线性代数第三章

第二节向量组的线性相关性(最大无关组与秩)定义2.3

设有向量组A，如果在A中能选出r个向量1

,

2

,,

r，满足（1）向量组A0

:1

,

2

,,

r

线性无关（2）向量组A中任意r

1个向量（如果A中有r

1个向量的话）都线性相关，那末称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组

（简称最大最大无关组所含向量个数r称为向量组无关组）;的秩.只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.最大无关组1

2

3可构成3阶方阵

1,2,1,

2,3,1,

4,1,1例如3维行向量组A

:

1

41

1

2

1A

2

313

3

9个二阶子式都不为零,由于包含非零子式的行向量线性无关，因此,行向量组1

,

2或

2

,

3或

3

,1都是线性无关的,从而都是A的最大无关组.则|

A

|

0,因而行向量组A是线性相关的.但C

2C

2此例说明：最大无关组不唯一R(a1

,a2

,,am)性质1

向量组线性无关的充要条件是它所向量的个数等于它的秩。性质2

设矩阵A的某个r阶子式D是A的最高阶非零子式,则D所在的r个行向量及r个列向量分别是矩阵A的行向量组和列向量组的一个最大无关组.向量组a1

,a2

,,am的秩也记作(行秩)，也等于它的列向量组的秩(列秩).性质4

向量组A

:1

,

2

,,

r是向量组T的一个最大无关组,则向量组A向量组T等价.性质3

矩阵A的秩等于它的行向量组的秩解

因为n维单位坐标向量构成的向量组E

:

1

,

2

,,

n是线性无关的，又根据第二节例题1

知Rn中的任意n

1个向量都线性相关，因此向量组E是Rn的一个最大无关组，且Rn的秩等于n.例1

全体n维向量构成的向量组记作Rn，求Rn的一个最大无关组及Rn的秩.

94

4

2

1

1

1

21

1

2 4

6

2

23

6

7

9A

1例2

设矩阵求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.解对A知R(A)

3故列向量而三个非零行的非故a1

,a2

,a3

,为列向A

3，

0

0

0

0

0

0

2

4

1

0

0初等行变换~知R(a1

,a2

,a3

)

3，故a1

,a2

,a3线性无关要把a4

,a5用a1

,a2

,a3线性表示，必须将A再变成行最简形矩阵.1

2

3事实上

2

4（a

,

a

,

a

)

1

2

1

1

1

6

3

6

7

1

初等行变换

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

0

0~（*）初~等行变换0

0

1

0

0

1

4

0

1

0

1

3

0

1

0

30

0

0

0A

5

1

2

a4

a1

a2

,3

a

4a

3a

3a即得设

满足方程组C

BX

, 解这个矩阵方程组,

可对增广矩阵

CB做行变换化为行最简形矩阵(*).

从而得到用CB.A要aa,,则,,,,,a3321

54

a

3

0

1

4

X

1

3

3

0

1

4

于是

C

BX

1

3

1

2 3

定理2.7

设向量组A

:1

,

2

,,

r能由向量组B

:1

,

2

,,

s线性表示,且A组线性无关,则r

s.证 因向量组A能由向量组B线性表示，则存在矩阵Krs使A

KB,即重要结论

k

k

k

r

r

1

r

2

rs

r

k2

s

2

k1s

1

k11

k12k22

2

k211

如r

s,则K中的r个s维行向量线性相关,即有不全为零的数1

,2

,,r

使1k1

2k2

r

kr

0即

,

,,

K

01

2

r从而

,

,,

A

,

,,

KB

0B

01

2

r

1

2

r即11

22

rr

0这与向量组A线性无关

。故rs

.推论1

等价的线性无关的向量组所含向量的个数相等.推论2

设向量组A的秩为r,向量组B的秩为s,若A组能由B组线性表示,则r

s.证明因向量组A能由向量组B线性表示，则由性质4知,向量组A的最大无关组也能由向量组B的最大无关组线性表示,再故由定理2.7知,r

s.推论3

等价的向量组有相同的秩.推论4

设在向量组T中有r个向量1

,

2

,,

r

满足1

,

2

,,

r

线性无关.任取

T

,能由1

,

2

,,

r

线性表示.则1

,

2

,,

r是T的一个最大无关组,且R(T

)

r.推论5

设矩阵A中有一个r阶子式D

0,

而包含D的所有r

1阶子式(如果存在)全为零,则R(

A)

r,即A中所有r

1阶子式(如果存在)全为零.设Cmn

Am

s

Bsn，则R(C

)

