多目标决策课件

第四章多目标决策分析第一节多目标决策的目标准则体系一、目标准则体系的意义在决策分析中，决策问题要达到的目的称为决策目标，用数值表示决策方案实现某个目标程度的标准和法则，称为决策准则。

在多目标决策问题中，其目标或者经过逐层分解，或者依据决策主体要求和实际情况需要，形成的多层次结构的子目标系统，使得在最低一层子目标可以用单一准则进行评价，称之为目标准则体系。

构造目标准则体系应注意的原则：一是系统性原则。二是可比性原则，三是可操作性原则。二、目标准则体系的结构

（一）单层次目标准则体系各个目标都属于同一层次，每个目标无须分解就可以用单准则给出定量评价。

图4-1单层次目标准则体系第一节多目标决策的目标准则体系（二）序列型多层次目标准则体系

目标准则体系的各个目标，均可以按序列分解为若干低一层次的子目标，各子目标又可以继续分解，这样一层层按类别有序地进行分解，直到最低一层子目标可以按某个准则给出数量评价为止。

（三）非序列型多层次目标准则体系某一层次的各子目标，一般不单是由相邻上一层次某子目标分解而成，各子目标也不能按序列关系分属各类。相邻两层次子目标之间，仅按自身的属性建立联系，存在联系的子目标之间用实线连结，无实线连结的子目标之间，不存在直接联系。这类目标准则体系称为非序列型多层次目标准则体系。

三、评价准则和效用函数在多目标决策中，制定了目标准则体系，不同的目标用不同的评价准则衡量。因此，必须将不同度量单位的准则，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳与综合，建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。

多目标决策中均可以由目标准则体系的全部结果值所确定。可行方案在每一个目标准则下，确定—个结果值，对目标准则体系，就得到一组结果值，并经过各目标准则的效用函数，得出一组效用值。这样，任何一个可行方案在总体上对决策主体的满意度，通过这些效用值按照某种法则并合而得，满意度是综合评价可行方案的依据。四、目标准则体系风险因素的处理

多目标决策的风险因素，应该在目标准则体系中对涉及风险因素的各子目标分别加以处理。对存在风险因素的所有目标准则都分别作这样的技术处理。于是，风险型多目标问题就转化为确定型多目标问题。第二节多维效用并合方法一、多维效用并合模型

在图4-2中，设H表示可行方案的总效用值，即满意度，表示第二层子目标的效用值，如此类推，表示倒数第二层各子目标的效用值；表示最低一层各准则的效用值。符号“·”表示按某种规则和逻辑程序进行的效用并合运算。效用并合过程从下到上，逐层进行。最低一层各准则的效用，经过并合得到

第三层子目标的效用并合得到第二层各目标的并合效用值

最后，可行方案的满意度

多维效用并合的最满意方案为，其满意度

（5-1）

图4-2序列型多层次目标准则体系

第二节多维效用并合方法二、多维效用并合规则在多目标决策中，根据决策目标的不同属性，效用并合采取不同方式进行。

（一）距离规则二维效用并合的距离规则满足如下条件：当二效用同时达到最大值时，并合效用达到最大值；当二效用同时取最小值时，并合效用取零效用值；二效用之一达到最大值，均不能使并合效用达到最大值。二维效用平面上其余各点效用值，与该点与并合效用最大值点的距离成正比例。这种并合规则称之为距离规则。

设二维效用函数，（5-2）

公式(5-2)可以推广到多维情形，

（5-3）

成本和效益的效用并合应该按距离规则进行，由公式（5-3）知，并合效用函数

第二节多维效用并合方法（二）代换规则二维效用并合的代换规则适合如下情况：二效用对决策主体具有同等重要性，只要其中一个目标的效用取得最大值，无论其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也达到最高水平，与二效用均达到最高水平一样。代换规则的二维效用并合公式为

（5-4）

推广到多维情形，

维效用并合的代换规则公式为

(5-5)（三）加法规则二维效用并合的加法规则适用于如下情况：二效用的变化具有相关性，对并合效用的贡献没有本质差异，并且可以互相线性地补偿，即一目标效用的减少可以由另一目标效用值的增加得到补偿。加法规则的二维效用并合公式为

