解一元二次方程（培优篇100题）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

专题2.19解一元二次方程(培优篇100题)

(专项练习).解方程：(2x+l)2=2x+1..解方程：(2)2a2-6a+1=0(4)(y+l)(y+2)=6(1(2)2a2-6a+1=0(4)(y+l)(y+2)=63)(x—2)'=3x(x—2)3.解方程：(l-2x)2=x2-6x+9(1)3x2-(1)3x2-7x=o(2)x2-12x-4=0.解方程：⑴(lc+2)(x+3)=x+14.阅读材料并解决下列问题：因为x?+5x+6=X?+(2+3)x+2x3,所以x?+5x+6=(x+2)(x+3),所以方程f+5x+6=0用因式分解法解得：百=一2,七=-3.又如f-5x+6=(x-2)(x—3),所以方程x2—5x+6=0用因式分解法解得％=2,9=3.一般地，因为f+(.+b)x+ab=(尤+a)(x+b),所以x2+(a+〃)x+ab=0,即(x+a)(x+Z;)=0的解为X1=-a,x2=-b.请依照上述方法，用因式分解法解下列方程：W+8x+7=0x2-11x+28=0.不解方程，写出方程的两根之和与两根之积：3x2+2x-3=0x2+x=6x+7..解方程：(x+l)(x-3)=-1.

(1)(x—1)'=36 (2)x2+8x+7=0(3)x2+5=2y/5x (4)(x-4)2=(5-2x)210.解方程(1)x2+4x-1=02(x+3)2=x(x+3)3x(x-l)=2-2x2x2-4x-1=0.①解方程：(x-1)2=4②解方程：x2+2x-3=0..解方程：6x4—35x3+62x2-35x+6=0..解方程：(x-2013)(x-2014)=2015x2016..设方程4x2—7x—3=0的两根为X”X2,不解方程求下列各式的值.(l)(xi—3)(x2—3)；(3)X|-X2..选用合适的方法解方程:(1)ABPF(2)(2x-3)2-x2=0.(1)计算:60-50-小+3小.(2)计算：@(6+2)(3)解方程：x2+4x—2=0.17.已知：17.已知：x2+4x+y2—6y+13=0,求色系的值・.如果x2—4x+y2+6y+Jz+2+13=0,求(xy)z的值..用适当的方法解下列一元二次方程：2x2+4x-l=0；(2)(y+2)2-(3y—1)2=0..已知关于x的一元二次方程2x"-3--5=0,试写出满足要求的所有a,b的值..试比较下列两个方程的异同，j2+2x-3=O,x2+2x+3=0..解方程：(x-l)2-2(x2-l)=0.(因式分解法).解方程x2-3x+2=0(x+3)(x-6)=-8(2x+l)2=3(2x+l)2x2-x-15=0..解下列方程：x2-3x=l.—(y+2)2-6=0..解方程：(3x+l)2=9x+3..解方程：(x+l)(x-l)=2&x..解方程：(1)2x2-4x-3=0； (2)2(x-3)=3x(x-3)..用适当的方法解下列方程(1)x2+10x+16=0； (2)3x(x-l)=2(x-l).解方程x2+4x-5=0(x-3)(x+3)=2x+6..已知最简二次根式，片一^与J4a一6是同类二次根式,求关于x的方程(a-2)x2+2x-3=0的解..解方程：(1)x(x+8)=16;(2)(2x—1尸=x(3x+2)—7..解关于x的一元二次方程：5x(x-3)=(x+l)(x—3)..解方程：(1)x2-2x=4.(2)(x—3)~+2x(x—3)=0..解下列方程：(1)x2-4x+l=0 (2)4(x-l)2=x(x-l).利用换元法解下列方程：(x+2)2+6(x+2)-91=0；x2-(1+273)x-3+7J=0..设m是不小于-1的实数，关于x的方程x?+2(m-2)x+rrP-3m+3=O有两个不相等的实数根XI、X2,(1)若x/+x22=6,求m值：mx,mx-,(2)令T=';~~一，求T的取值范围.1—x2.选取二次三项式依2+区+«。/0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方.例如①选取二次项和一次项配方：x2-4x+2=(x-2)2-2；②选取二次项和常数项配方：x2-4x+2=(x->^)2+(2^-4)x,或x2—4x+2=(x+>f2)~-(4+ ；③选取一次项和常数项配方：x2-4x+2=(y/2x-yf2)2-x2.根据上述材料，解决下面问题：(1)写出V-8x+4的两种不同形式的配方；(2)若工2+丁2+町一3、+3=0,求孙的值；(3)若关于x的代数式m+6)x+m—2是完全平方式，求加的值；(4)用配方法证明：无论x取什么实数时，总有f+4x+5Nl恒成立..已知关于x的一元二次方程/一2》+6+2=0有两个不等的实数根不和々(1)求m的取值范围并证明xw=6+2；

