广东高考数学(理)一轮题库46正弦定理和余弦定理

匠心文档，专属精选。第6讲正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，C＝°，AB＝，BC＝，那么A等于()．6032A．135°B．105°C．45°D．75°BCAB232分析由正弦定理知sinA＝sinC，即sinA＝sin60°，所以sinA＝2，又由题知，BC＜AB，∴A＝°.45答案C2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若知足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为()．A．60°B．90°C．120°D．150°分析由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC，1cosC＝－2，∴C＝120°.答案C3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C挨次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC＝()．3C.2D．2分析∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°.b又a＝1，b＝3，∴sinA＝sinB，∴sinA＝asinB＝3×1＝1，b23213∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝2×1×3＝2.答案C4．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()．匠心教育文档系列匠心文档，专属精选。3333＋63＋39A.2B.2C.2D.4分析设AB＝c，BC边上的高为h.由余弦定理，得AC2＝c2＋BC2－2BC·ccos60，°即7＝c2＋44ccos60°，即c2－2c－3＝0，∴c＝3(负值舍去)．33又h＝c·sin60＝°3×2＝2，应选B.答案B5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝3λ(λ>0)，A＝45°，则知足此条件的三角形个数是()A．0B．1C．2D．无数个abB，可得sinbsinA分析直接依据正弦定理可得sinA＝sinB＝a＝λsin45°6λ＝2>1，没存心义，故知足条件的三角形的个数为0.答案A．已知△的面积为3，AC＝πABC623()．A．3＋3B．3333C．2＋3D.2分析由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即a2＋c2－ac＝3.又△ABC的面积1π3，即ac＝2，所以a2＋c2＋2ac＝9，所以a＋c＝3，即a＋c＋b为2acsin3＝2＝3＋3，应选A.答案A二、填空题．如图，△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝°，则72345AD的长度等于________．匠心教育文档系列匠心文档，专属精选。分析ABC中，∵AB＝AC＝，BC＝，∴C＝31在△223cos2sin2△ADC中，由正弦定理得，AD＝AC，∴AD＝2×1＝2.sinCsin∠ADCsin45°2答案28．已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．分析依题意得，△ABC的三边长分别为a，2a,2a(a>0)，则最大边2a所对a2＋2a2－2a22的角的余弦值为：2a·2a＝－4.2答案－49．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c知足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．分析a＋bsinA＋sinBπ∈0，π，∴πx＝c＝sinC＝sinA＋cosA＝2sinA＋又244.Aπ3π2π<A＋4<4，∴2<sinA＋4≤1，即x∈(1，2]．答案(1，2]．若AB＝，AC＝BC，则S△ABC的最大值．1022________分析(数形联合法)因为AB＝2(定长)，能够令AB所在的直线为x轴，此中垂线为y轴成立直角坐标系，则A－1,0)，B，设Cx，y，由AC＝2((1,0)()BC，得x＋12＋y2＝2x－12＋y2，化简得(x－3)2＋y2＝，8即C在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上运动，1所以S△ABC＝2·|AB|·|yC|＝|yC|≤22，故答案为22.答案22三、解答题匠心教育文档系列匠心文档，专属精选。11．表达并证明余弦定理．解余弦定理：三角形任何一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC，法一如图(1)，图(1)2→→a＝BC·BC→→→→＝(AC－AB)·(AC－AB)→2→→→2＝AC－2AC·AB＋AB→2→→→2＝AC－2|AC|·|AB|cosA＋AB＝b2－2bccosA＋c2，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可证b2＝c2＋a2－caB，c2＝a2＋b2－abC2cos2cos.法二图(2)已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴成立直角坐标系，如图(2)则C(bcosA，bsinA)，B(c,0)，∴a2＝|BC|2＝(bcosA－c)2＋(bsinA)2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A＝b2＋c2－2bccosA.同理可证b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.212．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝3，sinB＝5cosC.(1)求tanC的值；匠心教育文档系列匠心文档，专属精选。(2)若a＝2，求△ABC的面积．2解(1)因为0＜A＜π，cosA＝3，5得sinA＝1－cosA＝3.又5cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC23cosC＋3sinC.所以tanC＝5.由＝，得＝5，cosC＝1(2)tanC5sinC6.6于是sinB＝5cosC＝5.6由a＝2及正弦定理a＝c，得c＝3.sinAsinC设△ABC的面积为S，则S＝1＝52acsinB2.13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sinAsinB)＋ysinB＝csinC上．(1)求角C的值；(2)若a2＋b2＝6(a＋b)－18，求△ABC的面积．解(1)由题意得a(sinA－sinB)＋bsinB＝csinC，由正弦定理，得a(a－b)＋b2＝c2，即a2＋b2－c2＝ab，a2＋b2－c21由余弦定理，得cosC＝2ab＝2，π联合0<C<π，得C＝3.(2)由a2＋b2＝6(a＋b)－18，得(a－3)2＋(b－3)2＝0，进而得a＝b＝3，12π93所以△ABC的面积S＝2×3×sin3＝4.ππ14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝4，bsin4＋C－匠心教育文档系列匠心文档，专属精选。πcsin4＋B＝a.π(1)求证：B－C＝2；(2)若a＝2，求△ABC的面积．πππ(1)证明由bsin4＋C－csin4＋B＝a应用正弦定理，得sinBsin4＋C－sinπCsin4＋B＝sinA，sinB22－sinC2222sinC＋2cosC2sinB＋2cosB＝2，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1.3π因为0＜B，C＜4π，进而B－C＝