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A法a4I人生设计HAITIANEDUCATION| 92013考研数学导学讲义(高数上)——之极限、微分学部分南京海天

王君甫第一章函数极限连续第一节函数一、集合二、区间与邻域区间：设出。都是实数，且a<b.数集{尤卜<》<口称为开区间，记作团⑼，即(a,b)={x\a<x<b}.其中称为开区间(a,b)的端点，这里a1(a,b),b1(a,b)数集称为闭区间，记作［a,。］,即［凡勿=3〃(工</?}.其中凡。称为闭区间［a,b］的端点，这里aw［a,b］,bw［a,b］类似地：有限区间［a,b)={x|aKx<b}.(。,切="卜<xWb}.无限区间［。,+8)={1,之。},(-oo,Z?)={x|x</?}./?=(-00,+oo)邻域：以点〃为中心的任何开区间称为点［的邻域，记作U(a).设S是任一正数，则开区间(a",a+廿就是点a的一个邻域,称为点a的5邻域，记作U(a,5),即U(a»)={x|a-3<x<a+5}={x[k-a|<3}.a称为邻域的中心》称为邻域的半径.点a的去心S邻域，记作U(a»),即U(a,S)={O<k-a|<b}.点a的左b邻域(a-瓦a),点a的右S邻域(a,a+b).三、函数的概念定义：设x,y是两个变量，。是一个给定的数集，如果VxeO,y按照一定的法则总有唯一确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作y=/(x),雌。称为函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量.y的取值范围叫函数的值域..反函数：设函数y=/(x)的定义域为。厂值域为丫广反过来，如果把y看作自变量，x看作因变量，即存在唯一的xe%与之对应，对应法则记为尸，得到新函数》=尸”)，称x=L(y)为函数y=/(x)的反函数.注意：(1)只有一一对应的函数才有反函数(=单调函数一定有反函数)(2)原函数与反函数的图像关于直线y=x对称.基本初等函数(6类函数的图像及性质)(1)常值函数y=c,(xeR)(2)募函数y=xa(aeR)(掌握a=-1,1,2,3的函数图像及性质)(3)指数函数y=废(。>0,且aBl)xeR,ye(0,+8)(4)对数函数y=logdx(a>0,fia*l)xe(0,+oo),yeR与指数函数互为反函数.记ex=expx,log(,x=lnxy=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,(图像及性质)(5)三角函数 i 1y=secx= ,y=escx= cosx* sinx(6)反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=a/cotx(图像及性质).复合函数：若y=/(〃),〃=°(幻,当(p(x)的值域落在了(〃)的定义域内时，称y=〃例刈是由中间变量“复合成的复合函数..初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并能用一个式子表达的函数..非初等函数：a)常见的分段函数b)符号函数sgnx C)狄利克雷函数3(x) d)黎曼函数R(x)四、函数的基本性质.有界性：若三加>0,\/%€/,/&)归例,则称代止行界 .反之，若不存在这样的正数则称为止无界 ..单调性：X]<x2=>/(^))</(^2)单调增X]<Xj=>/(x()f(x2)单调不减通常根据导数来判定函数单调性.奇偶性：y(-x)=/(x)偶函数/(-x)=-/(x)奇函数注意：定义域一定要对称；通常按定义判断函数奇偶性运算性质：奇函数士奇函数=奇函数；偶函数士偶函数=偶函数；奇函数x(十)奇函数=偶函数；偶函数X")偶函数=偶函数;奇函数x(+)偶函数=奇函数；.周期性：三非零常数T,/(x+n=/(x)通常按定义判断函数周期性例判别下列函数的奇偶性y=ln(x4-yjx24-1)y=/(x)(_^+:),其中的询函数"(x)ci—12第二节极限一、数列极限定义：limx〃=a<=>V£>OJN>0,使对胭府*, \xn-a\<£极限存在与前有限项的取值无关，即limx,+*=limx“（其中的自然数）n->oo "foo数列极限的性质：.唯j性若linW也=A,limx“=8 A=8.（想想为什么？）n—>oo.有界性若州触律A,3M>0,\xn\<M.（想想为什么？）〃一►00收敛数列一定有界，但是有界数列不一定收敛.如.保号性如果1加/=4>0（或409密翔存或n>Nxn>0（xn<0）.（想n—>oo想为什么？）.收敛数列与子数列的关系若limx“=Anlimx“=A反之，不一■定.n-HO Afook.数列极限存在准则（I）夹逼准则如果数列｛怎｝,｛”｝及｛z“｝满足下列条件:a）从某项起，即现wN,当〃>%时,有y“4x“Vz”，TOC\o"1-5"\h\zb)limyn=a,limzn=a,〃一>8 n—>oo那么数列｛x“｝的极限存在，且limxa=a.“TOO(II)单调有界收敛准则单调有界数列必有极限例1证明limn(— F-——+ + ——)=1"->« 〃+万 〃+2乃 〃+〃乃例2证明数列也亚屋反，2+亚二月,…的极限存在,并求该极限.二、函数极限.函数当xfx。时的极限定义1：设函数在点X。的某一去心邻域内有定义.如果存在常数4对于任意给定的正数£(不论有多小)，总存在正数5,使得当X满足不等式O<|x-Xo|<6时，对应的函数值/(x)都满足不等式\f(x)-A\<c,那么常数A就叫做函数当时的极限，记作lim/(x)=A或角x)—>A(xfx0)(简述：lim/(x)=AoV£>0JS>0,当时引靖引<6 \f(x)-A\<£注意：a)上述极限表示x既从x0的左侧又从x°的右侧趋向于尤。的，b)当x从x()的左侧(即4-b<x</)趋向于与时，，那么A就叫做函数/(x)当xfx()时的左极限，记作lim/(x)=4或/(%-)=A;类似地,定义右极限，lim/(x)=A或/(/+)=AC)极限存在与/(x)在点与有无定义或定义的值无关.d)lim/(x)=A<=>lim/(x)=lim/(x)=AXT与 XT而. XT/一.函数当Xf8时的极限定义2：设函数/(X)当|x|大于某一正数时有定义.如果存在常数4,对于任意给定的正数£(不论有多小)，总存在正数X,使得当X满足不等式k|>X时，对应的函数值“X)都满足不等式\f(x)-A\<£,那么常数A就叫做函数/(幻当Xf8时的极限，记作lim/(x)=A或 —>A(xf8)x->co简述：lim/(x)=Au>V£>O,mX>0,当啊|>布 \f(x)-A\<£注意：a)x―>00既^去^力：x—>+8也1表X―>-00b)limf(x)=A=limf(x)=limf(x)=AXT8 X—>+<X> X—►—00.函数极限的性质(1)唯一，性：若lim/(x)=A/im/(x)=8,贝tlA=8(2)局部有界性:若lim/(x)=A,则训>0»>0,使0<lx-Xol<3时，⑶局部保号性：若lim/(x)=A,A>0,则£(%),xe5(x°),/(x)>0(4)函数极限与数列极限的关系(归结原则)：若limf(x)=A,limxn=x0(xnx0),则lim/(xw)=limf(x)=Ax—n—>oo n—>oo x—>x0(5)四则运算：若limf(x)=A,limg(x)=B,贝Ijlim[^(x)±lg(x)]=kA±IB;lim[0(x)•g(x)]=乂•8；lim=-(B*0).g(x)B两个常用结论:a)lim4^存在,limg(x)=O=>lim/(x)=O;g(x)b)lim—A*=A0limf(x)=0=>limg(x)=0;g(x)事实上，除了上述法则外，还应注意：存在不存在不存在；不存在不薇在不一定；

