多元函数的微分学课件

《微积分》A《微积分》A1刻苦勤奋－理学院工科数学教学中心－刻苦勤奋－理学院工科数学教学中心－第八章多元函数微分学第八章多元函数微分学3教学内容和基本要求

理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。教学内容和基本要求理解多元函数的极限与连续概念,4重点与难点重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，多元复合函数的求导法则，用拉格朗日条件极值求最大值应用问题，方向导数与梯度。难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。重点与难点重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概难点：全微5L设空间L曲线的参数方程为一、空间曲线的切线与法平面§8.6微分法在几何上的应用1、曲线由参数方程给出的情形假定(1)式中的三个函数均可导。且导数在M点不同时为零.L设空间L曲线的参数方程为一、空间曲线的切线与法平面§8.6LTL是曲线L上的两点,且分别割线的方程为考察割线趋近于极限位置——切线的过程,LTL是曲线L上的两点,且分别割线的方考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以T曲线在M处的切线方程考察割线趋近于极限位置上式分母同除以T曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量,如下向量为其中之一,

法平面：过M点且与切线垂直的平面,即过点与切线垂直的平面称为曲线L在点M处的法平面切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量,法平面：过M点且与解切线方程:法平面方程:解切线方程:法平面方程:空间曲线方程为

法平面方程为特殊情况：此时可把x看作参数，即参数方程为即t=t0处，空间曲线方程为法平面方程为特殊情况：此时可把x看作参数2.曲线由一般方程给出的情形设空间曲线方程为L:M(x0,y0,z0)为曲线上的一点,此函数方程组可确定是x的隐函数,即曲线可用(隐式)方程:来表示

由1中特殊情况知,只需求

下由例题给出求解方法2.曲线由一般方程给出的情形设空间曲线方程为L:多元函数的微分学课件求切线方程为法平面方程为{dx=1,dy=0,dz=－1为非零解}求切线方程为法平面方程为{dx=1,dy=0,求曲线练习1求曲线练习1（椭球面）（球面）求曲线上对应于x=1处的切线方程和法平面方程。解将x=1代入方程组，解方程组得，练习2x=1处的点为（椭球面）（球面）求曲线上对应于x=1处的切线方程和将所给方程的两端对x求导，方程组有唯一解。切向量将所给方程的两端对x求导，方程组有唯一解。切向量切向量切线方程法平面方程切向量切线方程法平面方程切向量切线方程法平面方程切向量切线方程法平面方程二.曲面的切平面与法线若曲面上过点的任意曲线的切线都位于同一平面.切平面过且与切平面垂直的直线法线1.设曲面方程为在该点偏导数连续且不全为零.

是曲面上过的任一曲线:二.曲面的切平面与法线若曲面上过点的任意曲切平面方程法线方程切平面的法向量为什么将上式两端对t在点求导有切平面方程法线方程切平面的法向量为什么将上式两端对t在1,由于曲线是曲面上过点的任一条光滑曲线，它们在的切线都与同一定向量垂直，故曲面上过的一切曲线在该点的切线都在同一平面上,即曲面在点

的切平面上.说明:得:2,令:则由切平面方程向量表示1,由于曲线是曲面上过点的任一条光滑曲线，它们在特殊情况：空间曲面方程形为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令曲面在M处的法向(指向上侧)可取为:特殊情况：空间曲面方程形为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处多元函数的微分学课件解切平面方程为法线方程为解切平面方程为法线方程为解令切平面方程法线方程解令切平面方程法线方程解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得解设为曲面上的切点,所求切点为切平面方程(1)切平面方程(2)所求切点为切平面方程(1)切平面方程(2)GoodByeGoodBye向量的方向角与方向余弦向量的方向角与方向余弦多元函数的微分学课件《微积分》A《微积分》A31刻苦勤奋－理学院工科数学教学中心－刻苦勤奋－理学院工科数学教学中心－第八章多元函数微分学第八章多元函数微分学33教学内容和基本要求

理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。教学内容和基本要求理解多元函数的极限与连续概念,34重点与难点重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，多元复合函数的求导法则，用拉格朗日条件极值求最大值应用问题，方向导数与梯度。难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。重点与难点重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概难点：全微35L设空间L曲线的参数方程为一、空间曲线的切线与法平面§8.6微分法在几何上的应用1、曲线由参数方程给出的情形假定(1)式中的三个函数均可导。且导数在M点不同时为零.L设空间L曲线的参数方程为一、空间曲线的切线与法平面§8.6LTL是曲线L上的两点,且分别割线的方程为考察割线趋近于极限位置——切线的过程,LTL是曲线L上的两点,且分别割线的方考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以T曲线在M处的切线方程考察割线趋近于极限位置上式分母同除以T曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量,如下向量为其中之一,

法平面：过M点且与切线垂直的平面,即过点与切线垂直的平面称为曲线L在点M处的法平面切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量,法平面：过M点且与解切线方程:法平面方程:解切线方程:法平面方程:空间曲线方程为

法平面方程为特殊情况：此时可把x看作参数，即参数方程为即t=t0处，空间曲线方程为法平面方程为特殊情况：此时可把x看作参数2.曲线由一般方程给出的情形设空间曲线方程为L:M(x0,y0,z0)为曲线上的一点,此函数方程组可确定是x的隐函数,即曲线可用(隐式)方程:来表示

由1中特殊情况知,只需求

下由例题给出求解方法2.曲线由一般方程给出的情形设空间曲线方程为L:多元函数的微分学课件求切线方程为法平面方程为{dx=1,dy=0,dz=－1为非零解}求切线方程为法平面方程为{dx=1,dy=0,求曲线练习1求曲线练习1（椭球面）（球面）求曲线上对应于x=1处的切线方程和法平面方程。解将x=1代入方程组，解方程组得，练习2x=1处的点为（椭球面）（球面）求曲线上对应于x=1处的切线方程和将所给方程的两端对x求导，方程组有唯一解。切向量将所给方程的两端对x求导，方程组有唯一解。切向量切向量切线方程法平面方程切向量切线方程法平面方程切向量切线方程法平面方程切向量切线方程法平面方程二.曲面的切平面与法线若曲面上过点的任意曲线的切线都位于同一平面.切平面过且与切平面垂直的直线法线1.设曲面方程为在该点偏导数连续且不全为零.

是曲面上过的任一曲线:二.曲面的切平面与法线若曲面上过点的任意曲切平面方程法线方程切平面的法向量为什么将上式两端对t在点求导有切平面方程法线方程切平面的法向量为什么将上式两端对t在1,由于曲线是曲面上过点的任一条光滑曲线，它们在的切线都与同一定向量垂直，故曲面上过的一切曲线在该点的切线都在同一平面上,即曲面在点

的切平面上.说明:得:2,令:则由切平面方程向量表示1,由于曲线是曲面上过点的任一条光滑曲线，它们在特殊情况：空间曲面方程形为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令曲面在M处的法向(指向上侧)可取为:特殊情况：空间曲面方程形为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处多元函数的微分学课件解切平面方