正态分布习题与详解(非常有用,必考点)

-.z.1.假设*～N(0,1),求(l)P(-2.32<*<1.2)；(2)P(*>2).解：(1)P(-2.32<*<1.2)=(1.2)-(-2.32)=(1.2)-[1-(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P(*>2)=1-P(*<2)=1-(2)=l-0.9772=0.0228.2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求〔2〕在N〔μ，σ2〕下，求Ｆ〔μ－σ，μ＋σ〕；解：〔１〕＝＝Φ〔1〕＝0.8413〔２〕Ｆ〔μ＋σ〕＝＝Φ〔1〕＝0.8413Ｆ〔μ－σ〕＝＝Φ〔－1〕＝１－Φ〔1〕＝１－0.8413＝0.1587Ｆ〔μ－σ，μ＋σ〕＝Ｆ〔μ＋σ〕－Ｆ〔μ－σ〕＝0.8413－0.1587＝0.68263*正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体落入区间〔－1.2，0.2〕之间的概率[Φ〔0.2〕=0.5793,Φ〔1.2〕=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是，它是偶函数，说明μ＝0，的最大值为＝，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布4.*县农民年平均收入服从=500元，=200元的正态分布〔1〕求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；〔2〕如果要使此县农民年平均收入在〔〕内的概率不少于0.95，则至少有多大？[Φ〔0.1〕=0.5398,Φ〔1.96〕=0.975]解：设表示此县农民年平均收入，则〔2〕∵，查表知：1设随机变量(3,1),假设,,则P(2<*<4)=(A)(B)l—p C．l-2p D．【答案】C因为,所以P(2<*<4)=,选 C．2．(2010·新课标全国理)*种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为*，则*的数学期望为()A．100B．200C．300D．400[答案]B[解析]记"不发芽的种子数为ξ〞，则ξ～B(1000，0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而*＝2ξ，故E(*)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，应选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，假设E(ξ)＝eq\f(1,3)，则D(ξ)＝()A.eq\f(4,9)B．－eq\f(1,9)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,9)[答案]D[解析]由条件a，b，c成等差数列知，2b＝a＋c，由分布列的性质知a＋b＋c＝1，又E(ξ)＝－a＋c＝eq\f(1,3)，解得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2)，∴D(ξ)＝eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))2＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))2＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2＝eq\f(5,9).4．(2010·**松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，取到白球个数的数学期望值为eq\f(6,7)，则口袋中白球的个数为()A．3B．4C．5D．2[答案]A[解析]设白球*个，则黑球7－*个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，P(ξ＝0)＝eq\f(C7－*2,C72)＝eq\f((7－*)(6－*),42)，P(ξ＝1)＝eq\f(*·(7－*),C72)＝eq\f(*(7－*),21)，P(ξ＝2)＝eq\f(C*2,C72)＝eq\f(*(*－1),42)，∴0×eq\f((7－*)(6－*),42)＋1×eq\f(*(7－*),21)＋2×eq\f(*(*－1),42)＝eq\f(6,7)，∴*＝3.5．小明每次射击的命中率都为p，他连续射击n次，各次是否命中相互独立，命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p(ξ>1)＝()A.eq\f(255,256)B.eq\f(9,256)C.eq\f(247,256)D.eq\f(7,64)[答案]C[解析]由条件知ξ～B(n，P)，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(E(ξ)＝4，,D(ξ)＝2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝4,np(1－p)＝2))，解之得，p＝eq\f(1,2)，n＝8，∴P(ξ＝0)＝C80×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8，P(ξ＝1)＝C81×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))7＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5，∴P(ξ>1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5＝eq\f(247,256).5三个正态分布密度函数φi(*)＝eq\f(1,\r(2π)σi)e－eq\f((*－μi)2,2σi2)(*∈R，i＝1,2,3)的图象如下图，则()A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3[答案]D[解析]正态分布密度函数φ2(*)和φ3(*)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数一样，故μ2＝μ3，又φ2(*)的对称轴的横坐标值比φ1(*)的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越"矮胖〞，σ越小，曲线越"瘦高〞，由图象可知，正态分布密度函数φ1(*)和φ2(*)的图象一样"瘦高〞，φ3(*)明显"矮胖〞，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题"〞的否认是:"〞;②假设,则的最大值为4;③定义在R上的奇函数满足,则的值为0;④随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④①命题"〞的否认是:"〞;所以①正确.②假设,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于*的方程有两不相等实根的概率为___________.【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、以下命题:` (1);(2)不等式恒成立,则;(3)随机变量*服从正态分布N(1,2),则(4)则.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3)(1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2*篮球运发动2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运发动5场中的得分如下图,则该样本的方差为〔〕A．26 B．25 C．23 D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为,选 D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如下图,据图估计,样本数据在内的频数为〔〕A． B． C． D．【答案】C样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C．4．〔2013年**市高三教学质量检测考试理科数学〕如下图,在边长为l的正方形OABC中任取一点P,