几何与代数：习题解析第二章

思考题(1).对任意的b,Ax=b(By=b)都有解吗？(2).A(B)

的列向量组的所有的线性组合能覆盖整个R3吗？(4).综合上述三问你们能得到什么结论？(3).上述(1)(2)及定理3.3三者间有什么关系？(1).对任意的b,Ax=b(By=b)都有解吗？(2).A(B)

的列向量组的所有的线性组合能覆盖整个R3吗？(1).对任意的b,Ax=b都有解，但By=b不一定有解，只有当b在A1,A2所在平面上时才有解.(2).A的列向量组的所有的线性组合能覆盖整个R3.

但是B

的列向量组的所有的线性组合只能覆盖A1,A2所在的平面.r(A)=3r(B)=2<3b,r(A)=3=r(A,b),b,r(B)=2,r(B,b)=2,3,(4).综合上述三问你们能得到什么结论？(3).上述(1)(2)及定理3.3三者间有什么关系？(1).对任意的b,Ax=b都有解，但By=b不一定有解，只有当b在A1,A2所在平面上时才有解.(2).A的列向量组的所有的线性组合能覆盖整个R3.

但是B

的列向量组的所有的线性组合只能覆盖A1,A2所在的平面.定理3.3

在空间中取定三个不共面的1,2,3,则对空间中任一向量都存在唯一的有序实数组(x,y,z),

使得

=x1+y2+z3.对A来说，(1)(2)及定理3.3都是等价的.对B来说，(1)(2)等价，但不满足定理3.3的条件.(4).综合上述三问你们能得到什么结论？(1).对任意的b,Ax=b都有解，但By=b不一定有解，只有当b在A1,A2所在平面上时才有解.(2).A的列向量组的所有的线性组合能覆盖整个R3.

但是B

的列向量组的所有的线性组合只能覆盖A1,A2所在的平面.对A来说，(1)(2)及定理3.3都是等价的.对B来说，(1)(2)等价，但不满足定理3.3的条件.当A的列向量不共面时,b,Ax=b都有解，R3

中任意向量都可由A的列向量唯一的线性表示.当A的列向量在同一个平面上,只对该平面上的向量b,

Ax=b才有解，而此平面外的向量则不能由A的列向量线性表示，Ax=b就无解.加法和数乘

转置:(AB)T=BTATA1:AB=BA=E分块运算:分块转置初等行(列)变换秩:r(A)Ak,f(A)矩阵的运算一般矩阵AB:交换律消去律|A|:RnnRA*=(Aji):AA*=A*A=|A|E方阵可逆矩阵

对称矩阵反对称矩阵

零矩阵

对角矩阵单位矩阵初等矩阵

数量矩阵一次初等变换

(左行右列)行矩阵乘法消去率一般不成立.第二章矩阵

§2.1矩阵的代数运算

矩阵乘法交换率一般不成立(AB)kAkBk(A+B)2

A2

+B2+2AB

(A+B)(AB)A2B2但是，消去率在A可逆时成立.矩阵乘积可交换的情况：1.方阵4.5.AkAl=AlAk

3.

(aEm)Am×n=

Am×n(aEn)2.对角矩阵=

设A,B都是可逆方阵,则常用的分块矩阵求逆和行列式公式A

C0

B0ABC=|A||B|=(1)mn|A||B||A||B||C||D|A

D

CB问题初等变换终止矩阵结果秩阶梯阵r(A)=非0行数行变换解线性方程组Ax=b(AX=B)(Ab)行变换(AB)行变换阶梯阵判别解:r1<r2无解r1=r2=n唯一解,r1=r2<n无穷多解行最简形取非主列变量为自由变量，得到通解逆矩阵行变换行最简形(AE)(EA1)行列式行/列变换三角形某行(列)有一非0元素注意对角线方向的符号按此行(列)展开初等变换的作用等秩、等价矩阵的秩反应了矩阵的什么本质特征？非零子式的最高阶数.矩阵初等行变换化为的阶梯阵的阶梯数.

初等行变换(阶梯阵),则秩是相抵的矩阵具有的共同特征.

