6定积分计算广义

星期日1上连续，则f(t)在[a,x]可积，即存在唯一的一个数§5.5

定积分的计算一、微积分基本定理定积分的计算是通过计算不定积分来进行的，为叙述简便，首先介绍原函数存在性定理。1、原函数存在性定理定义设f(x)在[a,b]上连续。对任意x∈[a,b]，由f(t)在[a,x]xaf

(t)dt与之对应，这样形成的的函数称为f(x)的积分上限函数或变上限函数，一般记为xafxt

dt

(([)a),x]b

星期日2定理(原函数存在性定理)f

(x)a,bxa在[a,b]f

(t)dt为上连续，则f

(x)在(x)

d

dxxaf

(t)dt

f

(x)上的一个原函数。即(x)

利用这个定理可以求含变上限函数的函数的导数。例1

求下列函数的导数dtet1 1t

2(1)F

(x)

2x

x2(2)F

(x)

1

sin

t

dt2x2x(3)F

(x)

sin

t

dtex0(4()1)tx22xdFt星期日3x1tdt

2et解(1)f(x)

12ex1x

x2

12sin

t

dt

(2)f

(x)／2u1u

2sin

t

dt

x

4／x

2xsin

xa一般地，(φ

(x)f(t)dt)

f[φ(x)]φ(x)x

02

x

2sin

t

dt

0

sin

t

dt

(3)f

(x)

2

2xsin

x4

sin

x222

ex(4)f

(x)

x

022xx2exx1ee21xt

dt

1

t

dt

0备忘d

dx

()x

()x(()()()x()x

ft dt

星期日4lim0x(et

e

t

)dtx0

1

cosx例2

1).（1

cosx）0[

x(et

et

)dt]解原式

limx0sin

xex

ex

limx0cosxex

ex

limx0

20x

tx32x

e

dt2).

求极限limx0解2lim

0

x3xtx

e

dtx023x21

ex

limx02

x2

limx0

3xdx1

~

x2

x

0d

ex213

星期日5axf

(t)dtxa

x

ax23.

若f(x)连续，求极限lima

f

(a)2a1.

已知f(x)

xxsint2dt，求f

(a)练习32xtsinx02

f(x)

x2

e dt

。arcsin

tdt

2.

求导：1

f(x)星期日sinx0arcsin

tdt可以看作是由u0g(u)

arcsin

tdt和u=sinx复合而成。由复合函数的求导法则得f

(x)

g(u)

usin

x

(sin

x)

arcsin

u

usinx

cos

x

x6

4

f

(x)

3x2ex

2xex

x3xt22

e

dt2

f

(x)

200xt

2e dt

e dt

00x2t

2x3

x3t

2

t

2e

dte dt

用同样的方法可得0x3dx2

2

x6et

dt

3x

ed

420x2etdxddt

2xex解a1.

由f

(x)

xsin

t2dt

xsin

x2得aasin

t

2dt

a

sin

a2f

(a)

2.

(1)

f

(x)

2

a

sin

aa2f

(a)6星期日7对积分上下限函数的求导运算熟练以后，就可以利用导数研究含有积分形式的函数的性质，例如单调性、极值、凹凸性或用L’Hospital法则求极限等等。例3x0(1

t)arctan

tdt的极小值求f

(x)解由f

′(x)=(1+x)arctanx=0得f(x)的驻点x=-1、x=0

。又1

x2f

(x)

arctan

x

1

x4f

(1)

0f

(0)

1

0因此0x(1

t)arctan

tdt的极小值为f

(x)

00f

(0)

(1

t)

arctan

tdt

0星期日8练习

函数f(x)是以T为周期的连续周期函数，试证：aT

Ta0f

(x)dxf

(x)dx

TuT证

设F(u)=

u0f

(x)dxf

(x)dx

[0TuTuf

(x)dx

dudF

(u)

则f

(x)dx]

f

(u

T

)

f

(u)

又F

(0)

0则F

(a)

F

(0)

0TaTa0f

(x)dxf

(x)dx

即星期日92、微积分基本定理原函数存在性定理定积分与不定积分(原函数)之间的关系，这就为利用不定积分计算定积分提供了思路。17世纪后半叶，Newton和Leibniz分别独立地发现了下面的定理，这个定理在微积分中占有重要地位，被称为微积分基本定理。定理(微积分基本定理)函数f(x)在[a,b]上连续，F(x)为f(x)的一个原函数，则有baf

