中等数学-奥林匹克问题

数数 问 3(b-c)2+(c-a)2+(a-b)本期问 2+4 (a+b+c) 初 如图1,在锐角△ABC中,CEAB于点E,F,∠A<∠BFC=45°,ED∠BEC的平分线∠EDB=∠FDCGBC的中点,EB=cEC=bBC=a.abc表示FG的 图度的平方(瞿飞市初级中学初三(5),200050)初208ABC,AB=AC⊙OABC,且与ABAC,切点B1C1.P1,P2,⋯,PnBC,P1,P2,⋯,PnOP1Q1,P2Q2,⋯,PnQn,Q1,Q2,⋯,Qn.设m=iPQ2i+iBP·iP(ii=1,2,⋯,n.若BB1=a,m1+m2+⋯+mn的值(郭璋市朝阳区教育,高207ABCDO,,OABCD上.ADBCMN,△OAB的外OCDOE证明O、EMN四点共圆.(浙江省余姚市余姚中学高高 已知abc∈R+.求证 b+ c+ a+

(李 2052PABC,PD、PEPF是过点P所BC、CA、AB垂足D、E、F,D、E、F三点的圆BC、CA、AB于另外三点D,D分别作所 图l1l2l3求证l1l2l3三线共点:先证明一个引理引理如图3,直lOA、B过AB分别lmn,经过点O的直线分别mnMN.则MN关于点O对称 图引理的证明:OOH⊥ABH,H是AB,m∥OH∥n.又根据平行线等分线段定理知OM=ON,所以,引理成立.下面证明原题2设直l1l2l3分别与直线PO交于点D″F″由引理D″都是P关于O的对称,,D″三点重,即直线l1l2、l3三线共点.(沈毅重庆市合川区太和中学206已知圆内接△ABC是锐角三角形圆AA1∥BB1∥CC1A1A2B1B22007年第8 C1C2BCCAAB成轴对称求证△A2B2C2

∠A、∠C成等差数列.IABC,交ACD,CI交AB1+1DEH为垂心HE成轴对称

DE1

的值证明:1)5,2∠A=∠B+∠C.A+∠B+∠C=∠A=∠B+∠C=∠A=2AB1AB2BA1BA2AE,BE交AA1于点K,延长BAX.B1B2HEAC,

IBC=1∠ABC∠ICB=1∠ACB ∠IBC+=1(∠ABC+∠ACB)∠BAH=∠BAE=180°-∠BB =∠B+∠C=60 ∠B2AX=∠B2AH-=(180°-∠AKE)-(180°-=∠BAD-∠A=(90°-∠ABC)-(90°-∠A1=∠A1AC-∠ABC∠A2BX=∠A2BC-=∠A1BC-=∠A1AC-∠ABC∠B2AX=∠A2BX,AB2∥BA2 学205ABC∠B>∠A>∠C,B

∠BIC=∠EIDA∠EID180°,AEID四=CD四点共圆BEI=∠IDA=∠IMC,IMB=D,IE=ID,EIDIE=ID=33BIC,由余弦定BC2=BI2+CI2-2BI·CIcos=BI2+CI2+ 再由(1BC2=BI·BD+=BI(BI+ID)+CI(CI+=BI2+BI·ID+CI2+ 1ID=IE,1IE1 =

fx)=gt的值域是(-∞,2-2k当k=1时,f(x)=g(t) >0t t2- gtt,g(2)2-2gt)→0(DE1+

=3 ( ( t→+∞时,fx=gt0,2-2(师范大学附属中学206k是一个实数

g(函数,且x2+f(x)=x+1- (x> g(2)=2x2+(1(1-k2)t2+2t+ t2-的取值范围

g(t)解:令x+1=t, (1-k2)t

2t→+∞(t→+∞时t≥2,f(x)=g(t)=t- t2-2(t≥2),gtt≥2的取值范围.对g(t)求导数得

1+ 1-下面再细分为两种情况g(

t2-

=1

21-2

0k≤1g(t)0有唯一t=2 2≤2g(21-

≥0(

≥2

g(t)(

1-

是t的严格递增函数

是严格递增函数fx)=gt

2g(t)是关于t的严格递增函数(当k>0时)或严 [2-k2,+∞)221-递减函数(k0时),g(t)0的实根为t=(t≥2的要21-

1<k1g(t)0有唯一的t (

>2,所以,g(t)≥0(当t 时)1-k1-k1-1-

g

=1-下面对k分三种情况k0fx的值域是2,+∞

gtt

上是严格递增的k0fx)=gtt的严格递,f(x)=gt的值域是2-2k,+∞).k0,又分为三种情况g(g(

g(21-2≤t 2221-1-

时),gt)

g(t1k ,

2 2(1-k2).f(x)t→+g(t+ t2-f(x)=g(t)=t2-k2t+ t2-

1-g(t)的值域是 2(1-k2),+∞)fx)=gtt≥2的值域为≤[2-2k+∞)(k );2(1-k2(k2-12(1-k22t+ t