（5-6）加法规则的维并合效用公式为

（5-7）

第二节多维效用并合方法（四）乘法规则乘法规则适用于如下情况：二目标效用对于并合效用具有同等重要性，相互之间完全不能替代，只要其中任意一个目标效用值为0，无论另一个目标效用取值多大，并合效用值均为0。乘法法则效用并合更一般的计算公式是乘法法则的二维效用并合公式为

（5-8）

（5-9）

n维效用并合乘法规则的计算公式为

(5-10)

更一般的计算公式为（5-11）

也可以表示为对数形式

（5-12）

第二节多维效用并合方法（五）混合规则混合规则适用于各目标效用之间较为复杂的关系，是代换、加法和乘法三规则更为一般的情况。混合规则的二维效用并合公式

（5-13）

其中，≥－1称为形式因子。当≠0时，经过简单恒等变形，公式（5—13）可以化为较为规范的形式（5-14）

混合规则的n维效用并合公式为

(5-15)三、多维效用并合方法应用实例多维效用并合方法是多目标决策的一种实用方法，在经济管理、项目评价、能源规划、人口控制等方面有着广泛的应用。这里介绍的“我国总人口目标”实例是西安交通大学系统工程研究所已完成的研究课题，引用已发表的部分资料。当今世界，人类活动与人类赖以生存的生态环境有着密切的关系，人口增长和生态环境是否相适应，人口增长和经济发展是否相协调，越来越引起世界各国的关注。社会经济的可持续发展，是我国面向2l世纪经济发展的战略任务。计划生育，控制人口增长是我国的基本国策。我国总人口目标问题，多年来一直众说纷纭，根据我国国情、经济实力、环境资源和社会发展等诸因素，科学分析我国总人口目标，关系到我国的国计民生和社会经济的长期稳定发展。应用多维效用并合方法，成功地对这个复杂的社会经济问题进行研究，科学分析了我国总人口目标方案，为我国人口政策制定提供科学的依据。第三节层次分析方法美国运筹学家T.L.Saaty于20世纪70年代提出的AHP决策分析法（AnalyticHierarchyProcess，简称AHP方法），是一种定性与定量相结合的决策分析方法。AHP决策分析法，是解决复杂的非结构化的经济决策问题的重要方法，是计量经济学的主要方法之一。（一）递阶层次模型

将具有共同属性的元素归并为一组，作为结构模型的一个层次，同一层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层次元素的制约。可以将层次分为三种类型：（1）最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，也称为总目标层。（2）中间层：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及到的各子目标，也称为目标层。（3）最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。（2）（二）层次元素排序的特征向量法在复杂的问题决策中，只要引入合理的度量标度，通过构造判断矩阵，就可以用这种方法来度量每个要素的相对重要性，从而为有关决策提供依据。

对于社会、经济和管理等领域中的决策问题，通过建立层次结构模型，在相邻两层次之间，构造两两元素比较的判断矩阵，用特征向量法求出层次单排序，最终完成递阶层次解析过程。

显然，判断矩阵的元素的＞0

满足条件（1）～（3）的矩阵A，称为互反的一致性正矩阵。

（1）（3）。一、基本原理第三节层次分析方法（一）判断矩阵的构造设m个元素(方案或目标)对某一准则存在相对重要性，根据特定的标度法则，第i个元素(i＝1，2，…，m)与其它元素两两比较判断，其相对重要程度为，这样构造的m阶矩阵用以求解各元素关于某准则的优先权重，称为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作构造判断矩阵的关键，在于设计一种特定的比较判断两元素相对重要程度的标度法则，使得任意两元素相对重要程度有一定的数量标准。沙但教授引用的1—9标度方法，其各级标度的含义如表5-2所示。

标度定义含义1同样重要两元素对某属性，一元素比另一元素同样重要3稍微重要两元素对某属性，一元素比另一元素稍微重要5明显重要两元素对某属性，一元素比另一元素明显重要7强烈重要两元素对某属性，一元素比另一元素强烈重要9极端重要两元素对某属性，一元素比另一元素极端重要2、4、6、8相邻标度中值表示相邻两标度之间折中时的标度上列标度倒数反比较元素i对元素j的标度为aij，反之为1/aij表5-2各级标度的含义二、判断矩阵第三节层次分析方法（二）判断矩阵的一致性检验

