxByo(),其中A,B不依赖于x,y而仅与x,y有关， (x)2(y)2,则称函数zf(x,y)在点(x,y)可微分，称AxBy为函数zf(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dz，dzAx可微的必要条z如果函数zf(x,y)在(x,y)处可微，则该函数在(x,y)的偏导 x 数zf(x,y)在点M(x,y)处的全微分为dz dx 可微的充分条z如果函数zf(x,y)的偏导 在点(x,y)连续，则函数在该点可微分xdzzduzdv不管uv是中间变量还是自变量都成立，该性质叫全微分形式的不变性 (向导数与梯度(数学一要求方向导设函zfxyP0x0y0的某个邻域内有定义，Px0tcosy0tsin是P的射线l上另一点.若limfx0tcosy0tsinfx0y0 zfxyP0x0y0点沿l方向的方向导数，记为l

x0,y0

limfx0tcos,y0tsinfx0,y0 如果zfxy在点P0x0y0可微分，则函数在该点沿任一方向l的方向导数存在

x0,y

cos

x,

0类似地可得三元函数ufxyz

P0x0,y0z0点沿l方向的方向导数的定义和充

cos

cos

其中cos、coscos是l方向的方向余弦梯义梯度gradfx,y 类似地可定义三元函数ufxyzgradfx0y0z0

i j PP (四) f(x,y)存(x,y)(x,y(五)高阶偏导定2 2zfxy的两个二阶混合偏导数xy及yxDD2(六)多元复合函数求导法则(链式法则

2yxzzuz zz u v uy(七)隐函数的求导公一元隐函 设函数Fx,y在点Px0,y0的某一邻域内具有连续偏导数， xFx0,y00，Fyx0,y00，则方程Fx,y0在点Px0,y0的某一邻域内恒能唯一确 续且具有连续导数的函数yfx，它满足yfx，并有dyFx，其中F xFy是二元函数Fxy分别xy的偏导数

二元隐函数设函数FxyzPx0y0z0的某一邻域内具有连续偏导数，且F(x0y0z00,Fz(x0y0z00Fx,yz0Px0,y0z0的某一邻域内恒能唯一确定续且具有连续偏导数的函数zfxyz0fx0y0，并有zFx，zFy Fx,Fy,Fz是三元函数Fx,y,z分别对中间变量x,y,z的偏导数由方程组所确定的隐函数(数学一、二要求(八)多元函数微分学的几何应用(数学一要求xyz

t若三个函数都可导且不同0，则曲线Mx0,y0,z0处的切线方程x0(t0 xx0yy0zz0，y(t t0 t0 t0 z0(t0法平面方程 xxtyytzz 设曲面的方Fxyz0，M0x0y0z0是曲面上的一个点，并Fxyz的偏导数在M0点连续且不同时为0，则曲面过点M0的切平面方程为 xx0 yy0 zz0 M 00xx0y00(九)多元函数的极值及其求zfxyD，Px0y0D的内点，若P0的某个邻域UP0D，使得对于该邻域内异于P0的任何点xy，都有fxyfx0y0(fxyfx0y0则称函数fx,yPx0y0取得极大(小)值Px0y0称为极大(小)值点.极大、极小值fxx0y00fyx0y00.点x0y0为驻点zfxy在点x0y0的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又fxx0,y00fyx0,y00，令则AC20时具有极值，且A00时有极大(小)值AC20时没有极值AC20是可能有极值，也可能没有极值，需另作D上的最大值与最小值用比较法求.即比较驻点、偏导数不存在但连续的点处的函数值及在D的边界上函数的最大、最小值而得.zfxy，在xy0条件下的(条件)Fx,yfx,yx,解联立方程组Ffx,yx,y0求驻点，再由问题的实际意义确定极(最)值. x,y(十)二元函数的二阶泰勒公式(数学一要求设函zfx,y在点x0,y0的某一邻域内连续且有直到三阶的连续偏导数x0h,y0k为此邻域内任一点 1 f(x0h,y0k)f(x0,y0)hxkyf(x0,y0)2!hxky f(x0,y0) 1 3!hxkyf(x01h,y02k),(01,2

fx,yh hxk

x0,y0

x,y

fx,

h22

022

k22 hxky

x,y

x,y

x,y

0 0 0四、典型题1sinx2y,xy[5.1]f(xy xy

则fx(0,1) [例5.2]二元函数zf(x,y)在点(x0,y0)处存在一阶连续偏导数是它在此点处可微的 ,(x,y)(0,[例5.3]二元函数f(x,y)x2 在点(0,0)处 (x,y)(0, (C)不连续，偏导数存在 x3 2,xy[5.4]f(xyx x2y2(I)证明limf(x,y)不存在 (II)求f(0,0),f(0, [5.5]若u