(x)dx

F(b)

F(a)通常记作aabf

(x)dx

F(x)

b

F(b)

F(a)称为Newton-Leibniz公式。星期日10由微积分基本定理可知，要计算定积分，只需求出原函数(即计算不定积分)，代入上、下限做差即可。因此，定积分的计算实质上仍是不定积分的计算。6例1

3

tan

xdx6336解：

tan

xdx

ln

|

cosx

|63|

(

ln

|

cosπ

ln

|

cosπ2|)

ln

330

x2

9dx例2303

(1x)d

x13解

原式π12x

33

0arctan133

2星期日20|

sinx

|

dx例3解原式

π|

sin

x

|

dx

2π

|

sin

x

|

dx0

π

πsin

xdx

2π

sin

xdx0

π

cos

x

π

cos

x

2π0

π

4当被积函数是分段函数时，若分段区间的端点在积分区间内，则应利用区间可加性把积分区间分为多部分计算。11星期日120例4

3f

(x)dx,

其中,0

x

1,1

x

3x2

1f

(x)

x

1解原式

1f(x)dx

3f(x)dx0

1

1(x

1)dx

3(x2

1)dx0

1

3

32

732

3

6注

计算定积分时所找出的原函数必须在积分区间内连续(可导)，且在积分区间内为被积函数的原函数。如等式111dx

ln

x

11

x

0

是不对的。星期日13练习求定积分(1)0

cosxdx

。解0

cos

x

20220

(

sin

x)

2

cos

xdx

(cos

x)dx

sin

x

11

2(2)4

5x

2dx

。314a

(t)dtb

f

(x)dx

f

(t)星期日二、定积分的计算由微积分基本定理，要计算定积分，只要通过不定积分得出原函数，再代入上下限作差即可。但在实际计算时，常把不定积分的计算过程与代入上下限作差的过程结合起来以简化计算过程。下面分别对换元法和分布积分法进行。1、换元积分法定理函数f(x)在[a,b]上连续，函数x=φ(t)满足：①φ(α)=a,φ(β

)=b；②φ(t)在[α,β]上单调、连续；③φ′(t)在[α,β]上连续。

则有星期日注①必须注意定理的条件。如所做的变换x=φ(t)必须在(α,β)连续，且φ(t)的取值在a、b之间。1121111

2

11

11

tdtdt

t

2t

21

xdx显然不正确。②换元的同时必须换限，且不论大小，原函数的上限对应新积分的上限，原函数的下限对应新函数的下限。③若换元时已换限，则最后得到原函数后不必代回原变量。15如令x

1，则t星期日16dxx38x

1例1解设x

1

t,x

t

2

1,dx

2tdtx=3时，t=2；x=8时，t=3t3

t(t2

1)原式

223

2dt

22

(t

1)dt23

2(t

3

t)

33

32此题可用第一换元法。星期日1701x21

x2dx例2解设x

sint,dx

costdt.2

2π原式

02

sin t

cosπ162πx=0时，t=0；x=1时，t=2tdt

02

sin

2tdt41π

02

(1

cos

4t)dt

02

(1

cos

4t)d4t8

321

1π

π0132π(4t

sin

4t)

2

星期日18练习

计算下列定积分：dx1012x4x221

x1

x1(2

sin

x)cos

xdx

③

xdx

②①22解题过程注作三角变换时，尤其在去根号时，要注意三角函数在积分区间内的符号。作业1115dx

21

x2

dx5

4xx

1求定积分1答案1

2

23

2星期日19a0aa)dxfx2)dxfx(

若f(x)为)2(偶函数，则a(1)若f(x)为奇函数，则a

f(x)dx

0;例3

设f(x)在[-a,a]上连续，证明：aaf

(x)dx

0

f

(x)dx

af

(x)dxa

0证设x

t,dx

dt,x

a,

t

a;x

0,t

00aa则0

f(x)dx0t(

af

(t)dt星期日20xyoa

ay

f

(x)

