几何与代数：lec5-矩阵的代数运算

1问题式预习、思考题2.矩阵的乘法与数的乘法之间有什么不同性质？1.矩阵的乘法除定义外还有其他运算方法吗？2x

y=0

x+2y

=

3思考题：(1)的矩阵形式(2)向量形式(3)请在平面上分别作图描述(1)和(3)的几何含义。(1)和(3)中哪种形式的解更容易通过几何图形得到？对任意向量b,都有解吗？2思考题2x

y=0

x+2y

=

3(1)的矩阵形式(2)向量形式(3)请在平面上分别作图描述(1)和(3)的几何含义。(1)和(3)中哪种形式的解更容易通过几何图形得到？对任意向量b,都有解吗？√√第一章行列式和线性方程组的求解3问题1：2元线性方程组的Cramer法则能否推广到n元？问题2：n阶行列式的定义和计算？第二章矩阵1.矩阵的乘法与数的乘法之间有什么不同性质？2.方阵A可逆的充要条件有哪些？3.矩阵的秩反应了矩阵的什么本质特征？4.初等阵与初等变换有什么关系？教学内容和学时分配

第二章矩阵教学内容学时数§2.1矩阵的代数运算

2§2.2可逆矩阵2§2.3分块矩阵1§2.4矩阵的秩1§2.5初等矩阵2§2.6用Matlab解题

1矩阵的基本概念几种特殊的方阵一.矩阵的线性运算三.矩阵的转置§2.1矩阵的代数运算二.矩阵的乘法Amn

=(aij)mn1.三角形矩阵

2.对角矩阵

=diag(1,2,…,n)

3.数量矩阵4.单位矩阵En

=

(ij)=

(ij)=

(iij)5.行阶梯矩阵6.行简化阶梯阵主元全为1,主列为单位列向量.

0行最下方;主元列标随行标递增1.加法注1:A,B同型.C=A+B=(aij+bij)mn注2:负矩阵

A=(aij)mn注3:减法：2.数乘kA=(kaij)mn=

向量:kl

=(kailbi)(A,B是同型矩阵)kA

lB

=(kaij

lbij)mn第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算ka11

ka12…ka1nka21

ka22…ka2n

…………kam1

kam2…kamn§2.1矩阵的代数运算

一.矩阵的线性运算A

B=A+(B)3.性质

设A,B,C,O是同型矩阵,k,l是数,则(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=A,(4)A+(A)=O,(5)1A=A,(6)k(lA)=(kl)A,(7)(k+l)A=kA+lA,(8)k(A+B)=kA+kB.(9)kA=0

k=0或A=O.(10)A+X=B

X=B

A.第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算

单价

(元/箱)重量

(Kg/箱)数量(箱)南京苏州常州瓶装啤酒2016200180190易拉罐5020100120100干啤3016150160140生啤2516180150150总价(元)总重(Kg)A=2050302516201616

B=20018019010012010015016014018015015020200+50100+30150+251801800018000二.矩阵的乘法

第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算A=2050302516201616

B=200180190100120100150160140180150150

单价

(元/箱)重量

(Kg/箱)数量(箱)南京苏州常州瓶装啤酒2016200180190易拉罐5020100120100干啤3016150160140生啤2516180150150总价(元)18000总重(Kg)C

=

AB181501675010480102409680例2.四个城市间的单向航线如图所示.

若aij表示从i市直达j市航线的条数,

则右图可用矩阵表示为1423A=(aij)=01111000010010101234ijbij=

ai1a1j+ai2a2j+ai3a3j+ai4a4j.从i市经一次中转到达j市航线的条数=?=AA第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算B=(bij)=2110011110000211第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算1.设A=(aij)ms,

B=(bij)sn

,则A与B的乘积是C=AB

=(cij)mn

=(Ai*B*j)=,其中cij

=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=aikbkj.k=1s注1:时才有意义，且.计算C=AB.例3.设1

23301B=,解:第二章矩阵

A=1

234,§2.1矩阵的代数运算C=AB=1

233011

2342515613=,C1=(A1,A2)

13C=(A1,A2)=A1+3A2715=1

23301=(A1+3A2,2A1,

3A1+A2)2515613=第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算2.设A=(aij)ms,

B=(bij)sn

,则A与B的乘积是C=AB

=(C1,C2,…,Cn),其中A1A2AsBjCj计算C=AB.例3.设1

23301B=,解:第二章矩阵

A=1

234,§2.1矩阵的代数运算C=AB=1

233011

2342515613=,C=12C=(A1+3A2,2A1,

3A1+A2)2515613=1

2341+2231+42=2515613=第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算3.设A=(aij)ms,

B=(bij)sn

,则A与B的乘积是C=AB,

其中1.设A=(aij)ms,B=(bij)sn,则A与B的乘积是C=AB=(cij)mn=(Ai*B*j)=(1)(kA)B=k(AB),(2)A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(3)(AB)C=A(BC).注2:第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算2.C=AB

=(C1,C2,…,Cn),其中注1:时才有意义，且.3.C=AB,

第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算结合律的妙用之一(还有“妙用之二”喔~~~!)第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算例4.设A=BC,其中B=,C=(123),则