x

,则 y

[5.6]设uxyz求uuuxy[5.7]zx2y2)xyx2y2z2[例5.8]设zf(x,xy)二阶偏导数连续，则xy 1

2[例5.9]设z f(xy)y(xx

f和

xy [5.10]zcos(uv),ux2y2vx/y求[5.11]zf(xxyx2y2f有一阶连续偏导数，求z[5.12]zf(x2y2exyf

2xy题型三隐函数求导题型三隐函数求导[5.13]若函数usiny3zzz2yxz31xyx1y[5.14]zz(xyF(xzyz0F1F2 证明 [5.15]yg(xzzf(xzxy)0x、ydz[5.16]zz(x,yF(xaz,ybz)0F(uvazbz [5.17]f(xyz)exyz2zz(xyxyzxyz0xf(0,1,1) x[例5.18]设zx33xy2,则它在点(1,0)处 (A)取得极大值 [例5.19]设函数zf(x,y)的全微分为dzxdxydy,则点(0,0)( (A)不是f(x,y)的连续点. (B)不是f(x,y)的极值点.(C)是f(x,y)的极大值点 (D)是f(x,y)的极小值点[5.20]f(xyx22y2ylny[5.21]已知矩形的周长为2p将它绕其一边旋转而成一个旋转体，当此旋转体的体积最大[例5.23]求函数ux2y2z2zx2y2xyz4[例5.24]f(xyx22y2x2

在区D{(xy|x2y24,y0}上的[5.25]若已知平面x2

z2xyz并与zx2y21相切则的方程为 (A)16x8y16z (B)2x3y4z5(C)16x8y16z11 (D)8x3y4z7x2y2z2[例5.26]求曲线 xyz

zyx

2xy

五、经典习zf

x2

(xyxyf有二阶导数，有连续的二阶偏导数，求xy 【答案】4xyex2y2f4xye2(x2y2)fxyx zz(xyF(xzyz0所确定.xzyzzxyf

曲面x3y3z34上任意一点的切平面在坐标轴的截距的平方和为(

xy

2 1ez(1ez)3 3x

之值为 (A)0. (C).

x1,设ux2eyz3,其中zz(x,y)由方程x3y3z33xyz0x1,【答案】5dxu(x,y)在平面闭区域D上具有二阶连续偏导数，且

2u2u

0,u(x,y)的 (A)最大值点和最小值点都必在D的.zx33xy2的极值yx2xy20之间的最短距离74【答案42x22y2z21上求一点,使函数ux2y2z2l【答案】1,1 第六 重积一、大纲内容与要 二、知识网

性质(7条

D直角坐标fxD二 分

极坐标frcosrsinD

(( ))

三、基本内(一)二重积二重积分的定fxyDDn个小闭区域12,n，其中i既表示第i个小区域，也表示它的面积．(i表示它的直径)在每个i上任取n点(i,i)作乘积f(i,i)i(i1, 间的直径中的最大值趋于零时极限

limf,ii存在，则称此极限值为函数0fx,y在区D上的二重积分，记

fxyd，即

fx,yd

fi,ii 0fxyfxyddx,yn几何意义设对于任意(xy)Dfxy0fxydDDzf(x,y)为顶面的曲顶柱体的体积fxyD上连续，则fxydD二重积分的性[f(xyg(xy)]df(xy)dg(xy)d DD1D2，则f(xy)df(xy)df(xy)d Dfxy1D的面积，则dDDfxygxy，则有f(xy)dg(xy)dD D

f(x,

D

f(x,y)dM与mfxyD上最大值M和最小值m，Dmf(x,y)dMD设函fx,y在闭区域D上连续D的面积D上至少存在一点,f(x,y)df,D二重积分的计算D可以用不等式axby1(xyy2x fx,ydbdxy2xfx,y DD可以用不等式cydx1yxx2y fx,ydddyx2yf(x,y D设积分区域D可以用不等式r1(rr2 1f(x,y)ddrf(rcos,rsin)rdr1D利用积分区域D的对称性

若f(x,y)是x(或y)的奇函f(xy)d2f(xy)d,若f(xy)是x(或y) D1Dy(x)轴右(上)边部分 若D关于yx对称， f(x,y)df(y,x)d 二重积分应用(数学一要求设曲面Szf(xy给出，DxySxOyf(xyz z z

,x(x, y(x,x y DD(x, (x,yDD特别地，若(x,y)=常数，则平面图形的形心的坐标为x A

y AD(xy(xyDxy的转动惯IxIyIO分别为Ixy2(xy)dIyx2(xy)dIO(x2y2)(x, xOyD，在点(x,y(x,y)(x,y)F x(x, d,F y(x, d,F z(x, d (x2y2a2 (x2y2a2 (x2y2a2 (二)三重积分(数学一要求三重积分的概设f(x,y,z)是空间闭区域上的有界函数，将任意地分划成n个小区域v1,v2 vn，其中vi表示第i个小区域，也表示它的体积.在每个小区域vi上任取一点(i,i,i)，n乘积f(i,i,i)vi，作和 f(i,i,i)vi，以记这n个小区域直径的最大者，若极nlimf(i,i,i0

