复数的数乘运算讲义-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

55.1—5.1.1任意角7.2—7.2.1复数的7.2—7.2.1复数的数乘运算高一数学—必修二高一高一高一数学陪你成功班级姓名学号编辑：审核：课题：7.2复数的四则运算7.2.2复数的数乘运算学好数学，天下无敌！[学习目标]1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.[知识梳理]知识点一复数乘法的运算法则和运算律1.复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2.复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3思考|z|2＝z2，正确吗？答案不正确.例如，|i|2＝1，而i2＝－1.知识点二复数除法的法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，则eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).[自我小测]1.(1＋i)(2＋i)＝________.答案1＋3i解析依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i.2.i是虚数单位，复数eq\f(1－3i,1－i)＝________.答案2－i解析eq\f(1－3i,1－i)＝eq\f(1－3i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i.3.复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在第________象限.答案四解析因为z＝i(－2－i)＝1－2i，所以复数z对应的点在第四象限.4.已知复数z＝eq\f(5i,1＋2i)(i是虚数单位)，则|z|＝________.答案eq\r(5)解析|z|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5i,1＋2i)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5i1－2i,5)))＝|i＋2|＝eq\r(5).[基础类型探究]类型探究一复数代数形式的乘法运算例1计算下列各题.(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.解(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.反思感悟(1)两个复数代数形式乘法的一般方法①首先按多项式的乘法展开.②再将i2换成－1.③然后再进行复数的加、减运算.(2)常用公式①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R).②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).③(1±i)2＝±2i.跟踪训练1(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于()A.2－13i B.13＋2iC.13－13i D.－13－2i答案D解析(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A.(－∞，1) B.(－∞，－1)C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)答案B解析因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，又此点在第二象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,1－a>0，))解得a<－1.类型探究二复数代数形式的除法运算例2(1)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，则复数eq\f(z1,z2)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以eq\f(z1,z2)＝eq\f(－2－i,i)＝－1＋2i，对应的点在第二象限.(2)计算：eq\f(1＋i7,1－i)＋eq\f(1－i7,1＋i)－eq\f(3－4i2＋2i3,4＋3i).解原式＝[(1＋i)2]3·eq\f(1＋i,1－i)＋[(1－i)2]3·eq\f(1－i,1＋i)－eq\f(83－4i1＋i3,3－4ii)＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－eq\f(8·2i1＋i,i)＝8＋8－16－16i＝－16i.反思感悟(1)两个复数代数形式的除法运算步骤①首先将除式写为分式.②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数.③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.(2)常用公式①eq\f(1,i)＝－i；②eq\f(1＋i,1－i)＝i；③eq\f(1－i,1＋i)＝－i.跟踪训练2(1)设复数z满足eq\f(1＋z,1－z)＝i，则|z|等于()A.1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D.2答案A解析由eq\f(1＋z,1－z)＝i得1＋z＝i(1－z)，即z＝eq\f(－1＋i,1＋i)＝eq\f(－1＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(－1－i2,2)＝i，|z|＝1.(2)计算：①eq\f(7＋i,3＋4i)；②eq\f(－1＋i2＋i,－i).解①eq\f(7＋i,3＋4i)＝eq\f(7＋i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(25－25i,25)＝1－i.②eq\f(－1＋i2＋i,－i)＝eq\f(－3＋i,－i)＝eq\f(－3＋i·i,－i·i)＝－1－3i.类型探究三在复数范围内解方程例3在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0.解因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1，所以(x＋3)2＝－1，又因为i2＝－1，所以(x＋3)2＝i2，所以x＋3＝±i，即x＝－3±i.反思感悟当一元二次方程中Δ<0时，在复数范围内有两根且互为共轭复数.跟踪训练3已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根.(1)求b，c的值；(2)试判断1－i是不是方程的根.解(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c为实数，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝0，,2＋b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝2.))(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程式成立.∴1－i是方程的根.[课堂小练]1.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1C.a＝－1，b＝－1 D.a＝1，b＝－1答案D解析∵(a＋i)i＝ai－1＝b＋i，∴a＝1，b＝－1.2.复数(1＋i)2(2＋3i)的值为()A.6－4i B.－6－4iC.6＋4i D.－6＋4i答案D解析(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.3.