《概率论与数理统计》习题及答案

概率论与数理统计第概率论与数理统计第64页（57）概率论与数理统计第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A，B，C为3事件则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 .2、设P(P(AB)0.3，且A与B互不相容，则P(B) 。3、口袋中有4只白球只红球，从中随机抽取3只,则取得2只白球只红球的概为 .4、某人射击的命中率为0.7,现独立地重复射击5次则恰有2次命中的概率为 。5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的种,则同时订这两种报纸的百分比为 。6、设A，B为两事件，P(A)0.7,P(AB)0.3，则P(A B) .7、同时抛掷3枚均匀硬,恰有1个正面的概率为 .8、设A，B为两事件，P(P(AB)0.2，则P(AB) 。9、10个球中只有1个为红球，不放回地取,每次1个，则第5次才取得红球的概为 。102XYAYBY则P(B| 。、设B是两事,则B的差事件为 。12、设B,C构成一完备事件组，且P(A)0.5,P(B)0.7,则P(C) ,P(AB) .13、设A与B为互不相容的两事件，P(B)则P(A|B) 。14、设A与B为相互独立的两事件，且P(A)0.7,P(B)0.4，则P(AB) 。15、设B是两事,P(A)0.9,P(AB)0.36,则P(AB) .16、设B是两个相互独立的事件，P(0.2,P(B)0.4,则P(AB) 。17、设B是两事件，如果AB，且P(0.7,P(B)0.2,则P(A|B) 。18、设P(1,P(B)1,P(AB)1,则P(AB) .3 4 219、假设一批产品中一、二、三等品各占60％，30%,10%。从中随机取一件，结果不是三等品，则为一等品的概率为20、将n个球随机地放入n个盒子中，则至少有一个盒子空的概率为 。二、选择题1、设P(AB)0，则下列成立的( )①A和B不相容 ②A和B独立③P(0orP(B)0④P(AB)P(2BC,PP(BP(Ca,则a的最大值为（ ）① 1/2 ② 1 ③ 1/3 ④ 1/43、设A和B为2个随机事件，且有P(C|AB)1，则下列结论正确的是（ ）①P(C)P(P(B)1 ② P(C)P(P(B)1③ P(C)P(AB) ④ P(C)P(AB)4、下列命题不成立的是( )①ABABB③(AB)(AB)②④ABABABBA5、设B为两个相互独立的事件，P(P(B)0，则有（ ）①P(1P(B) ②P(A|B)0③P(A|B)1P(A) ④P(A|B)P(B)6、设B为两个对立的事,P(P(B)0，则不成立的是（ ）①P(1P(B) ②P(A|B)0③P(A|B)＝0 ④P(AB)17、设B为事件，P(AB)P(P(B)0，则有( ）①A和B不相容 ②A和B独立 ③A和B相互对立 ④P(AB)P(8、设B为两个相互独立的事件，P(P(B)0，则P(AB)为( )①P(P(B) ②1P(A)P(B) ③1P(A)P(B) ④1P(AB)9、设B为两事件，且P(，则当下面条件（ ）成立时，有P(B)0.7①A与B独立 ②A与B互不相容 ③A与B对立 ④A不包含B10、设B为两事件，则(AB)(AB)表示（ ）①必然事件②不可能事件③AB恰有一个发生④AB不同时发生11、每次试验失败的概率为p(0p),则在3次重复试验中至少成功一次的概率为（ )①p) ②p)3

③1p3

④C1p)p231210个球中有3个红球7个绿球随机地分给10个小朋友每人一则最后三个分球的小朋友中恰有一个得到红球的概率为（ )3 3 7 3 7 C1C2①C1( ) ②( )( )2

