§14-条件概率与乘法公式课件

§1.4条件概率乘法公式

一、条件概率二、乘法公式1西南财经大学天府学院§1.4条件概率乘法公式一、条件概率1西南财经大学天府学

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1.条件概率的概念如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率，将此概率记作P(B|A).一般地P(B|A)≠P(B)

2西南财经大学天府学院在解决许多概率问题时，往往需要在P(B)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，

A={掷出偶数点}，P(B|A)=？掷骰子已知事件A发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是A

P(B|A)=1/3.

A中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集B中.容易看到P(B|A)于是B={掷出2点}，3西南财经大学天府学院P(B)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出偶数点P(B)=3/10，又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记

A={取到正品},B={取到一等品}P(B|A)则4西南财经大学天府学院P(B)=3/10，又如，10件产品中有7件P(B)=3/10，

A={取到正品}P(B|A)=3/7本例中，计算P(B)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.B={取到一等品}，计算P(B|A)时，这个前提条件未变，只是加上“事件A已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.5西南财经大学天府学院P(B)=3/10，A={取到正品}P(B|A)=3/

若事件A已发生,则为使B也发生,试验结果必须是既在A中又在B中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道A已发生,故A变成了新的样本空间,于是有(1).设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称

(1)2.条件概率的定义为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.6西南财经大学天府学院若事件A已发生,则为使B也发生,

2)从加入条件后改变了的情况去算3.条件概率的计算1)用定义计算:P(A)>0掷骰子例：A={掷出偶数点}

B={掷出2

点}，

P(B|A）=A发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中B所含样本点个数7西南财经大学天府学院2)从加入条件后改变了的情况去算3.条件概率的计条件概率也是概率,故具有概率的性质：

非负性

正则性

可列可加性

8西南财经大学天府学院条件概率也是概率,故具有概率的性质：非负性正则例1

掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1解法2解设A={第一颗掷出6点}B={掷出点数之和不小于10}应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算9西南财经大学天府学院例1掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不例2

一批产品100件，有80件正品，20件次品，其中甲生产的为60件，有50件正品，10件次品，余下的40件均由乙生产。现从该批产品中任取一件，记A=“正品”，B=“甲生产的产品”，写出概率P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B)10西南财经大学天府学院例2一批产品100件，有80件正品，20件次品，其

例3

设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B|A).11西南财经大学天府学院例3设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，例4

在10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽样，每次一个，抽取两次，求①两次都取到次品的概率；②第二次才取到次品的概率；③已知第一次取到次品，计算第二次又取到次品的概率。若改为有放回抽样呢？

（3）P（B|A）=2/9=P（AB）/P（A)=(1/15)/(3/10)解：设A={第一次取到次品}，B={第二次取到次品}，

（1）P（AB）=(3×2)/(10×9)=1/1512西南财经大学天府学院例4在10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽样，每次例5、一盒中装有5件产品，其中3件一等品，2件二等品，从中取产品两次，每次取一件，作不放回抽样。设事件A=“第一次取到一等品”，B=“第二次取到一等品”，求P（B|A）。

解：P（B|A）=2/9=P（AB）/P（A)=(1/15)/(3/10)例6设试验E为投掷一颗骰子，事件A表示“奇数点”，B表示“点数大于1”，计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).13西南财经大学天府学院例5、一盒中装有5件产品，其中3件一等品，2件二等品，由条件概率的定义：即若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(2)二、乘法公式若已知P(A),P(B|A)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有若

P(B)>0,则P(BA)=P(B)P(A|B)(3)

(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率14西南财经大学天府学院由条件概率的定义：即若P(A)>0,则P(AB)注意P(AB)与P(B|A)的区别！请看下面的例子15西南财经大学天府学院注意P(AB)与P(B|A)的区别！请看下面的例子15西

例1

甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB).甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产300个乙厂生产设A={零件是乙厂生产},B={是标准件}16西南财经大学天府学院例1甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300所求为P(AB).设A={零件是乙厂生产}B={是标准件}若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”求的是P(B|A).A发生,在P(AB)中作为结果;在P(B|A)中作为条件.甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产300个乙厂生产17西南财经大学天府学院所求为P(AB).设A={零件是乙厂生产}B={是标准件}条件概率P(B|A)与P(B)的区别

每一个随机试验都是在一定条件下进行的,设B是随机试验的一个事件，则P(B)是在该试验条件下事件B发生的可能性大小.P(B)与P(B|A)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.