存在承荀在=不一定不存在不存存有尸定；=4.无穷小量和无穷大量(1)无穷小量1)定义：若lim/(x)=0,称/(x)为x趋于*的无穷小量.特别地，。也XT*可以看作无穷小量.2)无穷小量的比较：设lima(x)=0』imP(x)=0.高阶:若lim伙")-=0,贝lj称/?*)为a(x)的高阶无穷小量记为/?(%)=o(a(x)).a(x)同阶：若lim纲=C¥0,则称以幻与a(x)是同阶无穷小量.a(x)等价：若lim名旦•=1,则称"x)与a(x)是等价无穷小量.记为a(》~〃(x).«(x)无穷小的阶：若lim-"x)「=C#0,则称/(x)是a(x)的k阶无穷小量.例已知当xf0时，"‘-cos&x与ax"是等价无穷小，求〃3)无穷小量的性质:a)有限个无穷小量之和仍为无穷小量；b)常数与无穷小量之积仍为无穷小量；c)有限个无穷小量之积仍为无穷小量；d)无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量；(2)无穷大量1)定义:若lim/(x)=oo,称/(x)为x趋于*的无穷大量XT*2)无穷大量与无界变量的关系：无穷大量=无界变量，反之不一定成立，数列K｝是无穷大量：VM>0,圳,当小卜丽，有 \xn\>M数列区｝是无界变量：VM>OJN,使\xn\>M.反例：数列七,="+(-1)"]〃是无界变量，但不是无穷大量.3)无穷大量与无穷小量的关系：无穷大量的倒数是无穷小量；无穷小量(除0外)的倒数是无穷大量.注意：a)无穷大量之和(同方向)、之积为无穷大量；无穷大量之差(同方向)、之商结果不一定；无穷大量与有界变量之积不一定(如limx'=i),但若I00Xlim/(x)=a。O,limg(x)=8,则lim/(x)g(x)=oo；无穷大量与有界变量之和、之差为无穷大量.b)在求极限的过程中，当*boo无穷大量\naxxpax£(a,"0,a>l)三者趋于无穷大的快慢程度不一样决定了三者之间比值的极限也不一样.对于数列无穷大量之间有Innnaan〃！〃"(a>0,a>l)

, x" nx cix如lim———=oo;lim =oo;lim—=oo;-8in"xi°°In=x18xpInaxIn。xx'lim—1r=0;lim--=0;lim—=0;X->00 X->00QA X—>oca'例lim—（Vn-1）=isinn5.求极限的步骤与方法步骤：对于函数极限：步1）能否有理化；步2）考虑等价无穷小代换;步3）考虑重要极限；步4）考虑洛必达法则；步5）利用泰勒公式转化.对于数列极限：步1）能否连续化求对应函数极限；步2）夹逼准则；步3）单调有界准则；步4）利用定积分的定义.方法1：利用有理运算法则求极限常用的方法a）分子、分母有理化后约分b）多项式比值的极限lim4(x)_Q()lim4(x)_Q()x'"+qx"1+•••+Q,,(x)瓦x"+W+…+或包,当及=m瓦0,当〃＞机,00,当〃<m.例lim+8->/x+l)=x—>oc方法2：利用重要极限a）lim皿=1=推广形式蚓心硬=1（iox （p（x）\_ _J_加liq(l+x)；=e=>推广形式班(ft+9(x))Wx)=e(nm^(x)=0);lim(l+0(x))*(*)=eA(当Ifrfn(p(x)•y/{x)=A).C)limVx=lx—>oo/tj.1 「zarcsinxx： 例lim( )i-g=X方法3：利用等价无穷小代换求极限常见的等价无穷小，当x-0时，xsinxtanxarcsinxarctanxln(l+x)ex-112axxlna;(l+x)a14-«x;l-cosx-x.注意：有相应的推广形式求极限，等价无穷小只能在乘除法中替换,不能用于加减法.1的［1r(I+ —I例1hm- =cosX-1例2lim理卫=一。2x方法4：利用洛必达法则(9;2)000设函数/(x),g(X)满足条件：lim/(x)=0,limg(x)=0.(或limf(x)=oo,limg(x)=oo)x—>Xq X—>Xq X—>Aq X->Xq/(x),g(x)都在隔邻域内可导(在点除外)且g'(x)#O;lim"也存在(或小XT%g(%)则lim1加上XT"g(X)刀一与g'(X)推广形式求0・00；8-00；18；00。；0。；型极限,前二者可直接化为9；方型极限,000后三者可用事指数函数极限的方法即lim(/(x))R")=lim再进一步化为°；方型极限求.000注意：一般来说对于振荡函数求极限不用洛必达法则.