③C1( )( )2

④3 7310 10 10

310 10 C31013、设P(P(B)0.7,P(A|B)0.8，则下列结论成立的是（ )① A与B独立 ② A与B互不相容③BA ④P(AB)P(P(B)14、设A,B,C为三事件，正确的是(①P(AB)1P(AB))②P(AB)P(A)P(B)③P(ABC)1P(ABC)④P(AB)P(BA)15、掷2颗骰子，记点数之和为3的概率为p,则p为（ ）① 1/2 ②1/4 ③1/18 ④1/3616、已知B两事件的概率都是1/2，则下列结论成立的是（ )12①P(AB)1② P(AB)1 ③P(AB)P(AB) ④P(AB)1217BC0P(C14对事件中不相互独立的是（）① AB与C ② AB与C ③ AB与C ④AC与18、对于两事件B，与ABB不等价的( ）① AB ② AB ③ AB ④BA19、对于概率不为零且互不相容的两事件B,则下列结论正确的是（ ）①A与B互不相容②A与B相容③P(AB)P(A)P(B) ④P(AB)P(三、计算题1100,5301个的概率。2、某人有52把可以打开房门，每次抽取1.31000。2,31000个坏的概率。4、甲、乙、丙3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的百分比分别为45%,35%，20％。各机床加工的优质品率依次为85％，90%，88％,将加工的零件混在一起，从中随机抽取一件,求取得优质品的概率。若从中取1个进行检查，发现是优质品,问是由哪台机床加工的可能性最大.6、某人买了BC三种不同的奖券各一张已知各种奖券中奖的概率分别为;钱，求此人赚钱的概率。7、教师在出考题时,平时练习过的题目占60％,学生答卷时，平时练习过的题目在考试时答对的概率为95%，平时没有练习过的题目在考试时答对的概率为30％。求答对而平时没有练习过的概率8、有两张电影票，3人依次抽签得票。求每个人抽到电影票的概率.9,12个人抽的1:21率.100。133.1、有5其中三个白色，两个红色。从中任取两个（1）两球中至少有一红球的概率。12BABABABAB。13、从1~100这100个自然数中任取1(）（）取到的数能被3整除的概率;（3）取到的数能被6整除的偶数。14、对次品率为5,5100个，求这箱灯泡被接受的概率。155把形状近似的钥匙，其中只有1把能打开他办公室的门，如果他一把一把地求(1）他试了3(2)5次才能打开他办公室的门的概率16103个白色，今从中任取2件下，另一个也是黑色的概率。17、装有10个白球,5个黑球的罐中丢失一球,但不知是什么颜色。为了猜测丢失的球是什么颜色，随机地从罐中摸出两个球，结果都是白色球，问丢失的球是黑色球的概率。18、设有三只外形完全相同的盒子，Ⅰ号盒中装有14个黑球，6个白球；Ⅱ号盒中装有5,258（1)取到的球为黑色球的概率;（2）如果取到的球为黑色球，求它是取自Ⅰ号盒的概率.19、三种型号的圆珠笔杆放在一起，其中Ⅰ型的有4565个，Ⅱ型的有7个，Ⅲ型的有820,3人依次抽签得票，如果第1个人抽的结果尚未公开，由第2个人抽的121率。21、甲、乙、丙、丁4人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为0。2,0。3，0。4，0。7，求此密码能译出的概率是多少。22、袋中10个白球，5个黄球，10个红球,从中取1个，已知不是白球，求是黄球的概率.23A3AA在一次试验中出现的概率。24、甲、乙、丙31个人看管，某段时间甲、乙、丙30.9,0。8，0.85，求在这段时间内机床因无人看管而停工的概率。25、一批产品共有100件,对其进行检查,整批产品不合格的条件是：在被检查的4件产品中至少有1件废品。如果在该批产品中有5%是废品,问该批产品被拒收的概率是多少。26、将3个球随机地放入4个杯子中,求杯子中球的个数的最大值为2的概率。27270403015.28107,.求没有2位及2一层离开的概率。29、某种动物由出生到2008，活到250.4，问现在2025岁的概率为多少？30、每门高射炮（每射一发）击中目标的概率为0.6，现有若干门高射炮同时发射（每炮射一发)，欲以99%以上的概率击中目标，问至少需要配置几门高射炮?31、电路由电池A与2个并联的电池B和C串联而成，设电池A，B,C损坏的概率分别为0。2，03 ,0。3,求电路发生间断的概.32、袋中10个白球，5个黄球,从中不放回地取3次,试求取出的球为同颜色的球的概率.33、假设目标在射程之内的概率为0。7，这时射击的命中率为0。6，试求两次独立射击至少有一次击中的概率。34、假设某地区位于甲乙二河流的汇合处，当任一河流泛滥时,该地区即遭受水灾.设某段时期内甲河流泛滥的概率为1,乙河流泛滥的概率为0.203，求该时期内这地区遭受水灾的概率；（2）当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率。35、甲、乙、丙3人同向飞机射击。击中飞机的概率分别为0710220.63..3610793329环的概率。3820.6，乙胜的概率0.4，比赛既可采用三局两胜制，也可采用五局三胜制，问采用哪种比赛制度对甲更有利.392500122000。002，求保10000.40、在12名学生中有8名优等生，从中任取9名，求有5名优等生的概率。41、特色医院接待患者的比例为K型50％，L型30%，M型20％,对应治愈率为0.7，0。8，0.9,一患者已治愈，问他属于L型的概率？42、某人从甲地到乙地,乘火车、轮船、飞机的概率分别为0。2，0。4,0.4，乘火车迟到的概率为0。5、乘轮船迟到的概率为0.2、乘飞机不会迟到.问这个人迟到的概率；又如果他迟到,问他乘轮船的概率是多少？43、一对骰子抛掷25次，问出现双6和不出现双6的概率哪个大?44、一副扑克（52张）,从中任取13张,求至少有一张“A”的概率？45、据以往资料表明，某三口之家,患某种传染病的概率有以下规律。孩子得病的概率为，孩子得病下母亲得病的概率为0.50。4母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。46、某人忘记了电话号码的最后一位数字,因而他随机地拨号。求他拨号不超过3次的概率；若已知最后一位数字为奇数,此概率是多少？47、某场战斗准备调甲、乙两部队参加，每支部队能按时赶到的概率为，若只有一支部队参加战斗，则取胜的概率为0。4;若两部队参加战斗，则必胜；若两部队未能按时赶到则必败。欲达0.9以上的概率取胜，求的最低值.48、工人看管三台设备，在1小时内每台设备不需要看管的概率均为0.8,求三台设备均不需要看管的概率；(3）三台设备均需要看管的概率。四、证明题1、假设我们掷两次骰子，并定义事件AB“第二次掷得奇C证明C两两独立，但ABC不相.2Ap,(0pAn

n次独立重复试验中至少出现一次ALimPA)1n n3X~b(n,p,EXnpDXp)4PA|B)P,P(B|)P(B)5P)aP(B)bPA|B)P(B) 6、证明：P(0，则P(B|A P(A)

abb7、设B,C三事件相互独立，则A B,AB与C相互独.8Ai

AiPA)PA1

)P(A2

)P(A3

)29、已知A,A1 2

AP)PA1

)P(A2

)110、10个考签中有4个难签，3人依次抽签参加考试，证明3人抽到难签的概率相等。11、设A，B为两事件，证明P(BA)P(B)P(AB)12ABABABAB独立13P)0AB独立的充分必要条件是P(B|)P(B)第二章 随机变量及其分布一、填空题k1XPXk)ak!

(k0,则a 。122、设随机变量X服从参数为1/3的0—1分,则X的分布函数= 。123X~NPXa)

,则a .4、设随机变量X的分布律为P(Xk)a(kN),0，则a 。N5、设随机变量X服从区间上的均匀分则随机变量YX2的密度函数为 。6X

(x)

(ke 8

(

x

,则k 。7、随机变量X的密度函数为X~N则Y2X1~ 。8PXx2

)1,P(Xx1

),x1

xP(x2

Xx2

) 。9、设离散型随机变量X的分布函数为 0 x1 a 1x2F(x) 2 a 1x23ab x21且P(X2) ,则a ，b .2kex

x010、设连续型随机变量X的密度函数为f(x) 2 0

x0 则k ,X2) ，P(X2) 。、设5个晶体管中有2个次,3个正品，如果每次从中任取1个进行测测试后的产品不放回，直到把2个次品都找到为,设X为需要进行测试的次,则P(X 12F(x为离散型随机变量的分布函数为，若P(aXb)F(bF(a,则P(Xb) .13一颗均匀骰子重复掷10次设X表示点3出现的次数则X的分布律P(Xk) 。14、设X为连续型随机变且P(X0.29)0.75，Y1X,且P(Yk)0.25，则k 。115、设随机变量X服从POISSON分布且P(XP(X2),则P(X 。116X

f(x)

e(x24x4)2 f(x)dxc6，c 6，

f(x)dx

则c 。17F1

(x),F2

(x)为分布函数，a10,a2

0，aF1 1

(x)aF2 2

(x)为分布函数,则a a .1 2

0 x018、若连续型随机变量的分布函数F(x)Ax2

0x6，则A 。19Xf(x)