而条件概率P(B|A)是在原条件下又添加“A发生”这个条件时B发生的可能性大小,即P(B|A)仍是概率.18西南财经大学天府学院条件概率P(B|A)与P(B)的区别每一个随机19西南财经大学天府学院19西南财经大学天府学院例2

假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是0.2；若乙机未被击落，进行还击击落甲机的概率为0.3；若甲机亦未被击落，再次进攻，击落乙机的概率是0.4，分别计算这几个回合中甲、乙被击落的概率。关键：应用乘法公式，概率的加法公式解：设A={乙机被击落}，B={甲机被击落}，A1={乙第一次被击落}，A2={乙机第二次被击落}，由题意得：A1，A2互不相容，且依题意，有20西南财经大学天府学院例2假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落关键：应用乘法公由条件概率公式，可得从而由概率可加性21西南财经大学天府学院由条件概率公式，可得从而由概率可加性21西南财经大学天府学院例3

一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.

入场券5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？

“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”乘法公式应用举例22西南财经大学天府学院例3一场精彩的足球赛将要举行,5个入场5张同样的卡片,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”23西南财经大学天府学院到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每

我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”

i＝1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，则表示“第i个人未抽到入场券”24西南财经大学天府学院我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”显然，P(A1)=1因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，由于由乘法公式

P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5计算得：25西南财经大学天府学院因为若第2个人抽到也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人这就是有关抽签顺序问题的正确解答.同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，26西南财经大学天府学院这就是有关抽签顺序问题的正确解答.27西南财经大学天府学院27西南财经大学天府学院28西南财经大学天府学院28西南财经大学天府学院29西南财经大学天府学院29西南财经大学天府学院30西南财经大学天府学院30西南财经大学天府学院一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.

（波里亚罐子模型）b个白球,r个红球31西南财经大学天府学院一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球.

”

b个白球,r个红球随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.解设Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是红球}，j=1,2,3,432西南财经大学天府学院于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白用乘法公式容易求出当c>0时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)33西南财经大学天府学院用乘法公式容易求出当c>0时，由于每四、小结这一节，我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握.另外还介绍了事件独立性的概念.不难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分简单，因而也就特别重要和有用.如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化.34西南财经大学天府学院四、小结这一节，我们介绍了条件概率的概念，§1.4条件概率乘法公式

一、条件概率二、乘法公式35西南财经大学天府学院§1.4条件概率乘法公式一、条件概率1西南财经大学天府学

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1.条件概率的概念如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率，将此概率记作P(B|A).一般地P(B|A)≠P(B)

36西南财经大学天府学院在解决许多概率问题时，往往需要在P(B)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，

A={掷出偶数点}，P(B|A)=？掷骰子已知事件A发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是A

P(B|A)=1/3.

A中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集B中.容易看到P(B|A)于是B={掷出2点}，37西南财经大学天府学院P(B)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出偶数点P(B)=3/10，又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记

A={取到正品},B={取到一等品}P(B|A)则38西南财经大学天府学院P(B)=3/10，又如，10件产品中有7件P(B)=3/10，

A={取到正品}P(B|A)=3/7本例中，计算P(B)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.B={取到一等品}，计算P(B|A)时，这个前提条件未变，只是加上“事件A已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.39西南财经大学天府学院P(B)=3/10，A={取到正品}P(B|A)=3/

若事件A已发生,则为使B也发生,试验结果必须是既在A中又在B中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道A已发生,故A变成了新的样本空间,于是有(1).设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称

(1)2.条件概率的定义为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.40西南财经大学天府学院若事件A已发生,则为使B也发生,

2)从加入条件后改变了的情况去算3.条件概率的计算1)用定义计算:P(A)>0掷骰子例：A={掷出偶数点}

B={掷出2

点}，

P(B|A）=A发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中B所含样本点个数41西南财经大学天府学院2)从加入条件后改变了的情况去算3.条件概率的计条件概率也是概率,故具有概率的性质：