(1)f(x)为奇函数

af

(t)dt

af

(x)dx0

0

af(t)dt

af

(x)dx0

0=

0(2)f(x)为偶函数

af

(t)dt

af

(x)dx0

00

2af(x)dx

af

(t)dt

af

(x)dx0

0aaf

(x)dx

0

f

(x)dx

af

(x)dxa

0aaf

(x)dx

0

f

(x)dx

af

(x)dxa

0xyoa

ay

f

(x)21星期日这个结果是很有用的。当遇到积分区间为对称区间时，可以检查被积函数是否奇偶函数或尽量化为奇偶函数的和、差，然后利用这个结果计算。12dx1

xecos

x

sin

x例4

(1)1(2)ln

2ln

2(1

sin

x)(ex

ex

)dxln

2xxd)exln

2x

x

x

)de(xe

ln

2解(1)原式

0(2)原式

ln

2ln

20

2(ex

ex

)dx

00

2(ex

ex

)

ln

2=3星期日22223(x

4

x2

)2

dx22(x6

2x3

4

x2

4

x2

)dx22222232264

x

dx

(4

x

)dx

x

dx

2

x202206(4

x

)dxx

dx

2

23

2007

23171

2

(4x

x

)

2

x21

992223(x

4

x2

)2

dx练习计算定积分解星期日230

0ncosnx

dx (n

0)sin

x

dx

2例5

证明：222π2n

π

t)dt左边

0

sin

(n

02

cos

tdtπ=右边2

2证设x

π

t,dx

dt.x

0,t

π

;x

π

,t

0星期日24注计算定积分时,也可以用不定积分(或其他方法)先求出被积函数的一个原函数，然后利用Newton-Leibniz公式计算定积分。一般说来，采用这种方法比用定积分的换元法(或其他定积分计算方法)计算量要大。而且，有时不定积分的换元法

为力时定积分的换元公式能奏效。例如20

1

cosxx

sin

x

t，则令x

2dx

22dt1

sin

2

t

(

t)

cos

t2220

1

sin

tcos

t

2dt

0

dxx1

e4cos

x44t44cos

t

1

etdt

441

ee

t

cos

t442令x

t，则41

ecos

x

dx

x24

cos

xdx

2244cos

xx

dx

1

edt

因此星期日25应用时，u(x)、v(x)的选择原则同不定积分一样，注意上、下限的前后对应。2、分部积分法对分部积分法，同样可把代入上下限的过程放在分部积分的过程中，即有下面的定理：定理函数u'(x)、v'(x)在[a,b]上连续，则有aa

ab

u(x)v(x)dxbu(x)v(x)dx

u(x)v(x)

b星期日260例6

1(2x

1)exdx10x解

原式

-

(2x

1)d(e

)0x1

x

e d(2x

1)10

-(2x

1)e0-1101

x

-1x

1

-

3e

2

e d(x)

1

3e

2e

3

-

5e-1404xx

arctan

dx例702xarctan d(x

)1

42解原式4021

16x204x

4x

arctan

12

4

8

1xd4x

21

(

)4x

2(

)

1

14

4x2

dx

2π

804

0

2π

8

8

arctanx

4

4π

8星期日27e121

x(ln

x)

dx112

e2e

x

ln

xdx

x

(ln

x)21练习

计算下面的定积分：2

22e

1e1

1

e2

[1

x

ln

x1

1

112

22

e

1

2

xdx]

2

e

[2

e

4

x412]

(e

1)解e1012②

e

x

dx①

x(ln

x)

dx2

令t

x，则t1e

x

dx

01000t

11

et

dt)2te

dt

2(te0

2(e

et

1

)

2星期日2811210213

x

e

2

dx2

ln(1

x

)dx1

sin(ln

x)dx

xe答案2

21

1

(e

sin

1

e

cos1

1)

2ln

2

2

作业计算下列定积分：1

12310e

2

26e星期日§5.6

广义积分定积分是在积分区间有限且被积函数有界的条件下引入的，但在实际问题中常会遇到积分区间无限或被积函数的情形。这时需要推广定积分的概念，考虑无限区间上的积分和函数的积分。前者称为无穷限积分，后者称为瑕积分，统称为广义积分或积分。一、无穷限广义积分形如

fx

dx，

fxa

bdx，((f)x())dx的积分称为无穷限积分。无穷限积分的计算是通过变上限函数的极限进行的。29星期日301、概念定义函数f(x)在[a,+∞)连续，若极限babf