如当XT8时,极限式中含有sinx,cosx;当x—0时，极限式中含有sinLcosL

xx例方法5：利用泰勒公式展开求极限x2ex=l+x2ex=l+x+—+o2

x2

COSX=1 F2/ x3(x2);sinx=x +o(x?,);arcsinx=x+—+€>(x3);6 6,4,3—+o(x4);tanx=x+—4-o(x3);arctanx=x--4-o(x3);4! 3 3ln(l-i-x)=x-^-4--+o(x3ln(l-i-x)=x-^-4--+o(x3);(1+x)°=1+ax+次6^-,x2+o(x2).mii「cosx-e2例Ihm- i。x[x+ln(l-x)]例2limx->0sinx-tanx(#1+厂-1)(Jl+sinl-1)方法6：利用夹逼准则求极限例lim例limRa：+ +…+册〃T8Y.(4>0)方法7：利用单调有界准则求极限例x“+]=sinx,（0<X]<乃,〃=1,2,・一）证明limx”存在，并求该极限n—>oo方法8：利用定积分的定义求极限例 lim(—!—+——+・・・+—?—)"T8〃+in+2 n-\-n第三节函数的连续性一、函数连续的概念L定义：设函数y=/(x)在点入的某一邻域内有定义，如果limAy=lim[/(xo+Ax)-/(xo)]=O,Ax—>0 AxtO那么就称函数y=/(x)在点与连续.常用定义：设函数y=/(x)在点飞的某一邻域内有定义，如果lim/(x)=/(x0),那么就称函数/(x)在点与连续.简述：/(X)在点X。连续0%>035>0,当M第<b \f(x)-f(x0)\<£左连续：1加/(幻=/(4)=/(%)x-Mo右连续：lim/(x)=/(x0+)=/(x。)XT%函数/⑴在点尤0连续O/⑴在点无。左连续且右连续.二、函数的间断点及类型.第一类间断点：左、右极限都存在的间断点可去间断点:左极限=右极限(lim/(x)=lim/(x)*f(x0))x—>Xq X—>Xq~跳跃间断点：左极限w右极限(lim/(x)*limf(x))X->Xq4 X—>Xq-.第二类间断点：左、右极限中至少有一个不存在，只掌握两类无穷间断点：X—时，/(%)—>00.振荡间断点：xf4时，/(幻振荡，例limsin-x例 求函数/(x)=limH=的间断点并指出其类型.〃-8X+X三、连续函数的性质.连续函数的和、差、积、商(分母不为0)及复合仍连续；.初等函数在其定义域内处处连续；.闭区间上连续函数的性质(往往用于证明方程中自的存在性以及方程的根问题)a)有界性：若/(x)在［a向上连续,则/(X)在［a,小上有界.b)最值性：若/(x)在［a,加上连续，则/(x)在［a,加上必有最大值和最小值.C)介值性：若“X)在［a,切上连续，且F(a)HfS),则对/(a)及/⑸之间任意常数C,至少存在一点,使得/C)=C.推论：若/(x)在［a向上连续，则/(x)在［a,加上可取到介于最小值和最大值之间的任何值.d)零点定理:若/⑴在［a,加上连续，且>(办/@)<0,则至少存在一点火(a,b),使得"4)=0.例设函数/(x)在(-00,+8)上连续，且lim42=0,试证存在18X^e(-oo,+oo),使得/0+自=0.证明:第二章导数和微分第一节导数和微分概念1.导数的定义设函数y=/(x)在点(/(/»)内有定义，当自变量x趋近于与即Ax趋于0时，相应地增量与=/也+-)-〃%。)与Ax的比值的极限存在，称函数y=/(x)在点/处可导，该极限称为y=/(x)在点无。处的导数，记作M-或/'(/)・简述:/'(/)=外气=lim"=lim/*。+醺）一/（/）

AxasoAx简述:/'(/)=外气推广形式一卬小安詈小『3.左导数：£(%)=lim”x)7(x。)=iim/(/+力)-/(%).*-＞与.x-xQio-h右导数：/；(x0)=lim/⑴一小)=lim"&+〃)―/(々).*-*()♦x—xQi。’h可导。左、右导数都存在且相等.例研究函数/(尤)=可在x=0处的导数..微分的定义设有函数y=f(x),若函数的增量Ay=/(x0+Zkr)-/(x0)可表示为△y=A-+o(Ar)的形式，其中A是不依赖于醺的常数，那么称函数y=/(x)在点与处是可微的.叫做函数y=/(x)在点/相对于自变量的增量心的微分，记作dy,即dy=AAr.函数可微的充要条件：/(X)在点/可微o/(x)在点X。可导.且dy=f'(x0)dx.简要证明：(=>):Ay=AAx+o(Ax)=>—=A+二|而—=f\xn)=A,即dy=f\x0)dx',AxAxz0Ax(<=):lim—=/r(x0)=>—=/'(工0)+1=>Ay=/'(Xo)Ax+aAx=/F(x0)Ax4-6>(Ax).Z Ax于是函数y=/(x)的微分又可记作dy=f\x)dx..导数和微分的几何意义(会求曲线的切线方程和法线方程).导数八/)在几何上表小曲线y=/(x)在点(不)/(%)处切线的斜牛，.微分dy=_T(Xo)dr在几何上表示曲线y=/(x)的切线的增量.4.连续、可导、可微之间的关系例讨论函数xsE^xhO在点x=o处的连续性和可导性以及导函数I0,x=0的连续性.第二节导数的计算1.基本求导公式1)(cy=o；2)(xay=axa-'-3)(ax)'=a'\na-,4)5)(log“x)'= ;6)(Inx/=—;7)(sinx)'=cosx;8)(cosx)'=-sinx;x\na x9)(tan=sec2x\10)(cotx)'=-csc2x;11)(secx)r=secxtanx;12)(escx)r——escxcotx;13)(arcsinx)f=. ;14)(arccosx\=——/15)(arctanx)f--16)(arccotx)r= 1+x 1+x~2.求导法则1)有理运算法则设"=〃(丈),丫=心)在》处可导，贝ljf fa)(u±v)f=ur±vrb)(〃・v)'= c)(一)'= j——(，00)vv例(不一——y=x+5xcosx2）复合函数求导法设“=0（幻在x处可导，＞=/（“）在对应点处可导，则复合函数y=/［贝初在x处可导，且axduax例y=sin■2%--,求也- 1+x2dx显函数：形如y=/(x),等号左端是因变量的符号，右端是含有自变量的式子，这种方式表达的函数称为显函数.例如y=sinx;y=lnx+e*隐函数：由方程尸(x,y)=O在一定条件下，当自变量x取某区间内的任一值时，相应的总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程F(x,y)=O在该区间内确定了一个隐函数.求导方法：设y=y(x)是由方程尸(x,>)=0所确定的隐函数的可导函数,为求得了，可在方程/区y)=0两边对x求导，可得到一个含有V的方程，从中解出y即可.例设函数y=y(x)由方程+町=0所确定，求y"(0).4)反函数求导法若函数x=/(y)在区间/,内单调、可导且尸(y)HO,则它的反函数y=/T(x)在区间Ix={x|x=/(y),ye/v}内也可导，且"%)了=/-或虫=4-.f\y)dxdxdy证明：由于函数x=/(y)在区间4内单调、可导(即连续)且((y)#0,则x=/(>)的反函数y=尸(x)存在，且在对应区间/<={#=/(y),ye/,,}内也单调、可导(即连续).任取给尤以增量+ ,由〉=尸(外的单调性