非负性

正则性

可列可加性

42西南财经大学天府学院条件概率也是概率,故具有概率的性质：非负性正则例1

掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1解法2解设A={第一颗掷出6点}B={掷出点数之和不小于10}应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算43西南财经大学天府学院例1掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不例2

一批产品100件，有80件正品，20件次品，其中甲生产的为60件，有50件正品，10件次品，余下的40件均由乙生产。现从该批产品中任取一件，记A=“正品”，B=“甲生产的产品”，写出概率P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B)44西南财经大学天府学院例2一批产品100件，有80件正品，20件次品，其

例3

设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B|A).45西南财经大学天府学院例3设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，例4

在10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽样，每次一个，抽取两次，求①两次都取到次品的概率；②第二次才取到次品的概率；③已知第一次取到次品，计算第二次又取到次品的概率。若改为有放回抽样呢？

（3）P（B|A）=2/9=P（AB）/P（A)=(1/15)/(3/10)解：设A={第一次取到次品}，B={第二次取到次品}，

（1）P（AB）=(3×2)/(10×9)=1/1546西南财经大学天府学院例4在10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽样，每次例5、一盒中装有5件产品，其中3件一等品，2件二等品，从中取产品两次，每次取一件，作不放回抽样。设事件A=“第一次取到一等品”，B=“第二次取到一等品”，求P（B|A）。

解：P（B|A）=2/9=P（AB）/P（A)=(1/15)/(3/10)例6设试验E为投掷一颗骰子，事件A表示“奇数点”，B表示“点数大于1”，计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).47西南财经大学天府学院例5、一盒中装有5件产品，其中3件一等品，2件二等品，由条件概率的定义：即若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(2)二、乘法公式若已知P(A),P(B|A)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有若

P(B)>0,则P(BA)=P(B)P(A|B)(3)

(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率48西南财经大学天府学院由条件概率的定义：即若P(A)>0,则P(AB)注意P(AB)与P(B|A)的区别！请看下面的例子49西南财经大学天府学院注意P(AB)与P(B|A)的区别！请看下面的例子15西

例1

甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB).甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产300个乙厂生产设A={零件是乙厂生产},B={是标准件}50西南财经大学天府学院例1甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300所求为P(AB).设A={零件是乙厂生产}B={是标准件}若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”求的是P(B|A).A发生,在P(AB)中作为结果;在P(B|A)中作为条件.甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产300个乙厂生产51西南财经大学天府学院所求为P(AB).设A={零件是乙厂生产}B={是标准件}条件概率P(B|A)与P(B)的区别

每一个随机试验都是在一定条件下进行的,设B是随机试验的一个事件，则P(B)是在该试验条件下事件B发生的可能性大小.P(B)与P(B|A)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.

而条件概率P(B|A)是在原条件下又添加“A发生”这个条件时B发生的可能性大小,即P(B|A)仍是概率.52西南财经大学天府学院条件概率P(B|A)与P(B)的区别每一个随机53西南财经大学天府学院19西南财经大学天府学院例2

假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是0.2；若乙机未被击落，进行还击击落甲机的概率为0.3；若甲机亦未被击落，再次进攻，击落乙机的概率是0.4，分别计算这几个回合中甲、乙被击落的概率。关键：应用乘法公式，概率的加法公式解：设A={乙机被击落}，B={甲机被击落}，A1={乙第一次被击落}，A2={乙机第二次被击落}，由题意得：A1，A2互不相容，且依题意，有54西南财经大学天府学院例2假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落关键：应用乘法公由条件概率公式，可得从而由概率可加性55西南财经大学天府学院由条件概率公式，可得从而由概率可加性21西南财经大学天府学院例3

一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.

入场券5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？

“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”乘法公式应用举例56西南财经大学天府学院例3一场精彩的足球赛将要举行,5个入场5张同样的卡片,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”57西南财经大学天府学院到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每

我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”

i＝1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，则表示“第i个人未抽到入场券”58西南财经大学天府学院我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”显然，P(A1)=1因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，由于由乘法公式

P(A2)=(4/5)(1/4)=1/