非零子式的最高阶数矩阵的秩6)r(A)r(B)

r(AB)r(A)+r(B)A中至少有一个r级子式0,任一k(>r)级子式=0.

r(Amn)min{m,n}，r(A)=r(AT)9)设A是n(2)阶方阵,则2)A,B相抵A,B同型,

r(A)=

r(B)=r(PAQ)

(P,Q可逆).3)

r(Amn)=r

A

P,Q可逆,A=P

Q.2.如何计算一个可逆矩阵的逆矩阵？1.如何判断矩阵是否可逆？A为方阵|A|0由推论：A(?)=E由性质：(kA)1=k1A1.(AB)1=B1A1.分块求逆：A-1A-1CB-1OB-1=.A

COB-1由公式：(A

E)初等行变换(E

A1)用初等行变换：(方阵A可逆)A为非奇异阵、非退化阵、满秩A与E相抵A的行最简形矩阵为E.A=初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1,P2,…,Ps,使得A=P1P2…Ps.(A,B为方阵.)mn矩阵n阶行列式定义加法数乘乘法符号行列式与矩阵的区别

||,初等变换时用=[]或(),初等变换时用习题3(10)第二章矩阵

习题解析4(1)求所有与矩阵可交换的矩阵B.解1:待定系数法第二章矩阵

习题解析解2:5.证第二章矩阵

习题解析不能设为具体矩阵来证明因A是实矩阵6(1)A=cos

sin

sincos,.求证An=cosn

sinn

sinncosn证明:当n=1时,结论显然成立.假设结论对于n=k成立,即.cosk

sink

sinkcoskAk=cos

sin

sincos则Ak+1=AkAcosk

sink

sinkcosk==cos(k+1)

sin(k+1)

sin(k+1)cos(k+1)=因此对于任意正整数n,结论成立.coskcossinksincosksinsinkcossinkcos+cosksinsinksin+coskcos第二章矩阵

习题解析解法1：解法2：发散思维—转换思考角度，训练思维的求异性例.令计算y=Ax几何含义：x沿逆时针旋转得到y解设设,计算则6(4)第二章矩阵

习题解析解设设,计算则6(4)第二章矩阵

习题解析第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算

证明:(存在性)设A为n阶方阵，并且8.设A为n阶方阵，证明：存在唯一的对称矩阵B与反对称矩阵C,

使得A=B+C.请注意高等数学中的类似结论：任意一个定义域关于坐标原点对称的实函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数之和。第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算

(唯一性)设B1,C1为n阶方阵，并且8.设A为n阶方阵，证明：存在唯一的对称矩阵B与反对称矩阵C,

使得A=B+C.证明:(存在性)证明2：8.设A为n阶方阵，证明：存在唯一的对称矩阵B与反对称矩阵C,

使得A=B+C.R2

R1R2/2R1

R2即GG可逆(1)有唯一解第二章矩阵

习题解析解法一：

第二章矩阵

习题解析解法二：

第二章矩阵

习题解析11.A是3阶方阵,解：求第二章矩阵

习题解析12.证明:若|A|=0,则|A*|=0.证明：

当A=0,A*=0,则|A*|=0当A0,若|A*|0,则A*可逆,与A0矛盾,则|A*|=0.若|A|0,则若|A|=0,则由12题知，|A*|=0|A*|=|A|n113.若A是n(n2)阶方阵，证明:|A*|=|A|n1.第二章矩阵

习题解析证：

证明：

15.设n阶方阵A满足是A2+A2E=O，证明:(1)A是可逆的，并求A1；(2)A+3E是可逆的，并求(A+3E)1；(3)当自然数k为何值时A+kE可逆，求其逆.第二章矩阵

习题解析A+1所以A是可逆的，并且所以A+3E是可逆的，并且A+kE可逆，并且当即自然数时(A+2E)(AE)=O

16.假设方阵证明:可逆，并求其逆阵.证明：第二章矩阵

习题解析21.设A是三阶方阵，x是三维非零列向量，若可逆，求一矩阵B，使得A=PBP1.解：因P可逆第二章矩阵

习题解析23.根据k的取值，讨论矩阵A的秩.解：r3kr1r2+

r1r3r2当k=1时，r(A)=1;当k=2时，r(A)=2;当k1,

2时，r(A)=3.第二章矩阵

习题解析解:可逆B

可逆25.已知44矩阵A可逆，交换其第一三行得到矩阵B,

证明B可逆，并求

AB1.第二章矩阵

习题解析证明:设

28.