存在，则称此极限值为函数fx,y,z)在区域

fx,y,z)dv，即

f(x,y,z)dv=

f(i,i,i

0当f(x,y,z)0，f(x,y,z)dv表示以f(x,y,z)为体密度的空 三重积分的性三重积分的计算若空间闭区域(x,yz|z1(x,yzz2x,y),(x,yDxyDxy(x,y)|axb,y1(x)yy2(x)z2(x,y y2( z(x,y则f(x,y,z)dvdxdyz(x,y)f(x,y,z)dzadxy(x)dyz(x, f(x,y,z)dz1 1 若空间闭区域(xyz|(xyDzczd，其Dz是竖坐标为z的平面截闭dd所得到的一个平面闭区域，则有f(xyz)dvcdzf(xy 若空间闭区域可以用不等式z1(r,)zz2r,r1()rr2),来表示f(x,y,z)dvf(rcos,rsin,z)rdrddzdr2()rdrz2(r,)f(rcos,rsin,z)dz

z(r,若空间闭区域可表示为(r,,|r1(,)rr2(,),1()2(),f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2 d2()sindr2(,)f(rsincos,rsinsin,rcos)r2dr 1(

利用如果xOyyOz,xOz)平面ff(x,y,z)dv2f(x,y,1 1

f(x,y,z)是z(或x,或y)的奇函数f(x,y,z)是z(或x或y)的偶函其中1是xOyyOzxOz)上(前，右)利用达式不变)，则f(xyz)dvfyzx)dvf(zx 三重积分的应设空 的体密度为(x,y,z)，假定(x,y,z)在上连续， x(x,y, y(x,y, z(x,y, x,y,z，其中x ，y ，z

(x,y,

(x,y, 特别地，(x,y,z)=常数，则形心坐标为x ，y ，z 其中V为体积设空 的体密度为(x,y,z)，假定(x,y,z)在上连续，该的对x轴、原IxIOIxy2z2(xyz)dvIO(x2y2z2(xyz)dv 设物体占有空间域，在点(xyz(xyz，M0x0,y0z0其质量为m0，假定(x,y,z)在上连续，则物体对质点的引力为FFxFyFzFxFy

km0(x,y,z)(xx0 (xx)2(yy)2(xx)2(yy)2(zz)23000(xx)2(yy)2(zz)23000Fz

km0(x,y,z)(zz0 dv． (xx)2(yy)2(zz)2 四、典型题[例6.1]设I1 (x2y2)d,I2x2y2

2|xy|d,I3|x||

(x2y2)d,则 |x||(A)I1I2I3 (B)I2I3I1 (C)I3I1I2 (D)I3I2I1[例6.2]设I1 x2y2d,Icos(x2y2)d,Icos(x2y2)2d，其 D(x，y)x2y2≤1，则 (A)I3I2I1 (B)I1I2I3 (C)I2I1I3 (D)I3I1I2的部分，则(xycosxsiny)dxdy D(D1上的积分来表示xayb[例6.4]设D由曲xaybIydxdyD

1(a0,b0xy轴DD域

y2xydxdyDyxy1,x0x2y,1x2,0y[例6.6]f(xy

D:(xy)x2y22xf(x,y)dxdyD[6.7]D{(xy|x2y21x0}ID

1 [6.8]计算二重积分x2y21d其中D{(xy|0x10yD[6.9]D(xy|x2y24,x0,y0f(xD上正值连续函数，abD

d f(x) f(f(x) f((A)ab (B)ab f(x) f(f(x) f( 题型三累次积分交换次序及计算题型三累次积分交换次序及计算 4[例6.10]设函数f(x,y)连续，则1dxxf(x,y)dy1 f(x,y)dx

4 (A)1dx f(x,y)dy.(B)1dx f(x,y)dy.(C)1dy f(x,y)dx.(D)1dyyf(x,y)dx [例6.11]累次积分2dsinf(cos,sin)d可以写成 yy(A)0 f(x,y)dx (B)0

f(x,y)dx(C)0dx0f(x,y)dy f(x,y)dy 2[例6.12]积分0dx xydy的值等 [6.13]ey2dxdyDyxy1y轴所围区域D[6.14]IysinxdV由

xy0z0xzπ x[6.15]设是由曲线y22zzz=4I(x2y2[6.16]zdV，其中x2y2z2zx2y2z22z所确定D

五、经典习xsinyd，其中D由y 和yx围成xy【答案】1(|x|yex2)dD由曲线|x||y|1所围成D2【答案】3Dxyx2y2xD

8 D

x2y2dxdyDxy0yxx2y2【答案 92yyDydxdyDx2,y0,y2yyD【答案】4 26求D

x2y2ydDx2y24和x12y21所围成的平面区域【答案】1639

2dy

yexdx

11dy

yyexyy1 y1 【答案】e xy2z3dV，其中Vzxyyxx1,z0所围成的区域V1【答案 x2y1x2y计算三重积分xzdv，其中x2y1x2y的区域 8