可知取=广1（8+加：）一广1（外/0,于是有色=，-,因y=/T（x）连续，故AxAxNlimAy=0,从而AiO[f-'(x)Y=lim包=lim1=」一

.->OAxAy->oAxf\y)Ay反函数二阶导公式:"%)raxfn"%)raxfn(y)f(y)/"(y)

"'(y)F5）参数方程求导法设y与x的函数关系是由参数方程”=*）确定的，则称此函数关系所（7=力。）表达的函数为由参数方程所确定的函数.dydydtdy1"'«）

= - - dxdtdxdtdx”⑺

dt参数方程二阶导公式：d2yddx2dxdy'('=dy'(r)].d2yddx2dxdx(p\t)dt(p'(t)dx (p'2(/) (p'(t)例求参数方程卜二心灰下的二阶导数y=arctant

若函数为y=/(x)g")形式，求型.则对函数两边同时取对数得,axIny=g(x)ln/(x)=>—=g'(x)Inf(x)+g(x)^^=>J--y'=y[g'(x)ln/(x)+g(x)^y^]y ，(x)dx /(x)例设y=(l+x?严,求y.第三节高阶导数定义：一般地，函数y=/(x)的导数y=((x)仍然是x的函数.我们把y=_f(x)的导数叫做函数y=/(x)的二阶导数，记作或少，即类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，……，(〃-1)阶导数的导数叫做〃阶导数，分别记作d"y~dx"、严v(4) 、：(">成考d4yd"y~dx"y,y，…,y或者京京，・计算方法:I)归纳法：即先求一阶导，二阶导，…，最后归纳证明出〃阶导数.II)莱布尼兹公式：严=2。/"*)卢)4=0

vitt flTTa)[sin(ax+b)]("'=a"sin(ax+/74 );[cos(ax+b)产=a"cos(ax+/7H );b)〃！b)(x+a严C)[(l+x)0]<n)=(z(a-l)(iz—2)…(a—〃+1)(1+x)a-n.IV）利用泰勒级数：〃外=£丝比（X-X。）"其中麟孰或电次项的系数，n ）„=（）n\ n\贝犷伙%）=4•〃！例设/（X）=2—Z求/2%）・厂一5工+6例求函数f(x)=x2ln(l+x)在x=0处的n(n>2)阶导数.第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理一、罗尔定理.费马引理：设函数/(x)在点与的某一邻域U(x。)内有定义，并且在X。处可导，如果对任意的xeU(x0),有/34八%)(期3"(%)),那么/,(xo)=O.证明：不妨设xwUQo)时，/(幻】(/)(如果/(32/(%),可以类似地证明).于是，对于尤o+—eU(%),有/(x0+Ax)</(x0),从而当Ax〉O时，/(X。+Ax)-"/)三0；当原<0时，/(/+八)-"%)>0根据函数/⑶在小Ar Ax可导的条件及极限的保号性，得/(X。)=£(4)=lim""［)T(x°)wo,/'(X。)=£(%)=lim"/+，)-"x°)A0

&jo-Ax所以尸5)=o.证毕..罗尔定理：如果函数/(x)满足：a)在闭区间［a向上连续；b)在开区间(a,b)内可导;c)端点值相等,BPf{d)=f(b),那么至少存在一点火(a/),使得与修)=0.证明：由于"X)在［a㈤上连续，根据连续函数的最值定理知，fM有最大值M和最小值机，分两种情况讨论：M=m,此时/(x)在［a,例上必然取相同的值M,即/(x)=M.由此得/(x)=0.因此,任取火(a,b),有尸0=0.M>m,因为/(a)=/S),所以M和m至少有一个不等于/(x)在区间［a,M端点处的函数值.不妨设Mx/(a)(若初到那似证明 )则必定至少存在一点Je(a⑼使得/《)=”.因此任取有/(x)</«),从而由费马引理有:(4)=0.证毕.想想：几何意义？例设函数/(x)在［a,封上连续，在(a⑼内可导,且/(a)=b,f(b)=a,。与b同号.求证：*e(a,b)使,C)=-A^.4二、拉格朗日中值定理(条件比罗尔定理弱多了)拉格朗日中值定理：如果函数"X)满足:a)在闭区间［a,。］上连续;b)在开区间(a,b)内可导;那么至少存在一点火(a,b),使得f(b)-f(a)=f'^)(b-a).证明：构造辅助函数F(x)=/(x)-"⑷+"?一/⑷("a)］，于是F(x)b-a刚好符合罗尔定理的条件，则至少存在一点使得/信)=0,F\x)=f\x)-f(bl~f(a),

b-a所以,b-a从而/S)-/(a)=/'C)S-a).证毕.想想：几何意义？拉格朗日定理是罗尔定理的推广形式(只需令f(a)=f(b)即可).例证明当x>0时，一匚<ln(l+x)<x.1+X并有离散形式：—^―<ln(n4-1)-In/?<—.n+l n三、柯西中值定理柯西中值定理：如果函数"X)及尸(X)同时满足：a)在闭区间［a向上连续；b)在开区间(a,b)内可导；C)对任一xe(a,b),尸(x)#0,那么至少存在一点火(a,b),使得/⑸一/⑷=2.F(b)-F(a)F(^)证明：首先注意到/(b)-F(a)HO.因为F(b)-F(a)=F\r})(b-a),77e(a,b)因假定F(〃)#0,又b-aHO,所以尸⑸-尸(a)wO.构造函数例x)=f(x)-f⑷一一/3)［f(x)_/(幻］,易验证例对适合F(b)—F(a)罗尔定理的条件：(p(a)=(p(b)=0;e(x)在闭区间［a,。］上连续，在开区间(9)内可导且"(x)=八幻-3里.尸(x).根据罗尔定理，可知至少F(b)-F{a)存在一点六(a,b),使得d4)=0,即r©_"b)-J(a)F，《)=o,