⑵若归一引=2,求m的值..解方程缶2+4&=2应时，有一位同学解答如下：这里a=b=4>/3»c=2>/2>A/72-4ac=（4^）2-4x5/2x25/2=32.._—b+>]b2—4ac_-46±y/32_i7-**x— = =-7b±2•2a 2j2♦•芯=->/6+2,x[= -2•请你分析以上解答有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果..已知关于X的方程（加2-1）*2-3（3m-i）x+18=0有两个正整数根（加是正整数）.aABC的三边。、b、c满足c=2，J，nr+a2m-Sa=O>nr+b~m—Sb=O-求：（l）m的值；（2）aABC的面积..4知最简二次根式一a与2〃6a-12是同类二次根式,求关于x的一元二次方程（9、 13 5a——x2+一x——=0的解.I2J 4 442.已知b,且满足42.已知b,且满足(a+l)2=3-3(a+l),(Z?+l)2=3-3(/?+1),求的值.43.设p,q是整数，方程Y—px+g=0有一个根为逐一2，求p-q的值..解下列关于x或y的方程。(l)a2y+y=1(2)b(x+3)=4(3)(ax)2+4无2=1(4)&y2+1=2(b.0).用适当的方法解方程⑵+3）2=3⑵+3）..用因式分解法解下列方程：(Djc2-12x+35=0;3(2x-3尸-2(2x-3)=0；9(x+2)2=16(2x—5)2：(x+3)~—5(x+3)+6=0.47.解方程(1)36x2-16=0 (2)8(1)3=1(3)25-9(x-2)2=0 (4)§x-2=-248.(换元思想)阅读材料：_ 9 h材料1若一元二次方程or+bx+c=0(a#0)的两根为国、马，则%+毛=一一，acx}x2=—.・anm材料2已知实数加、〃满足切2-6-1=0，n2-n-1=0.且加工〃，求一+一的值.tnn解：由题知加、〃是方程/一工一1=0的两个不相等的实数根，根据材料1,得加+〃=1,mn=—1..nmm2+rr (m4-n)2—2mn1+2••—i—= - = ——J•mnmn mn -1根据上述材料解决下面的问题：(1)一元二次方程1一4》-3=0的两根为X1,x2>则％+%=4,x,x2=；(2)已知实数机，〃满足2m2一2加一1=0，2/-2〃-1=0,且机X"，求加2〃+加〃2的值；(3)已知实数。，4满足/=3p+2,2/=3q+l,且p±2q,求p?+4q2的值..我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想我们还可以解一些新的方程例如一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为X(x2+x-2)=0,通过解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.(1)方程x3+x2-2x=0的解是X1=O,X2=＞X3=(2)用“转化”的思想求方程，2x+3=x的解.x2—4y2=0(3)试直接写出〈 "的解 .x+y-1.阅读理解：解方程：x3—x=0.解：方程左边分解因式，得x(x+l)(x-l)=0,解得元］=。，£=1，=-1・问题解决：(1)解方程：4x3-12x2-x=0-⑵解方程：(X?- -3,一x)=0.(3)方程(2/—x+一2(2丁-X)-5=0的解为.解方程：(x2+x)2+(x2+x)=6..己知关于X的方程3x+1m=i.(1)当机＜0时，解这个方程；(2)当机＞0时，解这个方程..已知：关于x的一元二次方程Y+旧+1次+!"-2=。.(1)若此方程有两个实数根，求用的最小整数值；(2)若此方程的两个实数根为演，x2,且满足彳+%々=18-：，〃2-考，求加的值..已知xwy,x?-x=2,;/-y=2,求dy?-x，'的值55.(1)解方程组:储+y2—u=o岳一4y+10=0(x+3)(y-2)=(x-3)(y+10)(f(y+3)=(x+2)(y+12)56.阅读小明用下面的方法求出方程2五-3x=0的解法1：令J7=t，则X=t?原方程化为2t-3t2=0， /口 2解方程2t-3t2=0,得t]=0,t2=一；3L 2所以&'=o或孑，将方程4=o或§两边平方，4得x=0或g， 44 r. 」经检验，X=0或g都是原方程的解.解法2：移项，得2«=3,方程两边同时平方，得4x=解方程4x=9x?,得x=0或4经检验，x=0或一都是原之9所以，原方程的解是x=0m4所以，原方程的解是乂=0或§.请仿照他的某一种方法，求出方法X-72x4-5=-1的解.57.Jx+8+>/2-%一4=059.阅读材料：已知实数111、11满足(21112+112+1)(211?+112-1)=35,求21112+112的值.解：设2m2+1?=t，则原方程可化为(t+l)(t-D=35,整理得t2-1=35,t2=36,At=±6,■:2m2+n2>0.••2m+n-=6.上面这种解题方法为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化，根据“换元法''解决下列问题：(1)已知实数x、y^；£(2x2+2y2+3)(2x2+2y2-3)=72,求x?+y2的值；(2)若四个连续正整数的积为360,求这四个连续的正整数.60.按要求解方程：(1)直接开平方法：4(t-3)2=9(2t-3)2(3)公式法：3x2+5(2x+l)=0(4)因式分解法：3(x-5A=2(5-x)(5)abx2-(a2+b2)x+ab=0(abrO)(6)用配方法求最值：6x2-x-1261.解下列关于x的方程：(1)ax+x=2(x-2)(a¥1)(2))bx2=x2+l(b>l)62.解方程:x~—2,6x+62.解方程: ； +1=0x+3 —2.已知关于x的一元二次方程“2幺+。-26)*+1=0有两个不相等的实数根.(1)求实数机的取值范围；(2)若原方程的两个实数根分别为玉，々，且满足|力+同=2中2—15,求加的值..解方程：(x+l)2-2(x+1)=3.阅读下面的解题过程，求y-10y+30的最小值.解：,/y2-10y+30=y2-10y+25+5=(/-10y+25)+5=(y-5)2+5,而(y-5『20,即(y-5y最小值是0；:,/-10丫+30的最小值是5依照上面解答过程，(1)求/+2m+2020的最小值；(2)求4-V+2x的最大值..阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，''十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x,y的二次三项式ax2+bxy+cy2,如图1,将f项系数a=4.4,作为第一列，V项系数c=q①?，作为第二列，若4c2+4。恰好等于孙项的系数〃，那么以2+3+02可直接分解因式为:ax2+bxy4-cy2=(i71x+c1y)(a2x+c2y)示例1：分解因式：x2+5xy+6y2解：如图2,其中1=1x1，6=2x3,而5=lx3+lx2；x2+5Ay+6y2=(x+2y)(x+3y)；示例2：分解因式：x2-4xy-l2y2.解：如图3,其中1=1x1，-12=—6x2,而-4=1x2+1x(―6)；x2-4xy-12y2=(x-6y)(x+2y)；材料二：关于X,y的二次多项式以2+姐+0丫2+公+ey+/也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积.如图4,将。=。回2作为一列，C=C1C2作为第二列，/=£力作为第三列，若。臼+a2cl=b，a/+4/i=d，C&+C2fl=e,即第1、2歹ij,第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=(qx+qy+/)(a,x+c2y+/,)；示例3：分解因式：x2-4xy+3y2-2x+8y-3.解：如图5,其中1=1x1，3=(-l)x(-3),-3=(-3)x1；满足-4=lx(-3)+lx(-l),-2=lx(-3)+lxl,8=(-3)x(-3)+(-l)xl；—4xy+3y--2x+8y_3=(x_y_3)(x_3y+1)请根据上述材料，完成下列问题：(1)分解因式：x2+3x+2=;x2-5xy+6y2+x+2y-20=；(2)若x,y,机均为整数，且关于x,＞的二次多项式/+盯一6y2-2尤+阳一120可用''十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m的值，并求出关于x,y的方程■?+盯一6;/一2*+阳一120=-1的整数解.67.设机是不小于-1的实数，使得关于x的方程幺+2(加-2)*+〉-36+3=0有两个实数根.(1)若％2+/2=2,求m的值；(2)代数式誉-+广三有无最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由.1-Xy1—%)68.已知关于x的二次方程/一依+。2一4=o.4为何值时，方程有两个不同的正根；(2)。为何值时，方程只有一个正根：.己知方程(a-x)?=a(x?+x+a)-8a+16是关于x的一元二次方程.(1)求。的取值范围；(2)若该方程的一次项系数为0,求此方程的根..利用完全平方公式因式分解在数学中的应用，请回答下列问题：(1)因式分解：x2-4x+4=.(2)填空：①当x=-2时，代数式％2+4x+4=；②当x=时，代数式/一6x+9=0;③代数式三+10工+20的最小值是.(3)拓展与应用：求代数式/+〃一6。-助+30的最小值..解方程：mx2-3=x2+2(w*l).阅读下列材料kx材料一：对于任意的非零实数X和正实数左，如果满足了为整数，则称L是X的一个整商系数，例如：当尤=2#=3时，—=2,则称3是2的一个整商系数；3TOC\o"1-5"\h\z当》=2次==时，—=1,则称2是2的一个整商系数；2 3 2kx 1当％=一上，左=6时，—=-1,则称6是——的一个整商系数；2 3 2给论：一个非零实数x有无数个整商系数左，其中最小的一个整商系数记为后(x)；例如：A(2)=|',«-;)=6,材料二：对于一元二次方程av?+Z?x+c=O(aH0)的两根占,刍，有如下关系：请根据材料解决下列问题(2)若关于x的方程：x2+bx+2=0的两根分别为不,》2,且满足人(不)+攵(工2)=12,求b的值..背景情境：赛赛同学在学习《一元二次方程》中做过这样一道题：题目：已知实数。、b满足/—2a—1=0，/_%_]=(),且。।b,求的值.ab解：根据题意得。与匕为方程小一2》一1=0的两根，a+b=2<ab=—\11a+b2 c= =——=-2ab ab -1请认真阅读赛赛同学解题的方法，仔细思考.解决问题：Z7f)(1)已知实数4、b满足。2_2。-1=0，b2-2b-\=0<且疝b,求工+—的值.ba(2)设实数a、b分别满足2a2+ua+i2=o，12//+1g+2=0，且abwl，求巴的h值.(3)已知关于x的方程(加一1)/+2皿+2=0有两个根玉、々满足—+—+xt+x2=2,当AA8C的三边a、b、c满足。=2有，nr+a2m-Sa=O'%%nr+b~m—Sb=0 求加的值以及AA8C的面积..设团是不小于一1的实数，关于x的方程X?+2(/n-2)x+n?-36+3=0有两个不相等的实数根为、%,(1)若x；+g=6,求m的值;(2)求萼+卢的最大值.1—Xj1一/.设关于x的方程£-8%+。上一4|=%-12恰有两个实数根，求a的取值范围..已知实数X，y，Z满足xNy,x>z,且2x+y+z=2,xyz=2.(1)求出x的最小值(2)求国一卜卜国的最大值..解下列方程(组):⑴3f+2jx2+5x+l=2—15x；y[x-y]y=6

