中学数学高级教师评审面试答辨试题1

中学高教师评审面答辨试下面是些参与过中数学高教师评选答的老师过回记，得的中学级教师评选辩中评老师询问参老师的题，并总结一些答。希望对即参评中数学高级教的老师有所助。初中及学：1.2011版课程标准与老课程标有什区别？一“程本念的改．“人有值数，人得需数，同人数学得不的展改为人都获得好数教，同人数上到同发。．“学习和数教”条并一“学动，体阐数教活的征二“计路的改．“与数图形几统计与率综合实”四方的程容了确阐。．“能”变“能：原培学“分和决题力的础，增了养学“现提问的力．善一具目的述比对学习，确出学生成认勤、立考合交、思疑学习。．规了程标若术语并学目中用些语1分解因式最基本的方法是什么？你如何讲分解因式这一问题的。“课程内容名“内容标准修改“实施建议”的修改实例的修改1七、增加了附录2分解因式最基本的方法是什么？你如何讲分解因式这一问题的。因式分解是多项式的一种恒等变形是把多项式转化成为几个整式的乘积的形式整式的乘法是相反的运算。因式分解的方法很多用的也是课标规定要掌握的主要是两种：①公因式法；②、运用公式法。用提公因式法分解因式时先要理解公因式的概念所谓公因式指的是多项式中各项都含有的相同的因式公因式包括系数和字母两部分其中系数是多项式各项系数的最大公约数字母是各项中都含有的字母，字母的指数取各项中最低的次数。例如，多项式4X2y3-6xy2+2x2y的公因式应该是2xy，当然也可以是-2xy。值得注意的是，当提取的公因式前面带“－”时，则放到括号里的每一项都要改变符号。要求学生掌握下面两个公式1平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b22完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2、(a-b)2=a-2ab+b2。不过在进行因式分解时，则是将这些公式反过来使用平方差公式变形为2-b＝(a+b)(a-b)完全平方公式变形为+2ab+b2=(a-b)2、a2-2ab+b2=(a+b)在运用平方差公式分解因式时多项式应具备三个特点1必须是二项式2每一项（不含符号）都必须是一个单项式（或多项式）的平方；两项的符号相反。而运用完全平方公式分解因式时，多项式也应具备三个特点1、必须是三项式2、其中平方项符号相同第三项必须是平方项的底数的积的2倍。3教材中没有“十字相乘法对此有何看法。在教学分解因式中以前的教材都将十字相乘法列为必学内容为日后的解一元二次方打下基础，同时我个人认为这个内容对领略数学的变化美很有好处，具有一定的承上启下的作用但新教材却对这些内容不作处理，淡化了这个知识点。同时在同样的北师大版本的资料中有些问题却需要利用这个知识点来解决方能使解题过程简化，不知各位同仁对这个问题如何处理？2我采取的策略是对部分基础较好的同学介绍了这个知识点当然主要是侧重于如何运用这种方法，也不是很深入，权作丰富课外知识吧。4解方程：

x

x解:(x3x)2x(1)(xx2

x1)(2

2

∴x0

∴x

5圆是中学数学重点内容，你如何给学生讲弦切角等于同弧所对圆心角的度数的一半做过切点的直径连接弦和这条直径的另一端先说明直径所对的圆周角是直角然后直径和弦所在的直角三角形的两个锐角就互补后过切点的直径垂直于切线弦和切线把这个直角分成两部分其中有一个是上面那个直角三角形的一个锐角然后用等式性质减去重复的部分剩下的就是弦切角和所夹的弧所对的圆周角相等了。6试说明垂径定理，相交弦定理，圆幂定理的关系垂径定理及其推论是指条弦①在“过圆心垂直于另一条弦平分这另一条弦④“平分这另一条弦所对的劣弧⑤“平分这另一条弦所对的优弧