F(b)-F(a)由此得，=f'(^

F(b)-F(a)~证毕.想想：儿何意义？柯西中值定理是拉格朗日定理的推广形式(只需令产(x)=x即可).例设函数/(x)在［a,包上连续，在(a,b)内可导，且a与b同号，求证:使f'(4)=中/'(77).四、泰勒中值定理泰勒中值定理(拉格朗日型余项)：如果函数/(幻在含有％的某个开区间(a,6)内具有直到(〃+1)阶的导数，则对任一xe(a,b),有f(x)=f(xQ)+f'(x0)(x-x0)+/，＞)(x—/了+…+上~(x-％)"+R，x),

2! n\其中4(%)=u-x0严看是介于与与》之间的某个值.(〃+1)!

(佩亚诺型余项)：如果函数/(x)在含有与的某个开区间(a㈤内具有直到(〃+1)阶的导数，则对任一xe(a,b),有f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+ (x-x0)+-x2-Vl+x2例1求极限+-x2-Vl+x2例1求极限1).lim理与等丝, 2).lim:一5——.TOC\o"1-5"\h\z2! n\其中/?„(x)=o[(x-x0)"],(x->x0).如果取x0=0,从而泰勒公式变成较简单的形式，称为麦克劳林公式.常见的麦克劳林公式：(大纲要求掌握)1 1 8 ]ex=\+x+—x2+■+—xn+o(xn)=Y—xn2! n! 士〃！sinx=x--x…sinx x->0(cosx-e')sinx2+-x5--+(-l)n―J—x2n+l+o(x2n+l)=y(…sinx x->0(cosx-e')sinx23! 5! (2〃+l)! & (2〃+l)!1 1 1 1cosx=l-—x2+—x4--+(-l)n—x2n+0(x2")=Y(-1)"~^—x2n2! 4! (2〃)！ 士 (2〃)！1 1 1ln(l+x)=x--x2+-x3—♦•+(-l)n—xM+1+o(xn+i)=V(-1)"—xn+,,xe(-l,l]3 〃+1 Mn+1Z1.、a.. .a(cr-l)2.cr(a-1)•••(«-n+1)„n(a(a-l)…(a-〃+l)„(1+x)=l+axd xH 1 x+o(x)=> x,例2设/(x)在[0,1]上三阶可导,且/(0)=0,/(1)=1,/(二)例2设/(x)在[0,1]上三阶可导,且/(0)=0,/(1)=1,/(二)=0.求证:带e(0,1)，使/@224.第二节导数的应用一、函数的单调性与曲线的凹凸性和拐点.函数的单调性设函数y=/(x)在闭区间［a向上连续，在开区间(凡母内可导.a)如果在(a,b)内/(x)>0,那么函数y=/(x)在上单调增加；b)如果在(a,b)内r(x)<0,那么函数y=/(x)在［a向上单调减少.注意：在判断函数的单调性及求单调区间的过程中，第一步找出无定义的点、导数不存在的点以及导数为零的点；第二步根据这些点来划分定义区间，在每个区间上讨论((%)的符号；第三步求出单调区间.例1证明：当x>l时，24>3」.X例2试讨论方程Inx-±+1=0的实根个数e.函数的凹凸性及拐点1)定义：设函数/(X)在区间/上连续，如果对/上任意两点不赴恒有人.+々)</Ui)+/(-y2)2 2 '那么称/(x)在/上的图形是凹的(几何形状?)：如果恒有『卢+%〉/(一)+/(±)八21 2那么称/(x)在/上的图形是凸的(几何形状?).判定方法：(联系几何意义记忆)设函数/(X)在S向上连续，在①⑼内具有一阶和二阶导数，那么：3)若在(a,b)内f"(x)>0,则/(x)在［a,b］上是凹函数；b)若在(a,仕内/(x)<0,则/(尤)在［a向上是凸函数.2)拐点定义：如果连续曲线y=/(x)在点两侧的凹凸性相反,则称点(尤0，/(%))为曲线y=f(x)的拐点.判定凹凸区间和拐点的方法：a)求出函数y=/(x)定义域；b)求出二阶导数广(X)；C)求出二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点；d)判断，确定出曲线凹凸区间和拐点.注意：拐点不一■定是二阶导为零的点(反例y=也在点x=0)；二阶导为零的点也不一定是拐点(反例y=x4在点x=0).例求曲线y=3d-4尤3+1的拐点及凹、凸区间.二、函数的极值与最值.函数的极值.定义：设函数/(x)在点4的某邻域U(%)内有定义，如果对于去心邻域0(%)内的任一x,有/(x)</(x0)(或/(x)>/(x。))，那么就称/(x0)是函数/（X）的一个极大值（或极小值）.1）极值的必要条件设函数/（X）在x=x0处取得极值，且八%）存在，则/（%）=（）.导数为零的点称为驻点（或稳定点），注意：驻点不一定是极值点（例y=x，在点X=O）,极值点也不一定是驻点（例函数y=国在点x=0）.2）极值的充分条件a）第一充分条件设函数/（X）在/处连续，且在X。的某去心邻域0（工》）内可导，I）若xe（X。•-瓦X。）时，f'（x）>0,而xe（/Mo+5）时，f'（x）<0,则）（x）在X。处取得极大值；II）若%6（%0-瓦/）时，f\x）<0>而xe（为0，%+5）时，f'（x）>0,则/（x）在无。处取得极小值；III）若xeO（x。⑶时，/（x）的符号保持不变，则/⑴在/处没有极值.b）第二充分条件若尸（%）=0/（%）*0，则/⑴在公处取得极值.其中当/”（%）>0取极小值,当/"（/）<0取极大值.C）第三充分条件若八X。）=/"（%）=•••=（X。）=0J0°（Xo）+0,则：I）当〃为偶数时/（X）在X。处有极值；/伙/）>0取极小值，/叫/）<0取极大值.II）当“为奇数时/（X）在X。处无极值..函数的最值函数在定义区间上的最大值和最小值称为函数的最值.注意：函数的极值是局部概念；函数的最值是整体概念.函数的极值不一定是最值；最值也不一定是极值.判断函数极值和最值的方法：a)求出函数的导数(⑺；b)找出函数/(x)的全部驻点和无定义点或不可导点；c)通过判断广⑴符号情况利用充分条件进行确定函数的极值情况；d)确定出函数所有极值点和极值；并与所有不可导点的值以及区间的端点值作比较，确定出函数在整个区间上的最值.例求函数/(x)=(x2_iy+i在［一2,3］上的极值与最值.三、函数图形的描绘和曲率.函数的渐近线定义：当曲线y=/(x)上的一个动点P沿曲线移向无穷点或定点时，如果点P到某定直线L的距离趋向于零，那么该直线L就称为曲线y=/(X)的一条渐近线.1)水平渐近线若lim/(x)=a(或limf(x)=a)>则称y=a为曲线y=f(x)的水平渐近线.如：曲线y=arctanx有两条水平渐近线y= =2)垂直渐近线若lim/(x)=8(或lim/(x)=oo),则除x=x°为曲线y=/(x)的垂直渐近线.如：曲线,=再1有两条垂直渐近线、=Tx=2.3）斜渐近线若lim虑=*hm[f（x）-ax]=b,贝U称直线y=qx+/?为曲线y=/（x）的斜渐近线.（想想为什么？可联系几何意义）例：求曲线y=生01的渐近线方程.&.函数图形的描绘方法步骤：a）确定函数的定义域，并求出函数的一阶和二阶导数；b）求出一阶和二阶导数为零的点，求出一阶和二阶导数不存在的点；c）列表分析，确定曲线的单调性和凹凸性；d）确定曲线的渐近线；e）确定并描出曲线上的极值点、拐点、与坐标轴的交点、其它特殊占・八、、，f）联接这些点画出函数的图形..曲率、曲率半径（数三不要求）曲率是描述曲线弯曲程度的量.k=—"।3；（其中y="龙））曲率a+广\ ，曲率半径K=- ^;（其中苫=8（04=刈）7f2.,/2\2A-*|人生设计HAITIANEDUCATION| 92013考研数学导学讲义（高数上）——之积分学、方程部分南京海天