1 x612e|x|,则X的分布函数为 。20、若随机变量X~N,则2X的密度函数f(x) 。二、选择题1、若函数f(x)是一随机变量X的密度函则( ）①f(x)的定义域为［0,1] ②f(x)值域为［0,1］③f(x)非负④f(x)在R1连续2、如果F(x)是( ）,则F(x)一定不可以为某一随机变量的分布函数。①非负函数 ②连续函数 ③有界函数 ④单调减少函数3、下面的数列中，能成为一随机变量的分布律的( ）e1①

(k②e1

(k

1(k

1(k1,2,)k! k! 2k 2k4、下面的函数中，能成为一连续型随机变量的密度函数的( )①

x320 其他

②

x320 其他③

cosx 0

32 ④

1cosx x30 2其他 其他5、设随机变量X~N)，)为其分布函数，PX ) ，则x（ 。① 1) ②

1

) ③ 1() ④ 1(2 26、设离散型随机变量X的分布律为Pk)

k)，则＝( ）.① 0的实数②b1 ③

1 ④ 11b1b7、设随机变量X~N(,2)，则增大时，P|1b1b①单调增大②单调减少③保持不变④增减不定8、设随机变量XFy轴对称,则有()①F(a)1FF(a)1FF(a)FF(a)2F129、设F1

2

aF11

aF22

(x)为分布函数,则下列成立的是（）①a 32②a

23③a

13④a

131 52

1 52

1 22

1 22 21cosxxG10、要使20

是密度函数，则G为（ ）xG① , ② 22 2

③ , ④ 211、设随机变量的分布密度为f(x)

1 则Y2X的密度函数( )x2)1 2 1 1① ②x2)

③(4x2)

④4x2)

1x2)412、设连续型随机变量X的分布函数为F密度则（ ）①P(Xx)0②F(x)P(Xx) ③F(x)P(Xx)④f(x)P(Xx) x 0x113、设随机变量X的密度函数为f(x)2x 1x2,则P(X1.5)（ ） 0 其他①0.75①0.75②0。875③(2x)dx④(2x)dx0114、设随机变量X~N，分布函数为F(x)，密度f(x),则( ）①P(X0)P(X0) ② f(x)f(x)③P(XP(X④ F(x)F(x)三、计算题1102个是坏的，从中任取3个随机变量的分布律和分布函数及所取的三个灯泡中至少有两个好灯泡的概率。2、罐中有5.XX的分布律，并计算X。3XPXk)4X的分布律为（1）P(1X;求YX2的分布律；X.

A (kA.k(kX－2X－2－10121/51/61/51/1511/305XPXk)Ckpkp)4k4

,PX9求p。6、对某一目标射击，直到击中时为止。如果每次射击的命中率为p，求射击次数X的分布律。7XPXk

1，其中k,2k求YSin2

X的分布律。X 8XF(x)ABarctanx求:（1）B（2)X的概率密度。

A |x19X的密度函数为求（1）系数A；

f(x) 1x2 0

|x|1X 1, 1（2）

落入

的概率；22 2(3）X.102015270个单位的概率。X~U(0,2),求YX2.12、设测量误差X的密度函数为f(x)

1 (x2)240 e 320040 30;3130的概率。13、在下列两种情形下，求方程t2Xt10有实根的概率。（1）X等可能取｛1, 2，3，4,5, 6｝;（2)X~U(1,6)14、设球的直径（X~U,求球的体积的概率密度。21 3 5 7215X只取求aP(|X1|X0)

,相应的概率为

, , , ,2a 4a8a16a100 x10016、设某种电子管的寿命Xf(x)x20

x1001150200?131501损坏的概率是多少。17）钻头平均寿命为1000米，现要打一口深度为2000米的井,求(1）只需一根钻头的概率；(2）恰好用两根钻头的概率。18、某公共汽车站从上午7时起第15分钟发一班车,如果乘客到达此汽车站的时间X是7时至7时30分的均匀分布，试求乘客在车站等候（1)不超过15分钟的概率；(2）超过10分钟的概率。19、自动生产线在调整以后出现废品的概率为0。1，生产过程中出现废品时重新进行调整，问在两次调整之间能以0。6的概率保证生产的合格品数不少于多少？20、设在一段时间内进入某一商店的顾客人数服从POSSION分布,每个顾客购买某种物品的概率为p,并且各个顾客是否购买该物品是相互独立的,求进入商店的顾客购买该种物品人数的分布律。21、设每页书上的印刷错误个数服从泊松分布，现从一本有500个印刷错误的500页的书上随机地取5页，求这5页各页上的错误都不超过2个的概率.22X2三只油船服务，如果一天中到达的油船超过三只，超出的油船必须转到另一港口。求：(1）;设备增加到多少，才能使每天到达港口的油船有90％可以得到服务。每天到达港口油船的最可能只数。23、某实验室有12台电脑，各台电脑开机与关机是相互独立的，如果每台电脑开机占总工作时间的3/4，试求在工作时间任一时刻关机的电脑台数超过两台的概率以及最有可能有几台电脑同时开机。24。5KW的车床10121055KW，试求该配电设备超载的概率.25、一台电子设备内装有5个某种类型的电子管,已知这种电子管的寿命（单位：小时）服从指数分布，且平均寿命为1000小时。如果有一个电子管损坏，设备仍能正常工作的概率为100026、某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以mm—Hg计)服从N(110,122)。在该地区18,测量她的血压X（1)X确定最小的x0.055)0.7976)0.95627XX~N(d,0.52)(1）若d=90，求X小于89（2)若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99,问d至少为多少？(2.327)0.99,(2)0.9772bx28、设随机变量的分布函数F(x)bx

a x1lnxcxd 1xe d xe1确定a,,c,d2）P(|Xe)2ABex x029XF(x)