R(

A),

R(C

)

R(B).推论6证

设矩阵C和A用其列向量表示为C

(c1

,,cn

),

A

(a1

,,as

).而B

(bij

)

b

b

s1

sn

b1n

b11由

(c1

,,cn

)

(a1

,,as

)

知矩阵C的列向量组能由A的列向量组线性表示因此R(C

)

R(A).因CT

BT

AT

,由上段证明知R(C

T

)

R(BT

),即R(C

)

R(B).思考定理2.7与推论2有什么异同？例3

设向量组B是向量组A的部分组，若向量组B线性无关，且向量组A能由向量组B线性表示，则向量组B是向量组A的一个最大无关组.证

设向量组B含r个向量，则它的秩为r,因A组能由B组线性表示，故A组的秩

r从而A组中任意r

1个向量线性相关所以向量组B满足定义1所规定的最大无关组的条件.例4

设向量组B能由向量组A线性表示,且它们的秩相等，证明向量组A与向量组B等价.证一只要证明向量组A能由向量组B线性表示.设两个向量组的秩都为r，并设A组和B组的最大无关组依次为A0

:a1

,,ar

和B0

:b1

,br

,因B组能由A组线性表示，故B0组能由A0组线性表示，即有r阶方阵Kr

使(b1

,,br

)

(a1

,,ar

)Kr1

,1

r

1

r(a

,,a

)

(b

,,b

)Kr因B0组线性无关，故R(b1

,,br

)

r.根据定理2推论2，有R(

Kr

)

R(b1

,,br

)

r但R(Kr

)

r，因此R(Kr

)

r.于是矩阵Kr

可逆，并有即A0组能由B0组线性表示.从而A组能由B组线性表示.证二设向量组A和B的秩都为r.因B组能由A组线性表示,故A组和B组合并而成的向量组(A,B)能由A组线性表示.而A组是(A,B)组的部分组,故A组总能由(

A,

B)组线性表示.

所以(

A,

B)组与A组等价,因此(A,B)组的秩也为r.又因B组的秩为r,故B组的最大无关组B0含r个向量,因此B0组也是(A,B)组的最大无关组,从而(A,B)组与B0组等价.由A组与(A,B)组等价，(A,B)与B0等价,推知A组与B组等价.注意本例把证明两向量组A与B等价,转换为证明它们的最大无关组A0与B0等价.证法一证明B0用A0线性表示的系数矩阵可逆;证法二实质上是证明A0与B0都是向量组(A,B)的最大无关组.引理1

若矩阵Amn经有限次初等行(列)变换变成矩阵Bmn

,则Amn

,

Bmn的行(列)向量组等价。引理2

若矩阵Amn

,Bmn的行向量组等价,则齐方程组Ax

0与Bx

0同解。引理3若矩阵Amn经有限次初等行(列)变换变成矩阵Bmn，则Amn与Bmn对应的k个列(行)向量有相同的相关性。1

21

23

9

5

5

4,

5

4

1

3

1

1

2,(b

,b

)

6(a

,a

)

03

2例4

已知证明向量组(a1

,a2

)与(b1

,b2

)等价.(b1

,

b证明先求X

.阵(a1

,a(a1

,a2

,b1

1

23

1(a1

,a2

,b1~r1

r3

0

2

3

11

25

0

2~r1

r3r3

2r1r

~3r4

1~2r

(2)

0

1

5

0

2

3

1r1

r3r

2rr4

3r1

0

25

0

2~

01

5

0

1

3

0

0

0

0

0~2r

(2)

0

1

5

0

2

r3

5r24r

2r2~0

0

1

1

5

3

0

1

3

2

0

0

0

0

0

0r3

5r24

2r

2r~.02

11

32

000

000