王君甫第四章一元函数积分学第一节基本概念、理论一、不定积分.原函数定义1:如果在区间/上，可导函数F（x）的导函数为/（x）,即对任一XG/,都行/（X）=/（X）或"（X）=/（X）dx,为陷F（X）就称为/（X）在区间/上的原函数.原函数存在定理：如果函数/（X）在区间/上连续，则/（X）在区间/上一定有原函数.注意：a）如果/（X）有一个原函数，则/（X）就有无穷多个原函数.即设尸（x）是/（x）的原函数，则F（x）+C也是/（x）的原函数.

b)如果F(x)与G(x)都为/(x)在区间/上的原函数，则F(x)与G(x)之差为常数,即尸(x)-G(x)=C..不定积分定义2：在区间/上，/(x)的带有任意常数项的原函数，称为/(外在区间/上的不定积分，记为J/(x)dx.注意：a)如果尸(x)是/(x)的一个原函数，则J/(x)dx=F(x)+C,(C为任意常数)b)初等函数在定义域区间上连续，因而一定存在原函数，但cosxX它的原函数不一定是初等函数，也就是下列积分是积不出来的.如:cosxX-dx,jsin(x2)Jx,jcos(x2)dx,.基本性质a)线性性质：(x)±bg(x)]Jx=aj/(x)dx±h (x)dx;b)微分与积分运算:d\f(x)dx=f(x)dx;[F(x)\lx=F(x)+[F(x)\lx=F(x)+C;pF(x)rfx=F(x)+C.基本积分表l)Jkdx=H+C2)J尤"dx=+C(//*-l);3)J—=ln|x|4)J—=arctanx+C;5)l==dx=arcsinx+C;6)JcosMx=sinx4)J—=arctanx+C;5)7)(sinxdx=-cosx4-C;8)f——=(sec2xJx=tanx+C;9)f——=fcsc2xdr=-cotx+C;J Jcos2xJ Jsin2xJa*10)jsecxtanxdx=secx+C;l1)jcscxcotxdx=-escx+C;12)^exdx-ex+C;13)^axdx=-——+C.二、定积分.定积分的定义由曲边梯形的面积导入：定义：设函数/(x)在［a向上有界，在［a向中任意插入若干个分点a=x0<%)<x2<•••<xn_］<xn=h9把区间［a,。］分成个〃小区间［如引，［再㈤，…,各个小区间的长度依次为Ar1=斗-x0,Ax2=x2-X!，---,Axn=xn-x„-r在每个小区间区”引上任取一点作函数值/(幻与小区间长度”的乘积f©)AXj(i=l,2,…并作出和S=£/(沁……(1)1=1记4=max{jM，…,如果不论对［a,回怎样划分，也不论在小区间上点。怎样选取，只要当4—0时，和S总趋于确定的极限/,那么称这个极限/为函数/(x)在区间［a,b］上的定积分(简称积分)，记作("x"，即ff(.x)dx=1=lim七/C,i=\其中/(x)叫做被积函数，/(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，。叫做积分下限，b叫做积分上限，【。㈤叫做积分区间.利用”£-小的说法，上诉定积分的定义可以表述如下：设有常数/，如果对于任意给定的正数£>0,总存在一个正数相使得对于区间【。向的任意分法，不论点。在优上怎样选取，只要尤<5时，总有<£成立，则称/是/(x)在区间［a,b］上的定/=!积分，记作f/(xg.注意：a)定积分要求积分区间有限，被积函数在积分区间上有界.b)积分值与积分变量无关，即fv(xwx=(f(t)dt=rfwu.Jr? Jr/ J(iC)在几何意义上，定积分表示的是函数图像与X轴围成的代数面积.例.函数的可积性必要条件：/(x)在［%b］上可积,则/(x)在［%b］上有界.充分条件：a)/(x)在区间口们上连续.b)"X)在口々上有界且只有有限个间断点..定积分的性质约定a)：当a=b时，f(x)dx=0约定b):当a〉b时，=f(x)dx1)线性性质：f［kf(x)+lgJ()］dx=kff{x)dx±lff(x)dx2)区间可加性：I*f(x)dx=rf(x)dx-^f(x)dx(c为任意的常数)3)比较定理：如果在区间M,口上，/(x)>0,贝ljf/(xWxNO(a<b)特别地，如果在区间［a,b］上，/(x)Ng(x),贝lj fg(x)(/x(a<b)推论：|£f(x)dx<£|/(x)|c/x(a<&)(证明？)4)积分估值定理：在区间［。力］上，设m<f(x)<M,则 qAf(b-a)(证明？)5)积分第一中值定理：如果函数/(x)在闭区间［。向上连续，则至少存在一点六出向，使得。(xWx=/e)(b-a)(证明？)