证明任意秩为r的矩阵必定可以表示成r个秩为1的矩阵之和.设矩阵只有元素(i,i)为1，其余都为0.第二章矩阵

习题解析证明:(必要性)(充分性)法1：29.假设A是sn矩阵，则矩阵方程AX=Es有解

r(A)=s.从而矩阵方程AX=Es有解第二章矩阵

习题解析证明:(必要性)(充分性)法2：29.假设A是sn矩阵，则矩阵方程AX=Es有解

r(A)=s.从而矩阵方程AX=Es有解第二章矩阵

习题解析反证法2：若则所以AX=Es无解.29.假设A是sn矩阵，则矩阵方程AX=Es有解

r(A)=s.矩阵方程AX=Es有解第二章矩阵

习题解析错误1：错误2：用”班长—学生”方法的前提是班长很容易成立.设U为

rref,

“UX=Es有解

r(U)=s”

并不更易证明.错误3：A可逆吗？X可逆吗？|A|,|X|存在吗？A是sn矩阵，X是ns矩阵.不是方阵没有可逆性和行列式！AX=Es有解30.设n阶方阵A满足,试证证明：

第二章矩阵

习题解析证明：

A中所有n1阶子式都为0.中至少有一个n1阶非零子式.31.设A是n(2)阶方阵,则第二章矩阵

习题解析解1:设例6.第二章矩阵

§2.5初等矩阵

若向量Rn(n>1),0,A=T,求r(A),|A|.设r(A)=1r1/a1riair1i=2,,n

A<nA不可逆|A|=0.解2:设例6.若向量Rn(n>1),0,A=T,求r(A),|A|.设第二章矩阵

§2.5初等矩阵

A中各行之间成比例.|A|=0.解2:设r(A)=1即A中存在一个一阶非零子式.r(A)1另一方面,r(A)=r(T)r()=1设第二章矩阵1.设n维向量=(a,0,…,0,a)T,a<0,A=ET,

B=E+(1/a)T,A=B1,则a=().练习题2.设A,B,C均为n阶矩阵,若B=E+AB,C=A+CA,则BC为().(A)E(B)

E(C)A(D)

A

3.

设1,2,3,1,2R4,|1,2,3,1|=m,

|1,2,2,3|=n,

则|3,2,1,1+2|=().4.设A是n阶可逆矩阵(n2),则().

(A)(A*)*=|A|n1A(B)(A*)*=|A|n+1A(C)(A*)*=|A|n2A(D)(A*)*=|A|n+2A

第二章矩阵

1.设n维向量=(a,0,…,0,a)T,a<0,A=ET,

B=E+(1/a)T,A=B1,则a=().练习题2.设A,B,C均为n阶矩阵,若B=E+AB,C=A+CA,则BC为().(A)E(B)E(C)A(D)

A

1解：AB=E=E+(1/a1)T(1/a)TTAB=E=E+(1/a12a)TT=2a2>0,1/a12a=0a=1/2,1a<0a=1解：B=E+AB(EA)B=EB=(EA)1C=A+CAC(EA)=AC=A(EA)1BC=(EA)1

A(EA)1=(EA)

(EA)1=EA第二章矩阵练习题3.

设1,2,3,1,2R4,|1,2,3,1|=m,

|1,2,2,3|=n,

则|3,2,1,1+2|=().|3,2,1,1+2|nm=|1,2,3,1+2|=|1,2,3,1||1,2,3,2|=|1,2,3,1|+|1,2,2,3|=nm第二章矩阵4.设A是n阶可逆矩阵(n2),则().练习题

(A)(A*)*=|A|n1A(B)(A*)*=|A|n+1A(C)(A*)*=|A|n2A(D)(A*)*=|A|n+2A

解：C2(5).设A,B是n阶矩阵,则C*=().