的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制理性的记忆，不但简化了对它实际代表10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等角相等垂直关系等的重要依据相交弦定理切割线定理及其推论统称为幂定理，圆幂定理是圆和相似三角形结合的产物几个定理可统一记忆成一个定理过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点内分或外分）成两线段长的积相至于切线可看作是两条交点重合的割线们都是研究过圆内或圆外作圆的两条线段，则这两条线段被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段的关系。37有理数运算中去括号是学生易错的地方，你在教学中如何突破这一难点。有理数运算中去括号是学生易错的地方作为教师我们在面对学生犯错的时候如何减少学生在有理数运算中去括号的错误，应该是有理数教学的一项重要任务。例如6）×（—4）—（—32）÷（8—3。如果我们在课时认真分析，预测学生在计算中去括号可能会出现的问题有哪些？为什么会出现这些问题？如何避免这些问题？在教学过程中，通过一两个典型的例题，让学生暴露错误，师生共同分析出错的原因生就能从反面经验教训，迅速从错误中走出来而增强辨别错误的能力，同时提高了分析问题和解决问题的能力因此，要想少出错教学中教师就应该一积极主动的态度对待错误和失败课时可适当从学生去括号易错的思路去构思堂上应加强去括号典型例习题的分析学生充分暴露错误的思维过程使学生在纠正错误的过程中掌握正确的思维方法。8试说明“除以一个数等于乘以这个数的倒数”的数学原理，35如：4531根据分数意义进行诠释命题。如4一半是多少？显然可以这样解2也可以这样解114，由于两者的结果是相等的，因此我们得42=4，由此也就得出了除以一个数02外）等于乘以这个数的倒数。9根据分数与除法的关系以及除法的运算定律诠释命题。3如：4由此也得出了除以一个（外）53等于乘以这个数的倒数。以上两种方法属于不完全归纳法要想真正证明此命题或许需要用到初等数论甚至高等数论的知识。10数学中有无对乘法运算不满足结合律的运算，aa如有试举例说明.如没有41111说明为什么？解：数学中有对乘法运算不满足结合律的运算如a，因为a表示c共线的向量，而表示与a共线的向量，一般情况a不共线。11一元二次方程的求根公式是初中数学的重点内容你是如何推20(a的求根公式的。解:ax2

a(

2

bbx)2)()aa2a

22ac()a(x

b2ac)a2当

ac时方程有根所ax

2

0(a0)的求根公式是x2a12韦达定理）根与系数的关ax2ac，这一定理还成立吗？

2

bcaxx，若aa答:不成立。13用“二分法求方程的近似解”所包含的数学思想方法有哪些？试给予说明。解：二法：对于在区[a]连续不断，且满足(a)·f(b)0的函数f(x)，通过不断地把函数(x)的零点在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法用“二分法求方程的近似解”所包含的数学想方法有:借助计算器二分法求方程的近似解会函数的零点与方程根之间的联系形成用函数观点处理问题的意识。体会数学逼近过程感受精确与近似的相对统一总结“用二分法求函数零点的步骤

中渗透算法的思想为学生后续学习算法内容埋下伏笔科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶所以在“阅读与思考5

中介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献。二分法包含函数与方程思想、数形结合思想、算法思想14在教学中你是怎样突出几何直观的。随《普通高中数学课程标准提出培养和发展学生的几何直观能力几何直观成为数学教育中的一个关注问题几何通常被喻为心智的磨刀石几何在数学研究中起着其实络理解、甚至提供方法的作用而几何直观具有发现功能同时也是理解数学的有效渠道数学家依赖直观来推动对数学的思考学教育家们依赖直观来加强对数学的理解推动了数学和科学的发展。在教学中突出几何直观，借助于几何直观、几何解释，能启迪思路可以帮助学生理解和接受抽象的内容和方法抽象观念形式化语言的直观背景和几何形象为学生创造了一个自己主动思考的机会，揭示经验的策略创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手过自主探索发现和再创造经历反思性循环体验和感受数学发现的过程使学生从非形式化的算法的、直觉相互作用与矛盾中形成数学观借助几何直观揭示研究对象的性质和关系使思维很容易转向更高级更抽象的空间形式使学生体验数学创造性工作历程能够开发学生的创造激情形成良好的思维品质几何直观已经成为数学界和数学教育界关注的问题那么如何培养学生几何直观能力、如何更好地发挥几何直观性的教学价值，是每个数学教育工作者都应该深思的问题。15中考题，请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个菱形且菱形的四个顶点都在矩形边上，写出你的作法。答:过矩形对角线的交点作两条互相垂直的直线与矩形的四条边分别相交顺次连结这四个交点所组成的四边形就是菱形。16几何中的平移变换，在代数中可以用哪些运算实现，举例说明。解：可以用向量运算来实现。6点平移时，给定平移向量，由旧坐标求新坐标用公式；由新坐标求旧坐标用公式y