(0) 0求（1)常数的值;（2）P(1X

x030、有一个半径为2米的圆盘形靶子，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，并设均能中靶,如以X表示击中点与靶心的距离,求X的分布函数和密度函数。|x| 1x1031X032、设随机变量的分布律为

(x)x

,求YX21其他X420.2X420.20。140。73310731回,3X0 x1113 1x

234、已知X的分布函数为F (x)X

2 0x

，求YSin6

X的分布函数。2 1x2 31

x235、设某产品的寿命TN(160,2120小时的概率不超过0。1，试问应控制在什么范围内,并问寿命超过210小时的概率在什么范围内？36,并决定对每月生产额最高的5,X~N(4000,602?37、在长为1的线段随机地选取一点，短的一段与长的一段之比小于1/4的概率是多少？2x x(,)38X

(x)2 求YSinX的密度函数。X 0

x(0,)39XfX

(x)

1e|x|2求（1)YX2

(2)YX|（3）Yln|X|的概率密度。四、证明题1F(x)Xx1

x时,F(x2

)F(x)22X服从参数为的指数分布，则PXrs|XsPXr)3X服从b,则YcXd也服从均匀分布。4XFX

YFX

(X)服从均匀分布。5、设随机变量X的分布密度f(x)，分布函数F(x)，f(x)为关于y轴对称，证明：对于任意正数a有F(a)1F(a)

1a

f(x)dx2 06、设随机变量X的分布密度f(x)，分布函数F(x)，f(x)为关于y轴对称，证明:对于任意正数a有P(|Xa)2F(a17f(x),g(x:对于任意正数(0，有(x)g(x是某一随机变量的密度函数。第三章 多维随机变量及其分布一、填空题1、因为二元函数F(x,y).2、设二维随机变量的联合分布律为

xy0xy0

不满足 所以F(x,y)不是某一个XX123Y121/161/123/81/61/161/4则P(Y1|X2) 。3、设X和Y是独立的随机变量，其分布密度函数为f (x)

0x

，f(y)e

y0X 其他

Y

y0则(X,Y)的联合分布密度函数为 。4、设二维随机变量的联合分布律为XX123Y121/61/31/9a1/18b若X和Y独立，则a= ，b= 。5、设X ~NX ~N(0,3),X ~N，且三个随机变量相互独立，则1 2 3P(02X 3X X 6 。1 2 36X~b(2,p),Y~b(4,p,PX

5，则P(Y .9ce(xy) xy07、设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y) 0

则c 。其他8、设X,Y区域D上服从均匀分布，其中Dxyy2x1所围成的1区域，则P(X ,Y18

) 。23 49X和Y是两个随机变量，且PX0,Y0)则X,Y)。

，P(X0)P(Y0) ，7 7110X和Y具有同一分布律，且PX0)PX)

，则随机变量2Z,Y的分布律为 。、X和Y,PX0PX1，则随机变量2Z,Y的分布律为 。112Dy

及直线y0,x1,xe2，(X,Y)区域D上服从均x匀分,则(X,Y)关于X的边缘密度在x2处的值为 。113、设相互独立的X和Y具有同一分且X~N(0, ),则ZXY~ 。12二、选择题1X,YFX

(x),FY

)则max(X,Y)的分布函数( ）①F (x),F(x)}X Y②F (x),F(x)}X Y③F (x)F(x)X Y④11F (x)F(x)X Y2、设随机变量X,Y相互独且X~N(0,2),Y~N，则下列各式成立的( )1 1①P(XY0)

②P(XY0)2 21 1③P(XY ④P(XY2 23设随机变量X,Y相互独立~N~N则XY的密度函数（ ）1 x2y

1 x2y2

x2

x2①e

②e 4

e 4 ④ e 412124X,YPX)PX1212是（ ）①P(XY)0.5②P(XY)1③P(XY0)

④P(XY0)1 4 41 5X,Y,X~N(1

,2),Y~N(2

,2)则XY（ ）① N(,22) ②N(,22)1 2 1 2 1 2 1 2③ N(,22) ④ N(

,22)1 2 1 2

11

2 1 2x2y216、设X,Yf(x,y)

则X与Y为( ）0 其他①独立同分布 ②独立不同分布 ③不独立同分布 ④不独立也不同分布7X,Y,（)①(X,Y) ② XY ③ X2 ④ XY8、随机变量X,Y相互独立同分布，则XY和XY（ ）① 不独立 ②独立 ③ 不相关 ④相关9、设(X,Y)的联合分布律为XY0101/4b1a1/4已知事件与事件Y相互独立，则a,b值为（ ）①a1,b1 ②a3,b1③a1,b1 ④a1,b16 3 8 8 3 6 4 4三、计算题1、设二维连续型随机变量(X,Y）的联合概率密度为f(x,y)

A(1x2)(1y2)

(x,y)求A；（2）Dy=xx轴围成的三角.2、设随机变量X，Y相互独立，且X，Y的分布律如下表：X－3－2－1Y123P1/41/42/4P2/51/51/5（）X,（2)Z2Y3)Y的分布律。3,XY,68710.的联合概率密度为：1f(x,y)60

6xy10其他

求先到一人等候对方不超过10分钟的概率.4X和YX~U~U，求方程有两个不相等的实t22XtY054,1,2，3，411X和YX、Y.6X和Y,X~N(,2Y~U(,)XY的分布。X Y F(x,y)

1arctanxarctany7、随机变量

和的联合分布函数为

2

2 2 求边缘分布函数和边缘密度函数.

x2xy0x1,0y1其他8、设二维随机变量X和Y的联合密度函数为f(x,y) 3其他 0求（1）联合分布函数；（2)边缘密度函数；（3）P(XY9、甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为0。2，乙的命中率为0。5，以X和Y表示甲和乙的命中次数，求X和Y的联合分布。10、已知随机变量X和Y的分布律为1 0 1 0 1X~1 1 1 Y~1 1PXY0)1求4 2 4 2 2（1）X和Y;（2）X和Y是否独立。X和YX和Y数为e0.5ye0.5xe0.5(xy) xy0F(x,y) 0 其他（1）X和Y2）求两部件的寿命都超过100小时的概率。12、设随机变量X和Y独立，其概率密度分别为 f (x)1 0x

