2020年高考数学一轮总复习三角函数、三角形、平面向量专题07三角化简的技巧与方法文(含解析)

专三化的巧方一、本专题要特别小心：角的范围问题角的一致性问题三角化简形式、名称、角的一致原则角成倍角的余弦之积问题“”妙用辅助角的替换作用角的范围对函数性质的影响用已知角表示未知角问题二．方法总结：三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“两边到中间”去具体操.证明三角函数式恒等式，首先观察条件与结论的差异，从解决差异入手，确定从结论开始，通变换将已知表达式代入得出结论，或变换已知条件得出结论，常用消去法.三【题型方法】（一）用已知角表示未知角1年全国卷II文）知

，则__________．【答案】.【解析，解方程得.练习1．已知角α的顶点与原点O重合始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（（Ⅰ）求（+）值

（Ⅱ）若角β满sinα+β）

，求cosβ的值．【答案））

或.【解析）角的边过点

得，所以

.（Ⅱ）由角的边过点

得

，由

得

.由

得

，所以

或

.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函(2)给值求值：关键是找出已知与待求式之间的联系及函数的差.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目.练习2．已知

为锐角，

，）

的值）求

的值．【答案）

）【解析）因为

，，所以．因为

，所以

，因此，

．（）为

为锐角，所以

．又因为

，所以

，因此

．因为，以，因此，

．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂(3)变式：根据式子的结构特征行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”.练习3．已知

的内角

满足，

的最大值为_____．【答案】【解析】

的内角

满足

且

即为钝角，

，又

，，即，当且仅当

时，取等号，故

的最大值为，答案为.（二”变通例2.已知f(x)＝sin

x－2sin·sin.若tanα2，求f(α)值；若x∈，求f(x)的取值范围【答案）；（）.【解析】＝(sinx＋xcosx)＋2sin＝＋sin2x＋sin＝＋(sin2x－cos2x)＋cos2x＝(sin＋cos2x)＋.

·cos由tanα＝2，得sinα＝cos2＝＝

＝＝－

＝.所以f(α)(sinα＋cos2)＋＝(2)由1)得f(x)＝(sin＋cos2x)＝sin＋由x∈

，得≤2x＋≤

.∴－≤sin

≤1，0≤f(x)≤

，所以f(x)的取值范围是

.练习1.已知

，则

（）A．【答案】

B．

C．D．【解析】

，故选。（三）降幂公式的灵活应用例3.已知数

.（）函数

的单调递增区间；（）函数【答案）【解析）

在

上的零点；（）.令

，得

，∴函数

的单调递增区间为

.（）

，得：

.∴

，∴

，∵

，∴

，即函数

在

上的零点是.练习1.cos75°-sin75°的值为（）A．B．C．D．【答案】【解析】由题意，可知．故选：．练习2.已知f(x)=

sin(x+

)cos(x+

cos2(x+

)-

(|),若f(0)=,a=f(),b=f(-（（）A．a<c<b．a<b<cC．．c<b<a【答案】【解析】．由题意得∵，∴，∴

，解得0

．∴，∴

，，∴

．选B．（四）特殊角的替换作用例4.．．．【答案】【解析】原式故选:D.练习1.

（）

C．D．A．B．

C．D．1【答案】【解析】由题意可得：.练习2.【答案】【解析】原式＝sin50°＝2sin50°·

的值＝sin50°·＝2sin50°·

＝（五）辅助角公式的灵活应用例5.，若论取值对是恒成立，则的取范围是（）．．C．．【答案】

任意

总【解析】∵

，∴

；对

任意

总是恒成立，即

恒成立；等价于

在

恒成立，即

对任意

恒成立，设，，∵，，∴

，∴，故选D.