a=7.阅读下列材料:解方程：V-6F+5=0.这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是:设/=＞，那么V=炉，于是原方程可变为y?-6y+5=0…①,解这个方程得：yi=l,J2=5.当y=l时，/=1,.*.x=±l；当y=5时，/=5,,'.x=±y/5所以原方程有四个根：Xl=l,X2=-1,X3=逐，X4=_布.在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想.(1)解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0时，若设y=x2-x,则原方程可转化为'求出xr2-4 2r(2)利用换元法解方程：土，+一±-=2.2xx-4.知识经验我们知道，如果两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0,那么它们的积也等于0.即：如果。・8=0,那么。=0或。=0知识迁移I.解方程：(x+l)(x+2)=0解：(x+l)(x+2)=0,.•・X+1=O或x+2=0,；・百=_]或/=-2.II.解方程：x2+6x-7=0，解：x2+6x-7=0«•,•x2+2x3x+32-32-7=0.工(x+3)2-16=0,A(x+3)2-42=0,/.(x+3+4)(x+3-4)=0,/.(x+7)(x—1)=0,x+7=0或x-l=0,Xj——7或X]—1.理解应用(1)解方程：x2-10x-39=0拓展应用(2)如图，有一块长宽分别为80。机，60cm的矩形硬纸板，在它的四个角上分别剪去四个相同的小正方形，然后将四周突出的部分折起来，就可以做成底面积为1500。7的无盖的长方体盒子，求所剪去的小正方形的边长..阅读理解：已知桃2—2机a+2/—8〃+16=0，求m、n的值.解：,:m2—2mn+2n2-8n4-16=0工(疗一2加〃+〃2)+(〃2-8〃+16)=0(m-n)2+(〃-4>=0/.(m-n)2=0,(n-4)2=0方法应用：(1)已知"+62-104+4/7+29=0，求a、b的值：(2)已知x+4y=4.①用含y的式子表示x：；②若孙-z2-6z=10,求歹+工的值..定义一种新运算"a*。"：当aNZ?时，a*b=a+3b；当a<6时，a*b=a—3b.例如：3*(T)=3+(—12)=—9,(6)*12=-6—36=Y2.(1)填空：(T)*3=；若方*(》+6)=—8,则》=；(2)已知(3x-7)*(3-2x)>-6,求x的取值范围；(3)小明发现，无论x取何值，计算(f-2*+3)*(-/+2苫-5)时，得出结果总是负数，你认为小明的结论正确吗？请说明理由..已知关于x的方程依2一(4k+1»+%-1=0(%为实数，且&H0)的两根为a,夕.aB(1)若攵=3,求方+一的值pa(2)若a,4都是整数，求々的值.解方程：3x2-2Vx2-4x+7=12x-13.(1)若f+4x+4+y?-8y+16=0,求上的值；X^x2+2y2-2xy+2y+l=0,求x+2y的值；(3)已知a、b、c是△ABC的三边，且满足/+〃一&人-10^+41=。，求△ABC最长边取值范围.86.阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如/-2今+、2-16,我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解.过程如下：x2-2xy+y2-16=(x-y)2-16=U-y+4)(x-y-4),这种分解因式

的方法叫分组分解法.利用这种分组的思想方法解决下列问题:.知识运用：试用“分组分解法”分解因式：x2-/+Az-yz；.解决问题：(1)已知a,b,c为AABC的三边，且配+2a6=c2+2ac，试判断△ABC的形状.(2)已知四个实数a,b,c,d,满足a#,c#d,并且a2+ac=l2k,b2+bc=12k,c2+ac=24kd+ad=24k,同时成立.①当k=l时，求a+c的值②当k和时，用含有a的代数式分别表示b,c,d(直接写出答案即可).已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中。=4,/?和c是关于x的方程/-wx+3wz=0的两根，求，〃的值..阅读下列材料，完成相应任务：我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法''解一元二次方程，对于关于X的一元二次方程f+px+g=0,还可以利用下面的方法求解.将方程整理，得x(x+p)=-q. 第1步变形得卜+勺91+勺9 第2步得卜+£)一 =~q- 第3步于是得+ =[J_q,即(x+5)=…….第4步当p2—4420时，得x+E=±《Pjq 第5步2 2得x=P+Jpjq.x=P-qpjq 第6步1 2 2 2当p2-4q<0时，该方程无实数解 第7步学习任务：(1)上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是；以第4步到第5步将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是(2)请用材料中提供的方法，解下列方程：®x2+10x4-9=0： @2x2+6x-3=0..已知b.c为有理数，且多项式+公2+bx+c能够写成(『+3x-41x-的形式.(1)求4a+c的值.(2)求为一4-c的值.(3)若a,b,c为整数，且c?a>l,试求a,b,c的值.» 3.解方程x2+3x =9.厂+3x—7.阅读:对于两个不等的非零实数a、b,若分式9二次也的值为零,则x=。或x=b.X又因为（xa）（xb）= + + =x+--（«+/?）,所以关于x的方程X X Xah ,x+—=a+b有两个解,分别为玉=。,X2=匕.x应用上面的结论解答下列问题:(1)方程x+3=4的两个解分别为％=-1,々=4,则〃=：q=；X3(2)方程不+—=4的两个解中较大的一个为；x)7**I)7—-9(3)关于x的方程2x+ 二=2〃的两个解分别为％、x2(x,<x2),则X1=2x+\.阅读下列材料：为解方程/一丁―6=o可将方程变形为［2)2一%2一6=。然后设-=y,则(n2=产原方程化为丁一丁―6=0①，解①得X=-2,必=3.当y=-2时，x2=—2无意义，舍去；当％=3时，x?=3，解得x=±"；二原方程的解为x=G,