(x)dxlimaf(x)dx存在，则称收敛，ababf

(x)dx的f

(x)dx为称lim积分值。记为：babaf

(x)dxf

(x)dx

limababfx()

dx包括无穷大)，则称fx

dx不存在(()若lim发散。类似可定义babaf

(x)dx

limf

(x)dx星期日31定义f

(x)在(,)连续，若对a

R，广义积分aa

f

(x)dxf

(x)dx与f

(x)dx都收敛，则称收敛，并称aaf

(x)dxf

(x)dx

上述三种积分统称为无穷限积分。为

f

(x)dx的积分值。即

a

(xf)dx(xf)dx

a(xf)dx

星期日32x02、几何意义f

(x)

0时a

f

(x)dx为由曲线y

f

(x)、直线x

a与x轴(y=0)构成的(向右无限延伸的)图形的面积(如下图)。yay

f

(x)星期日33aa

xf

(x)dx

F

(x)

lim

F

(x)

F

(a)bxb

)()()li(m

xF)xfdx

afx dx

fx dx

((f)x())

dx

a3、计算由定义可知，无穷限广义积分的计算是变上限函数的求极限运算。只要用定积分的方法求出积分上限函数，再求极限就可以了。一般可以用Newton-Leibniz公式的形式表述过程：若

F(x)为f(x)的一个原函数，则星期日例1

计算下列广义积分：(1)x

e

dx2

3

x2

xdxx

1(2)解(1)原式x

d(e

)22

x

1

2

e

d(x

)12

2x

22

1

x2ex2

2

0

1

ex2

0dt2t1t(t2

1)原式

1

2

arctant

π234(2)令x

1

t,dx

2tdtx

2时，t

1;x

时，t

星期日35xp

dx1的敛散性例2

广义积分b

1

xp1

1

1p

blim

xb

1

p

lim

b

dx

1lim(b

1)1pb

1

p解(1)p

1时x1lim

ln

xbb

1

b

lim

b

dx

lim

ln

b

bp

1时，广义积分发散(2)p

1时1p

1p

1

p1星期日36练习研究下面广义积分的敛散性，若收敛，求其积分值。dxxdx

dxe11

x23x(ln

x)

p2(1

x)

x1解题过程由(3)可知，“对称区间上奇函数的积分为零”在广义积中要慎用。分作业：研究下面广义积分的敛散性，若收敛，求其积分值。211

2x

2x

2

(1

x)

2x

1dx

dx答案11

ln

2

2星期日37

baxbf

(x)dxlim

0存在，则称之为f(x)在[a,b)上的瑕积分，记作

ab

baf

(x)dxf

(x)dx

lim

0ba这时称瑕积分f

(x)dx收敛。x=b称为f(x)的瑕点。baafx()

dx不存在，则称

fx()

dx若limb

0发散。二、

函数的广义积分当被积函数在积分区间内有无穷间断点时，同样用极限形式定义其值。定义

f

(x)在[a,b)连续，且lim

f

(x)

，若极限星期日38若对c

[a,b]，有lim

f

(x)

，则定义xcbba

af

(x)dxf

(x)dx

lim

0当lim

f

(x)

时，可定义xa

ba

cb

caf

(x)dx

f

(x)dxf

(x)dx

当且仅当b

bc

acaf

(x)dx、

f

(x)dx都收敛时，

f

(x)dx收敛当确定了瑕积分的瑕点后，瑕积分的计算就相当于变上限函数的求极限运算。例研究下面广义积分的敛散性，若收敛，求其积分值。2101010

(1

x)22

ln

xdx

3

dx

dx1

x

2解题过程星期日39练习研究下面广义积分的敛散性，若收敛，求其积分值。02

31021x

1

dx

xdx

x

x

2答案52

61星期日三、Γ函数1730年Euler在给Goldbach的 中发现了两个用广义积分形式刻画的函数，后来他在《无限小分析引论》中进行了论述。1811年Legendre将其中一个函数命名为Gamma函数或Γ函数，记为Γ(s)。

Γ函数是 函数(不是初等函数)，影响很大。定义的函数称为Γ函数。关于Γ函数的收敛性，Euler已经证明：定理当s>0时Γ函数收敛。400xs1exdx它的发现对函数概念的定义由广义积分(s)

星期日41性质(Γ函数的计算)2(s

1)

s(s)

(1)

1

(1)

(n

1)

n!5

(11)例如( )

4

,2

2(9)3

45星期日222(2

sin

x)

cos

x

①dx

222(2