xxyy

；x图形平移时，给定平移向量，由旧解析式求新解析式，用公式代入旧式中整理得yy到．由新解析式求旧解析式，用公式代入新式整理得到。y求函数y

2xx

图像的对称中心。如：由y

2x2yxxxyy

y

51a，的对称中心是（00移xx后得对称中心（3217概率统计”是现代数学重要内容，在中学是如何安排这内容教学的。概率统计的内容在初中数学教材中每册均有,用分散重点,旋式推进的循序渐进的原则安排的。七年级上册《生活中的数据》通过实际问题的讨论，使学生体会数据的重要作用，理解数据的处理及其所表达的信息，发展数感和统计观念。在《可能性》一章中，初步认识不确定现象的特点，通过试验体会随机现象中隐含着规律性，初步形成随机观念。七年级下册《生活中的数据》包括“数和“数据的表示

两部分内容在数的讨论中使学生认识很小

的单位分（百万分之一）和有效数字的概念会其意义和作用“数据的表示

则提供了“世界新生儿

图它是一种有别于条形、折线扇形图的数据统计图，同样提供了丰富的信息同时暗示了统图的多样性概率》一章，在七年级上册感受了可能性有大有小的基础上，进一步刻画可能性的大小，因而十分自然地给出了概率的概念，当然概率模型仅仅定位于简单的“古典概型

和可化为“古典概型

的“几何概型（“停留在黑砖上的概率八年级上册从学生熟悉的平均数入手，通过7变式引入加权平均的概念再通过实际生活中的一个现象揭示出不同的场合可能需要不同的数据代表因而引出了中位数和众数的概念接着在实际运用中比较各个数据的代表数八年级下册《数据的收集与处理在上一册刻画数据平均水平的基础上，进一步提出刻画数据波动水平的几个量度从而让学生更全面地把握数据的特征同时提出数据收集的各种方法感受样本估计总体的思想。九年级上《频率与概率》进一步通过有趣的实例、操作活动考察事件发生的频率与概率的关系让学生进一步领会随机性中隐含着一定的规律性切实感受这些不确定现象背存在的规律性和随机性，加深学生对概率的理解。九年级下册《统计与概率》一章中，主要目的是对前面学过的内容进行回顾与整理一步运用已有知识对现实问题和现象进行观察与思考新认识知识之间的联系，关注试验操作与理论计算之间的关系和概率与统计之间的内在联系。概率统计部分也是高中数学的重要部分,年全国各地的考卷中都会命制一道概率统计的解答题和一道选择题,各种概率模型的理解与应用以及期望、方差和正态分布是考查的重点。在高三复习前夕,行了一次概率统计的测试,测试的基础上采取了有针对性的教学策略。加强对概率统计概念教学的理解;意改变教师教学观念和学生的学习观念;并且注意概统计与其他知识的交汇。通过本研究加强了学生对随机现象与概率意义的理解培养了学生直观感知与运算求解能力,加强了高中概率统计教学中渗透概率统计思想的教学培养了学生的随机观念,使学生对各种概率模型有了较清晰的认识。经教学后的测试的分析来看该研究起到良好的作用。118某彩票中奖概率，购买120张彩票是否一定中奖，这一问题如何对学生讲。100答:购买120张彩票不一定中奖。因为彩票中奖概率