123CB=？A=BC=？

A2011=？注3:方阵的正整数幂：A2=AA,Ak+1=AkA

=AAk,结合律的妙用之一(还有“妙用之二”喔~~~!)A2011=?123246369则A=BC=,=11+22+33

=14.A2011=(BC)(BC)(BC)…(BC)(BC)(BC)=B(CB)(BC)…(CB)(CB)C第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算=142010

BC=142010ABC

CB例4.设A=BC,其中B=,C=(123),则

123CB=(1

2

3)1

2

3

AB=(Ai*B*j)=二.矩阵的乘法注4:注5:不一定都有意义

同型但不相等

当AB

=

BA时，

称A,B可交换.有意义但不同型

第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算(AB)kAkBk(A+B)2

A2

+B2+2AB

,只有AB=BA时等式成立

(AB)k=ABAB

AB(A+B)2

=(A+B)

(A+B)

=A2

+B2+AB+BA

(A+B)(AB)=A2B2AB+BA

A2B2第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算AkBk注意!

注5:注6：对角矩阵的性质

==

(iij)(ti

ij)=

(i

ti

ij)=

(ti

ij)(i

ij)=

t10…00t2…0

…

…

…

…00…tn10…002…0

…

…

…

…00…n1t10…002t2…0

…

…

…

…00…ntn==

(ti

iij)第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算注6：对角矩阵的性质

==

t10…00t2…0

…

…

…

…00…tn10…002…0

…

…

…

…00…n1t10…002t2…0

…

…

…

…00…ntn=第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算Em

Am×n=

Am×n=Am×n

En

(aEm)Am×n=

aAm×n=Am×n(aEn)10…001…000…1mm……

……b11

b12…b1nb21

b22…b2n

…………bm1

bm2…bmn=b11

b12…b1nb21

b22…b2n

…………bm1

bm2…bmn设则注意:

(1)

AB与BA是同阶方阵，但AB不等于BA.

(2)虽然A,B都是非零矩阵,但是

AB=0.例5第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算设求

AB及

AC.解注意:

虽然A不是零矩阵,而且AB=AC,

但是B不等于C.这说明消去律不成立!例6第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算注7:消去律一般不成立.比如:第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算注意!

注意:

(1)虽然A,B都是非零矩阵,但AB=0.(2)虽然A不是零矩阵,而且AB=AC,

但是B不等于C.这说明消去律不成立!注8：方阵的多项式设A为一个方阵,f(x)为一个多项式称之为方阵A的一个多项式.f(x)=asxs+as1xs1+…+a1x+a0

f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0E

例6：

注意!

第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算第二章矩阵§2.1矩阵的代数运算

一.矩阵的线性运算

二.矩阵的乘法三.矩阵的转置kAlB=(kaij

lbij)mnAB=(Ai*B*j)=

矩阵乘法是否有意义，乘积矩阵的行数列数

交换律一般不成立=

消去律一般不成立f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0E

(A+B)2

A2

+B2+2AB

,三.矩阵的转置

1.设矩阵A=(aij)m×n,则矩阵A的转置为2.性质：

(1)(AT)T=A,n×m(2)(A+B)T=AT+BT,(4)(AB)T=BTAT.(3)(kA)T=kAT,=第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算穿脱原理3.对称矩阵

满足

AT=A.A=(aij)mn为对称矩阵

m=n且aij=aji(i,j=1,2,…,n).反对称矩阵A

：满足AT=A.A=(aij)mn为反对称矩阵

A为方阵且aij=

aji(i,j=1,2,…,n).比如：为对称矩阵；为反对称矩阵.反对称矩阵对角线元素全为0第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算D=a11…a1m

am1…amm

……b11…

b1n

bn1…

bnn……a11…

a1m0…0……………………=am1

…amm

0…0c11…

c1mb11…

b1n

cn1…

cnmbn1…

bnnA0CB0ABC=|A||B|=(1)mn|A||B|A,B为m,n阶矩阵AC

0B==C

AB0思考：能否利用这些结果证明|AB|

=

|A|

|B|？(其中A,B为n阶矩阵)

(可先考虑n=2的情况)第二章矩阵

证.

设D=a11a1200a21

a22

00

c11

c12

b11

b12

c21

c22

b21

b22

分析：|AB|

=|A||B|(以A,B为2阶方阵为例证明)A

O

CB==|A||B|0

00

0c11

c12

b11

b12

c21

c22

b21

b22

a11b11+a12b21a11b12+a12b22a21b11+a22b21a21b12+a22b22O

AB

CB==

|AB|=(1)22|AB|

|C|第二章矩阵

==|AB|

(1)22|C|证.

设D=a11a1200a21

a22

00

c11

c12

b11

b12

c21

c22

b21

b22

分析：|AB|

=|A||B|(以A,B为2阶方阵为例证明)AO

CB==|A||B|0

00

0c11

c12

b11

b12

c21

c22

b21

b22

a11b11+a12b21a11b12+a12b22a21b11+a22b21a21b12+a22b22

OAB

CB==

|AB|=(1)22|AB|

|C|第二章矩阵

==|AB|

(