第七 曲线、曲面积分(数学一要求一、大纲内容与要两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林(Green)公式平面曲线积分的关系高斯(Gauss)公式斯托克斯(Stokes)公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积二、知识网

第二类曲线积 （对坐标的曲线积分）

第一类曲面积 “ 曲面的对称性 特殊方 “） 计算方 利用高斯公 通量、散度与旋 弧 物理应用变力沿曲线作功三、基本内(一)对弧长的曲线积分(第一类曲线积分Lxoyf(xyLMiL分成n小段sin取一点(i,isii1,2,3,...,n，作和f(i,i)si，令max{s1

,nn当0时，limf(i,i)sf(xyL上对弧长的曲线积分(

nf(x,y)dslimf(i,i)s0

f(x,y,z)dslimf(i,i,i)s0L(x,y)dsL，其上每一点(x,y(x,y)的平面曲线构(xyz)ds表示占据空间曲线为，其上每一点(xyz的线密度为(xyz的空间LdssL的弧长dss就是空间曲线的弧长.对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关，即f(xy)ds

f(xy)ds，(L表 LL1L2，则Lf(xy)dsLf(xy)dsLf(xy)ds L[f(xyg(xy)]dsLf(xy)dsLg(xy)ds，为常数f(x,y=1，则Lf(xy)dsssL的弧长设在Lf(xyg(xy，则Lf(xy)dsLg(xLf(xy)dsLf(xyds

x设f(x,y)在弧L上有定义且连续，若曲线L的参数方程为y (t)，f(x,y)ds f[(t),(t)]2(t)2(t)dt 其中(t),(t在区间[]上有连续导数，且2(t2(t)f(xyLLyy(x，axbf(x,y)dsbf[x,y(x)]1[y(x)]2dx y(x在区间[ab上有连续导数f(xyLLxxy)，cydf(x,y)dsdf[x(y),y]1[x(y)]2dy f(x,yz在曲线上有定义且连续，若曲线xx(tyy(t)zz(t给出，Lf(x,y,z)ds

f[x(t),y(t), x2(t)y2(t)z2x(ty(tz(t在区间[]x2(ty2(tz2(t)(1)质心坐,,L上连续，则曲线形物体质心坐标为x1x(xy)ds,y1y(xy)ds，其中M(xM(x,y)=x1xdsy

M ydss是弧长(2)转动惯

s s,, Ixy2(x,y)ds,Ix2(x,y)ds,I(x2y2)(x, (二)对面积的曲面积分(第一类曲面积分设曲面是光滑的，f(xyz在上有界，把任意分成n小块，任取(i,i,iSin作乘积f(i,i,i)Si(i12,,n)，再作和f(i,i,i)Si(i1,2,,n)，当各小块面直径的最大值0f(xyz在

f(xyz)dS

f(x,y,z)dS

f(i,i,i)Si

0(x,yz)dS表示占据曲面为，其上每一点(x,yz)(x,yz的曲面构件(xyz=1dSS就是曲面的面积对面积的曲面积分的计算方法(设曲面zz(xy，xOyDxyf(xyz在

f(x,y,z)dS

f[xyz(x dxdy，其中zz(xy11z(x,y)z(x,22xy设曲面形物体在空间占有曲面为，在点(x,yz)(x,yz(x,y在x(x,y, y(x,y, z(x,y,质心坐标为：x ,y ,z M(xyz)dSLxIxy2z2(xyL绕y轴的转动惯量为Iy (x2z2)(x,y,LLzIzy2x2(xyLLIO(x2y2z2(xyL(三)对坐标的曲线积分(第二类曲线积分nLxOyABP(x,y),Q(x,yL上有界.在L上沿L的方向任意一点列Mi1(xi1,yi1)(i1,2,,n)，把L分成n个有向小弧段Mi1Mi(i12,nM0AMnB，设xixixi1yiyiyi1，点(i,inn,线积分(第二类曲线积分)，记作LQ(x,y)dy. P(x,y)dx P(,)x0