1100

是理论值,而购买120张彩票是一个实际问题,可以说它是一个实验值,叫频率,只有当实验次数足够大时,实验值(即频率才会接近理论值(概率),而120张对于概率研究的实验仍是3个很小的数。19二次函数的最值是中学数学的重点你如何给学生讲y2(0)最值的求法的。8先配方得:(x

)

2b40时,有最小值(x时,最小值是),2aab4a时有最大值(时,最大值是。2a20函数的最大（小）值与极大（小）值有何异同，试举例说明。极大/极小值是一个局部的性质，它要求在这一点的导函数为零且左右两边局部区间内的导函数符号相反。你可以笼统地理解为极大/小值点在局部的小区间上光滑地隆起凹陷。而最大/小值讲的是一个区间整体的性质，是指整个这一区间中最大小的值。如果最大/小值点存在的话，它将在极值点、不可导点（可以理解为不光滑的点）以及区间端点中产生。举个简单的例子，函数y

（x立方）3x

（x平方这个函数在x=-1的时候取到极大值，但这点不是最大值点；在x=0的时候取到极小值，但这点也不是最小值点。在整个定义域（-∞∞有最大值也没有最小值但极值存在但是如果在区间[-1.10.1]上这两个极值点就分别成为最大小值点了。由此可见值是一个局部的性质不依赖于规定的区间的最值是一个区间内的整体的性质，所规定的区间不同，最值也会发生变化。21初一安排学生学习“无盖盒子的最大值”的求法包含了哪些重要的数学思想？对学生而言学“无盖盒子的最大值的求法是一种新的学习方式它需要学生综合本学期所学过的数学知识技能与方法通过解决问题的方式去获得对相关知识与方法的进一步的理解体会各个部分之间的联系。让学生经历实验、想像、分析、猜测、交流、推理和反思等一系列过程，综合图形的展开与折叠字母表示数以及用代数式的值去推断代数式所反映的规律而在提高学生综合运用知识能力的同时养学生的实践探索及创新能力并且有利于进一步推动学生学习方式的改变，加强学生的合作流以及事必求真的科学精神，更好地激发学生的学习热情解决问题的过程中进一步丰富学生的空间观念与符号感借助已有的信息去推断事物变化的趋势的9活动，发展学生的推理能力验数学知识之间的内在联系，初步体验数学活动是一个整体得一些研究问题的方法和经验。22教材中介绍了哪些三角形全等的判定方法，你是如何讲的。答：教材中介绍了一般三角形全等的四种方法:①边边边公理；②边角边公理；③角边角公理;角角边定理。欧几里得几何是初中几何的蓝本欧几里得几何是建立在公理体系之上的所谓公理是不需要证明的公认的真命题学中让全班同学都按已知三边或已知两边及夹角或已知两角及夹边画三角形。结果全班同学都画出了形状相同，大小相等（即全等）的三角形，全班展示后就直观地认可了以上公理而角角边定理实质上是角边角公理的推论由三角形内角和定理很容易已知两角及其中一角的对边转化成已知两角及夹边。对于直角三角形除以上判定方法外，另有斜边、直角边公理。本来公理不需要证明，按以上方法教学即可为了更进一步加深对已知两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定是全等的理解，也可用拼接法证明为斜边对直角，将两个直角拼成一个平角个直角三角形就拼成了一个等腰三角线，等边对等角又得一条件，用角角边证之。23三角形全等与三角形相似的关系是什么？答:三角形全等是三角形相似的特殊情况,相似比为1的相似三角形。24把相似关系拓广到空间，有“相似体”的概念，你可否归纳相似体的几何性质。相似体的几何性质相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比似体的表面积的比等于相似比的平方。相似体的体积的比等于相似比的立方。25勾股定理是中学重要定理，你是如何给学生证明的。教师介绍“五巧板”的制作方法，学生拿出准备好的硬纸板制作“五巧板步骤：做一个Rt△ABC以斜边AB边向内做正方形ABDE，并在正方内画图，使10HGb②HGb②DF⊥BI，CG=BCHG⊥AC，这样就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。E