(y)ey y0 Z2XY的分布密度。X 0 其他 Y 0 y03x 0xyx013、设随机变量X和Y独立联合密度为f(x,y)0 其他P(Y

1|X1)8 4

4.8y(2x) 0xyx14、设X和Y独立联合密度为f(x,y) 0 其他求边缘密度。

cx2y x2y115、设X和Y独立联合密度为f(x,y) 求（1）cX2Y2X2Y2

0 其他16X和YN,Z

的概率密度。x0 ey y017、设X和Y独立，f (x)X 0

其他 f (y) 0 其他YY ZXY的概率密度x0 ey y018、设X和Y独立，f (x)X 0

f (y)其他Y 0 其他其他Zmax(X,Y的概率密度。x0 ey y019、设X和Y独立，f (x)X 0

f (y)其他Y 0 其他其他Zmin(X,Y的概率密度。4xy 0xy120、设X和Y独立联合密度为f(x,y)0

其他 求联合分布函.四、证明题1、证明：若X~(1

),Y~(2

,XY~(1

)22X~N~N,XY~N(0,2)3:X1取常数c,则它与任何随机变量Y.第四章 随机变量的数字特征第五章 极限定理一、填空题1X的数学期望为，均方差为0，则当a，b时，2X与YEXEYDXDY1EX2。 axb 0x1 13Xf(x)

0 其他

且DX ，18则a ,b ，EX .4、一颗均匀骰子重复掷10次则10次中点数3平均出现的次数为 最可能出现点数3的次数为 。5、设随机变量X服从一区间上的均匀分布，且EXDX13为 .P(X2) 。

X的密度函数6、设随机变量X~b(n,p),EX2.4,DX1.44,则n ,p 。7、设随机变量X服从参数为2 的指数分布，Y服从参数为4 的指数分布,则E(2X2) 。8、从废品率为5%的一大批产品每次取一个产品，直到取到废品为平均要取 个产品。9、设随机变量X和Y独立，且X~U(0,2),Y~,则E(XY) 。110X1

,2

100

,PXi

k)

e1(k0,1,2;i1,2,,100)k!则P(n Xii1

120) 。111、已知随机变量X的密度函数为f(x)1

ex22x1(x)，则E(X) ,D(X) 。12、设X ~U(0,6),X ~N(0,22),X ~e(3)，则D(X 2X 3X ) .1 2 3 1 2 313XY独立，EXE(YDXD(YDXY)=1 X014、设随机变量X~U，则随机变量Y0 X0，则D(Y) .1 X015XPXkABk(kEXa，k!则A ，B .16、设X表示10次独立重复射击命中次数，每次命中的概率为0.4,则E(X2) 。二、选择题1、设X~，则E(XeX)为( )①3/2 ② 1 ③ 5/3 ④ 3/42XDXDYDXDYEXY)(EX)(EY，则下列一定成立的是（ ）①X与Y一定独立 ②X与Y一定不相关③D(XY)(DX)(DY) ④D(XY)DXDY3XPXxk

)pk

,如( ，则EX不一定存在。①k,,n ②k,,,x p 收敛k kk1③k1,2,,k,x pk kk1

收敛 ④k1,2,,k

,x p 收敛k kk14、设随机变量X的方差DX存在，a,b为常则D(aXb)（ )①aDXb ②a2DXb ③a2DX ④5、设X为随机变量，X)10，则DX＝（ )1① ② 1 ③ 10 ④ 100106、已知随机变量XY,且都服从POISSONEXEY3，则E(XY)2( ）① 51 ② 10 ③ 25 ④ 307、设随机变量X~N(,2),EXDX1,则P(1X（ )①1 ②(4)(2) ③(4)(2) ④(2)(4)8X~N(2,22)D(12

X)（ )1① 1 ② 2 ③ ④ 429、设随机变量X服从指数分布，且DX0.25,则X的密度函数为f(x)( ）2e2x x

1e1

x0

4e4x

x0

1e1

x0① ②2 2 ③ ④4 4 0 x

x0

x0

x01 1x

x010、设随机变量X的概率密度为f(x) e 0

x0

则错误的是（ ）①E(X)

②0

P(1X1e1

F(X)1ex ④分布函数、设随机变量X,Y满足D(XY)D(XY)，则正面正确的是( ④分布函数①X,Y相互独立② X,Y不相关③D(Y)0 ④D(X)D(Y)0012XF(x)x3

x00x1则E(X)（ ）①x4①

13x3

1 x② ③ 1x4dx② ③

33

x3dx0 0 0 1 013、有一群人受某种疾病感染的占20％，现从他们中随机抽取50人，则其中患病人数数学期望与方差是( ）①25和8 ② 10和2.8 ③25和64 ④ 10和 814设随机变量X,X ,X 均服从区间(0)上的均匀分布则E(3X X 2X )=1 2 3 1 2 3①1 ② 3 ③ 4 ④ 1215设X,X ,,X ,为独立同分布的随机变量序列若( 时则服从切1 2 n n贝晓夫大数定律。XPXi

k)

1

(k0,1,2,)XPXi

k)

1k(k

(k1,2,)Xf(x)i

1(1x2)

(x)A

x1Xg(x)x3i 0 x116设X,X ,X 独立同分布且服从参数为1/的指数分则下列结论正确的( )1 2 nn

X n n X n i1n①Limi1n

i x(x) ②LimP i x(x)i1ni1nn n n X

n

n i i i1nii1ni1n

x(x) ④LimP

x(x)n n 17、设X,X ,,X ,为独立同分布的随机变量序,1 2 1000且X ~p)(i1,2,1000)，则下列中不正确的是（ ）i1①1000

000Xii1

p ②000Xii1

~b1000,p) ③P(a000Xii1

b)(b)(a)④P(a000

b)(b1000p)(a1000p)ii1

1000

1000pq三、计算题1X和YN

1，求|XY|.22单位：mm）X~U，求球的体积的数学期望。3 3已知X~N),Y~N(0,42), 0.5,设ZX Y 求Z的数学期望和方3 XYXZ的相关系数。4、某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20％，今随机抽查100个索赔户，求其中被盗索赔户不少于14户但也不多于30户的概率.5、甲乙两队比赛，若有一队先胜四场,则比赛结束，假设每次比赛甲队获胜的概率为0。6，求比赛场数的数学期望。6、某城市的市民在一年内遭受交通事故的概率为千分之一。为此，一家保险公司决定在这个城市新开一种交通事故险，每个投保人每年交付保险费181.10万人购买这种险种。假设其他成本共40求（1）?（2）?7、设随机变量X有有限期望EX及方差DXXEX的值。