Q(x,y)dylimQ(i,i)P(xy),Q(xy)在有向曲Lx,yLP(xy)dxQ(xy)dyLP(xy)dxLQ(x上述定义可以类似的推广到积分弧段为空间有向曲线弧的情形P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,limP(i,i,i)xiQ(i,i,i)yiR(i,i,i)ziLP(xy)dxQ(xy)dyF(x,y)P(x,y)iQ(x,yjL以起P(x,yz)dxQ(x,yz)dyR(x,yz)dz表示变力F(x,yz)P(x,yz)iQ(x,yzjR(x,y沿空间有向曲线弧从起点到终点所做的功.有向曲线弧，L为与L方向相反的曲线. xP(x,y)Q(x,yLL的参数方程为y(t),而且tLP(x,y)dxQ(x,y)dyP(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dtL其中(t，(t在区间[]2(t)+2(t)P(xy，Q(x,yLLyy(xx=x1对应于有向曲线弧的起点，x=x2对应于有向曲线弧的终点，(x1不一定小于x2)，则 P(x,y)dxQ(x,y)dy x2{P[x,y(x)]Q[x, 其中y(x)在区间x1,x2(或x2,x1)上有连续导数P(xy，Q(xyLLxxyy=y1对应于有向曲线弧的起点，y=y2对应于有向曲线弧的终点，(y1不一定小于y2)，则 P(x,y)dxQ(x,y)dy y2{P[x(y),y]x(y)Q[x(y), 其中xy在区间y1,y2(或y2y1])上有连续导数xP(xyz),Q(xyzR(xyz在有向曲线弧上连续，若的参数方程为yz而且t对应于有向曲线弧的起点，t对应于有向曲线弧的终点(则

PdxQdyRdz{P[x(t),y(t),

Q[x(t),y(t),(2)利用格林公式将平面上有向封闭曲线上的曲线积分LPdxQdy化成重积分计算(3)若曲线积分LP(xydxQ(xydy与路径无关，可以改变路径，简化计算.P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyQ(x,y,LP(x,y)dxQ(x,y)dyL[P(x,y)cosQ(x,y)cos其中cos、cosLP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=(PcosQcosRcos其中cos、cos ，cos为有向曲线切向量的方向余弦格林公式及其应DLP(x,y和Q(x,yDLD的取正向的边界曲线，则

PdxQ (QP)dxdy 1特别，若P(x,y)y,Q(x,y)x,则封闭曲线L所围成的闭区域D的面积，S=2L(y)dx设GP(x,y),Q(x,y)在区域G内具有一阶连续偏导数，如果对于G 则称曲线积分LPdxQdy在G内与路径无关若存在区域G内的二元函数u(x,y，使du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy则P(x,y)dxQ(x,y)dy为函数u(x,y的全微分，而函数u(x,y称为P(x,y)dxQ(x,y)dy的u(x,y)可通过下面公式求出 u(xyxP(xy0dxyQ(xy)dyCu(xyyQ(x0y)dyxP(xy)dxC，其中(x0y0为区域 设区域GP(x,y),Q(x,y)在区域G内具有一阶连续偏导数，则下曲线积分LP(xydxQ(xydy与路径无关LPdxQdy0L1是G内任意封闭曲线P(x,y)dxQ(x,y)dy是某一二元函数u(x,y的全微分，即存在u(x,y使du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dyP(x,y)dxQ(x,y)dy0是全微分方程P(x,y)iQ(x,yj是某一二元函数u(x,y的梯度PQ 斯托克斯公设(i是以为边界的分片光滑的有向曲面P(x,yz),Q(x,yz),R(x,yz)在曲面(连同边界)上具有一阶连续偏导数为分段光滑的空间有向闭曲线，且的正方向与PQRP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,PQR(四)对坐标的曲面积分(第二类曲面积分R(x,yz在上有界，把分成n块SiSixOyn(S ，(,,是S上任若各小块曲面直径的最大值0，limR(,,)(Sn

0R(x,yz在x,yR(x,yz)dxdy在有向曲面

)(S) 0P,QyOzzOx曲面积分分别为

i Pdydz=limP(i,i,i)(Si)yz，Qdzdx=limQ(i,i,i)(Si)zx 0 0PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdx

PdydzQdzd

表示流速为v(xyzP(xyz)iQ(xyzjR(xy的流体在单位时间内流向有向曲面指定侧的流体的质量，即流量.1)若12 设表示与相反的侧， 对坐标的曲面积分的计算R(x,yz)在曲面上连续，若有向曲面zz(x,y，曲面xOy面上的投影区DxyR(x,yz)dxdyR[x,yz(x, P(x,yz在曲面上连续，若有向曲面xxyz)，曲面zOy 设Q(xyz在曲面上连续，若有向曲面yy(xz，曲面xOz上的投影区DzxQ(x,y,z在曲面上连续，则Q(x,y,z)dxdzQ[x,y(xz P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,设有向曲面coscoscos是上任一点(x,y,z) 高斯公式及应空间闭区域是由分片光滑的闭曲面P(x,yz)，Q(x,y,z，R(x,y在是coscoscos是(x,yz)(PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy (PQR)dv(PcosQcosRcos 特别地，若P(xyzx,Q(xyzyR(xyzz，则空间闭区域的体积V1xdydzydzdx3通量、散度与旋(1)通 AxyzPxyziQxyzjRxyzkP,QR导数，为场内一片有向曲面，则PdydzQdzdxRdxdy