上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题转化成简单的问题.利用以上学习到的方法解下列方程：(1)(%2—2x)—5x2+10x4-6=0；⑵3f+15「+2&+5%+1=2・.设机是不小于一1的实数，关于x的方程£+2(加一2)工+加2-3加+3=0有两个不相等的实数根后2X2.(1)若x：+W=6,求加值；—mx,nvc^(2)令7=—+1一，求「的取值范围.1-X]l-x2.阅读如下材料，完成下列问题：材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：x2-2x+3=x2-2x+12-12+3=(x-1)2+2.因为(x-1『N0,所以(x-l『+222,所以，当x=l时，原式的最小值为2.材料二：对于实数a,b,若a>b>0,则ab完成问题：(I)求/一41一1的最小值;(2)的最大值;p2x?—8x+13(2)的最大值;求-7 x~-4-x+6(3)若实数m,n满足初2-〃2一6,〃+]2〃=27.求正与彳的最大值..解下列方程:(x—3>-9(x—3>-9=0x2-2x-5=0(3)3x(x-2)=2(x-2) (4)g(x)=ax2-ex96.请选择适当的方法解下列一元二次方程：x2-4=0x(x-6)=5.解方程：-3=0.(2x—1J\2x—1J.已知关于x的一元二次方程/-2x+k-1=0.(1)若此方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；(2)已知x=3是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值；(3)当RSABC的斜边长C=H,且两条直角边A和B恰好是这个方程的两个根时，求RtAABC的面积..已知关于x的方程/一kx+1+n=o有两个不相等的实数根X]、%且(2X1+不)一8(2%1+x2)+15=0.(1)求证：n<0;(2)试用k的代数式表示/;(3)当n=-3时，求k的值..关于x的方程(k-l)x2+2kx+2=0(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根.⑵设X”也是方程(kT)x2+2kx+2=0的两个根,记S=m+三■+X1+X2,S的值能为2吗?若能，求出此时k的值.若不能，请说明理由.参考答案1.x=0 x=——.2【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：V(2x+l)2-(2x+l)=0,(2x+l)(2x+l-1)=0,即2x(2x+l)=0,则x=0或2x+l=0,解得：x=0或x=--.23+n3_b2.(1)X]=0,%2=2;(2)q= — = ；(3)E=2,9=-1；(4)X=L必=4.【解析】试题分析：根据一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，合理选择解方程即可.试题解析：(1)x2=2xx2-2x=0x(x-2)=0xi=0,X2=2(2)2a2-6a+l=0•a=2,b=-6,c=1A=b2-4ac=36-8=28>0._—b±\/b2-4ac6±2币_3土耳•・x= = —2a 4 2(x-2)-=3x(x-2)(x-2)[(x-2)-3x]=0解得％=2,x2=-l(y+l)(.y+2)=6y2+3y.4=0(y-1)(y+4)=0解得H=L%=4【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得开平方，得l-2x=x-3,或l-2x=-(x-3)4解得X]=—,x2=-237 , ,(1)xi=0,X2=—；(2)Xy=6+2>/10>Xj=6—2>/10【解析】试题分析：(1)根据因式分解法解一元二次方程解方程即可;(2)根据公式法解一元二次方程即可.试题解析：(1)x(3x-7)=0,x=0或3x-7=0,7Xi=o,X2=-；3(2)x2-12x-4=0x2-12x+36=4+36(x-6)2=42(1)Xj=~,x2=-4⑵xy—1+ ;Xj=1—【解析】试题分析：(1)利用•般式求出a、b、c的值，代入根的判别式判断方程的解的情况，然后用公式法其解即可；(2)根据完全平方公式因式分解，然后可求解.试题解析：(1)3f+10%-8=0解:a=3,力=10,c=-8. -10±V196-10±14••x= = 2x3 62即X=—,x2=-4x2-2x-1=0解：X2—2x+1=2••凝=1+y/2；Xj=1-^2(1) =-l,x2=-7(2) =4,x2=7【解析】试题分析：认真阅读题意，然后可总结“十字相乘法”的特点，然后利用此因式分解的方法求解即可.试题解析：(1)x2-f8x+7=0解：(x+l)(x+7)=0x+1=0，x+7=0解得%=-1,W=-7x2-llx+28=0解：(x-4)(x-7)=0x—4=0,x—7=0解得X=4,%2=72(1)Xl+X2= ,X|X2=-1(2)X|+X2=5,XlX2=-7.3【详解】TOC\o"1-5"\h\zb c试题分析：一元二次方程根与系数的关系X|+X2=--,X|・X2=—,直接确定系数a、b、c后a a代入求解即可.试题解析：(1)设xi,X2是一元二次方程的两根，一 2所以X|+X2= »X|X2="1；3(2)方程化为一般式为x2-5x-7=0,设XI,X2是一元二次方程的两根，所以Xl+X2=5,X|X2=-7.Xl=l+G，X2=l-5/3【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x2-2x=2,配方得：x2-2x+l=3,即(X-1)2=3,解得：Xl=l+>/3>X2=l-y/3-(1)x,=l,x2=-5•(2)%=-7,%2=—1：(3) =x2= ；(4) =3,x2=1【解析】试题分析：根据一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法直接求解即可.试题解析：(1)(x-1)2=36x-l=±6%]=7,x]——5；x2+8x+7=0(x+7)(x+1)=0X]=-7,x2=—1；x2+5=2y]5x移项得X2一2&+5=0石=；(%-4)2=(5-2x)2移项得(x-4)2-(5-2x)2=0(x-4+5-2x)(x-4-5+2x)=0解得再=3,%2=110.(I)xi=—2+>/5,X2=-2—>/5(2)xi=-3,X2=-6(3)xi=l,X2=y(4)xi= ~~—2-sf6X2= 2【解析】试题分析：(1)根据配方法求解一元二次方程即可；(2)通过移项变形，然后再根据因式分解法求解即可；(3)通过移项变形，然后再根据因式分解法求解即可；(4)根据公式法直接可求解一元二次方程.试题解析：(1)移项，得/+4》=1配方,得Y+4x+4=1+4开平方,得k+2=土小所以xi=_2+石-x2=-2—石(2)原方程变形为2(x+3『-x(x+3)=0即(x+3)(x+6)=0x+3=0或x+6=0所以xi=・3,X2=-6(3)原方程变形为3x(x—l)+2(x—1)=0x-l=0或3x+2=02所以X|=l,X2=——3(4)a=2,b=-4,c=-1/.Z?2-4ac=(^)2-4x2x(-l)=24>0代入公式为：x=生恒=色亚2x2 4所以x."R，x,=22 2.①X[=3,X2=-1@X1=1,X2=-3【解析】试题分析：①利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可；②用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.试题解析：①两边直接开平方得：X-1=±2,Ax-1=2或x-1=-2,解得:X|=3,X2=-1.②x?+2x-3=0/.(x+3)(x-1)=0Axi=l,X2=-3..原方程的解为X|=2,X2=—»X3=3,X4=~.2 3【详解】试题分析:本题主要考查利用整体换元法解高次方程，先将方程两边同时除以x2,得6/-35x+62——+ =0,然后分组提公因式可得:6(x2 —35(X+—|+62=0,此时设)1y=x+—,则+—=,。-2,原方程可化为:6(/—2)—35y+62=0,解方程求出v,然后把求xr出的y值代入y=x+',得到关于x的方程，然后解方程即可求解.X经验证x=0不是方程的根，原方程两边同除以x2,得6x2-35x4-62--+4=0,Xx~-35(%-35(%+-+62=0.1,1设丫=工+—,则x-+r=y2—2原方程可变为6(y2-2)-35y+62=0.5 10解得yi=_，y2=一.3当》+工=2时，解得xi=2,x2X4=—3, 1 10X4=—3IX+—=一时，解得X3=3,x3经检验，均符合题意.原方程的解为XI=2,X2=4,X3=3,X4=r13.原方程的解为xi=4029,X2=-2.【分析】根据题意结合等式的性质可分情况讨论，将方程转化为两个方程组，方程组x-2013=2016或x-2014=2015"x-201x-2013=2016或x-2014=2015"cc,,一cz,，然后分别解方程组即可求解•x-2014=-2016【详解】解：由题意得:x-2013=2016的解一定是原方程的解，解得x=4029,x-2014=2015x-2013=-2015cc,/的解也一定是原方程的解，解得X=-2x-2014=-2016;原方程最多有两个实数解,原方程的解为xi=4029,X2=-2.TOC\o"1-5"\h\z101 1r—(1)3；(2)-；(3)±-V97.【详解】3 7解：(l)(xi—3)(X2—3)=xiX2—3(xi+x2)+9=———3x F9=3；4 4々+七=%2&+1)+%(3+1)= =(芯+1)2-2中2+(%+12)X]+lx24-1 (X1+l)(x24-1)x1x2+x2+x) X]X2+(X2+X1)101~32(3)V(X|—X2)2=(X|4-X2)2—4X1X2=[—|—4x| j=—（1）x=—1i ;（2）X|=1,x2=3【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；（2）利用平方差公式因式分解即可求解.试题解析：（1）x2+2x+1=6+1即（x+1）2=7解得x=—1±币（2）因式分解可得：（2x-3+x）（2x-3-x）=0B|J3x-3=O或x-3=0解得$=1, =3（1）&+26;（2）2&;（3）汽=-2+述,x2=-2-4b【解析】试题分析：（1）根据二次根式的加减法法则进行合并同类二次根式，（2）根据二次根式的加减乘除法法则进行计算，（3）解一元二次方程，可利用求根公式或配方法进行解答.试题解析：（1）6^2—5y/2—y/5+3原式=（6&-5&）-（有-36）=应-（-2丘）=应+2向⑵日(&+2)-4a段y/b原式=4axy/a+4ax2- 义业_=a+2G-a=2&.4hx4b(3)x2+4x-2=0,解：f+4x=2x2+4x+4=2+4.(x+2)2=6,所以，x+2=a或x+2=-娓.所以,玉=—2,马=—\/g—2.8——13【详解】试题分析：本题中一个方程、两个未知数，一般情况下无法确定x、y的值.但观察到方程可配方成两个完全平方式的和等于零的情形，从而可求得：x=-2和y=3,从而可求出后面代数式的值.试题解析：原方程可化为：(X+2)2+(y-3)2=0,(x+2)2=0,且(y-3)2=0,/.x=-2,且y=3,,x-2y__2-6_813一一耳,【详解】试题分析：观察分析可知，原式可化为：，-4x+4)+(y2+6y+9)+Jz+2=(),即：(x—2)2+(y+3)2+J775=()，由此可求得'‘三个未知数”的值，再代入式子：(外尸中计算即可.试题解析:x2-4x+y2+6y+Jz+2+13=0,••(x?-4x+4)+(y“+6y+9)+Jz+2=0♦・・・(x-2y+(y+3)2+Jz+2=0,x—2=0 {x=2<y4-3=0,解得：sy=-3,z+2=0 [z=-2••.(*)'=[2x(-3)]-2=(-6尸=-L.36点睛：象本题这种一个方程中含有多个''未知数''的情形，通常需先把原方程转化为：几个非负数的和等于0的形式；然后根据“几个非负数的和为0,则这几个数都为0”列出方程组就可求出未知数的值.19.(l)xi=-1+^^,X2=—1- (2)yi=一■-,y2=—.2 2 - 4- 2【解析】试题分析：(1)根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可：(2)根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：(1)Va=2,b=4,c=-lA=b2-4ac=16+8=24>0._-b+yjh'-4ac_-4±V24布•X= - =—]土 2a 2x2 -2*.X1=1+ ,X2=—1—2 2(2)(y+2)2-(3y-1)2=0[(y+2)+(3y-l)l[(y+2)-(3y-l)]=O即4y+1=0或-2y+3=0解得yi=L，y2=—.4 220.a=2,〃=2或a=2,%=1或4=2,b=0,或a=l,%=2或a=0,h=2