2，试用切贝谢夫不等式估计8X25,试用切贝谢夫不等式估计概率XEX的值。9、某计算机系统有120个终端,各终端使用与否相互独立，如果每个终端有20%的时间在使用，求使用终端个数在30个至50个之间的概率.10、一系统由1000.05,10个时才能正常运行，求系统的可靠度。11、某电站供应一万户用电，假设用电高峰时，每户用电的概率为0。9,利用中心极限定理计算：9030户以上的概率；200瓦95％的概率保证供电120.0510不合格,那么应检查多少个产品，才能使这批产品被认为是不合格的概率（可信度）达到90%。13、据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机地取16只,设它们的寿命是相互独立的,求这16只元件的寿命的和大于1920小时的概率。1e1x

t014、某厂产品的寿命服从指数分其概率密度为f(t)4 4 0

t

,工厂规定，售出的产品若在一年内损坏可以调换。若工厂售出112013501个产品的平均获利。15X与商品的需求量Y分布U)1000元,其他商店调剂供应，这时每单位商品可得利润500元，试计算此商店经营该各商品每周平均获利。16、在一家保险公司有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，一年内一个人死亡的概率为0。006,其家属可获得1000元赔偿费，求(）保险公司没有利润的概率2保险公司一年的利润不少于60000.三、证明题1、设X,YXY,但不相互独立。2X~NX与YX|不相关但不相互独立3XY0－1XYXY独立。(ba)24、证明:取值于[a,b]区间上的随机变量X,必有D(X)41 出现 1 若出现5BX1不出现XYB

Y1若B不出现数理统计一、填空题1、设X,X ,X 为总体X的一个样,如果g(X,X ,X ) ，1 2 n 1 2 n则称g(X,X ,X )为统计量。1 2 n2X~N(,2),已知，则在求均值,使用的随机变量为3、设总体X服从方差为1的正态分布，根据来自总体的容量为100的样本，测得样本值为5，则X的数学期望的置信水平为95％的置信区间为 。4、假设检验的统计思想是 。小概率事件在一次试验中不会发生5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个样本检验这批产品废品率是否高于此问题的原假设为 。6X~N(,2,5次观察，得数据为：(单位：mm)587 672 701 640 650则2的矩估计值为 。7、设两个相互独立的样本 X,1

,,X2

与Y,,Y1

分别取自正态总体N(1,22)与N, S2,S

分别是两个样本的方差，令2

aS2,

(ab)S2

，已知12~2(20),

2 1 1 2 2~2(4),则a ,b .1 28、假设随机变量X~t(n)，则1 服从分布 。X29X~t(10PX

)0.05,则 。10、设样本X,X ,,X 来自标准正态分布总体N，X 为样本均值，而1 2 16P(X)0.01，则 1、假设样本X,X ,,X 来自正态总体N(,2)令Y101 2 16i1

X 416ii11

X ，则Y的i分布12设样本X,X ,,X 来自标准正态分布总体N，X与S2分别是样本均值和样1 2 10本方差，令Y10X2S2

，若已知P(Y)0.01，则 。13如果,都是总体未知参数的估计量称比有,则满足 。1 2 1

n114X1

,,X2

N(,2)

Ci1

(Xi1

X)2是2的i一个无偏估计,则C 。15、假设样本X1,X2,,X9来自正态总体N(，测得样本均值x5，则的信度是0.95的置信区间为 .16、假设样本X1,X2,,X100来自正态总体N(,2)，与2未知，测得样本均值x5，样本方差s21,则的置信度是0.95的置信区间为 。17、假设样本X,X ,,X 来自正态总体N(,2),与1 2 nH ：15的t检验选用的统计量为 。0二、选择题

2未知,则原假设1、下列结论不正确的是( )X,Y,X② X,YX~2XY~2Y~2(5)

Y

~2(2)③ XX ,X X~N(,2X是样本均值，1 2 n则(i1

X)2i2

~2(n)④X,X1

,X2

与Y,Y1

,Ynn

均来自总体X~N(,2)的样本，并且相互独立，X,Y

(Xini1n(Y

X)2Y)2

~F(nn1)ii12、设是参数的两个估计量，正面正确的是（ ）1 2① )，则称为比有效的估计量1 2 1 2② )，则称为比有效的估计量1 2 1 2③ 是参数)，则称为比有效的估计量1 2 1 2 1 2④ 是参数，则称为比有效的估计量1 2 1 2 1 23、设是参数的估计,且0,则有（ )① ˆ③ ˆ

不是2的无偏估计 ② ˆ不一定是2的无偏估计 ④ ˆ

是2的无偏估计不是2的估计量4、下面不正确的是 （ ）①z1

z

②2

(n)2(n)③t1

(n)t

(n) ④F1

(n,m)

1F(m,n)5、总体均值的区间估计中，正确的是( )①置信度1②置信度1③置信度1④置信度16、对于给定的正,01，设z是标准正态分布的上侧分位则有（ ）① P(Zz

)1 ② P(|Z

)③ P(Zz

2 )1 ④ P(|Zz2

)7、某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布N(0

,2),0

,20的一批产品中随机抽取16缕进行支数测,求得样本均值和样本方差要检验细纱支数均匀度是否变,则应提出假设（ ）①H ： H: ②H ： H：0 0 1 0 0 0 1 0③H ：0

