概率论与数理统计：第一章 概率论的基本概念3

1.4古典概型1.4.0引言：有限样本空间中基本事件的概率

对于样本空间S有限的随机试验E，其所有可能出现的试验结果e1，e2，⋯，en构成E的基本事件A1，A2，⋯，An。根据概率的有限可加性，有

其中Ai={ei}。

上述结果意味着，各基本事件的概率可以任意分配，只要满足非负性和上述关系即可；也就是说，只有上述条件还不足以确定基本事件的概率。

等可能性约束是解决上述问题的经典方法，称为等概率原理或古典概型。本章的计算重点1.4.1古典概型(等可能概型)中事件的概率1、古典概型：若试验E满足以下条件，则称试验E为古典概型(等可能概型)：(1)E的样本空间有限：S＝{e1，e2，⋯，en}；(2)每个基本事件Ai＝{ei}(其中i＝1，2，⋯，n)发生的可能性相同：P(A1)=P(A2)=⋯=P(An)＝1/n。例如：1.1.1中E1(依次掷硬币3次，观察正、反面出现的情况)、E2(投骰子观察出现的点数)都是等可能概型。2、古典概型中事件的概率3、古典概型中的事件概率的计算步骤(1)计算基本事件总数n；(2)确定事件A，并计算其中所包含的基本事件数k；(3)代入公式即可。1.4.2例题与随堂练习1、掷硬币试验

将一枚均匀的硬币抛掷三次，观察正、反面出现的情况。 (1)设事件A1表示“恰有一次出现正面”，求P(A1)； (2)设事件A2表示“恰有二次出现正面”，求P(A2)； (3)设事件A3表示“至少有一次出现正面”，求P(A3)。『解』：基本事件总数为(1)“恰有一次出现正面”所包含的基本事件数为

所以(2)同理，(3)“至少有一次出现正面”所包含的基本事件数为所以(练习：改为掷五次，重复上述问题，求解)3、摸球试验I

教材p10~11，例2。

列举的方式解题

先取出白球，再取出红球的概率？先白再红？两个都是白球？两个都是红球？一个红一个白？如果球的数量很多？

j=1j=2j=3j=4j=5j=6i=1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)i=2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)i=3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)i=4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)i=5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)i=6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)摸球问题的一般解——放回抽样例：黑盒里有k个红球和N-k个黑球。放回抽样的情况下，先取出红球再取出黑球的概率是多少？解：记k个红球为1，2，…，k，黑球为k+1，k+2，…，N。摸球试验的可能输出可以表示成一个两个元素的数组(z1，z2)，其中z1∈{1，2，…，N}，z2∈{1，2，…，N}。

按题意，正确的输出是先取红球紧接着取出黑球，因此正确的事件是E={(z1，z2):z1={1，…，k，z2=k+1，…，N}

样本空间的事件总数为Ns=N2，而事件的数量为NE=k(N-k)，因此

注意：如果令红球的比例为p=k/N，于是P(E)=p(1-p)摸球问题的一般解——不放回抽样例：黑盒里有k个红球和N-k个黑球。不放回抽样的情况下，先取出红球再取出黑球的概率是多少？解：记k个红球为1，2，…，k，黑球为k+1，k+2，…，N。摸球试验的可能输出可以表示成一个两个元素的数组(z1，z2)，其中z1∈{1，2，…，N}，z2∈{1，2，…，N}。

按题意，正确的输出是先取红球紧接着取出黑球，因此正确的事件是E={(z1，z2):z1={1，…，k，z2=k+1，…，N}

在不放回抽样的情况下，第二次取球时可以选择的球少一个，因此样本空间的事件总数为Ns=N(N-1)，而事件的数量仍为NE=k(N-k)，因此

可以看到，事件的概率变大了！但当N趋近于无穷时，二者趋近于相等。4、摸球试验II

教材p11~12，例3。

练习：设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间的任意一间去住(n≤N)，求下列事件的概率：(1)指定的n个房间各住1人；(2)恰好有n个房间，其中各住1人。5、产品抽样试验——超几何分布

教材p12~13，例4。

练习：p16，例题5。6、取数试验

从数字1,2,⋯，9中任取一个，重复取n次，求n次所取数字的乘积能被10整除的概率。7、其它例题(p13~14)生日问题问题：如果班级里有N个学生，则有两个学生的生日是同月同日的概率是多少？解：假设每个学生在一年中某一天出生的概率是相同的。把这个问题看成是一个“黑盒取球”问题，黑盒里有365个球，每个球上写一个不同的日期，让每个学生从黑盒里取一个球，然后放回盒里，球上的日期就是该学生的生日。本题要求解的是有两或多个学生取到同一个球的概率。求解这个问题更方便的解法是计算这个事件的逆事件，即：P[至少有两个学生生日相同]=1-P[没有学生的生日相同]

样本空间为Ns=365N，N个学生生日不同的概率为NE=365(365-1)…(365-N+1)=365!/(365-N)!

没有学生生日相同类似于不放回抽样的情况。从而P[至少有两个学生生日相同]=1-365!/(365-N)!生日问题跟人打赌时，多少人以上才有胜算？23很多人看到这个问题，都会想需要有182人才会有50%的概率出现有两个人生日相同，事实上并非如此。两个人生日相同与两个人都是1月1日出生的概率有什么不同？%birthday.mclearallrand('state',0)BD=[0:365],;event=zeros(10000,1);%initializetonosuccessfuleventsforntrial=1:10000fori=1:23 x(i,1)=ceil(365*rand(1,1));endy=sort(x);%arrangesbirthdaysinascendingorderz=y(2:23)-y(1:22);%comparessuccessivebirthdaystoeachotherw=find(z==O);%flagssamebirthdaysiflength(w)>0 event(ntrial)=l;%eventoccursifoneormorebirthdaysthesameendendprob=sum(event)/100001.4.3小结作业：教材P25页6，8，101.一副扑克牌包含A,K,Q,J,10,9,