在复平面内，复数eq\f(i,1＋i)＋(1＋eq\r(3)i)2对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析eq\f(i,1＋i)＋(1＋eq\r(3)i)2＝eq\f(1,2)i＋eq\f(1,2)＋1－3＋2eq\r(3)i＝－eq\f(3,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2\r(3)))i，对应点在第二象限.4.(1＋i)2－eq\f(2－i,2＋i)＝________.答案－eq\f(3,5)＋eq\f(14,5)i解析(1＋i)2－eq\f(2－i,2＋i)＝2i－eq\f(2－i2,5)＝－eq\f(3,5)＋eq\f(14,5)i.5.方程x2＋3＝0在复数范围内的解为x＝________.答案±eq\r(3)i课时评价作业课时评价作业命题人：审核人：班级姓名学号[A组作业]1.复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限.2.若z(1＋i)＝2i，则z等于()A.－1－i B.－1＋iC.1－i D.1＋i答案D解析z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝1＋i.3.设z＝eq\f(3－i,1＋2i)，则|z|等于()A.2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D.1答案C解析z＝eq\f(3－i,1＋2i)＝eq\f(3－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(1,5)－eq\f(7,5)i，所以|z|＝eq\r(2).4.(1＋i)20－(1－i)20的值是()A.－1024B.1024C.0D.512答案C解析∵(1＋i)2＝2i，∴(1＋i)4＝－4，又(1－i)2＝－2i，∴(1－i)4＝－4，∴(1＋i)20－(1－i)20＝(－4)5－(－4)5＝0.5.若z＋eq\x\to(z)＝6，z·eq\x\to(z)＝10，则z等于()A.1±3i B.3±iC.3＋i D.3－i答案B解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝6，,a2＋b2＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－1，))∴z＝3±i.6.设复数z＝1＋eq\r(2)i，则z2－2z＝________.答案－3解析z2－2z＝(1＋eq\r(2)i)2－2(1＋eq\r(2)i)＝1＋(eq\r(2)i)2＋2eq\r(2)i－2－2eq\r(2)i＝－3.7.复数eq\f(3＋i,i2)(i为虚数单位)的实部等于________.答案－3解析由题意可得eq\f(3＋i,i2)＝－3－i，－3－i的实部为－3.8.已知关于x的方程ax2＋x＋c＝0(a，c∈R)的一个根是2＋3i，则a－c＝________.答案3解析由题意，得a(2＋3i)2＋(2＋3i)＋c＝0，即－5a＋2＋c＋(12a＋3)i＝0.由复数相等的充要条件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－5a＋2＋c＝0，,12a＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,4)，,c＝－\f(13,4).))所以a－c＝3.9.计算：(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)；(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))6＋eq\f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i).解(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)＝eq\f(－3＋i,－i)＝－1－3i.(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(i,2＋i)＝eq\f(i2－i,5)＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i.(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))6＋eq\f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1＋i2,2)))6＋eq\f(i\r(3)－\r(2)i,\r(3)－\r(2)i)＝i6＋i＝－1＋i.10.已知复数z＝eq\f(1－i2＋31＋i,2－i).(1)求复数z；(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值.解(1)z＝eq\f(－2i＋3＋3i,2－i)＝eq\f(3＋i,2－i)＝eq\f(3＋i2＋i,5)＝1＋i.(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,2＋a＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝4.))[B组作业]11.若复数eq\f(5,－3－i)的实部与虚部分别为a，b，则点A(b，a)必在下列哪个函数的图象上()A.y＝2x B.y＝eq\f(x＋1,2x)C.y＝|x| D.y＝－2x2－1答案D解析因为eq\f(5,－3－i)＝eq\f(5－3＋i,－3－i－3＋i)＝－eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)i，所以a＝－eq\f(3,2)，b＝eq\f(1,2)，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,2)))，把点A的坐标分别代入选项，只有D选项满足.12.已知i为虚数单位，若复数z＝eq\f(1＋2i,2－i)，z的共轭复数为eq\x\to(z)，则z·eq\x\to(z)等于()A.1B.－1C.eq\f(25,9)D.－eq\f(25,9)答案A解析依题意，得z＝eq\f(1＋2i2＋i,2－i2＋i)＝i，所以eq\x\to(z)＝－i，所以z·eq\x\to(z)＝i·(－i)＝1.13.设复数z＝－2＋i，若复数z＋eq\f(1,z)的虚部为b，则b＝________.答案eq\f(4,5)解析因为z＝－2＋i，所以z＋eq\f(1,z)＝－2＋i＋eq\f(1,－2＋i)＝－2＋i＋eq\f(－2－i,－2＋i－2－i)＝－2＋i－eq\f(2,5)－eq\f(1,5)i＝－eq\f(12,5)＋eq\f(4,5)i，所以b＝eq\f(4,5).14.定义一种运算：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc.则复数eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋i－1,23i))的共轭复数是________.答案－1－3i解析∵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋i－1,23i))＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i，∴其共轭复数为－1－3i.[培优练]15.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知z＝eq\f(a,1－2i)＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则()A.a－5b＝0 B.3a－5b＝0C.a＋5b