20

H：1

20

④H ：0

20

H:21

208X1

,2

XY,Yn 1

,Ym

来自总体YX~N(1

,2)Y~N(2

,2)，则

n(Xii1m

)2/n1

的分布为(Yii1

)2/m2①F(n,m) ②F(nm③F(m,n) ④F(mn9xx1 2

,,xn

X~N(,2,2x

1xn ii1则2的极大似然估计值为( ）1n 1n 1 n 1 nn① (xni

x)2 ②n

(xx) i

n1

(xx)2i

④n1

(xx)ii1

i1

i1 i11n 1 n10X1

,2

X~N，Xn

Xn i1

，S2

n

(Xii1

X)2则下列结论正确的是( ）①nX~N② X~N

XnX2~2(n) ④ni Si1

~t(n、假设随机变量X~N),X,X ,,X 是来自X的样本，X为样本均值。已知1 2 100YaXb~N，则下列成立的是（ ）1515①a5,b5 ②a5,b5 ③a15,b ④a15,b151512设样本X,X ,,X 来自正态总体N(,2)与S2分别是样本均值和样本方差，1 2 n则下面结论不成立的( )①X与S2相互独立 ②X与(n2相互独立③X12

n(Xii1

X)2

相互独立 ④

1与

n(Xii1

)2相互独立13、样本X,X ,X,X ,X 取自正态总体N(,2)，已知,1 2 3 4 5中不能作为统计量的是（ )

2未知.则下列随机变量① X ② X X1 2

2

1 52i1

(X X)2i

④15(X3 i1

X)214设样本X,X ,,X 来自正态总体N(,2)与S2分别是样本均值和样本方,1 2 n则下面结论成立的( ）①2X X2 1

~N(,2)

n(X)2S2

~FnS2③

X n1S~X n1S

~t(n15设样本X,X ,,X 来自总体X则下列估计量中不是总体均值的无偏估计量的1 2 n是（ ）.①X ②X X X ③0.1(6X 4X ) ④X X X1 2 n 1 n 1 2 316、假设样本X,X ,,X 来自正态总体N(,2)。总体数学期望已知，则下列估1 2 n计量中是总体方差2的无偏估计是（ )1n 1

n 1

n 1 n① (Xnini1

X)2

n1

(Xii1

X)2③n1 (Xi1

)2

④n1 (Xi1

)2ii17、假设总体X的数学期望的置信度是0.95置信区间上下限分别为样本函数iib(X,X )与a(X,,X )，则该区间的意义( )1 n 1 n①P(ab)0.95 ②P(aXb)0.95③P(aXb)0.95 ④P(aXb)0.9518假设总体X服从区间[0,]上的均匀分布样本X,X ,,X 来自总体X.则未知参1 2 n数 的极大似然估计量

为( ①2X ②X,,X ) ③X,,X ) ④不存在1 n 1 n19、在假设检验中，记H 为原假设，则犯第一类错误的概率( ）0①H 成立而接受H ②H 成立而拒绝H0 0 0 0③H 不成立而接受H ④H 不成立而拒绝H0 0 0 020、假设样本X,X ,,X 来自正态总体N(,2),X为样本均记1 2 nn2i1n 1 nn2iS21

(Xii1

X)

S2n1 (Xi1

X)2n4i1n 1 nn4iS23

(Xii1

)

S2n1 (Xi1

)2则服从自由度为n1的t分布的随机变量是（ )X X X X① n1 ② n1 ③ n ④ nS S S S1 2 3 4三、计算题1X~N,5的样本，求13的概率；10;15的概率。2、假设总体X~N(10,22)，X,X ,,X 是来自X的一个样本，X是样本均值，求1 2 8P(X11)。3、总体X~N(10,22)，X,X ,,X 是来自X的样本，X是样本均值，若1 2 8PXc)0.05，试确定c的值。4、设X,X ,,X 来自正态总体N(10,22)，X是样本均,1 2 n满足P(9.02X10.98)0.95，试确定样本容量n的大小。5、假设总体X服从正态总体N(20,32)，样本X,X ,,X 来自总体X，计算1 2 25P16Xii1

25Xii17

1826假设新生儿体重X~N(,2),现测得10名新生儿的体重得数据如下：3100 34802520 3700 2520 3200 2800 3800 3020 3260（1)求参数和2的矩估计；(2）求参数7

2的一个无偏估计。X

e(x) xf(x)

, X,

,,

来自总、设随机变量

的概率密度函数为 00

x 设1 2 nX求的矩估计和极大似然估计。8、在测量反应时间中,一位心理学家估计的标准差是0.05秒，为了以0.95的置信度使平均反应时间的估计误差不超过0.01秒,那么测量的样本容量n最小应取多少9X~Nxx1 2

, ,x10

X100.01的水平下检验H0（1）c?

：0，

：0 J1

|Xc（2)x是否可以据此推断0成立？0.05)(）如果以J |X1.1检验H ：0的拒绝试求该检验的检验水平.010、假设按某种工艺生产的金属纤维的长度X(单位mm)服从正态分布N(5.2,0.16)，现15x5.4,在生产的金属纤维的长度仍为5.2mmX~N(,2x300Cs0.90C,求（1)此地九月份平均气温的置信区间；（置信度95％)(2）能否据此样本认为该地区九月份平均气温为31.50C(检验水平（3）从（1）与可以得到什么结论？t 2.3060.02512、正常成年人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测得脉搏为54 6865 77 70 64 69 72 62 71，假设人的脉搏次数X~N(,2)，试就检验水平0.05下检验患者脉搏与正常成年人的脉搏有无显著差异？13、设随机变量Xi

~N(i

,2),i

,2XXi 1 2

相互独立。现有5个X的观1x1

19s1

7.5054X2

的观察值,样本均值x2

18，样本方差为s22

2.593，（1）检验X与X1 2

的方差是否相等？0.1,F0.05

(4,3)9.12,F0.05

(3,4)6.59（3）在（1）的基础上检验X与X 的均值是否相等。1 2

0.1）14、假设某厂生产的缆绳,其抗拉强度X服从正态分布N(10600,822)，现在从改进工艺后生产的缆绳中随机抽取10根,测量其抗拉强度，样本方差s26992.当显著水平为0.05时，能否据此认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性是否有变化？15X~N(,0.0052),现从新生产的一批导线中抽取9s。（1)对于0.05，能否据此认为新生产的一批导线的稳定性无变化?（2）求总体方差295％的置信区间16、某厂用自动包装机包装糖，每包糖的重量X~N(,2)，某日开工后，测得9包的重量如下:993 98。7 100。5 101.2 98。3 99。7 1021 1005 99.5（位:千克) 试求总体均值的置信区间，给定置信水平为0.95.17时间的延长时数，Y表示失眠患者服用乙药后睡眠时间的延长时数，随机地选取20人，1010人服用乙药，经计算得x2.33s1