判断矩阵的一致性指标，记作

(5-17)其中，m为判断矩阵的阶数，为判断矩阵的最大特征值。一般来说，越大，偏离一致性越大，反之，偏离一致性越小。另外，判断矩阵的阶数m越大，判断的主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大。反之，偏离一致性越小。当阶数m≤2时，=0，判断矩阵具有完全的一致性。一致性比率，记作

用一致性比率C.R..检验判断矩阵的一致性，当C.R..越小时，判断矩阵的一致性越好。一般认为，当C.R..≤0.1时，判断矩阵符合满意的一致性标准，层次单排序的结果是可以接受的，否则，需要修正判断矩阵，直到检验通过。（1）求出一致性指标；

判断矩阵的一致性检验步骤是：

（2）查表得到平均随机一致性指标R.I.；（3）计算一致性比率。当C.R.≤0.1时，接受判断矩阵，否则，修改判断矩阵。第三节层次分析方法（一）递阶权重解析公式递阶层次结构模型如图5-11

图5-11递阶层次结构模型

AHP方法的目的，在于求出各方案对总目标G的优先权重，求解过程从上到下，在相邻层次之间逐层进行，故称为递阶权重解析。首先，讨论相邻两层次间的权重解析。第k层子目标关于总目标G的组合优先权重向量为

或者表示为分量形式

最后，计算方案层各方案关于总目标G的优先权重

。这个优先权重记为

于是，AHP方法递阶权重解析过程的计算公式为（5-18）

其次，用公式将递阶权重解析过程表示出来，给出方案层关于总目标G的优先权重向量。表示方案层m个方案关于准则层个准则的优先权重向量，是矩阵；

三、递阶层次结构权重解析过程第三节层次分析方法（二）AHP方法的基本步骤1.建立层次结构模型将目标准则体系所包含的因素划分为不同层次，如目标层、准则层、方案层等，构建递阶层次结构模型。2.构造判断矩阵按照层次结构模型，从上到下逐层构造判断矩阵。3.层次单排序及其一致性检验根据实际情况，用不同方法求解判断矩阵最大特征值相对应的特征向量，经过归一化处理，即得层次单排序权重向量。4.层次总排序及其一致性检验层次总排序是从上到下逐层进行的。在实际计算中，一般按表格形式计算较为简便。表5-6计算层次B的总排序权重值（5-19）

（5-20）（5-21）

层次总排序检验的一致性指标，平均随机一致性指标和一致性比率指标分别是第三节层次分析方法（三）AHP方法应用实例例5-2某市中心有一座商场，由于街道狭窄，人员车辆流量过大，经常造成交通堵塞。市政府决定解决这个问题．经过有关专家会商研究，制定出三个可行方案：1.在商场附近修建一座环形天桥；2.在商场附近修建地下人行通道；3.搬迁商场。决策的总目标是改善市中心交通环境。根据当地的具体条件和有关情况，专家组拟定5个目标作为对可行方案的评价准则：1.通车能力；2.方便群众；3.基建费用不宜过高；4.交通安全；5.市容美观。试对该市改善市中心交通环境问题作出决策分析。第四节DEA方法DEA（DataEnvelopmentAnalysis）方法又称为数据包络分析方法，是对多指标投入和多指标产出的相同类型部门，进行相对有效性综合评价的一种新方法，也是研究多投入多产出生产函数的有力工具。（一）DEA模型概述

DEA方法是评价多指标投入和多指标产出决策单元相对有效性的多目标决策方法，是美国著名运筹学家查思斯和库伯教授于1978年首先提出的。在国外，DEA方法已经成功地应用于银行、城市、医院、学校及军事项目等方面效率评价，在对相互之间存在激烈竞争的私营企业和公司的效率评价中，也显示出巨大的优越性。

DEA方法是以相对效率概念为基础，特别适用于多指标投入和多指标产出决策单元的相对有效性评价。（二）模型及其基本性质

模型：

（5-23）

一、DEA模型第四节DEA方法模型（5-23）可以表示为矩阵形式

记

（5-24）

有

令，则化为线性规划问题

(5-25)

(P)

线性规划P的对偶规划问题(D)

(5-26)