A④⑤③

cI

FaC①D

B1利用五巧板拼“青朱出入图取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个C为边长的正方形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a、b的正方形，你能拼出来吗？用上面的两幅五巧板，还可拼出其它图形，你能验证勾股定理吗？利用五巧板还能通过怎样拼图来验证勾股定理？可能的拼图方案：b

ca

b

cab

c意图：通过前面的展示，学生可能已经基本理解了所谓的“无字证明没有通过亲身的体11验可能仍有相当数量的学生难以认同甚至部分学生可能还存在一定的怀疑为此利用五巧板拼图证明勾股定理，力图通过学生的亲身实验进一步确认“无字证明”的验证方法。26你所了解的数学史上勾股定理研究的情况是。国内调组报告用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经注时给出的国历史上将图2弦上的正方形称为弦图.2002年的数学家大ICM-2002）在北京召开这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！国际调组报告：勾定理与一次数学危约公元前500年达哥拉斯学派的弟子希帕索斯Hippasus)现了一个惊人的事实个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯理(勾股定理)若正方形边长是1则对角线的长不是一个有理数不能表示成两个整数之比事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁一次数学危机由此爆发据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.不能表示成两个整数之比的数，世纪意大利著名家达芬奇称之为“无理的数理数的12英文“irrational”原义就是“不比.第一次数学危机一直持续19世纪实数的基础建立以后才圆满解决.们将在下一章学习有关实数的知识.趣闻调组报告：勾定理的统证法.在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着突然发现附近的一个小石凳上有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个

小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角

形……于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下

的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法.1876年1，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.27说明余弦定理与勾股定理关系。余弦定理:在ΔABCcos

2勾股定理:在RtΔABC中C90

0

,

2

2

2显然,勾股定理是余弦定理的一种特例。28绝对值是中学重要概念，你是如何给学生讲这一概念的。“绝对值”的概念是初一就已讲到的；此时于知识面所限，只能在有理数范围内理解和应用。但是绝对值”的概念是涉及整个中学数学知识体系的概念；需要学生不断地有新的理解，13否则就会形成一个新旧知识上的断裂带给学生学习带来困难因此教师总要在提出新概念后补充一些有关的题目通过对这些题目的演算为学生在新旧知识之间架起一座桥梁起到温故知新的作用。比如在学习了整式、根式、方程、函数之后，都可以补充与之有关的练习题；这些题目必将使学生对“绝对值”概念的理解在每个阶段都有新意，总在不断深化。29中学数学中多次出现与绝对值有关的概念请就你知道的加以说明。绝对值是中学数学的一个重要概念，它常常与函数、方程、不等式、数列等重要知识相结合，涉及分类讨论，等价转化形结合等数学思想方法，在数学教材中具有重要地位是历年高考中的常考知识点之一。30aa这一含绝对值不等式的几何意义是什么？解abaab这一含绝对值不等式的几何意义是:三角形两边之和大于第三边两边之差小于第三边，等号为三点共线时。高中：1角和与差的三角函数”一节你是如何抓重难点的。（1通过审题分析已知条件和待求结论之间差异，灵活应用所学公式进行求值证明。（2运用三角公式对式子进行等价变形，处理化简、求值和恒等式证明等问题利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，准确合理的使问题获解。两角和与差的三角函数重点难点剖析两角和与差的三角函数的有关公式共26，它们同诱导公式，同角三角函数的关系式一起都是三角变换的依据本节的中心是掌握这些公式其中包括对公式的准确记忆正确理解和熟练运用，重点应放在对公式结构特征和功能的认识上．14众多公式首先要注意准确记忆，不少公式在外形上很相近，例如，稍一疏忽，就会记错．在公式的理解上这里也有较高要求．例如已知

的值，依公式

求

的值时，不仅包括代入求值，还包括由问题的条件，判断

的正、负，从而决定根号前的号怎么选择的问题．还有一些公式它的变形形式常被用到，也应予以注意．例如：，，，其中由，

确定．三角函数的有关公式不仅要灵活运用要认识这些公式的大致功能这是根据不同的变换目的正确选择有关公式的前提应该从角的关系函数种类的关系式的结构特征三个方面去认识这些公式的功能．公式的应用包括正用和反用，尤其是反用，在化简三角函数式中有着特殊的作用．2你可否用向量证sin证明：如图，单位圆