推广形式：若/(x)与g(%)都在口以上连续，且g(x)在M向上不变号,则至少存在一点使得f/(x)g(xWx=/C)fg(x0x(证明？)6)/\dx=b-a;设函数〃x)在M,加上连续，非负，且『/(x)dx=O,则/(x)三0.Ja例1求极限limfxYl+x？dx〃一HJOJ).变限积分定义：如果函数/(幻在M力］上连续，则积分上限的函数①(x)=f/Q)df在上可导，并且它的导数①'(x)=@「/«)力=/(x)(a<x<h)注意：如果函数/(x)在M,以上连续，则函数①(x)=1/⑺力就是/(X)在力］上的一个原函数.(即连续函数必有原函数)a)连续性：若/(x)在M㈤上可积，贝叮加)力在［。力］上连续.b)可导性：若/⑴在M,以上连续，则力在力］上可导，且(£/(rW=/(x)C)变限积分求导法则：(「"/(，)力)'=/(”(x))/(x)-/(e(x))“(x)即(X)d)奇偶性：i)若/(x)为连续奇函数，则工/⑺力为偶函数；(证明？)ii)若/(x)为连续偶函数，则1/⑴力为奇函数.例设/(x)在［a向上连续，单调增.求证：xf(x)dx>f(x)dx.微积分学基本定理——牛顿、莱布尼茨公式如果函数F(x)是连续函数/(x)在［。向上的一个原函数，则例1设/(x)在［0,+oo)内连续且/(x)〉0.证明函数/(x)=I也些在［次)出(0,y)内为单调增加函数.4 _u.f/dt例2求lim 5x第二节积分法则.第一类换元法(凑微分法)常见的几类凑微分法：^f(ax+b)dx=—^f(ax+b)d(ax+b);jf(xn)xn~'dx=—J/(xn)dx";dx=—;j/(sinx)cosxd=,(sinx)dsinx;j/(cosx)sinxd=-^/(cosx)dcosx;j/(tanx)sec2xd=j/(tanx)Jtanx;^f(ex)exdx=^f(ex)dex;j/(lnx)—J=j^/(lnx)rf(lnx);^J"巾⑺+5例]\~^dxJjc+X.第二类换元法(变量替换法)/*=/(，)『]f(x)dx=jf[<p(t)](p'(t)dt=F(t)+C=F((p'x(x))+C;2)假设函数/(x)在[a,可上连续，函数x=*)满足条件：例a)=a>(p(B)=b;°(r)在&0(或[夕,a])上具有连续导数，且其值域(u[a,b],则有ff(x)dx=ff[(p(t)](p'(t)dtJa Ja3)常见的三角代换公式：a)yJa2-x2, =asint(acost)； b) 令x=atanr；C)yjx2—a2,令x=asect•.分部积分法一适用于两类函数的乘积形式的积分\iidv=uv—\vdu； 2)fudv=nvl—Tvdu常见的分部法则：jp〃(x)*dx;Jp“(x)sinaxdx;Jp“(x)cosaxdx.将多项式以外的凑到d上；jpn(x)Inxdx;jpn(x)arctanxdxjp〃(x)arcsinxdx.将多项式凑到d上;C)jeaxsinpxdx;J*cospxdx.凑谁到”上都可以，关键会算两步.dx=例]f.dxdx=Jy]X(4-X)后[.rarctane]例3J—Lx=例5psinxdx=比sinx4-cosx例6已知/(x)连续，tf(x-t)dt=1-cosx9求 的值.有理函数积分法1)有理函数：两个多项式的商型称为有理函数，又称有理分式.

Q(x)真分式：P(x)的次数低于Q(x)的次数.假分式：P(x)的次数高于Q(x)的次数.方法：a)利用多项式的除法，假分式积分一定能化成一个多项式积分与一个真分式积分的和形式.如产：；］+%=j(2x2-l)Jx+b)对于真分式积分，举例说明：例］求f,X+1dx 例2求f3 dxJx--5x+6 J2x3+3x2+3x+l2)可化为有理函数的积分，j>(sinx,cosx)dx9通常采用万能公式代换法2tan—令，=tansinx=2tan—令，=tansinx= -2 142Xl+tan-22t1+产COSX=1 2%1-tan-[#22_1T9dx=21+/1+sinx,- - axsinx(l+cosx)3)简单无理函数积分/，(令J\cx+d Ncx+d5.利用奇偶性和周期性及公式法计算定积分1)奇偶性:a)若/(x)在上连续且为偶函数，则£：/(x)dx=2"(x)dxb)若"x)在Hz,上连续且为奇函数，则£'j(x)dx=02)周期性：设是连续的周期函数，周期为T,则a)f[xydx=£f(x)dxIb)[f(x)dx=m£/(x)dx;3)公式法：n n” 71n n£Af(sinx)Jx=yf(sinx)dx.