【解析】【试题分析】根据一元二次方程的定义，要求未知数的最高次数为2次，分类讨论：若a=2,b=2则方程化简为-3*2-5=0；若a=2,b=0,则方程化简为2/-8=0;若a=2,b=I,则方程化简为2V-3工-5=0;若a=0,b=2则方程化简为-3x?-3=0；若a=l,b=2,则方程化简为-3V+2.r-5=0；【试题解析】根据题意，若a=2,b=2,则方程化简为-3/-5=0:若a=2,b=0,则方程化简为24-8=0；若a=2,b=l,则方程化简为2丁一3彳一5=0；若a=0,b=2,则方程化简为-3/-3=0;若a=l,b=2,则方程化简为-3X2+2%-5=0；故答案为。=2,方=2或〃=2,b=l或a=2,b=(),或。=1,方=2或。=0,b=2.见解析【解析】【试题分析】相同点：从各项来分析：①都是一元二次方程；②二次项系数均为I;③一次项系数均为2；④常数项的绝对值相等；从整体来分析：⑤都是一元二次方程的一般形式；⑥都是整系数方程等.不同点：①常数项符号相反；②前者方程左边可因式分解，后者实数范围内不能分解答案不唯一.【试题解析】相同点：

①都是一元二次方程；②都化成了一元二次方程的一般形式；③二次项系数均为1:④一次项系数均为2：⑤常数项的绝对值相等；⑥都是整系数方程等.不同点：①数项符号相反；②前者方程左边可因式分解，后者实数范围内不能分解【方法点睛】本题目考查学生的分析问题能力，观察问题的能力——观察方法(从部分上,整体上分析；从相同点、不同点来分析).xi=l,X2=-3.【解析】(^-1)2-2(^-1)=0.(x-1)2-2(x-l)(x+1)=0,(x-l)[x-l-2(x+l)]=0,(x-l)(-x-3)=0,x-l=0,-x-3=0,X|-1»X2=_3.点睛：因式分解的方法(1)提取公因式法：〃7々+"?〃+m0=巩"+〃+。).(2)公式法：平方差公式，完全平方公式完全平方公式：a2±2ah^-h2=(a土砂.平方差公式：a2-h2.=(a+/?)(d-ft).(3)十字相乘法:对于mx+px+q形式的多项式，如果axb=m,cxd=q且ac+bkp,则多项式可因式分解为(ar+d)(bx+c),利用上述公式计算时，经常要用到换元的方法，熟练掌握因式分解，就可以快速解方程.