其中，松弛变量

第四节DEA方法（三）评价系统的DEA有效性

满足条件定义5.1如果线性规划(P)的最优解

为弱DEA有效。

则称决策单元满足条件定义5.2如果线性规划(P)的最优解

为DEA有效。

则称决策单元并且，定理5.1线性规划(P)及其对偶规划(D)都有可行解，因而都有最优解，并且最优值定理5.2关于对偶规划(D)，有：（1）如果(D)的最优值，则决策单元为弱DEA有效；反之亦然；

（2）如果(D)的最优值，并且每个最优解都满足条件，则决策单元为DEA有效；反之亦然。

定理5.3决策单元的最优效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关。

第四节DEA方法（四）评价系统有效性的判定

考虑带有非阿基米德无穷小量的模型

（）(5-27)

其中，=（1，1，…，1），是元素均为1的m维向量，=（1，1，…，1）是元素均为1的p维向量。（）的对偶规划为()

（5-28）

利用带有的模型（），容易判断决策单元DEA的有效性。为此，有以下定理。定理5.4设为非阿基米德无穷小，线性规划()的最优解为，，有

（1）若＝l，则决策单元为弱DEA有效；

（2）若＝l，并且＝0，＝0，则决策单元为弱DEA有效；

第四节DEA方法（五）DEA有效决策单元的构造设()为决策单元对应的(,)在DEA的相对有效面上的投影。

定义5.3设，是线性规划问题()的最优解．令

（5-29）称()为决策单元对应的(,)在DEA的相对有效面上的“投影”。

定理5.5

则新决策单元（）相对于原来的n个决策单元来说，是DEA有效的。

二、DEA有效性的经济意义（一）生产函数和生产可能集1．生产函数在单投入和单产出的情况下，生产函数表示理想的生产状态，即投入量x所能获得的最大产出量y。因此，生产函数曲线上的点（x，y）所对应的决策单元，从生产函数的角度看，是处于技术有效状态。生产函数图形如图5-16，图5-16中，点A，C处于技术有效状态。

图5-16生产函数第四节DEA方法2．生产可能集生产可能集定义为所有可能的生产活动构成的集合，记作。由于（）是决策单元j的生产活动，于是有

在模型中，生产可能集应该满足下面的四条公理。

公理5.1（凸性）对于任意，以及任意，均有

即是说，如果，分别以，（）加权和作为投入量，则，以同样的加权和作为产出量。公理5.2（锥性）对于任意，任意数，均有

即是说，如果以x的倍作为投入量，则产出量y是的同样倍数。

公理5.3（无效性）对于任意，（1）若有，则均有；（2）若有，则均有。

即是说，在原生产活动中，单方面的增加投入量或者减少产出量，生产活动总是可能的。公理5.4（最小性）生产可能集T是满足公理1~4的所有集合的交集。由n个决策单元（）的生产活动所描述的生产可能集，满足公理1~4是唯一确定的。这个生产可能集可以表示为

=

（5-30）

第四节DEA方法（二）DEA有效性的经济意义用线性规划模型（）评价决策单元的DEA有效性，模型（）由于，即（）满足条件为了清楚起见，考虑不含松弛变量的线性规划模型（）

（5-31）

第四节DEA方法线性规划模型（）表示，在生产可能集内，当产出保持不变的情况下，尽量将投入量按同一比例减少，如果投入量不能按同一比例减少，即模型（）最优值，在单投入和单产出的情况下，决策单元同时技术有效和规模有效。如果投入量能按同一比例减少，模型（）最优值，决策单元不是技术有效和规模有效。