为锐角向

y根据向量点乘意义，向OPcos根据向量乘法法则

cos

sin

o

x15BCD1BCD13试利用矩形给sin2sin

cos

的几何说明。DC解：如图：矩形ABCDBACCOBCHCOsin2BD

2

hOADBDsin

A

H

BABABCD12CHBDCO2BD2

2

sin2BD

2

sin

cos

2

sin223函数的单调性是高中数学的重点知识，新课标（大纲）教材是如何安排教学的。函数的单调性地位与作用按现行教材结构体系该内容安排在学习了函数的现代定义及函数的三种表示方法之后，了解在生活实践中函数关系的普遍性另外学生已在初中学过一次函数反比例函数二次函数等初等函数。在学生能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，（3在本节课的教学中以函数的单调性的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点也是对函数单调性概念的深理解且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握4函数的单调区间是否一定是增减区间交替出现的，试举例说明。不一定。如y，x3如果函数在定义城R上不连续，且是分段函数，这样的函数在R上能否是单调递增（减）的.举例说明。解：如果函数在定义城R上不连续，且是分段函数，这样的函数在R上不是单调递增（减如y

xx

上不是单调递增（减16aaaa4你是如何引入导数概念的？解：从探讨瞬时速度、切线的斜率等出发，虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此引出导数的概念。5请讲叙函数“可导”与“连续”的关系。解：可导则函数连续，而函数连续则不一定可导连续即图象是不间断的；可导是说明曲线是光滑的，无“尖点如y=|x|x=0是“尖点是光滑的。是连续但不可导。又如

在x=0处也是不可导的（右导数为1，左导数为0它是连续的。6试说明中学数学中导数的应用。解：利用导数求函数的单调性、极值（最值线方程、方程在某区间内解的个数、在物理中可用来求速度、加速度等。7向量运算有明确的物理意义，你是如何讲的。解：如向量的加法，可以从下列几个实际问题考虑：某人从A到B，再从B按原来的方向到，则两次位移的和应该是什么？飞机从A到B，改变方向后从B到，则两次位移的和应该是什么？船本身动力的速度是，水流的速度是，则船运动的速度是什么？仔细观察，你会发现向量尽管有方向，也可以相加且加的结果还是一个向量；它的物理意义是位移的和，速度的合成等．8向量的点乘的几何意义是什么。你如何引导学生用定义解题。解：的几何意义:数量积等于的长度

a

b在a方向上的投影

b

的乘积(中17a6a6

为向量与向量的夹角)。一、扣住数量积的意义直接解读投影例1已知a为单位向量当它们之间的夹角为

时，e方向上的投影为多少？分析：充分理方向上的投影为a

。解析：依题可a在e向上的投影为cos

21，求得a)，332方向上的投影点评：正确理解数量积的几何意义中的投影是直接解好题的关键。二、扣住数量积的意义变形解读投影例2已知b，a，则向

b向上的投影为多少？分析：a方向上的投影为a将其进行转化。

但由于题没有给出两个量的夹角故可先求出夹角或解析：因

b方向上的投影为acos

而cos

a12，b5故向b方向上的投影为

125

。点评：正确理解数量积的几何意义中的投影，按条件进行求解或转化是解好题的关键。p三、几何图形中向量的数量积的最值解读例3如图，已知正六边形ppp，下列向量的数中1246

2

p最大的是（）p

5

4C、p125

D、

pp1216分析：数量积最大的即是某个向量在向量p方向上的投影有最大值。121812121212解析：由数量积的几何意义易知，过点,,分别作在向量p上的投影，数形结合341易知向量在向量上的投影最大，故选A1312点评：充分理解题意，挖掘出其几何意义进行转化是解好题的关键。9、a(3,2),(1,4)