，点睛本题主要考查了三角函数性质数恒成立问题等函数的综合应用度较大于论取值，对

任意

总是恒成立于角函数

的最大值需通过三角运算公式将其化简为

，最后利用分离参数的思想求参数的取值范围练习1.．已

，则

m

______．【答案】3【解析】由

得：整理得：m本题正确结果：3练习2.【答案】32.【解析】因为

__________．所以故答案为：（六）

sinxcosx与sinxcosx

的关系例6.(1)已

，，求的；(2)已知，，

sin

513

，求tan

的值.【答案））【解析】试题分析）根据的值即可，因此可以考虑将已知等式

结合已知条件可知，只需求得两边平方，得到，从而

，再由

0

可知，从而

）知条件中给出了

与

的三角函数值，结合问题，考虑到

，因此考虑采用两角和的正切公式进行求解，利用同角三角函数的基本关系，结合已条件中给出角范围

易得a

，，进而求得.试题解析）∵，∴，3分∴

，4分又∵

0sin

，

，∴，∴

；7分（）

0

2

且

sin

513

，∴

，，9∵，，又∵，，，，11分∴.练习1.若是角形的最小内角则函数

的最小值是（）A．

B．C．D．【答案】【解析试题分析因为三形最小内角以设则，，所以，，当

时，函数单调递减，所以当练习2.已知（）的值；

时，函数取得最小值，最小值为．

。（）【答案）

，求）.

的值．【解析）∵∴

，，即，∴

；（）

，又∵，∴则（七）角的一致性例7.已知数

，，．

有且仅有一个零.（）

的值；（）

，求

的值.【答案）【解析）函数所以

.(2).有且仅有一个零点等价于关于的程有两个相等的实数根.，即整理得（）为

，即

.所以

，解得

，又

，所以由（1）得

，且

，所以

，所以由

，

，知故

.练习1.（）简：

．（）、为角，且

，

，求

的值．【答案）【解析】

）

．试题分析公式及同三角函数关系式将其化、为角

，可知，

也为锐角．根据同角三角函数关系式求得的值．由两角和差公式可求得

．试题解析：解）．（）为、为锐角，且，

，所以

，∴

．（八）三角化简与数列综合例8.已知列

n

项和为，足

（a,

为常数

a

2

，设函数，记

y

，则数列

的前17项和为（）A．

172

B．

C．11D．17【答案】【解析】因为

，由，

，数列

n

列，.则数列

项和

.故选：．练习1.设等数列

满足：

公若当且仅当

时，数列

的前项取最大值，则首项的取值范围是A．B．C．．【答案】【解析】由，得，则，由对称轴方程为由题意当且仅当

，，时，数列，解得

，的前n项取最大值，，首项的取值范围是故选：

.练习2.设等差数列

n

，公差

d

，若当且仅当9，数列

n

项和S取得最大值，则首项的值范围________.1a8a8【答案】【解析】,数列

n

列所以

，，所以有，而

d

，所以

，因此

，对称轴为：

由题意可知：当且仅当9

时，数列

n

项和

取得最大值，所以，得（九）向量与三角函数综合

9，因此首项的取值范围是

.例9.已知是角三角形A．B．C．【答案】

的外接圆的圆心，且D．不能确定

，若，（）【解析】设外接圆半径为，

,可化为

，可知

与

的夹角为，

与

的夹角为，与

的夹角为，

，对与

左右分别与

作数量积，可得：，即

，，，即，故选A.

，

，且，练习1.如图已知

是半径为

，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，

是扇形的内接矩形，其中在线段

上，

在线段

上，记

为,若求【答案）

的周长为，的最大值，并求此时值）

的值；【解析】试题分析）由条件利用直角三角形中的边角关系求出三角形的周长，利用三角函数的倍角公进行化简进行求解）结合向量的数积公式，结合三角函数的带动下进行求.试题解析）由，平方得，即，解得（）或，则

，，.（）

，得∴

，，则

,，∵

，∴

，∴当

，即

时，

有最大值.（十）三角换元例10.如果

上任意一点

都能使

成立，那么实数的取范围是A．

B．

C．

D．【答案】【解析】设圆上任意一点的标为，即，，即

，又

，得到，则

，故选C.【方法点晴】本题主要考查圆的参数方程、利用辅助角公式求最值以及不等式恒成立问题，属难求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题后根据配方法换法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解