AxyzPxyziQxyzjRxyzkP,QRPQRA在点(xyz的散度，记divA，即divAPQR

Qx,y,z Rx,y,z

irotAirotARQiPRjQPk z x y P 四、典型题题型一对弧长的曲线积分题型一对弧长的曲线积分(第一类曲线积分 [7.1]L1其周长为a

(2xy3x24y2)ds L[例7.2]设曲线l是圆周x2y21， xds l

x2ds l[7.3]设曲线lx2y22axl

x2y2ds (x2yzy2)ds,其中为球面x2y2z2R2与平面xyz0交线[例7.5]已知曲线L:yx2(0x 2),L

xds 题型二对面积的曲面积分题型二对面积的曲面积分(第一类曲面积分[例7.6]设:x2y2z2a2(z0),1为在第一卦限中的部分，则有 (A)xdS4xdS.(B)ydS4ydS.(C)zdS4zdS.(D)xyzdS4 [例7.7]设曲面{(x,y,z)|x z1,x0,y0,z0}，则(4x3y4z)dS.(xy)dS[例7.8]设曲面:xyz(xy)dSd型三对坐标的曲线积分(第二类曲线积分(12xye)dx(cosyxex2y(12xye)dx(cosyxex2yyl1yx1y xdyydx,其中L是以点(1,0)为中心，R为半径 L4x(R1),取逆时针方向[例7.11]计算I (y2z2)dx(2z2x2)dy(3x2y2)dz,其中L是平面xyzLxy1z轴正向看去，L为逆时针方向[例7.12]设函数f(x)在(,)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a,b)，终点为(c,d)，记I L (II)当abcdI的值[例7.13]设L为正向圆周x2y22在第一象限中的部分，则曲线积分

Lxdy2ydx题型四对坐标的曲面积分题型四对坐标的曲面积分(第二类曲面积分[7.14]设x2y2z21x0,y0,z0 3(x2y21x2y[3(x2y21x2y是

xdydzydzdxzdxdySxf(x)dydzxyf(x)dzdxe2xzdxdy0，f(x在(0,limf(x1f(x.S[7.17]I2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy，其中z1y2z0)的上侧[7.18]1vxz2isinxk，曲面是由曲线y

1z2 x向曲面正侧的流量Q.[例7.19]设r x2y2z2,则 五、经典习x2y2z2R2设空间曲线 xy

则

x2ds 2x 设为椭球面

1P(xyz为P处的面，(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面的距离，求I dS (x,y,

32【答案】h

22求I [exsinyb(xy)]dx(excosyax)dy，其中a,b为正的常数，L为从L2axA(2a,0)沿曲线y 到点O(0,2ax222

((ba)a2x2axdydza2x25I

1(x2y2z2

,其中为下半球面z 的上侧，a【答案】2x2R2x2设是由锥面z 与半球面z 围成的空间区域，是x2R2x2【答案】(22)D{(xy)y0}f(xy具有连续偏导数，且对任意的t0都有f(tx,ty)t2f(x,y证明:D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有Lyf(x,y)dxxf(x,y)dy第八 无穷级数(数学一、三要求一、大纲内容与要常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)数的求法初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数狄利克雷(Dirichlet)定理函数在[l,l]上的傅里叶级数函数在[0,l常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式掌握exsinxcosxln(1x及(1x)的麦克劳林(Maclaurin)展开式，会用它们了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[l,l]级数，会将定义在[0,l上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表了解exsinxcosxln(1x及(1x)的麦克劳林(Maclaurin)二、知识网

k0un与kun有相同收敛

②若unvn收敛,则(unvn 若un收敛，则limun 常数项级数的审敛

数

任意项级数：绝对收敛,

泰勒级数，麦克劳林级数

), 的麦克劳林级数1(数学一 三、基本内(一)数项级基本概定义 设un是一个数列，则称unu1u2u3

nun称为数项级数的或．，Snuku1u2u3 un称为级数的部分和k 定义 若级数un的部分和数列Sn有极限，称级数un收敛，极限值limSnS 为该级数的和;若limSn不存在，则称级数un k为非零常数，则级数kun与un有相同的敛散性 若级数un和nAB，则级数(unn (unn)A如果级数un收敛，则对这个级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变n级数收敛的必要条件:若级数u收敛，则limnn