设模型（）的最优解为。（1）

决策单元为DEA有效，其经济意义是决策单元的生产活动（）同时为技术有效和规模有效。

(2)，但至少有某个，或者至少有某个。决策单元不是DEA有效，其经济意义是，决策单元不是技术有效和规模有效。（3）

决策单元不是DEA有效，其经济意义是，决策单元的生产活动（）既不是技术效率最佳，也不是规模收益最佳。（三）生产活动规模收益的判定定理5.6设线性规划（）的最优解为（2）若，则决策单元规模收益递增；（3）若，则决策单元规模收益递减。（1）若，则决策单元规模收益不变；第四节DEA方法利用DEA方法，评价棉纺织企业的经济效益，评价对象是纺织部门所属177个大中型企业，每个企业作为一个决策单元。根据产出规模，将这些企业分为大型企业组合中型企业组分别进行评价，经过多次筛选和研究，确定评价系统的投入和产出指标，产出指标是：（1）销售收入(百万元)；（2）利税总额(百万元)；（3）工业总产值(百万元)；（4）工业净产值(百万元)。投入指标是：（1）年流动资金平均余额(百万元)；（2）年固定资产原值平均余额(百万元)；（3）工业生产能耗(折标准煤，千吨)；（4）年职工平均人数(百人)；（5）产品销售成本(百万元)；（6）生产用固定资产原值(百万元)。分组评价结果如表5-4组别有效企业非有效企业有效企业比例大型企业（49）中型企业（128）2629239953%23%表5-7分组评价结果

三、DEA方法的应用实例评价结果表明，大型企业组经济效益好的比例远远超过中型企业组，这是因为大型企业的设备条件、技术进步和管理水平均优于中型企业的缘故．为提高企业的经济效益，还可以对各个企业进行评价分析，找到改善经营管理，提高经济效益的途径。综上所述，应用DEA方法评价企业经济效益的步骤是：（1）确定评价目标；（2）建立评价指标体系；（3）收集和整理数据；（4）建立DEA模型，计算分析；（5）作出评价，提出决策建议。在实际应用中，计算过程均利用DEA软件，在计算机上实现。第五节目标规划方法一、多目标线性规划转化为目标规划问题的方法求解多目标线性规划的方法很多，目标规划是其中有效方法之一。其基本方法是，对每一个目标函数引进一个期望值。由于条件限制，这些目标值不尽然都能达到，引入正、负偏差变量，表示实际值与期望值的偏差，并将目标函数转化为约束条件，与原有约束条件构成新的约束条件组。引入目标的优先等级和权系数，构造新的单一的目标函数，将多目标问题转化为单目标问题求解。（二）正负偏差变量对每一个目标函数值，分别引入正、负偏差变量，且，。引入偏差变量之后，目标函数就变成了约束条件，成为约束条件组的一部分。原有的约束条件，也可以用引入偏差变量的办法，将不等式约束变成约束，偏差变量起着松弛变量的作用。≥0

（一）期望值对于多目标线性规划的每一个目标函数值，根据实际情况和决策者的希望，确定一个期望值。

（三）达成函数（准则函数）目标规划模型的目标函数称为达成函数(准则函数)，通过构造达成函数，多目标问题就转化为单目标问题。达成函数的一般形式是

第五节目标规划方法（四）优先因子和权系数

目标规划的模型的一般形式是

目标规划的建模步骤是：（1）假设决策变量；（2）建立约束条件；（3）建立各个目标函数；（4）确定各目标期望值，引入偏差变量，将目标函数化为约束方程；（5）确定各目标优先级别和权系数，构造达成函数。第五节目标规划方法二、目标规划的单纯形解法目标规划单纯形解法的基本步骤是：

（1）建年初始单纯形表．表中检验数行按优先因子顺序排成l行，并从左到右分别计算各列的检验数。（2）选择调入变量，寻找最优列，先在P1行中寻找最大正检验数，若P1行无正检验数，则转入P2行，如此继续。若某检验数行有2个以上的最大正检验数，依次检查级别较低一行相应列的正检验数，以最大者所在列为最优列，如果检查结果仍相同，则规定列标号小者为最优列。（3）确定调出变量，寻找关键行。用B列常数除以对应最优列的正系数，按最小比值原则确定关键行，若有几个最小比值，则规定优先级别最高的变量所在行为关键行。

（4）求出新的基可行解。关键行和最优列相交点的元素称为主元素，进行换基迭代，建立新单纯形表。（5）判别是否最优解。优先级别从高到低检查各检验数行，全部非正，则已是最优解，算法终止；若某检验数行存在正检验数，该正检验数同列级别较高的检验数行中存在负检验数，说明该目标虽末达到最优，但已无法继续改进，停止计算。否则，不是最优解．转入步骤（2），继续迭代，直至计算终止。建立初始表寻找最优列寻找关键行求新的基可行