b)b)华莱士公式:n~\M-3 3171alb/auu ，〃为正偶数nn-2422巴上3…±2,〃为大于的正奇数n n2sin“n n2sin“xdx=limPcosMxdx=0) n—><xJ)例1arctanx+cos，x+sin8x)dx例2lim* H—>002第三节反常积分.无穷限的反常积分定义1:设函数/(X)在［a,+8)上连续，若lim，/(x)dx存在，则该极限称为/(x)在无穷区间［a,+00)上的反常积分，记作：「°f(x)dx=limff(x)dxJu 4—>+00alt/也称反常积分「〃x)dx收敛；若该极限不存在，则称反常积分发散.类似地，可定义ff(x)dx=limCf(x)dx.注意：设函数/(X)在(-00,+oo)上连续，如果反常积分［/(X)山:和「/(x)dx都收敛，则称反常积分『/(x)dx=［/(x)dx+「/(x)dx收敛.否则，反常积分就发散..无界函数的反常积分定义2：设函数/(x)在(a,b］上连续，点a为/(幻的瑕点，若limf/(x)dx存在，则称该极限为函数"X)在(a向上的反常积分，记作：f7(x)dx=limf>(x)dx,也称该反常积分收敛，否则就称发散.JtJ J

类似地，可定义『f(x)dx=limff(x)dx

工i t-^b~八注意：设函数/(x)在［a,加上除点c外连续，点c为/(x)的瑕点，如果反常积分「/(x)dx和f7(x)dx都收敛，则称反常积分f'/(x)dx=limff(x)dx

Ja Jr Ju &收敛.否则，反常积分就发散..反常积分的计算]f(x)dx=ff(x)dx=limf]f(x)dx=1 lb-.反常积分的敛散性(常用结论)a)r>=[p>l,a)r>=[p>l,收敛[pwi,发散(a>oei」fp<i,收敛 ax=< ，…，(x-a)p[p>1,发散例1求证：并求其值.例2例2判断下列反常积分的敛散性1)嘿;2)£告;rdxxln2x第四节定积分的应用1.几何应用a)平面区域的面积：(几何解释?)i)由曲线y=/(x)(/(x)NO,及直线x=a与x=b(a</?)与x轴所围成的图形，面积为S=f/(x)dx.ii)由曲线y=/(x),y=g(x),及直线x=a与x=b(a<b)与x轴所围成的图形，面积为S=f|/(x)-g(x)|dx.iii)由曲线r=r(e)(“e)N0,及直线。=二与6=，所围成的图形，面积s=-f六⑹"；2八若有"="9)，r2r⑻，则所围成的面积为5=31［昌6)_々2(的切iv)由参数方程*⑺给出的曲线，小弓分别为起点、终点，x=w)在用内］上连续可微，>=吠⑺在此区间上连续，则曲边梯形面积为5= 辿b)旋转体体积：(几何解释?)i)曲线y=/(x),x=a,x=b绕x轴旋转一周所得立体体积为匕=万/y~(x)dx推厂为匕以⑴-％21dxii)曲线y=/(x),x=a,x=b绕y轴旋转一周所得立体体积为Vv=2乃［xy(x)dx推广为匕=2万，口2(幻-%。)"C)曲线弧长(数三不要求)：i）曲线方程y=/（x）（aWxWb）,则s=[J1+y"dxii）曲线方程为参数方程F=x⑺（aW£）时，则[y=y（t）s=1启⑴1+―力iii）曲线方程为极坐标夕=p（e）（a《ew夕）时，贝Us=^yjp2+p'2ded）旋转体侧面积（数三不要求）：）曲线方程、=/（*）20（。4工46）,则S。=[2万/（x）Jl+f"（x）dxii）曲线方程为参数方程/=M）（aW0时，则[y=y（.t）S^=f2]刈加一）[2+,《）]2力iii）曲线方程为极坐标p=p（6）（a4"力）时,则S僧=，17Cp（0）sin0>]p2+p'~d0.物理应用（数三不要求）a）压力；b）变力做功；c）引力.例设平面图形A由f+y2w2x与y。所确定，求图形A绕尤=2旋转一周所得旋转体体积.第五章常微分方程第一节基本概念、理论.微分方程定义：一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，简称方程.如y，+2xy+y=/.微分方程的阶定义：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶.如心"+。〃_4孙，=3/是三阶微分方程..微分方程的解定义：满足微分方程的函数叫做微分方程的解..微分方程的通解定义：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解.注意：任意常数的个数是说独立的常数的个数，如y=V+c是一阶方程y，=2x的通解；如y=C,ex+C2e-3x是二阶方程/+2/-3y=0的通解.初始条件：如果微分方程的解满足在某一点的值，则该条件称为初始条件..微分方程的特解定义：确定了微分方程的通解中的常数后，对应的解就叫做微分方程的特解.第二节一阶微分方程.变量可分离方程定义：对于一阶微分方程y，=/(x,y)如果能写成g(y)dy=/(x)dx的形式,就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy,另一端只含x的函数和公，那么原方程称为可分离变量的微分方程.求解方法：步1)首先将原方程化成g(y)dy=/(x)dx的形式；步2)对上述方程两端同时积分；步3)求不定积分解出通解y=y(x).例求微分方程虫=2町的通解.齐次微分方程1)如果一阶微分方程可化成孚=0(马的形式，那么就称这方程为齐

axx次微分方程.如(肛-/心_(%2_2知皿=0求解方法：步D将原方程化为包=以2)的形式；axx步2)令〃=2=>y=,则虫=〃+x也；x dxdx步3)将原方程化为U与X的变量可分离方程；步4)采用积分法求出〃=u(x),再将a=2代入得到通解.X例解方程八*2半”孚dxdx2)一阶线性微分方程：孚+P(x)y=Q(x) (1)ax若Q(x)=O,则称为一阶线性齐次微分方程；若Q(x)hO,则称为一阶线性非齐次微分方程.求解方法：(公式法)方程⑴的通解为丁=/回々及“)』"①+。)3)伯努利方程(仅数一)：孚+P(x)y=2(x)y"ax当〃=0或〃=1时，这是线性微分方程；当〃时，该方程不是线性的，但是通过变量替换可化为一阶线性微分方程.方法：步1)原方程两端除以y"得，丫-"包+P(x)yj=Q(x)……..(2)；dx步2)作变量替换z=y~=半=(1-〃)尸半，则在方程⑵两端dx dx同乘以(1-〃)，得到线性方程包+(1-〃)P(x)z=(1-〃)Q(x);dx步3)可用一阶线性微分方程的公式法求出该方程的通解，最后以产1代替z得到伯努利方程的通解.故可得到伯努利方程的通解公式为：yj=Z=eJJ(1-〃)Q(x)+C)例求方程包+?=a(lnx)y2的通解.dxx4)全微分方程(仅数一)：形式：若P(x,y)dx+Q