0 各项为非负un0)的级数un 设Sn是正项级数un的部分和数列 项级数un收敛的充要条件是数列Sn有 设un与n都是正项级数，并设unn(nN0 I)若级数n收敛，则级数un收敛 II)若级数un发散，则级数vn发散 设u与都是正设u与都是正项级数，并设m 或为 n n 为非零常数时，则级数un与n有相同的敛散性 0时，若n收敛，则必有级数un收敛 时，若n发散，则必有级数un发散

n设u是正项级数，若lim ，n n 1)当1时，un收敛 2)当1时，un发散 3)当1时，敛散性不确定

n设unn

1)当1时，un收敛 2)当1时，un发散 3)当1时，敛散性不确定交错级数的定

若级数的各项是正项与负项交错出现，即形如(1)n1u 若交错级数(1n1u

unun1 2)limun0 则交错项级数(1n1u

设un为任意项级数，若级数un收敛，就称级数un绝对收敛;若级数un 而级数un收敛，则称级数un 若级数

收敛，则级数un必收敛(二)设函数un(x)(n1,2,3...)I上有定义，则称u1x)u2xun(xnk )发散域 设un(xIxIS(x)S(x)un(x 立.IS(x)称为函数项级数un(x的和函数幂级数的有关概设a(n0,1, )是一个实数列则形如a(xx)n的函数项级数称为x处的幂 x0时的幂级数为axn，其中常数aaa

,a

0

n阿贝尔定理对幂级数axn有如下的结论n

x

xx对应的级数ax都绝对收敛n

x

nx对应的级数axn都发散n由阿贝尔定理可知，幂级数axnxx 1)当xR时，axn绝对收敛 2)当xR时，axn发散 n

如果幂级数axnx0R0;如果幂级数a(xx)n在( n

R为幂级数axn的收敛半径，开区间(RR叫做幂级数axn的收敛区间n

不缺项设幂级数axn，其系数当nN时a0，且存在极限 n

1敛半径R

0, ,

缺项设幂级数a

其系数有无穷项为0，例如ax,

an

unun(x)

1RxRR 设axnRbxn n

axnbxn(ab)xnRminRR axnbxncxnRminR n n a na bxncxnc待定Rn n a n 幂级数anxnS(xI nnn(axn)(axn)naxn1,x(R,R)nnn x

n0anxdx0anxdx ,xIn f(n)(x f(x 0(xx)nf(x)f(x)(xx) 0(xx)2

f(n)(x x)n

n!0 f(x)x0的泰勒级数f(n)

f(0) nx00 n

xf(0)f(0)x x (0)xn (0)xnf(xx0f(xf(n)(xf(x) 0(xx

nf(k)(x的充分必要条件是在该邻域内f(x)的泰勒公式f(x) 0(xx)kR(x)中的余k k R(xn时的极限为零，即limR(x)n xnn0) ex1xx) e((1)n1x2n1(2n(1)n(2nsinxx ((1)n1x2n(1)nx ((1)n1xnnn1

n

(x(x(xln(1x)x 2 1xx 1

xn

1

1x

(1)n

(1)n (1x1

(1x)1x(1)x2( (n1)xn

( (n1) (1x

f(n)(x00写出f(x)在x处的泰勒级数 0(xx)n，验证limR(x)00

n利用常见的幂级数的和函数(如ex,sinxcosxln(1(三)傅里叶级数(数学一要求周期2l

11

f(x是周期为2l的周期函数，且在[ll1 1 anllf(x)coslxdx(n0,1, )，bnllf(x)sinlxdxn f(x的傅里叶系数;

(an2l2l

xbnsinlxf(x 收敛定

f

(an2l2l

xbnsinlx)f(x是周期为2lf(xa0(acos

sinnx)

f x为f(x) 正弦级数和余弦级

xn

f(x0)f(x

x为f(x)

bsinnxn

nf(x在[l,l]f

an 2l2l定义在[0,l]上的函数的傅里叶级数展 2 f(x)~bn

lxx[0,l，其中bnl0f

xdx，(n1,l 2 f

an2l2l

xx[0,l，其中anl0f(x

xdx,(n0,1,l四、典型题[8.1]

ncos2的敛散性2 2 n1 1[例8.2]设un0n1, 且lim 1，则级数 n

un1 ①若u2n1u2n收敛，则un收敛 ②若un收敛，则 收敛

③若lim 1，则un发散.④若unvn收敛，则un收敛，vn收敛n 题型二幂级数的收敛区间 题型二幂级数的收敛区间[例8.4]求幂级数

n13n 题型三求幂级数的和函数题型三求幂级数的和函数[例8.5]求级数2n1xn1的收敛区间及和函数[8.6]

2n

x2n的收敛域及和函数3n!x3n验证函数yx1 yyyex

xn0题型四函数展开成幂级数题型四函数展开成幂级数(数学一要求[8.8]将函fx

x23x

展开成x1的幂级数，并其收敛区间[8.9]将函fx1ln1x1arctanxxx的幂级数 1 题型五傅里叶级数的收敛定理1,x题型五傅里叶级数的收敛定理 [8.10]fx 1x,0x