(1)xi=l,X2=2；(2)xi=5,X2=-2；(3)xi= ,X2=l;(4)xi= ,xz=3.2 2【解析】试题分析：(1)直接利用十字相乘法分解因式得出答案；(2)首先去括号，再利用十字相乘法分解因式得出答案；(3)直接利用提取公因式法分解因式得出答案；(4)直接利用十字相乘法分解因式得出答案.试题解析：解：(1)x2-3x+2=0(x-1)(x-2)=0,解得：X|=l,X2=2;(x+3)(x-6)=-8x2-3x-18=-8,则x2-3x-10=0,(x-5)(x+2)=0,解得：xi=5,X2=-2：(2x+l)2=3(2x+l)(2x+l)(2x+l-3)=0,解得：X|=--9X2=l；22x2-x-15=0(2x+5)(x-3)=0,5解得：X|=-—,X2=3.224.(1)%=3+广巧=3二产；(2)y,=-2+2>/3,y2=-2-273【解析】试题分析：(1)利用公式法求解即可；(2)利用直接开方法解即可；试题解析：解：(1)将原方程化为一般式，得x2-3x-1=O,Vb2-4ac=l3>0.-(-3)±V13•r=2X1-TOC\o"1-5"\h\z. 3+而 3-V13.•再= ,Xj= "\o"CurrentDocument"2 2 22)(y+2)2=12,Ay+2=2V3 或y+2=-2/ ，，y=-2+2,y/3,%=-2-1 2x)= ,X2=-・3 3【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：(3x+l)2-3(3x+l)=0»分解因式得：(3x+l)(3x+l-3)=0,可得3x+l=0或3x・2=0,Anzg 1 2解得：X|= ,X2=—.3 3点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.xi=0+JJ,X2=0—JJ.【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x+l)(x—1)=2血\x2-272x-l=0Va=l,b=-2V2，c=-l.,.△=b2-4ac=8+4=12>0:x=-b土旧-4ac=母土邪2a:・X\=近+6,X2=及一手.(1)x,=1+—,x,=1-—;(2)x,=3,x2=-.2 2 3【详解】试题分析：(1)根据一元二次方程的解法一公式法x=-b±'"-4ac也接代入公式求解2a即可；(2)先移项，然后利用因式分解法求解方程即可.试题解析：(1)Va=2»b=-4»c=-3.,.△=b28.(1)xx=28.(1)xx=-2,x2=-8；(2)Xy=-9x2=1【详解】试题分析：(1)利用因式分解法解方程；(2)先移项得到3x(x・l)・2(x-1)=0,然后利用因式分解法解方程.试题解析：(1)(x+2)(x+8)=0,x+2=0或x+8=0,所以xi=-2,X2=-8；(2)3x(x-1)-2(x-1)=0,(x-D)(3x-2)=0,3x-2=0或x-l=0,2所以X产二,X2=l.点睛：本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元._—b±-4ac_4±5/40••x- = 2a 2x2即％=1+二一，=1--—' 2 - 2(2)移项得：2(x-3)-3x(x-3)=0提公因式可得(x-3)(2-3x)=0/.x-3=0或2-3x=02解得xi=3,X2=y.一次方程的问题/(数学转化思想).(1)x=l或x=-5；(2)x=-3或x=5.【解析】试题分析：(1)根据因式分解一十字相乘法，分解因式后，由ab=O的性质求解即可；(2)通过移项，添括号，构成能因式分解的一元二次方程，因式分解后由ab=O的性质求解即可.试题解析：(1)Vx2+4x-5=0,/.(x-1)(x+5)=0,则x-1=0或x+5=0,解得：x=l或x=-5；V(x-3)(x+3)-2(x+3)=0,，(x+3)(x-5)=0,则x+3=0或x-5=0,解得：x=-3或x=5.x=l、x=-3 x=—.2【解析】整体分析：由同类二次根式的定义求出a的值，再把a的值代入到方程(a-2)x2+2x-3=0中求解.解：・・•最简.・次根式行二叮二^是同类：次根式，Aa2-a=4a-6,解得：a=2或a=3,当a=2时，关于x的方程为2x-3=0,3解得：x=-,2当a=3时，关于x的方程为x2+2x-3=0.解得；x=l,x=-3,3・•・关于x的方程(a-2)x2+2x-3=0的解是x=l、x=-3或x=—.2(l)xi=-4+4应，X2=—4—4应；(2)xt=2,刈=4.【解析】分析：(1)先把方程化为一般式，然后确定a、b、c,然后利用公式法求解：(2)先把方程化为一般式，然后根据因式分解法解方程即可.详解：(1)x(x+8)=16;x=-4+272即xi=-=-4+272即xi=-4+45/^,X2=—4—4^/2(2)(2x—l)2=x(3x+2)—74x2-4x+1=3x2+2x-7x2-6x+8=0(x-2)(x-4)=0x-2=0或x-4=0Axi=2,X2=4.点睛:此题主要考查了一元二次方程的解法,关键是先化简方程为一般式，然后选择公式法、配方法、因式分解法、直接开平方法求解即可.32.X1=3,X,=—【解析】由5%(工一3)=(1+1乂1一3)得，5x(x-3)-(x-i-l)(x-3)=0,因式分解,得(x—3)15x-(x+1)]=0,即(x—3)(4x—1)=0,于是得工一3=0或4x-l=0，解得x=3,x2=—.33.(1)Xj=1+5/5»工2=1一6.⑵再=3,x2=1.【解析】a=1,b=8,c=-16/.△=b2-4ac=128>0.—_biyjb~—4tzc•X- 2a_-8+V128分析：(1)先移项，化为一元二次方程的一般式，然后根据公式法求解即可；(2)根据因式分解法把方程化为ab=O的形式进行解答即可.详解：(1)x2-2x=4.解：原式可化为9一2%-4=0，A=/?2-4ac=(-2)2-4-l-(-4)=20>0,. -b±y/b2-4ac2+245•X= = '2a 2，X=1+石，Xj=1->/5.(2)(x—3)~+2x(x—3)=0.解：(x-3)(x-3d-2x)=0,(x-3)(3x-3)=0,X]=3,x2=1.点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点合理选择：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法解方程是解题关键.(I)%=2+6，/=2—6；(2)X]=l,Xj=—.【解析】分析：(1)根据配方法解一元二次方程(或根据公式法解方程)即可；(2)把x-1看做一个整体，先移项，再利用因式分解法，化为ab=0的形式解方程即可.详解：(1)f-4x+l=0x2-4x+4=-l+4(x-2)2=3x・2=±6解得X=2+>/5, =2—>/34(x—l)2=x(x-l)移项得4(x-l)~-x(x-1)=0(x-1)[4(x-1)-x]=0即x-l=O或3x-4=04解得X1=1,工2=-点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，通过方程的特点，选择配方法、公式法、因式分解法解方程，注意选择配方法时确定一次项的系数是关键.(1)xi=5,X2=-15;(2)xi=3+G,X2=-2+-73【分析】(1)设y=x+2,将原方程变形，再利用完全平方式法求得y的值，进而得到原方程x的解；(2)先整理原方程得到(、-退了-(x- )-6=0,再设y=x-0，将原方程变形，再用因式分解法求的y的值，进而得到原方程x的解.【详解】(x+2)2+6(x+2)-91=0；设产x+2,则原方程可变形为：y2+6y-91=0,解得：yi=7,yz=-13,当yi=7时，x+2=7,xi=5；当”=・13时,x+2=-13»X2=-15；(2)原方程可化为/・1-26工-3+6=0,x2-26x+3-x+yfi+6=0,即(x-61■(x・色)-6=0,设v=x・V3»则y2-y-6=0,(y-3)(>2)=0,解得：y】=3,J2=-2；当yi=3,x-y/3=3,得xi=3+；当32=-2,X-y/3=-2,得及=-2+ .(1)m=5~^；(2)0<T<4且T#2.2【解析】【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得-Km<1,根据根与系数的关系可得X1+x2M-2m,xrx2=m2-3m+3；(1)把x/+x22=6化为(Xi+X2)2-2xiX2=6.代入解方程求得m的值，根据-号01<1时方程的解进行取舍；(2)把丁化简为2-201,结合-I'mCl且m#)即可求T得取值范围.【详解】•••方程由两个不相等的实数根，所以△=[2(m-2)]2-4(m2-3m+3)=-4m+4>0,所以mVl,又是不小于-1的实数，/.-l<m<l.*.xi+X2=-2(m-2)=4-2m,xrx2=m2-3m+3；Vxi2+x22=6,/.(X|+X2)2~2x1X2=6,即(4-2m)2-2(m2-3m+3)=6整理，得m2-5m+2=0解得m=5土机;2V-l<m<l所以m=XS2.2mxiinxoT=—————1-X[1-X2roxi(1-乂2)+10乂2(l-xi)(1-xj)(l-x2)m[(x[+x2)-2xiX21l-(x|+x2)+x]x2f14-2id-2id2+6id-6]1-4+2/1(|2-393)2.•.x+[=0,-y-l=O,2' 2'x=-1>y=2,...xy=-2；⑶根据题意得，(m+6)2-4x9x(6—2)=0,解得加=6或机=18；(4)证明：x2+4x+5=U+2)2+1,V(x+2)2>0,•*-x2+4x+5>1.【点拨】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2进行配方是解题的关键.38.⑴见解析;(2)m=-2.【解析】【分析】(1)方程有两个不等的实数根说明△>0,代入求解m范围，再利用根的公式分别写出含有m的两根表达式，相乘即可证明：(2)将等式两边同时平方去掉绝对值，再运用韦达定理将xi和X2用含有m的代数式表示，最后求解m的值即可.【详解】解：(1)•••关于x的•元二次方程V—2x+6+2=0仃两个不等的实数根须和马,所以△=(―2)~—4(6+2)=—4/n—4>0解得/“<-1,根据求根公式力=1+yj—m—1，w=1—>/—6―1内w=1—=m+2；(2)根据根与系数的关系得％+々=2,xix2=m+2,|x,-A^l=2,••（X）-%2）=4,（%+x2）2—4X]X2=4,4-4（m+2）=4,解得加=一2.【点拨】第一问中不可直接用韦达定理直接得到结论，需要用公式法进行证明；第二问中，若去绝对值并分类讨论，再运用公式法进行求解，则解题过程较为复杂，运用平方的非负性可直接去绝对值，再运用韦达定理即可轻松求解..见解析.【解析】【分析】这位同学没有把方程化为一般式就使用「求根公式，导致c的值错误，整个解题错误.【详解】有错误,错误的原因是没行将方程化为般形式，C应为一2应，结果是-6±2&.【点拨】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程公式法应用的前提是解决此题的关键..（1）加=2；（2）?或J9+I2夜.【解析】【分析】（1）已知关于x的方程（加一1卜2—3（3%一l）x+18=0有两个正整数根（加是整数），由此即可得后一4ac=（9加一3）2-72（/-1）=9（m-3）2?0,设须，々是此方程的两个根，根据根与系数的关系可得为子2 因为7也是正整数，即可得〃/—1=1am-1m-1或2或3或6或9或18,再由m为正整数，即可杼m=2；（2）山（I）得出的m的值，然后将8a=0，62+〃/”—86=0进行化简，得出a,b的值.然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a,b的值，进而得出三角形的面积.【详解】（1）\•关于x的方程（m2-1）/一3（3加一l）x+18=0有两个正整数根（加是整数）.：a=一1,b=—9m4-3,c=18，h2-4ac=(9w-3)2-72(w2-1)=9(/n-3)2>0,设士，々是此方程的两个根，c18••Xj•X]~~ = 2 9~a"-1Q・・・F1也是正整数，即加一1=1或2或3或6或9或18，nT又团为正整数，:・m=2；(2)把加=2代入两等式，化简得a2—4a+2=0，〃-4b+2=06时，a=b=2±>/2当aH力时，。、b是方程炉—4工+2=0的两根，而△>()，由韦达定理得〃+〃=4>0,ab=2>0t则。>0、b>0.①a于b,c=26时，由于。2+从=(。+初2-2。力=16-4=12=。？故aABC为直角三角形，且NC=90，S,BC=-ab=\.②a=b=2-0。=26时，因2(2-应)<2岔，故不能构成三角形，不合题意，舍去.③a=Z?=2+JI，c=2jj时，因2(2+甸>2技故能构成三角形.综上，aABC的面积为1或59+12应•【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a,b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键.5,、141.一或一.2 3【分析】先求出a的值，再代入求出方程的解即可.【详解】解：•••最简：次根式行工12倔f是同类二次根式,；・a?—a=6。—12,解得a=3或4♦当。=3时，（3-7]/+丁X-：=。，化简得 +]3x—5=0，解得x=•或不，\ 2） 4 4 23当。=4时，两个二次根式不是最简二次根式故舍弃.5 1故答案为：二或二.23【点拨】本题主要考查了同类二次根式及因式分解法，解题的关键是正确的求出a的值.-23.【解析】【分析】原方程整理可得：a2+5a+l=O,按+5b+l=0,故〃、力是方程9+51+1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可得a+b=-5VO,ab=\>0i进而得出a=',b=L且〃VO,b<Otba将a=!，氏_L代入要求的式子，结合二次根式的性质、完全平方公式化筒计算即可.ba【详解】原方程整理可得：〃2+5a+l=O,/?2+5/?+1=0,・・・〃、b是方程/+5户1=0的两个不相等的实数根，；・a+b=-5<0,ah=\>0,1 1.'.67=—,b=—,且〃VO,b<0,b a=a^+b后二一凉一〃=-（向由）=-（a+b）2+2ab=-23.【点拨】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式以及二次根式的化简.-3【分析】先把x=6-2代入方程，得到关于p,q的等式，把有关有的项合并后,令它的系数部分为0,就可求出方程p、q的值.【详解】解：把4-2代入方程，9-4有-J^p+2p+q=0,•-y/5x（4+p）+（2p+q+9）=0,•〉、q是整数，p=-4,q=-l,•p-q=-4+1--3.【点拨】本题考查的是•元二次方程的根即方程的解的定义.当方程中有一根是无理数，字母系数为整数时，把有关无理数的项合并一起后，令它的系数部分为0,就可求出方程中字母系数的值.1⑴y=^71；（2）当b=0时，方程没有实数根：当b#）时，x=^;⑶*=±三;7az+4（4）当b<0时，方程没有实数根：当b>0时，y=±专【解析】【分析】（1）把a看作已知数，按照移项合并同类项、系数化为1即可求得；（2）把b看作已知数，按照去括号、移项、系数化为1即可求得.注意对b值的范围进行分类讨论；（3）把a看作已知数，按照合并同类项、系数化为I,再开方即可求得；（4）把b看作已知数，按照移项合并同类项、系数化为1,再开方即可求得.注意对b值的范围进行分类讨论：【详解】解：（1）合并同类项得（a?+l）y=1系数化为I得y=为(2)去括号得bx+3b=4移项得bx=4—3b当b=0时，方程没有实数根；当bw时，系数化为1得才=守.(3)合并同类项得(小+4)X2=1系数化为1得%2=为az+4・,•方程的根是文=+/-y—(4)移项合并同类项得by?=1Vb^O，系数化为1得y2=；b当b<0时，方程没有实数根：当b>0时，y=±R【点拨】本题考查了含字母系数的整式方程的解法.方法是把字母系数看作常数，按照数字系数的方程的解法步骤去解即可，但要注意对字母的范围进行分类讨论，这点很容易忽视.3八(=一丁2=0.【解析】试题分析：先移项，再因式分解后，变为ab=O,解方程即可.试题解析：(2+3『=3(2+3)，•••(2/+3/-3(2,+3)=0，/.(a+3)⑵+3-3)=02r(2r+3)=0(1)Xj—5,%2=7；【解析】试题分析：(1)根据十字相乘法因式分解后，按ab=O方式解方程即可；(2)先用提公因式法因式分解，再按ab=O方式解方程即可；(3)先移项，然后按平方差公式因式分解，即可ab=O方式解方程即可；(4)把x+3看做一个悠体，然后根据十字相乘法因式分解后，按ab=O方式解方程即可.试题解析：(1)x2-12x+35=0(x-5j(x-7)=0.%=5,X[=7；3(2x-3)2-2(2x-3)=0.(2x-3)[3(2x-3)-2'|=0./.(2x-3)(6x-ll)=09(x+2):=16(2x-5)J•••9(x+2):-16(2x-5):=01(x+(-5x+26X1lx-14)=0, 26 14V*- V .J)(x+3)2-5(x+3)+6=0...x(x+l)=0・・X|=0,%2=—].