如何运算，物理意义是什么？因为向量的叉乘得到结果是向量，且满足右手关系，因此bba大小相等方向相反，故而有一个负号。举一个简单的例子，力的力矩，它的定义其实是一个矢量，在力学中用示，它的大小为L=R×R为坐标原点到力的作用点的位置矢量为力的大小力矩R和F分别垂直。（3乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b>向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。因此，向量的外积不遵守乘法交换率，因为：向量a×向量b=-向量b向量a在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。10椭圆的标准方程你是如何推导的。解建系。设焦距为2C定长为2a（则F（-C、F（C、0M（X、Y列方程：∣MF∣+∣MF∣=2a代入并化简：(x)2y+(x)2=2a(a2-c2)x2+ay2=a2(a2-c2)19xoyxy)Mxoyxy)M,)0在上，为了使方程形式更简单，设a2-c2=b2则简化为b2x2+a2y2=abx22（4检验：此方程称为椭圆的标准方程11一个椭圆如何通过几何作图（尺规）找出其中心。解：做两条平行的直线，分别交椭圆于AB和C，分别取AB和的中点，N连结MN，再作另外两条平行的直线（与前两条不平行别交椭圆于A'B'和C'，D'，分别取A'B'和的中点M'，连结M'N'则MN与M'N'的交点即为椭圆的中心证明方法很简单：任作一条直线，交椭圆于AB，取AB中点M，则当AB平行移动时，的轨迹为过椭圆中心的直线。12一个平面截一个圆柱面，裁口是一个椭圆，你能证明这一结论吗？解：如图，设圆柱的底面半径为，截面与圆柱底面所成角为，截面弦在圆柱底面上的射影为圆柱底面直径．若

AC

，则

ba

．如图示，在底面内建立直角坐标系

，在截面内建立直角坐标系则有

是截口曲线上任意一点，

是它在底面上的射影，xx0

bx,ya

yA又

M,)x0

M

O

y'B

M'

O'

C

x'bx()

2

y

2

2

x2y即(a2

图

x13直线的斜率”这一概念可以从哪些方面讲，试举例说明20解：从倾斜角、向量、导数方面来讲。如：直线L倾斜角是

3

，则斜率k3倾斜

2

,tan又如直线L方向向量是

，k

又如y

x则过P线的是

014直线方程表达式中最基本的形式是什么，你如何对学生讲。解直线方程的点斜式是其他直线方程形式的基础因此它是本节学习的重点在推导直线方程的点斜式时，要使学生理解）建立点斜式的主要依据是，经过直线上一个定点与这条直线y上任意一点的直线是唯一的，其斜率等于1

）在得出方程后，要把它变成方程y者表示的直线缺少一个才是这条直线的方程111当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为。15、若直线L与L垂直，则L你能否对这一结论给出几何直观说明。12解ktan1

tan2

2

1

YL

12O

X

2

+

L

216数列与函数的关系，你如何给学生讲。解数列与函数的关系数列这一章通过具体例子介绍了一般数列的概念和简单表示方法,同时用函数知识加以说明,后分别介绍了等差数列等比数列的概念项公式,以及前n项和的公式并突出了他们与一次函数二次函数,指数函数的关系21n22nnnn22nnn一).数列中的对应(1).用函数观点看数列数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的子集)的函数f(n),当它的自变量n从始依次取正整数值时对应的一列函数值f(1),f(2),f(3),...f(n),....数列的通项公式实际就是相应的函数解析式a=f(n).等差数列的通项公式是的一次函数(当公差d>0,为递增数列当公差,为递减数列)或常函数(当公差d=0时等差数列的前项和公式与函数的系①公差首项为0是关于的常数函数公差d=0项不为0是关于n的正比例函数③公差d为0,是关于二次函数等比数列与函数的关系等比数列的通项公式是一个不为0常数与指数函数的积等比数列的前n和公式与函数的关系①非常数列的等比数列的前n项和是关于n的一个指数式与一个常熟的和构成的,而指数式的系数与常数项互为相反数