1.9;y1.75,s2

2.9，设X~N(1

,2),Y~N(2

,2;求1

95％的置信区间。218AB,A18根,测得样本s1

0.34B13根，测得样本方差s2

0.29,设两样本独立，且由机器AB生产的钢管的内径服从正态分布N(1

,2),N(1 2

,2),试求总体方差比2212的置信度为90％的置信区间。1219、设某种材料的强度X~N(,2),,2未知,现从中抽取20件进行强度测试，以kg/cm220件样本得样本方差s

0.0912，求2和的置信度为90％的置信区间。20、设自一大批产品中随机抽取100个样品，得一级品50个,求这批产品的一级中率p的置信度为95％的置信区间。21500,这家广?22XEX的极大似然估计量和矩估计.23、为了比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位银行职员随机地安排了10个顾客，并记录下为每位顾客办理账单所需的时间（单位：分钟）相应的样本均值和方差为：x1

22.2,x2

28.5;s1

16.63,s2

18.92。假设每位职员为顾客办理账单所需的时间服从正态分布，且方差相等,求总体平均值差的置信度为95％的区间估计。24他们从两个城市中分别1000个成年人，其中看过该广告的比例分别为1814市成年人中看过该广告的比例之差的置信度为95%的置信区间。25、电视机显像管批量生产的质量标准为平均寿命1200小时,标准差为300小时.某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定标准.为了进行验证，随机抽取100件为样本,测得其平均寿命为1245小时.能否据此认为该厂的显像管质量大大高于规定标准?26、某机器制造出的肥皂厚度为5cm，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块为样本,测得其平均厚度为,标准差为,050.01?（)27.种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为8kg差为10kg.从两种方法生产的产品各抽取一个样本，样本容量分别为32和40，测得x 50kg,x1

44kg。问这两种方法生产的产品的平均抗拉强度是否有显著差别0.05,z 1.960.0252810名工26112分钟；另一组8176105分?0.05,t0.05(16)1.745929，其标准差为30kg25270kg.问这种化肥是否使小麦明显增产？0.0530250kg50发现有6袋低于250kg.若规定不符合标准的比例超过50.0531某种电子元件的寿命服从正态分.现测得16只元件的寿命如下159 280 101 212224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时。 0.05,t0.051.753132、某电器经销公司在6个城市设有经销处,公司发现彩电销售量与该城市居民户数多少有很大关系,并希望通过居民户数多少来预测其彩电销售量.下表是有关彩电销售量与城市居民户数的统计数据：城市编号销售量户数（万户)154251892631919336827197477432025836520668916209（1计算彩电销售量与城市居民户数之间的线性相关系数；（2）拟合彩电销售量对城居民户数的回归直线；(3）计算判定系数R2（4)对回归方程的线性关系和回归系数进行显著性检验(.05析。33、在每种温度下各做三次试验，测得其得率（%)如下：温度温度A1A2A3A4得率868583868887908892848388检验温度对该化工产品的得率是否有显著影响。34、测量9对做父子的身高，所得数据如下(单位:英父亲身高x606264666768707274儿子身高y63。665.26666。967.167。868。370。170（1）试建立了儿子身高关于父亲身高的回归直线方程（2)检验儿子身高关于父亲身高的回归直线方程是否显著成立？t 2.3060.025（3）父亲身高为70，试对儿子身高进行置信度为95%的区间预测35、某商店采用四种不同的方式推销商品。为检验不同的方式推销商品的效果是否有显著（0.0,F0.05

(3,16)3.24)方式1方式2方式3方式4779572808692778480826879888884918982757082计算F统计量,并以0.05的显著水平作出统计决策。四、证明题1、设X,X ,,X (n2)来自正态总体X,总体X的数学期望及方差2均存在,求1 2 n证：,,,均是总体X 的数学期1 2 3 4

的无偏估计。其中1

,1

1(X2

X )n3

1(X6

2X2

3X

),X3 42XF(nnPX0.53、设X,X ,,X (n2)来自正态总体X，总体X的方差2存在，S2为样本方差，1 2 n求证：S2为2的无偏估计.4假设总体X的数学期望和方差2均存在，X,X ,,X1 2 n

来自总体X，求证：X与W 都是总体期望的无偏估计,且DXDW .其中Xn Xn ，i1，W

aX,(i i

a ii1 i15、已知T~t(n，证明T2~Fn)6、设总体X的k阶矩k

EXkXi 1

,,X

来自总体X,证明样本k阶矩A 1k ni1

Xk为总体的k阶矩i

E(Xk)的无偏估计。i1 1

x0 17、设总体X的密度函数为f(x) e 0

试证X是的无偏估计，而 不是x0 X1的无偏估计。8、设总体X~U(0,)，证明2X1 2

n max(X,n1 1

,,2

均是的无偏估n计（X,X,X1 2

来自总体X的样本）第二部份 参考答案第一章 概率论的基本概念一、填空题C2C11、ABCABCABC 2、0。2 3、4 2C360.6

4、C20.720.335

5、0。3 6、7、3/8 8、0.7 9

98761

10、1/3 、AB 12、。2，0 13、010 9 8 7 614、。12 15、054 16、0.52 17、1 18、11/12 19、2/3 20、1nn二、选择题1、④2、③3、②4、②5、③6、③7、④8、②9、③10、③11、③12、④13、①14、④15、③16、③17、④18、①19、④三、计算题C

C4C1

3 2 21、95

95 5 2、 、0.83C10.20.82C30 5 4 3 31004Bi(iA用Bayes公式求P(Bi|A0.4319,0.3606，0.2014,故可认为是甲机器生产的零件6PABC)10.970.990.98＝0。0589067、A＝“B＝“用Bayes公式求P(B|),答案为12/698、2/3,2/3，2/3 、Ai

“第iP(A1

|A)1/2210、0 1、A=“两个均为红色，B＝“两个均为白色（）P()P(B)C2 C2C（2）1－P(B) P( 2C25

,P(B) 3C25

12、(1（3）至少有一个不发生,（2）(4)两个都不发生 13、(1）1/2 (2)33/100 (3）16/10014A“第iPAAA

A)＝9594939291i 1

3 4 5 100 99 98 97 9615Ai

“第i"(1）PAA1 2

A)（2）P(AA