对坐标曲线积分课件

第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分1ppt课件第二节一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的计算一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.

引例:

变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xOy

平面内从点A沿光滑曲线弧L

移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.2ppt课件一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F

沿则用有向线段上任取一点在3ppt课件1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有3)“近似和”4)“取极限”(其中为n

个小弧段的最大长度)4ppt课件3)“近似和”4)“取极限”(其中为n个小弧段的2.定义.设

L

为xOy

平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L

称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作5ppt课件2.定义.设L为xOy平面内从A到B的一条有向若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,6ppt课件若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对3.性质(1)若L

可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L的反向弧,则则

定积分是第二类曲线积分的特例.说明:

对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向

!7ppt课件3.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧(2)二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有8ppt课件二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义特别是,如果L

的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定理9ppt课件特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有例1.计算其中L为沿抛物线解法1

取x

为参数,则解法2取y

为参数,则从点的一段.10ppt课件例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则例2.计算其中L为(1)半径为a

圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点

B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则11ppt课件例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式12ppt课件例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)

的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为13ppt课件例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2例5.求其中从

z

轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程14ppt课件例5.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L

以弧长为参数

的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系15ppt课件三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数的类似地,在空间曲线

上的两类曲线积分的联系是16ppt课件类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是16ppt例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周17ppt课件例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周17pp2.

已知为折线ABCOA(如图),计算提示:18ppt课件2.已知为折线ABCOA(如图),计算提示:18ppt1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xOy

面的距离成反比.沿直求F所作的功W.已知F

的方向指一质点在力场F

作用下由点19ppt课件1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xOy面的距第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分20ppt课件第二节一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的计算一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.

引例:

变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xOy

平面内从点A沿光滑曲线弧L

移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.21ppt课件一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F

沿则用有向线段上任取一点在22ppt课件1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有3)“近似和”4)“取极限”(其中为n

个小弧段的最大长度)23ppt课件3)“近似和”4)“取极限”(其中为n个小弧段的2.定义.设

L

为xOy

平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L

称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作24ppt课件2.定义.设L为xOy平面内从A到B的一条有向若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,25ppt课件若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对3.性质(1)若L

可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L的反向弧,则则

定积分是第二类曲线积分的特例.说明:

对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向

!26ppt课件3.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧(2)二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有27ppt课件二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义特别是,如果L

的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定理28ppt课件特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有例1.计算其中L为沿抛物线解法1

取x

为参数,则解法2取y

为参数,则从点的一段.29ppt课件例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则例2.计算其中L为(1)半径为a

圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点

B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则30ppt课件例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式31ppt课件例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)

的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为32ppt课件例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2例5.求其中从

z

轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程33ppt课件例5.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L

以弧长为参数

的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系34ppt课件三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数的类似地,在空间曲线

上的两类曲线积分的联系是35ppt课件类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是16ppt例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周36ppt课件例7.将积