(1)47.⑵小 11T 1(3)x=—或x=—- 3 3(4)x=—6【分析】(1) 方程变形后，利用平方根的定义开立方即可求出解;把X-I看作一个整体，再把方程变形后，利用立方根的定义开立方即可求出解;把x-2看作一个整体，在利用平方根的定义开方即可求出解;(4)根据立方根的定义解答即可;(4)根据立方根的定义解答即可;【详解】(1)；36x2-16=0,...36x2=16,••x=••x=1=±26~3X-l=3'1_18"2,(工-2)2=—,(4)•：^Jx-2=-2,-2=^8:••x-2=—8;x=—6.【点拨】本题考查了平方根、立方根的定义.48.(1)-3;(2)【分析】(1)直接运用根与系数的关系可求得答案；(2)利用m〃满足262一26一1=。，2/-2〃一1=0,加，〃可看作方程2d一2*—1=0的两实数根・.•.m+〃=l，mn=--.然后用整体代入法的思想求解；2(3)设f=2q,代入2/=3q+l化简为产=3/+2，则。与「(即2g)为方程/一3%—2=0的两实数根，然后用整体代入法的思想求解.【详解】解：⑴-3：(2)'：m,〃满足262—2机一1=0，2〃2-2〃-1=0，，加，〃可看作方程2/-2%—1=0的两实数根.二加+〃=1,mn=一一.2/./〃2〃+加〃2=mn{in-vn)=->-xl=——.2 2(3)设公2%代入2/=34+1化筒为『=3，+2，则，与，(即2g)为方程/一3%—2=0的两实数根，Jp+2g=3,p・2q=-2,二p2+4q2=(p+2^)2-2p-2^=32-2x(-2)=13.【点拨】熟练掌握根与系数的关系并灵活应用是解题的关键.(X=2 x2=T49.(1)1,-2；(2)3；(3)<1 ,\ ..