.[8.11]fxx2在,上展开成傅里叶级数[例8.12]将函数fx1x20x用余弦函数展开，并求 的和 22[例8.13]设x

cosnxx，则a2 n五、经典习 an为正项级数，下列结论中正确的是 若limnan0，则级数an收敛 若存在非零常数，使得limnan，则级数an发散 若级数a收敛，则limn2a0n

若级数an发散，则存在非零常数，使得limnan

设级 un收敛，则必收敛的级数为 n n (A)1n .(C)u2n1u2n (D)unun1

设幂级数axn3，则幂级数 n

x1n1的收敛区间 n 【答案】(24)

1n1 的收敛域及和函数 n2n【答案】2x2arctanxxln1x2x1,11 5（数一）.f

x将fx展开成x的幂级数，求级 x1

x

【答案】121

x2n，x1,1; 6.求幂级数 1n11 x2n的收敛区间与和函数fx

n2n1 2 2【答案】2xarctanxln11

2，x1,11 7(数一).fxarctan12xx的幂级数，并求级数2n1的和11n4n 11 2n ，x ,;2248(数一).设函fx

x 则其以

0x收敛 22

1x9(数一).将函fx2x1x1展成2为周期的傅里叶级数，求级数

1的和5

2cos2n1x，x1,1;6

2n1 0x1 010(数一).fx0

Sx

cosnxx，其2 1x2

n1a fxcosnxdxn0,1, ，则S5等于 0 01 2

1 2

2 3 (D)3 第九 常微分方一、大纲内容与要努利ul)方程、全微分方程及可用简单的变量代换求解的某些微分方程(仅数学一要求)可降阶的高阶微分方程(仅数学一、二要求数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程(仅数学一、二要求二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉方程仅数学一要求)仅数学三要求)差分方程的通解与特解(仅数学三要求)一阶常系数线性差)).):y(n)f(xyf(xy和yf(y).会解项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程数非齐次线性微分方程).).二、知识 初始条件和 可分离变量方程ypxqy 齐次微分方程yfy 非齐次ypxyQ一阶微分方程一阶常数变易 pxdx p y

Qx dx

全微分方程（数一）P(x,y)dxQ(x,y)dy 微分方程

伯努利微分方程（数一）yp(xyq(xy01 可降阶微分方程y(n)fyf(xy)，令yp,则y (数一、数二 dp fyy)，令

p,则y p dy 差分方

齐次yayby 2二阶常系数线性方程ab 非齐次yaybyfx解的 x2yaxyayf欧拉方程（数一 初始条件和 一阶常系数线性差分方程齐次方程的通 (一)概

三、基本内 ,y(n))0,称为微分方程(二)一阶微分形如:yf(xgy或p(xqy)dxs(xry)dy0的微分方程称为变量可分离先分离变 fg(

dyg(y)

f(x)dx

G(y)F(x)齐次微分方.y(y)的微分方程称为齐次微分方.x作变量代换uy,将齐次微分方程化为变量可分离的微分方程uxu(u)x dx(u) 一阶线性微分方yp(xyq(x的微分方程称为一阶线性微分方程yep(x)dx[q(x)ep(x)dxdx伯努利方程(数学一要求yp(x)yq(x)y01)的微分方程称为伯努利方程全微分方程(数学一要求

QP(xy)dxQ(xy)dy0是全微分方程的充分必要条件是:y u(x,y)(三)二阶线性微分方程解的结1:y1y2yp(xyq(xy0的两个解，则c1y1c2y2也是方程的解2:y1y2yp(xyq(xy0的两个线性无关解，则c1y1c2y2是方程的通解yp(xyq(xyf(x的通解4:y*yp(xyq(xyf(x的解(k1,则y*y*y* yp(xyq(xyf1(xf2x的特解(四)二阶常系数线性微分方ypyqy0特征方程r2prq0ypyqy0相异的实根r1Ycer1xcer2 相同的实根r1Y(cc 共轭复根Yex(ccosxcsin ypyqyf(x) nyxkexQn其中k

0,当r2prq0的根时1,当r2prq0的单根时2,当r2prq0的重根时f(x)ex[Pn(xcosxQm(x)sinxypyqyf(x的特解形式为 y*xkex[R(x)cosxS(x)sinx] 其中lmaxnk0,当

不是特征方程r2prq2

的根时 当i是特征方程rprq0的根注:数学三不要求和与积的形式n阶常系数齐次线性微分方程y(n)py(n1) py k重根(ccx c 二重复根ex[(ccx)cosx(ccx)sin (五)可降阶的微分方程(数学一、二要求y(n)f nf(x)dxdx nf(x)dxdx C2 nyxyxCyf(x,ypyppf(xpg(x,C1yg(x,C1所以原方程的通解yg(x,C1)dxyf(y,令yp，则ydpdpdypdppy dy pdpf(y,p).设其通解为pg(y,C)，即yg(y,C)，所以原方程的通解 dyxC (六)欧拉方程（