【分析】(1)根据题意对方程V+X—2=0进行因式分解即可求出£，七的值.(2)先把等号左右两边同时平方，去掉根号，然后进行因式分解即可.(3)将f-4y2=0用平方差公式拆成x+2y=0,x-2y=0与x+y=l组成两个二元一次方程组，解方程组即可.【详解】解：⑴Vx故答案为【点拨】本题重点考查了因式分解法解方程及方程组，读懂并理解题意，并能灵活应用是解+x故答案为【点拨】本题重点考查了因式分解法解方程及方程组，读懂并理解题意，并能灵活应用是解Ax(x2+x-2)=0,.*.x(x-1)(x+2)=0贝ijx=0或x-1=0或x+2=0解得X|=0,X2=LX3=-2,故答案为1,・2；：j2x+3=x,2x+3=x2(x>0),艮[Jx2-2x-3=0,/.(x+1)(x-3)=0则x+l=0或x-3=0,解得X|=-l(舍去，不合题意)，X2=3.x2-4y2=0,・,{ ,x+y=1fx+2y=0 [x-2y=0x+y=l[x+y=l

题的关键.50.(1)%1=0. 3+W一2七=三地；题的关键.50.(1)%1=0. 3+W一2七=三地；⑵X=。，*1,芯=也叵2 2=1-713；⑶

21+717司=―1-V17，0=4【分析】(1)先分解因式,即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可;(2)先分解因式,即可得出一元二次方程，求出方程的解即可;(3)整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可.【详解】解：⑴4x3-12x2-x=0.:.x^4x2-12x—1)=0,•,x=0»4x2—12x—1=0»缶〃处丫八3+Vfo3-解得：X]=0,X1=——--,X.=——--；2 2(2) 一％)〜一3(f一%)=0,(12_x)(x〜_x_3)-0fx2—x=0，x2—x—3=0，Anxg_ _1 1+Jl3 1—J13解得：X]=。，X2=itXy= »X4= ——：(3)(2x2—x+1)-2(2x2—x)—5=0,整理得：(212一%)2=4,开方得：2/-"=±2.1-7174••2x2—x—2=0,2x2—x+2=01-7174解方程2f-工一2=0得：%=[+ ,x2方程2?-x+2=0中△=-15<0，此方程无解,所以原方程的解为：不所以原方程的解为：不I+旧1-V17

»X.=

4 ~ 4故答案为「广邛1”三.【点拨】本题考查了解高次方程，解一元二次方程，根的判别式等知识点，能把高次方向转化成低次方程是解此题的关键.xi=-2.X2=l【分析】设x2+x=y,将原方程变形整理为y2+y-6=0,求得y的值，然后再解一元二次方程即可.【详解】解：设x2+x=y,则原方程变形为y2+y-6=0,解得yi=-3»y2=2.①当y=2时，x2+x=2,即x2+x-2=0,解得Xl=-2,X2=l;②当y=-3时，x2+x=-3,即x2+x+3=0,•.•△=12-4x1x3=1-12=-11<0,二此方程无解；二原方程的解为XI=-2,X2=l.【点拨】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.- . 3+413—4/77 3―3—4/7732.(1)丫= ,丫.= ：,C、业八"/於1 3+3—4加 3—J13—4相上13山一一]0<m<一时，x,=—— ，x,=—— ：：']in>一时，此一兀一4122 4次方程无解.【分析】(1)方程化为一般形式犬―3x+/〃—1=0，”算判别式行由于m<0,所以A〉。，然后利用求根公式解方程；(2)方程化为一般形式f一3%+m—1=0,计算判别式得A=13-4m,由于机>0,分类讨论：当0<加工工时，然后利用求根公式解方程，当加〉一时，△<0,此时4 4方程没有实数根.【详解】解：(1)vx2-3x+m=\*\a=1,6=-3,c-m-\3+J13-4加 3-J13—47/Z"=-7—，^=——*.-x2-3x+/n=l\。=1,/?=—3,c=m—\,・.・加>0，,八13工当0<m工一时，4-b±J13-41n3±J13-4mTOC\o"1-5"\h\zx= ~ ，2a 23+J13-